BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE"

Transkrypt

1 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym stopniu przez dobranie odpowiedniego schematu podstawowego oraz zastosowanie szczególnej postaci metody sił zwanej metodą trzech momentów. Rozważmy dowolnie obciążoną wieloprzęsłową belę statycznie niewyznaczalną. Rys. 3.. Bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna Najbardziej dogodnym schematem zastępczym (podstawowym), będzie schemat, w tórym przerwiemy ciągłość beli przez wprowadzenie przegubów nad podporami i przyjmiemy nadliczbowe niewiadome w postaci momentów podporowych. X -2 X EJ X - EJ X EJ 2 X l - l l l 2 Rys Schemat podstawowy Uwaga: przy ta dobranym uładzie podstawowym macierz podatności będzie macierzą pasmową. Rozważmy teraz dwa sąsiednie, dowolnie wybrane przęsła beli l oraz l, o różnej sztywności EJ, EJ, ale stałej na całej długości przęsła. Załóżmy taże jao wiodący wpływ momentów (wpływ sił normalnych i poprzecznych w belce zginanej jest zniomy).

2 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 X -2 X - X X X 2-2 l - - l l l 2 2 M dla X - = - M dla X = M dla X = M 2 dla X 2 = Rys Wyresy momentów w stanach jednostowych Uład równań anonicznych zapiszemy w postaci: n ij X j ip =, i=,2,..., n (3.) j= W celu otrzymania współczynniów -tego wiersza macierzy podatności, należy wyres momentów M mnożyć olejno przez pozostałe wyresy. Analizując wyresy momentów dla olejnych stanów obciążeń (rys. 3.3) łatwo zauważyć, że wyres M porywa się jedynie z dwoma sąsiednimi wyresami. Stąd tylo trzy współczynnii z indesem będą miały wartość różną od zera.,, =, = EJ,, = EJ 2 l 2 3 EJ,, =, = EJ 2 l 3 = l (3.2) 6 EJ 2 l 2 3 = 3 l l EJ EJ (3.3) 2 l 3 = l (3.4) 6 EJ Podstawiając otrzymane wartości i mnożąc przez 6 całe równanie anoniczne otrzymujemy: X l 2 X EJ l l EJ EJ X l 6 EJ P = (3.5) Mnożąc następnie równanie przez sztywność porównawczą EJ o uzysujemy równanie zwane równaniem trzech momentów (nazwa pochodzi stąd, że w tym równaniu występują trzy sąsiednie momenty podporowe):

3 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 X l ' 2 X l ' l ' X l ' = 6 EJ o P (3.6) gdzie: l ' =l EJ o EJ (3.7) jest długością sprowadzoną (długość zastępcza). Równanie trzech momentów na ońcach beli wieloprzęsłowej wymaga pewnej modyfiacji waruni brzegowe omówimy dla trzech przypadów zaończenia beli.. Przypade pierwszy - bela jest podparta na ońcu w sposób przegubowo przesuwny. 2 l l 2 Rys Przegubowo-przesuwne zaończenie beli Dla taiego zamocowania ońca belo moment w puncie jest równy, stad X o = i równie trzech momentów będzie sładało się tylo z trzech wyrazów. 2 X l ' l 2 ' X 2 l 2 ' = 6 EJ o P 2. Przypade drugi - bela z wolnym, nie podpartym ońcem: 2 3 l l 2 l 3 Rys Bela z przewieszeniem W tym przypadu na ońcu beli moment można łatwo wyznaczyć i wtedy M = M, X dla X =M dla 2 X l 2 ' 2 X 2 l 2 ' l 3 ' X 3 l 3 ' = 6 EJ o 2 P

4 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 4 3. Przypade trzeci utwierdzenie na początu beli 2 l l 2 Rys Utwierdzony począte beli Taą belę należy rozszerzyć o jedno przęsło wstecz, załadając równocześnie, że lo = 2 l l l 2 Rys Model zastępczy przy utwierdzeniu Tai zabieg doprowadzi do uzysania równania brzegowego w postaci: 2 X o l ' X l ' = 6 EJ o P (3.8) 3.2. Linie wpływu sił nadliczbowych X i bele wieloprzęsłowych Rozpatrzmy sytuację, w tórej obciążenie beli wieloprzęsłowej, statycznie niewyznaczalnej jest zmienne. P Rys Bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna Wyznaczanie w uładach statycznie niewyznaczalnych linii wpływu wielości statycznych lasyczną metodą sił, należy rozpocząć od wyznaczenia linii wpływu nadliczbowych niewiadomych X. Zmiennymi będą wyrazy wolne P i w onsewencji taże X przyjmą wartości zależne od położenia obciążenia. Problemem jest sposób wyznaczenia P przy obciążeniu poruszającym się po belce. Rozpocznijmy rozważania od rozwiązania tego problemu. Niech dana będzie bela wieloprzęsłowa, statycznie niewyznaczalna, po tórej porusza się siła P. Przyjmujemy uład podstawowy ja na rys. 3.2, wtedy P jest wzajemnym obrotem przeroju lewego i prawego przy podporze wywołany działaniem siły P.

5 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 5 P l l - - l Rys Uład podstawowy obciążony siłą poruszającą się Zatrzymajmy myślowo daną siłę P na jednym z przęseł (rys. 3.). P - l Rys. 3.. Siła P położona w danym przęśle (-,) Dla taiego, chwilowego położenia siły, wyres momentów wystąpi tylo w przęśle w tórym działa siła P. P M(P) O - O Rys. 3.. Wyres momentów od siły P położonej w przęśle (-,) Jeżeli założymy, że P = [-] możemy przejść na umowny zapis (wzajemny ąt obrotu jest równy podatności, tzn. przemieszczeniu od jednostowej siły): P = P (3.9) Na mocy twierdzenia Mawella wiadomo, że wzajemny ąt obrotu przeroju lewego i prawego przy przegubie jest równy: P = P (3.)

6 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 6 gdzie δp jest to przemieszczenie pionowe pod puntem przyłożenia siły P, wywołane działaniem momentu X = lub inaczej jest to linia ugięcia beli wywołana stałym momentem X =. Ugięcie to jet niezerowe tylo dla dwóch przęseł (-,) i (,). X = - δ P l l P δ P - l l Rys Linie ugięcia beli przy działaniu X i P Znajdźmy linię ugięcia beli w() wywołaną znanym momentem M() za pomocą całowania równania różniczowego. X = - EJ R - = l l w() M() Rys Momenty zginające w przęśle (-,) od przyłożonego momentu jednostowego Funcję ugiętej osi beli opisuje równanie różniczowe: EJ d 2 w d 2 = M (3.) Dla rozpatrywanej beli (rys. 3.3) moment M() jest opisywany funcją: M = l (3.2) Podstawiając równanie momentu do wzoru (3.) otrzymujemy:

7 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 7 EJ w' ' = l (3.3) Wprowadźmy bezwymiarową zmienną: = l (3.4) Druga pochodna funcji w(ξ) po zmiennej wynosi: d 2 w d 2 = d 2 w d 2 l 2 (3.5) Po podstawieniu (3.4) i (3.5) do (3.3) otrzymujemy równanie: EJ 2 2 l d w = d 2 EJ l 2 w' ' = (3.6) Otrzymaną funcję dwurotnie całujemy: EJ l w' = C (3.7) EJ l w = C D (3.8) A po podstawieniu warunów brzegowych w() = i w(l) = otrzymujemy wartości stałych: C= 6 D= W ten sposób uzysujemy funcję linii ugięcia beli l 2 w = 3 (3.9) 6 EJ

8 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 8 tóra jest poszuiwanym współczynniiem δp dla przęsła (-,) Krzywiznę ugiętej beli opisuje wzór: l 2 P = P =w = (3.2) 6 EJ = 3 (3.2) Wyres momentów MP od siły działającej w przęśle (-,) (rys. 3.) porywa się tylo z wyresami jednostowymi X= i X-= (rys. 3.3). Wobec tego dla dowolnego tylo P oraz -,P będą różne od. P mamy już wyznaczone, problemem teraz pozostaje wyznaczenie -,P = δ -,P = δ P,- (gdzie δ P,- jest przemieszczeniem pionowym pod siłą P wywołanym działaniem momentu supionego X-). X - = ξ ξ' δ P, - - l Rys Linia ugięcia beli od momentu jednostowego przyłożonego w puncie - Współczynni δp,- można wyznaczyć w analogiczny sposób co δp podstawiając jedynie do wyznaczonego wzoru (3.9) ξ' zamiast ξ. Otrzymamy wówczas równanie: l 2 P, = ' ' 3 (3.22) 6 EJ Po podstawieniu zależności ξ' = -ξ i uporządowaniu zapisu otrzymujemy: l 2 2 P, = [ 3 ]= l = l ' (3.23) 6 EJ 6 EJ 6 EJ 2 Funcję rzywizny opisuje wzór: ' = (3.24)

9 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 9 Uzysane funcje (3.2) i (3.22) trzeba wstawić do wzoru trzech momentów (3.6). Rozpiszemy występujące tam człony: 6 EJ o P = 6 EJ o l 2 3 = 6 EJ 6 EJ o l 2 = l 6 EJ l ' (3.25) 6 EJ o, P = l l ' ' (3.26) gdzie: l ' =l EJ o EJ Teraz możemy przejść do wyznaczenia nadliczbowych X i - stosujemy zapis macierzowy: [ F ] {X } { }={ } (3.27) [ F ] {X }= { } (3.28) gdzie {X} wetor szuanych sił nadliczbowych, [F] = [δi] - macierz podatności, {Δ} = [CP]- wetor wyrazów wolnych. Po przeniesieniu {Δ} na drugą stronę równania i podzieleniu obu stron równania przez [F] otrzymujemy: {X }= [ F ] { } (3.29) Jeżeli zapiszemy, że [ F ] =[ i ], to wzór ogólny na -tą niewiadomą przyjmie postać: X = C P 2 C 2 P, C, P C P, C, P (3.3) gdzie C jp = -6EJ oδ jp, przy czym należy zaznaczyć, że w przypadu gdy siła jednostowa porusza się w obrębie przęsła (-,), tylo dwa wyrazy CjP są niezerowe: C, P = 6 EJ o, P = l l ' ' (3.3) C, P = 6 EJ o, P = l l ' (3.32) Wobec powyższego funcja nadliczbowej X w ażdym przęśle ma inną postać wyznaczoną w oparciu o dwa człony wyrażenia (3.3).

10 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Linia wpływu nadliczbowej niewiadomej X przebiega następująco: Rys Linia wpływu nadliczbowej niewiadomej X lw X Widać z rysunu, że linia wpływu przestała być prostoreślna (ja w przypadu linii wpływu w uładach statycznie wyznaczalnych), jest natomiast rzywą trzeciego stopnia Linie wpływu sił wewnętrznych w belach wieloprzęsłowych statycznie niewyznaczalnych. Niech dana będzie bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna, obciążona poruszającą się siłą jednostową. P= - l - l Rys Przerój - w belce wieloprzęsłowej W poprzednim puncie wyznaczyliśmy już linie wpływu wszystich wielości nadliczbowych X i. Do wyznaczenia linii wpływu sił wewnętrznych posłużymy się zasadą superpozycji: n S n =S o S i X i (3.33) i gdzie: S wielość siły uogólnionej w uładzie statycznie niewyznaczalnym, S (o) - wielość siły uogólnionej w uładzie stycznie wyznaczalnym, S (i) - wielość siły uogólnionej w stanie X i =. Zasada superpozycji dla linii wpływu sił uogólnionych zastanie zapisana w następujący sposób:

11 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE lw S n =lw S o S i lwx i (3.34) i Wobec tego linia wpływu momentu w przeroju - w uładzie statycznie niewyznaczalnym wynosi: n lw M n =lw M o i M lwx i (3.35) i gdzie: lw M o linia wpływu momentu w przeroju - beli w uładzie podstawowym (statycznie wyznaczalnym), M i wartość momentu zginającego w przeroju - w stanie X i =. Rozpocznijmy od wyznaczenia linii wpływu momentu w przeroju - beli w uładzie podstawowym od wędrującej siły jedynowej. Dla uładu podstawowego moment w przeroju - będzie różny od zera, wtedy gdy siła poruszająca się obciąża przęsło (-,),w tórym zloalizowany jest przerój -. - P= ' O l O ' l - ( ) l lw M (o) Rys Linia wpływu momentu w przeroju w uładzie podstawowym Następnie oreślmy wartości M i, czyli wartości momentu zginającego w przeroju -, gdy uład podstawowy będzie obciążony olejno siłami X i =. Spośród wszystich wartości M i tylo dwie są niezerowe:

12 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE M -2 M ( -) M - M () M M Rys Wartości momentów M (i) w stanach jednostowych gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem jednostowym X- = (obciążenie stacjonarne) przy lewej podporze, ' X - = - l l l M ( -) Rys Moment M (-) przy obciążeniu lewej podpory przęsła siłą uogólnioną X - = wtedy: M = ' l (3.36) oraz gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem jednostowym X = (obciążenie stacjonarne) przy prawej podporze,

13 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 l - l ' l X = M () Rys Moment M () przy obciążeniu prawej podpory przęsła siłą uogólnioną X = wtedy: M = l (3.37) Podstawiając wyprowadzone wielości, otrzymujemy wzór ostateczny linii wpływu momentu w przeroju - (zloalizowanego w przęśle (i-,i)) beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej od wędrującej siły jedynowej P: lw M n =lw M o ' lw X l i lw X i l i (3.38) i Przebieg linii wpływu momentu zginającego w przeroju - dla uładu podstawowego i rzeczywistego przedstawiono na rys (o) lw M lw M Rys Linia wpływowa momentu zginającego w przeroju - Linia wpływu sił poprzecznych wyznaczymy analogicznie ja dla momentów zginających. Zapiszemy, zgodnie z zasadą superpozycji:

14 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 4 n lwt n =lwt o i T lwx i (3.39) i Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju - w uładzie podstawowym ogranicza się do przęsła, w tórym występuje przerój. - P= ' - l (o) O O lwt - l Rys Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju dla uładu podstawowego i Wartości siły poprzecznej T będą niezerowe, podobnie ja dla momentów, tylo w dwóch przypadach: gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem przy lewej podporze (rys. 3.9). T = l (3.4) oraz gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem przy prawej podporze (rys. 3.2). T = l (3.4) po podstawieniu powyższych wartości do wzoru (3.39) otrzymujemy: lw T n =lwt o l i lw X i l i lw X i (3.42) Przebieg linii wpływu siły poprzecznej w uładzie podstawowym i rzeczywistym ilustruje rys

15 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 5 P= - (o) O O lw T lw T Rys Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju 3.4 Linie wpływu reacji beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej. Taże w tym przypadu wyorzystamy zasadę superpozycji: n lw R n r =lw R o r i R r i lwx i (3.43) o Linia wpływu reacji w podporze w uładzie podstawowym R przęsła. swym zaresem obejmuje dwa P= - R l l (o) O O lw R - l l Wartości reacji R i będą niezerowe w trzech przypadach (w trzech stanach jednostowych): Pierwszy przypade przyładamy obciążenie jednostowe w puncie -:

16 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 6 X - = - R ( -) l l Rys Reacja w podporze w stanie X - = wtedy: R = l (3.44) Drugi przypade obciążenia jednostowe w podporze : X = - R () l l Rys Reacja w podporze w stanie X = wtedy: R = l l (3.45) Trzeci przypade obciążenie jednostowe w podporze : X = - R () l l Rys Reacja w podporze w stanie X =

17 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 7 wtedy: R = l (3.46) Po podstawieniu otrzymujemy ostateczny wzór na linie wpływu reacji w podporze beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej: lw R n i =lwr o i lw X l i i l i l i lw X i lwx l i (3.47) i Przebieg linii wpływu reacji (dla beli bez podpór sprężystych) przedstawiono poniżej: - R lw R (o) lw R Rys Linia wpływu reacji w podporze Zadanie Dla beli ciągłej przedstawionej na (rys. 3.29) wyznaczyć linie wpływowe momentów i reacji podporowych oraz momentu zginającego i siły poprzecznej w zaznaczonym przeroju. 7 A P = B C D E F,2 J J J J J Rys Bela ciągła

18 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 8 Sztywność porównawcza beli wynosi EJo, natomiast sztywność podpory sprężystej: = 5 EJ m 3 Rzędne linii wpływowych będą wyznaczone z doładnością co, m. Linie wpływowe w belach ciągłych statycznie niewyznaczalnych oblicza się zgodnie z wzorem superpozycyjnym: S n =S o S X i= X i (3.48) i gdzie: S wartość w uładzie niewyznaczalnym S o wartość w uładzie wyznaczalnym S Xi= wartość w stanie Xi = Uład jest jeden raz statycznie niewyznaczalny (SSN = ) W celu rozwiązania przyjmujemy uład podstawowy: P = X Rys Uład podstawowy Równanie anoniczne wyraża warune inematycznej zgodności. B = X P = (3.49) Przy obliczaniu wartości δ ij orzystamy z równania pracy wirtualnej uwzględniającego prace momentów zginających i reacji w podporach sprężystych. ij = M i M j EJ d R i R j (3.5)

19 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 9 W celu obliczenia przemieszczenia δ, wyonuję wyres momentów od siły jednostowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X Stan od obciążenia X = X = M Rys Stan od obciążenia X = Wyorzystując wzór (3.5) otrzymujemy: =,2 EJ EJ EJ = 4,9 6 EJ Zamiast obliczać przemieszczenie w danym puncie od poruszającej się siły P =, sorzystamy z twierdzenia Mawella i obliczymy przemieszczenia pionowe P puntu, nad tórym stanie siła P od założonej, nieruchomej siły X =. Ponieważ położenie siły P zmienia się funcja P jest linią ugięcia P = P = y (3.5) Aby obliczyć δ P() należy znaleźć linie ugięcia w ażdym z przedziałów orzystając z równania różniczowego linii ugięcia: EJ d 2 y i d i 2 = M i (3.52) gdzie y i, i to funcja ugięcia i współrzędna puntu w i-tym przedziale. Wyznaczamy linie ugięcia dla poszczególnych przedziałów (odcinów) beli:

20 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 przedział AB Przyjmujemy uład współrzędnych w zaczepiony w A A X = B M( )= Rys Schemat beli w przedziale AB Moment zginający w przeroju odległym o od A wynosi M ( ) = /. Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y,2 EJ d = 2 dy EJ = 2 d 2 2 C EJ y = C D (3.53) Waruni brzegowe dla przedziału AB: = y = = y = (3.54) Pozwalają wyznaczyć wartości stałych całowania D = C = 25 8 (3.55) Po podstawieniu wartości (3.55) do równania (3.53) otrzymujemy równanie linii ugięcia na odcinu AB: odcine BC y = EJ (3.56)

21 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 B 6 2 X = M( 2 )=- 2 6 C 6 6 Rys Schemat beli w przedziale BC Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y EJ 2 d = dy EJ 2 = 2 d C 2 2 EJ y 2 = C D (3.57) Waruni brzegowe dla przedziału BC mają następującą postać: 2 = y 2 = 2 =6 y 2 = R = 6 EJ 5 = 5 6 EJ (3.58) Po podstawieniu warunów brzegowych do równań (3.57) otrzymujemy: D 2 = C 2 = (3.59) Wartości (3.59) wstawione do równania (3.57) prowadzą do funcji linii ugięcia na odcinu BC : i ąta obrotu przeroju y 2 = EJ (3.6) 2 = EJ (3.6)

22 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 22 odcine CD C 6 3 D Rys Schemat beli w przedziale CD 8 Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y EJ 3 d = 2 3 EJ dy 3 d 3 =EJ 3 =C 3 EJ y 3 =C 3 3 D 3 (3.62) Ja wcześniej ustalono przemieszczenie w podporze sprężystej wynosi 3 = y 3 = 5 6 EJ (3.63) Natomiast ąt obrotu przeroju nad podporą jest tai sam z lewej i prawej strony 2 2 =6 = 3 3 = (3.64) obliczamy ąt dla lewego przedziału EJ 2 2 =6 = = 3 36 (3.65) i przyrównujemy do funcji z prawej strony EJ 3 3 = =C 3 (3.66) Ostatecznie otrzymujemy:

23 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 23 D 3 = 5 6 C 3 = 3 36 (3.67) Po ich wyorzystaniu otrzymujemy równanie linii ugięcia na odcinu CD: y 3 = EJ (3.68) odcine DE 4 D E 3 Rys Schemat beli w przedziale DE Również w tym przedziale moment w stanie X = wynosi zero. Podobnie ja poprzednio prowadzimy przeształcenia d 2 y EJ 4 d = 2 4 EJ dy 4 d 4 =C 4 EJ y 4 =C 4 4 D 4 (3.69) Przemieszczenie pionowe puntu D wyznaczone w przedziale CD musi być tai same ja w przedziale DE. y 3 3 =8 = y 4 4 = (3.7) Dla przedziału CD mamy EJ y 3 3 =8 = = 9 8 (3.7) a dla DE wynosi EJ y 4 4 = =D 4 (3.72)

24 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 24 w puncie E jest podpora więc dla 4 =3 y 4 = (3.73) Z powyższych zależności otrzymujemy D 4 = 9 8 C 4 = 9 54 (3.74) i dalej: y 4 = EJ (3.75) odcine EF E 5 F 3 Rys Schemat beli w przedziale EF Moment w stanie X wynosi dla przedziału EF. d 2 y EJ 5 d = 2 5 EJ dy 5 d 5 =C 5 EJ y 5 =C 5 5 D 5 (3.76) waruni brzegowe dotyczą podpory w puncie E. Przemieszczenie jest równe zero 5 = y 5 = (3.77)

25 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 25 a ąt obrotu tai sam nad podporą liczony z lewej i z prawej strony: 4 4 =3 = 5 5 = (3.78) z lewej strony już znamy wartość EJ 4 4 =3 = 9 54 (3.79) z prawej strony musimy wyznaczyć EJ 5 5 = =C 5 (3.8) Po podstawieniu otrzymujemy: D 5 = C 5 = 9 54 (3.8) Ostatecznie równanie linii ugięcia na odcinu EF ma postać : y 5 = EJ (3.82) Znając równania linii ugięcia beli można obliczyć linię wpływu X. Z równania anonicznego wyznaczamy funcję X = P Obliczenia zestawiono w (tab. 3.). Aby uzysać wyres funcji, prościej jest policzyć wartości P, a potem X np. co metr.

26 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 26 X (),6,8,356,53,76,88,56,232,82,4 _ -,28 -,542 -,77 -,949 -,59 -,85 -,8 -,84 -,483 -,339 -,58 -,542 -,475 -,339 -,69 -,44 -,82 -, Rys Linia wpływu momentu X () Linie wpływu reacji podporowych oraz momentu zginającego i siły poprzecznej w przeroju obliczymy ze wzoru (3.48) Wyznaczenie linii wpływu R A () Ponieważ R A X = = [ ] to: R A =R A X (3.83) Natomiast R A, oznacza linię wpływu reacji R A w uładzie podstawowym występującą w pierwszym przedziale i opisaną funcją. R A () [ - ] Rys Linia wpływu R A () Obliczenia dla R A zestawiono w (tab. 3.) a wyres przedstawiono na rys

27 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 27,,872,746,623,55,394,292,99,9,52 _ -,34 -,5 -,54 -,47 -,34 -,7,,8,36,53,7,88,6,23,82,4 _ -,4 -,82 -,23 R A () [ - ] Rys Linia wpływu R A () Wyznaczenie linii wpływu RB () Reacja R B w stanie X = wynosi 4/5 i jest sierowana w dół. Wobec tego: R n B =R B 4 5 X (3.84) Linia wpływu R B w uładzie podstawowym opisana jest różnymi funcjami w poszczególnych przedziałach (rys. 3.4). R B () [ - ] _ Rys Linia wpływu R B () Wartości RB () obliczono w tabeli 3. i zaznaczono na rys. 3.4.

28 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 28,75,345,56,653,782,889,969,7,29,,924,82,645,46,257,45 _,554,8,662 -,68 -,382 -,595 -,88 -,22 -,235 -,448 -,662 -,8 -,554 R B () [ - ] Rys Linia wpływu R B () Wyznaczenie linii wpływu R C () dla X = reacja R C wynosi /6 Linię wpływu reacji RC w uładzie podstawowym przedstawiono na rys R C () [ - ] _ Rys Linia wpływu R C () a w uładzie niewyznaczalnym na rys

29 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 29 _,,249,4,588,777,972,68,363,559,755,95 -,47 -,9 -,29 -,58 -,77 -,8 -,68 -,36 -,8 2,47 2,343 2,539,692,846 _ -,846 -,692-2,539 R C () [ - ] Rys Linia wpływu R C () Wyznaczenie linii wpływu R D () ponieważ RD(X=) = [-] to: R D n =R D R D () [ - ],333,667,,333,667 2, Rys Linia wpływu R D ()=R D () Wyznaczenie linii wpływu M Korzystając z zależności (3.48) możemy zapisać: M =M M X = X (3.85) Moment w przeroju - w stanie X = wynosi:

30 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 M, Rys Wyres momentów dla X = Natomiast linia wpływu M w uładzie podstawowym jest różna od zera tylo w przedziale A-B , , M () Rys Linia wpływu M () Obliczenia M n zestawiono w (tab. 3.),4,22,36,536,758,4,394,83,362 _,4,27,249,372,494,67,74,862,575,287 _ -,237 -,356 -,38 -,332 -,237 -,9 -,287 -,575 -,862 M () [ m ] Rys Linia wpływu M () Wyznaczenie linii wpływu T() T =T T X = X (3.86) gdzie: T(X = ) oznacza wartość siły poprzecznej w przeroju - od siły X = T oznacza linię wpływu siły poprzecznej T od siły P = w uładzie podstawowym.

31 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 Na rys przedstawiono wyres sił poprzecznych w stanie X =. Ponieważ w przedziale AB wartość siły tnącej jest stała to: T [ - ] - 6 _ Rys Wyres sił tnących dla X = T(X = ) =, [-] Najpierw wyznaczono linię wpływu w uładzie podstawowym - -,7 _ T () [ - ],3, Rys Linia wpływu T () A następnie obliczono T n -,28 -,254 -,377 -,495 -,66 -,78 -,8 _,99,99,52 _ -,34 -,5 -,54 -,47 -,34 -,7,,8,36,53,7,88,6,23,82,4 _ -,4 -,82 -,23 T () [ - ] Rys Linia wpływu T ()

32 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 32 Tabela 3.. Zestawienie obliczeń dla olejnych puntów beli δ P() X () R A () R A () R B () R B () R C () R C () M () M () T () T (),,38 2 2,67 3 3,79 4 4,67 5 5,2 6 5,33 7 4,96 7 4,96 8 4, 9 2,38,,,67 2 2,5 3 2,67 4 2,33 5,67 6,83 6,83 7 -,3 8 -,89 9 -,75 2-2,6 2-3, , ,9 24-6,6 24-6,6 25-4,4 26-2,2 27, 27, 28 2,2 29 4,4 3 6,6,,,,,, -,28,9,872,,75, -,47,3,4 -, -,28 -,542,8,746,2,345, -,9,6,22 -,2 -,254 -,77,7,623,3,56, -,29,9,36 -,3 -,377 -,949,6,55,4,653, -,58,2,536 -,4 -,495 -,59,5,394,5,782, -,77,5,758 -,5 -,66 -,85,4,292,6,889, -,8,8,4 -,6 -,78 -,8,3,99,7,969, -,68 2,,394 -,7 -,8 -,8,3,99,7,969, -,68 2,,394,3,99 -,84,2,9,8,7, -,36,4,83,2,9 -,483,,2,9,29, -,8,7,362,,52,,,,,,,,,,,, -,339, -,34,83,924,,, -,237, -,34 -,58, -,5,67,82,33,249, -,356, -,5 -,542, -,54,5,645,5,4, -,38, -,54 -,475, -,47,33,46,67,588, -,332, -,47 -,339, -,34,7,257,83,777, -,237, -,34 -,69, -,7,,45,,972, -,9, -,7 -,69, -,7,,45,,972, -,9, -,7,6,, -,7 -,68,7,68,,4,,,8,,8 -,33 -,382,33,363,,27,,8,356,,36 -,5 -,595,5,559,,249,,36,53,,53 -,67 -,88,67,755,,372,,53,76,,7 -,83 -,22,83,95,,494,,7,88,,88 -, -,235 2, 2,47,,67,,88,56,,6 -,7 -,448 2,7 2,343,,74,,6,232,,23 -,33 -,662 2,33 2,539,,862,,23,232,,23 -,33 -,662 2,33 2,539,,862,,23,82,4 -,4 -,82 -,232,,,,,,,,82,4 -,4 -,82 -,23 -,89 -,44,,,44,89,33 -,8 -,554,554,8,662,56,78,, -,78 -,56-2,33,692,846 -,846 -,692-2,539,,,,,,,,575,287 -,287 -,575 -,862,,82,,4,,, -,4, -,82,,23

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy

Bardziej szczegółowo

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów. 2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 3 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopieo statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 3 OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ OD OSIADANIA PODPÓR I TEMPERATURY

ĆWICZENIE NR 3 OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ OD OSIADANIA PODPÓR I TEMPERATURY zęść OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ 1 POLITEHNIK POZNŃSK INSTYTUT KONSTRUKJI UOWLNYH ZKŁ MEHNIKI UOWLI ĆWIZENIE NR 3 OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ O OSINI POPÓR I TEMPERTURY

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

Bardziej szczegółowo

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Belka Gerbera Poradnik krok po kroku mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Odrobina teorii Belki Gerbera: - układy jednowymiarowe (wiodąca cecha geometryczna: długość) -belki o liczbie reakcji >3 - występują w

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera Wyznaczenie reakcji w elkach erbera Sposób obliczania: by policzyć elkę erbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach uzyskując pojedyncze belki by móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,

Bardziej szczegółowo

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek Wprowadzenie nr 2* do ćwiczeń z przedmiotu Wytrzymałość materiałów dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku Energetyka na wydz. Energetyki i Paliw w semestrze zimowym 2012/2013 1.Zakres

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej

Bardziej szczegółowo

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 1 8. 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie

Bardziej szczegółowo

Moduł. Belka stalowa

Moduł. Belka stalowa Moduł Belka stalowa 410-1 Spis treści 410. BELKA STALOWA...3 410.1. WIADOMOŚCI OGÓLNE...3 410.1.1. Opis programu...3 410.1.2. Zakres programu...3 410.1.3. O pis podstawowych funkcji programu...3 410.1.3.1.

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns)

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns) WIERZBICKI JĘDRZEJ 4 (ns) CZĘŚĆ 1a BELKA 1. Zadanie Przeprowadzić analizę kinematyczną oraz wyznaczyć reakcje w więzach belki, danej schematem przedstawionym na rys. 1. Wymiary oraz obciążenia przyjąć

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI

Bardziej szczegółowo

Zginanie proste belek

Zginanie proste belek Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach

Bardziej szczegółowo

Analiza nośności poziomej pojedynczego pala

Analiza nośności poziomej pojedynczego pala Poradni Inżyniera Nr 16 Atualizacja: 09/016 Analiza nośności poziomej pojedynczego pala Program: Pli powiązany: Pal Demo_manual_16.gpi Celem niniejszego przewodnia jest przedstawienie wyorzystania programu

Bardziej szczegółowo

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania:

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania: Filtracja to zjawiso przepływu płynu przez ośrode porowaty (np. wody przez grunt). W więszości przypadów przepływ odbywa się ruchem laminarnym, wyjątiem może być przepływ przez połady grubego żwiru lub

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Stropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie

Stropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie Stropy TERIVA obciążone równomiernie sprawdza się przez porównanie obciążeń działających na strop z podanymi w tablicy 4. Jeżeli na strop działa inny układ obciążeń lub jeżeli strop pracuje w innym układzie

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

1. Projekt techniczny Podciągu

1. Projekt techniczny Podciągu 1. Projekt techniczny Podciągu Podciąg jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla żeber. Jest to główny element stropu najczęściej ślinie bądź średnio obciążony ciężarem własnym oraz reakcjami

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 1.1. Płaskie układy tarcz sztywnych naliza kinematyczna służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być konstrukcją budowlaną. Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej

Bardziej szczegółowo

1. RACHUNEK WEKTOROWY

1. RACHUNEK WEKTOROWY 1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

Moduł. Blachownica stalowa

Moduł. Blachownica stalowa Moduł Blachownica stalowa 412-1 Spis treści 412. BLACHOWNICA STALOWA...3 412.1. WIADOMOŚCI OGÓLNE...3 412.1.1. Opis programu...3 412.1.2. Zakres programu...3 412.1.3. O pis podstawowych funkcji programu...4

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

Badanie ugięcia belki

Badanie ugięcia belki Badanie ugięcia belki Szczecin 2015 r Opracował : dr inż. Konrad Konowalski *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest: 1. Sprawdzenie doświadczalne ugięć belki obliczonych

Bardziej szczegółowo

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Część 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ

Część 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ Część 1 9. METOD SIŁ 1 9. 9. METOD SIŁ Metoda ił jet poobem rozwiązywania układów tatycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowadza ię ona do rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 5

Zadania do rozdziału 5 Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 2 WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE, I ROK Wykonał:

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu: Wykład 2. Kinematyka. Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie pochodnej funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej Opracowanie: Spis treści Strona 1. Cel badania 3 2. Opis stanowiska oraz modeli do badań 3 2.1. Modele do badań 3

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo