Moment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy)

Transkrypt

1 Moment sły (z ang. torque, nna nazwa moment obrotowy) Sły zmenają ruch translacyjny odpowednkem sły w ruchu obrotowym jest moment sły. Tak jak sła powoduje przyspeszene, tak moment sły powoduje przyspeszene kątowe. Przyspeszene kątowe (a węc moment sły) ruchu obrotowego drzw zależy od: () wartośc sły () punktu przyłożena sły (tj. odległośc od os obrotu) () od kerunku sły Fzyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

2 Moment sły Moment sły zawsze defnujemy względem określonego punktu w przestrzen. Moment sły F względem punktu O na rysunku ponżej: τ = r F Moment sły jest wektorem o wartośc: τ = Fr = Fr snθ Kerunek wektora: τ r oraz τ F. Zwrot określamy regułą śruby prawoskrętnej. Fzyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

3 Moment sły - przykład Wyznaczyć wartość, kerunek zwrot całkowtego moment sły względem środka cenkej tarczy: r = 0.5 m F 1 = 20N F 2 = 30N F 3 = 30N τ 1 τ 1 = r F 1 τ 2 = r F 2 τ 3 = r F 3 τ 1 = rf 1 sn30 = 5 N m τ 2 τ wyp = τ 1 τ 2 = 10 N m τ 2 = rf 2 sn90 = 15 N m τ 3 = rf 3 sn180 = 0 Kerunek do nas przyjmujemy za dodatn (zwykle jest to kerunek prędkośc kątowej). Fzyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

4 Moment sły - przykład Wypadkowy momenty sł lczony względem punktu na os obrotu: τ 1 O τ 2 τ 1 = r 1 F 1 τ 2 = r 2 F 2 τ 1 = F 1 r 1 = 750 N m τ 2 = F 2 r 2 = 750 N m τ wyp = τ 1 τ 2 = 0 Słuszne dla momentów sł względem dowolnego punktu na os obrotu.

5 Moment sły maszyny proste To samo przyspeszene kątowe można nadać stosując mnejszą słę dłuższe ramę: Praca wykonana przez nas jest równa pracy wykonanej przez dźwgnę nad cężarem:

6 Zwązek pomędzy momentem sły (względem os obrotu) przyspeszenem kątowym Δm 1 Δm 3 Δm 2 τ wyp = Wypadkowy moment sły względem dowolnego punktu na os obrotu: τ wyp = r F F = F + F " ( r F + r F " ) = F 2" =0 F 2 Wszystke punktu cała doznają takego samego przyspeszena kątowego, sumowane musmy rozcągnąć na całe cało: τ wyp = ε Δm r 2 Δm 0 τ wyp = r Δm a s = Δm r r F ε r ( ) τ wyp = Δm ε ( r r ) r ( ε r ) = 2 ε Δm r τ wyp = ε r 2 dm moment bezwładnośc =0 τ wyp = I ε

7 Zasady dynamk Newtona dla ruchu obrotowego Ruch translacyjny Ruch obrotowy m F wyp τ wyp R I F F = m a wyp Wypadkowy moment sły lczony względem dowolnego punktu leżącego na stałej os obrotu: τ = I ε wyp

8 sznurek ne ślzga sę bloczek obraca sę τ 1 = R N 1 Maszyna Atwooda przypomnj sobe wykład o słach R N N 2 1 N 1 m 2 g τ 2 = R N 2 N 2 Założena: sznurek bez masowy brak tarca na krążku m 2 > m 1 promeń bloczka R masa bloczka M moment bezwładnośc walca: I = ½ MR 2 m 1 g Znaleźć przyspeszene cężarków.

9 Zasady dynamk Newtona z uwzględnenem ruchu obrotowego - przykład, wyścg pełnego pustego walca Zakładamy, że ruch odbywa sę bez poślzgu α

10 Ruch translacyjny: mg snα T S = ma mg cosα = N N Ruch obrotowy: τ = R T S τ = T S Rsn90 = Iε ε = a R T S τ R α m g snα a = mgr2 snα I + mr 2 I pelny = 1 2 mr2, I pusty = mr 2 m g cosα m g a pelny = 2 3 g snα > a pusty = 1 2 g snα Walec pełny wygra α

11 Dlaczego toczące sę cało spowalna*? Sły reakcj na nacsk podłoże W rzeczywstym śwece cało podłoże ulegają lekkej deformacj obszar kontaktu ne jest pojedynczym punktem (wychodzmy po za model bryły sztywnej). Cało mocnej nacska na podłoże z przodu (w kerunku ruchu) nż z tyłu w konsekwencj wypadkowa sła reakcj na nacsk jest źródłem momentu sły, który spowalna ruch obrotowy jest to dea stojąca za pojęcem tarca tocznego.

12 Wahadło fzyczne (cenka deseczka) Wahadło fzyczne to bryła sztywna zaweszona na stałej os pozomej w polu grawtacyjnym. Trzpeń dzała na lstwę słą, ale moment tej sły względem punktu P (oś obrotu) wynos 0. Nezerowy moment sły względem punktu P pochodz tylko od sły cężkośc, która umowne przyłożona jest do środka masy τ P = r m g Przyblżene małego kąta (θ << 1 rad): II zasada dynamk Newtona: τ P = I P ε = I P ω = I P θ τ P = mgr snθ τ P mgrθ P r (trzpeń, oś obrotu) l SM (środek masy) - bo moment sły skerowany zawsze przecwne do wektora przesunęca kątowego Równane oscylatora harmoncznego: θ + mgr I P θ = 0 Z twerdzena Stenera: Okres wahań: I P = 1 12 ml 2 + mr 2 T = 2π mg θ I P mgr = 2π 1 l 2 + r 2 12 gr

13 Wahadło fzyczne (hula hop) Wahadło fzyczne to bryła sztywna zaweszona na stałej os pozomej w polu grawtacyjnym. Trzpeń dzała na hula hop słą, ale moment tej sły względem punktu P (oś obrotu) wynos 0. Nezerowy moment sły względem punktu P pochodz tylko od sły cężkośc, która umowne przyłożona jest do środka masy τ P = r m g τ P Przyblżene małego kąta (θ << 1 rad): II zasada dynamk Newtona: τ P = I P ε = I P ω = I P θ = mgr snθ τ P mgrθ - bo moment sły skerowany zawsze przecwne do wektora przesunęca kątowego Równane oscylatora harmoncznego: θ + mgr I P θ = 0 Z twerdzena Stenera: I P = mr 2 + mr 2 Okres wahań: T = 2π I p mgr = 2π (trzpeń, oś obrotu) P θ r 2r g r SM (środek masy) mg

14 Ruch translacyjny obrotowy bryły sztywnej porównane równań Ruch postępowy (translacyjny) położene, x kąt, θ Ruch obrotowy prędkość lnowa, v = dx/dt przyspeszene, a = dv/dt masa, m energa knetyczna, E k = ½ mv 2 sła, F = ma pęd, p = mv prędkość kątowa, ω = dθ/dt przyspeszene kątowe, ε = dω/dt moment bezwładnośc, I energa knetyczna, E k = ½ Iω 2 moment sły (względem os obrotu) τ = Iε???????????? moment pędu L = Iω

15 Moment pędu cząstk Moment pędu cząstk zawsze defnujemy względem określonego punktu w przestrzen. Moment pędu L względem punktu O na rysunku ponżej: L = r p Moment pędu jest wektorem o wartośc: L = pr = pr snθ Kerunek wektora: L r oraz L p. O Zwrot określamy regułą śruby prawoskrętnej. Fzyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

16 Moment pędu cał rozcągłych względem stałej os obrotu L = r Δm v = Δm ( r v ) 2 L z = Δm v (r snθ ) = Δm v R = ω Δm R L z = ω Δm R 2 L = ω Δm 0 z R2 I dm Słuszne dla momentu pędu lczonego względem dowolnego punktu na os cała: L z = Iω Jeżel oś obrotu jest jednocześne osą symetr cała wektor L ma tylko składową L z. Fzyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

17 Zwązek pomędzy momentem sły momentem pędu F wyp Pęd sła p Moment pędu moment sły τ wyp L R F F = d p wyp dt τ = d L wyp dt

18 Zasada zachowana momentu pędu τ = d L wyp dt = 0 L = const Jeżel wypadkowy moment sł zewnętrznych dzałających na układ wynos zero, to całkowty moment pędu układu jest zachowany.

19 P. G. Hewtt, Fzyka wokół nas, PWN Zasada zachowana momentu pędu

20 Zasada zachowana momentu pędu - dlaczego wzrasta prędkość kątowa obrotów skoczka do wody?

21 Precesja cał (zmana kerunku os obracającego sę cała) - przykłady Wszystke sły przyłożone są tylko do os obracającego sę cała zerują sę, ale dają nezerowy wypadkowy moment sły - nastąp zmana kerunku momentu pędu (czyl równeż kerunku prędkośc kątowej). F y L τ L Nastąp obrót os ΔL x F wdok z góry: y τ L ΔL Moment pędu podąża za momentem sły L x

22 Precesja cał (zmana kerunku os obracającego sę cała) - przykłady Przykładamy sły do os obracającego sę cała, które zerują sę, ale dają nezerowy moment sły. ω T=mg wdok z góry: z L τ moment sły względem punktu O pochodz tylko od grawtacj mg r O x y L ΔL L τ x Moment pędu podąża za momentem sły

23 Precesja cał (zmana kerunku os obracającego sę cała) - przykłady Przykładamy sły do os obracającego sę cała, które zerują sę, ale dają nezerowy moment sły.

24 Precesja kul zemskej