1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ

Transkrypt

1 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ.. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ.. Wstęp Podstawowym narzędzem służącym do rozwązywana zadań metodą przemeszczeń są wzory transformacyjne. Pozwaają one oreść wartośc sł przywęzłowych na podstawe parametrów geometrycznych pręta (sztywność, długość oraz przemeszczeń węzłów pręta (nowych obrotowych. Jeden ze sposobów wyznaczena wzorów transformacyjnych poega na oreśenu reacj w podporach be jednoprzęsłowej. Będą one zaeżały od typu podpór. Zadane sprowadza sę do rozwązana bee statyczne newyznaczanych (rys.. metodą sł. Załadamy wpływy zewnętrzne w postac asycznych osadań podpór (przemeszczena nowe prostopadłe do os be, przemeszczena ątowe. a b c Rys... Schematy bee statyczne newyznaczanych Przed przystąpenem do obczeń naeży przyjąć umowę dotyczącą znaów poszczegónych weośc. Najwygodnejsza da metody przemeszczeń będze taa, tóra uprośc obczena wyemnuje w ja najwęszym stopnu różnce znaów poszczegónych wyrazów w równanach. W zwązu z tym będzemy tratować jao dodatne: momenty dzałające przy węzłach prętów zgodne z ruchem wsazówe zegara (uład prawosrętny (rys.., sły poprzeczne obracające odcętą część pręta zgodne z ruchem wsazówe zegara (rys.., ąty obrotu przerojów węzłowych φ zgodne z ruchem wsazówe zegara (rys..3, przemeszczena Δ zgodne z erunem zwrotem przyjętego uładu współrzędnych (rys..3. Weośc ujemne będą mały zwroty przecwne w stosunu do wymenonych. Ponadto ta ja dotychczas wyresy momentów zgnających będzemy odładać po strone włóen rozcąganych, czy od wypułej strony os odształconej. M>0 M>0 T>0 M>0 M<0 T<0 Rys... Znaowane momentów zgnających sł poprzecznych Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

2 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ x Δ >0 φ >0 Δ >0 φ >0 z Rys..3. Znaowane ątów obrotu φ przemeszczeń ponowych Δ węzłów podporowych Procedurę wyprowadzana wzorów transformacyjnych omówmy anazując różne przypad podparca pręta... Bea utwerdzona Rozpatrzmy beę obustronne utwerdzoną o długośc sztywnośc (rys..4, tórej podpory doznają przemeszczeń φ, φ, Δ, Δ. φ φ Δ x z Δ Rys..4. Schemat be obustronne utwerdzonej poddanej przemeszczenom podpór Narysujmy stan po przemeszczenu podpór, o zadane wartośc (rys..5. W rozważanach przemeszczena podpór będą dowone, ecz z uwag na czynone uproszczena przyjmujemy, że ch wartośc są newee (małe w stosunu do wymarów pręta. Δ x Δ z,w φ Ψ φ Rys..5. Stan po przemeszczenu be Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

3 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 3 Na rys..5 symbo ψ oznacza obrót cęcwy wynający z ponowych przemeszczeń podpór Δ: tg = = (. poneważ da małych ątów tg ψ ψ, to możemy zapsać: = = (. Aby rozwązać zadane metodą sł trzeba przyjąć uład podstawowy oraz odpowadające mu warun przemeszczenowe. φ φ X X 3 Δ Δ Rys..6. Uład podstawowy 3 Poneważ pomjamy w obczenach wpływ sł normanych współczynn δ 3 (sła X 3 wywołuje tyo słę normaną będą równe zero, a uład równań anoncznych ogranczy sę do dwóch równań: X X (.3 W ceu obczena przemeszczeń z uładu (.3 narysujemy wyresy momentów w stanach = X =. H = 0 R ( = M [] R ( = H = 0 R ( = M [] R ( = X Rys..7. Reacje momenty zgnające w stanach = X = Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

4 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 4 Obczamy współczynn macerzy podatnośc metodą WereszczagnaMohra: A wyrazy wone ΔΔ według wzoru: = = = = 3 = 3 = = = j 6 R j j (.4 gdze: rzeczywste, narzucone przemeszczene zgodne z erunem newadomej X, R j j reacja w podporze j, w stane X =, przemeszczene narzucone po erun reacj R j. = = = = Po podstawenu otrzymanych wartośc równane anonczne (.3 uzysuje postać 3 X 6 X 6 X 3 X (.5 Rozwązane uładu (.5 prowadz do wartośc sł nadczbowych: = 3 (.6 X = 3 (.7 W przyjętym uładze podstawowym sły nadczbowe X oznaczają reacje podporowe, a zarazem równoważne m wewnętrzne sły przypodporowe (rys..8. Można zapsać: =M X =M Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

5 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 5 gdze: M to przęsłowy, przywęzłowy moment zgnający w przeroju, M to przęsłowy, przywęzłowy moment zgnający w przeroju. M M M M Rys..8. Momenty podporowe przywęzłowe momenty zgnające Obczmy jeszcze reacje R R. M 3 3 R (.8 R = 6 (.9 R = 6 (.0 Poneważ reacje węzłowe są równoważne wewnętrznym słom przywęzłowym (rys..9 R =T R =T to sła tnąca wynos: gdze: T, T oznaczają przęsłowe, przywęzłowe sły poprzeczne. T =T = 6 (. T T R R Rys..9. Reacje podporowe przywęzłowe sły poprzeczne Gdy znamy już wartośc wszystch sł, to możemy narysować wyresy rzeczywstych sł wewnętrznych. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

6 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 6 = (φ +φ 3Ψ X = (φ +φ 3Ψ R R M[Nm] M M T[N] T =T = 6 (φ +φ Ψ Rys..0. Wyresy rzeczywstych sł wewnętrznych da be obustronne utwerdzonej, obcążonej przemeszczenam φ, φ, Δ, Δ Ostateczne da be obustronne utwerdzonej (rys..4 otrzymaśmy ompet wzorów transformacyjnych: M = 3 M = 3 T = 6 T = 6 (. (.3 Naeży przypomneć, że wzory transformacyjne metody przemeszczeń zaeżą od warunów brzegowych be przedstawają reacje mędzy przęsłowym, przywęzłowym słam wewnętrznym, a uogónonym przemeszczenam jej podpór..3. Równane os odształconej Napszemy równane os odształconego, obustronne utwerdzonego pręta (rys..5 poddanego wpływom osadań podpór φ, φ, Δ, Δ (ne obcążonego słam zewnętrznym. Aby rozwązać to zadane orzystamy z równana różnczowego n ugęca. [ w' ' x ]' '=q x Poneważ ne ma obcążeń zewnętrznych q x otrzymujemy równane jednorodne Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

7 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 7 tóre następne całujemy [ w' ' x ]' ' [ w' ' x ]'=c w' ' x =cx d Ostateczne funcja os odształconej jest weomanem trzecego stopna w' x =c x dx e (.4 w x =c x3 6 d x ex f (.5 Stałe całowana wyznaczamy z warunów brzegowych, tóre da be przedstawonej na rys..4 wyrazmy przez weośc nematyczne (przemeszczena: {w x = w' x = (.6 w x= = w' x= = Po podstawenu warunów brzegowych (.6 do równań (.4 (.5 uzysujemy uład równań: { = f =e = c 3 6 d e f = c d e Podstawene dwóch perwszych zwązów do dwóch ostatnch równań c 3 { = 6 d = c d po przeształcenach d = c Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

8 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 8 = c 3 prowadz do wartośc stałych c d: 6 d = c c c 3 6 c 3 4 = d = c= 6 3 d = [ 6 3 ] 4 6 Równane os odształconej pręta obustronne utwerdzonego poddanego przemeszczenu węzłów podporowych wyraża sę funcją: w x =[ 6 3 ] x3 6 [ 6 ] x x w x =[ ] x3 [ 3 ] x x.4. Bea utwerdzona jednostronne Rozpatrzmy beę utwerdzoną z jednej strony (rys.., tórej podpory uegają przemeszczenom φ, Δ, Δ. Ponższy przyład rozwążemy dwoma metodam: metodą sł (anaogczne do puntu. oraz orzystając z gotowych wynów otrzymanych w punce. (przyjmując odpowedne warun brzegowe. φ Δ Δ Rys... Schemat be jednostronne utwerdzonej Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

9 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 9 Metoda I metoda sł Zgodne z zasadam metody sł przyjmujemy uład podstawowy φ Δ Δ Rys... Uład podstawowy w tórym przemeszczene po erunu zwononego węzu mus być równe zero (δ = 0. Wynające z tego warunu równane anoncznych będze mało następującą postać: (.7 Aby obczyć współczynn równana narysujemy wyresy momentów w stane X = (anaogczne ja na rys..7. H = 0 M [] Rys..3. Reacje momenty zgnające w stane = wyznaczamy wartośc przemeszczeń: = 3 = 3 = = Po podstawenu otrzymanych wynów do równana anoncznego (.7 3 Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

10 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 0 uzysujemy wartość nadczbowej sły = 3 (.8 Newadoma X jest reacją podporową, tórej wartość odpowada wewnętrznej se przywęzłowej =M M to przęsłowy, przywęzłowy moment zgnający w przeroju. Natomast przęsłowy, przywęzłowy moment zgnający w przeroju jest równy zero (przegub. M Obczmy wartośc reacj R R. M 3 R R = 3 (.9 R = 3 (.0 tóre porywają sę z wartoścam sł tnących (przęsłowych, przywęzłowych T =T = 3 (. Znając wartość nadczbowej możemy narysować wyres rzeczywstych sł wewnętrznych. H 3 = (φ Ψ R R K M[Nm] M T[N] T =T = 3 (φ Ψ Rys..4. Wyresy rzeczywstych sł wewnętrznych da be utwerdzonej z jednej strony, obcążonej przemeszczenam φ, Δ, Δ Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

11 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ Metoda II W tej metodze wzory (., (.3 potratujemy jao unwersane po podstawenu odpowednch warunów brzegowych wyprowadzmy wzory transformacyjne da rozpatrywanego przypadu. Wemy, że da be (rys.. utwerdzonej z ewej strony podpartej prętem ze strony prawej moment przęsłowy, przywęzłowy M = 0, a zatem na podstawe równana (. możemy zapsać: M = 3 (. Z równana tego wyznaczamy funcję ąta obrotu φ 3 = 3 (.3 Po podstawenu funcj φ do równań (., (.3 otrzymujemy ompet wzorów transformacyjnych da be jednostronne utwerdzonej (utwerdzene z ewej strony: M = T =T = = 3 (.4 M (.5 = 3 (.6 Da be o podobnych podporach (rys..5 jedna ułożonych przecwne, czy będącej ustrzanym odbcem uładu z rys.. można zapsać gotowe wzory transformacyjne. φ Δ Δ Rys..5. Schemat be utwerdzonej z prawej strony M (.7 M = 3 (.8 T =T = 3 (.9 Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

12 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ.5. Bea obustronne utwerdzona z przesuwem Rozpatrzmy beę o schemace przedstawonym na rys..6, tórej podpory doznają przemeszczeń φ, φ. Przemeszczene ponowe podpory o Δ spowoduje ruch całej be ne wywoła sł wewnętrznych, datego ten wpływ pomjamy. Ponższy przyład taj ja poprzedno rozwążemy dwoma metodam. φ φ Rys..6. Schemat be utwerdzonej z przesuwem Przyjmujemy uład podstawowy. Metoda I metoda sł φ φ X Rys..7. Uład podstawowy zapsujemy równane anonczne (ne uwzgędnamy sł normanych: = (.30 Aby obczyć współczynn równana rysujemy wyres momentów w stane =. H = 0 M R M [] Obczamy współczynn równana anoncznego. Rys..8. Reacje momenty zgnające w stane = Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

13 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 3 = = = Po podstawenu otrzymanych wynów do równana (.30 Otrzymujemy wartośc nadczbowej sły: X (.3 = (.3 Reacja w podporze odpowada momentow zgnającemu w przeroju podporowym: M = = M to przęsłowy, przywęzłowy moment zgnający w przeroju. Natomast przęsłowy, przywęzłowy moment zgnający w przeroju wynos. M = X = Sła tnąca przy brau obcążeń zewnętrznych jest równa reacj T =T =R (.33 Na onec rysujemy wyresy rzeczywstych sł wewnętrznych. M = (φ +φ = (φ +φ M[Nm] M = (φ φ M = (φ +φ T[N] 0 Rys..9. Wyresy rzeczywstych sł wewnętrznych da be obustronne utwerdzonej, obcążonej przemeszczenam φ, φ Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

14 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 4 Metoda II Wyorzystujemy wzory (., (.3 (tratujemy je jao unwersane podstawamy odpowedne warun brzegowe. W ten sposób otrzymujemy wzory transformacyjne da rozpatrywanego przypadu. Wemy, że da be przedstawonej na rys..6 sły tnące T = T = 0, a zatem na podstawe równana (.3 możemy zapsać: T = 6 (.34 Z równana (.34 wyczamy ψ (.35 = (.36 Jeś podstawmy ψ do równań (., to otrzymamy ompet wzorów transformacyjnych: M = M = 3 = (.37 3 = (.38 T =T (.39 Da be o schemace podanym na rys..0 (ustrzane odbce do rys..6 wzory transformacyjne są tae same ja w powyższym przyładze. φ φ = (φ φ M[Nm] M = (φ φ M = (φ φ M = (φ φ T[N] 0 Rys..0. Schemat be Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

15 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 5 Wyn rozważań zestawono w tabe.. Podano wartośc przywęzłowych sł wewnętrznych w zaeżnośc od sposobu podparca be wywołane jednostowym przemeszczenam węzłów podporowych. Natomast w tabe. zestawono wyresy sł wewnętrznych (przywęzłowych da trzech schematów bee od obcążeń zewnętrznych (przęsłowych. Uwaga: w tabeach narysowane są wyresy momentów zgnających po nżynersu, tzn. wyres po strone włóen rozcąganych. Natomast ch wartośc podano zgodne z zasadam metody przemeszczeń, tzn. momenty dodatne dzałają zgodne z ruchem wsazówe zegara (prawosrętne. Tabea.. Wyresy momentów zgnających sł poprzecznych od jednostowych przemeszczeń podporowych φ Schemat be M T φ Δ Δ φ Δ Δ Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

16 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 6 φ Schemat be M T 0 φ 0 Tabea.. Wyresy momentów zgnających sł poprzecznych od przęsłowych obcążeń Schemat be M T P P 8 P 8 P 8 P + P q q q q + q M M 4 M 4 3M 3M P 3P 6 0 P 6 + 5P 6 q q 8 0 5q 8 + 3q 8 M M 8 9M 6 7M 6 0 9M 8 9M 8 Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater

17 Część. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ 7 Schemat be M T P 3P 8 P 8 P + q q 3 q 6 q + M M M 0 x ξ= x P ξ'= x Pξξ' Pξ'ξ + Pξ' (+ξξ Pξ (3ξ x ξ= x M Mξ' (3ξ' ξ'= x Mξ(3ξ 6M ξξ' 6M ξξ' Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa M., Mołajcza E., Przybysa P., Sysa A., Wdowsa A. AmaMater