BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE"

Transkrypt

1 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym stopniu przez dobranie odpowiedniego schematu podstawowego oraz zastosowanie szczególnej postaci metody sił zwanej metodą trzech momentów. Rozważmy dowolnie obciążoną wieloprzęsłową belę statycznie niewyznaczalną. Rys. 3.. Bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna Najbardziej dogodnym schematem zastępczym (podstawowym), będzie schemat, w tórym przerwiemy ciągłość beli przez wprowadzenie przegubów nad podporami i przyjmiemy nadliczbowe niewiadome w postaci momentów podporowych. X -2 X EJ X - EJ X EJ 2 X l - l l l 2 Rys Schemat podstawowy Uwaga: przy ta dobranym uładzie podstawowym macierz podatności będzie macierzą pasmową. Rozważmy teraz dwa sąsiednie, dowolnie wybrane przęsła beli l oraz l, o różnej sztywności EJ, EJ, ale stałej na całej długości przęsła. Załóżmy taże jao wiodący wpływ momentów (wpływ sił normalnych i poprzecznych w belce zginanej jest zniomy).

2 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 X -2 X - X X X 2-2 l - - l l l 2 2 M dla X - = - M dla X = M dla X = M 2 dla X 2 = Rys Wyresy momentów w stanach jednostowych Uład równań anonicznych zapiszemy w postaci: n ij X j ip =, i=,2,..., n (3.) j= W celu otrzymania współczynniów -tego wiersza macierzy podatności, należy wyres momentów M mnożyć olejno przez pozostałe wyresy. Analizując wyresy momentów dla olejnych stanów obciążeń (rys. 3.3) łatwo zauważyć, że wyres M porywa się jedynie z dwoma sąsiednimi wyresami. Stąd tylo trzy współczynnii z indesem będą miały wartość różną od zera.,, =, = EJ,, = EJ 2 l 2 3 EJ,, =, = EJ 2 l 3 = l (3.2) 6 EJ 2 l 2 3 = 3 l l EJ EJ (3.3) 2 l 3 = l (3.4) 6 EJ Podstawiając otrzymane wartości i mnożąc przez 6 całe równanie anoniczne otrzymujemy: X l 2 X EJ l l EJ EJ X l 6 EJ P = (3.5) Mnożąc następnie równanie przez sztywność porównawczą EJ o uzysujemy równanie zwane równaniem trzech momentów (nazwa pochodzi stąd, że w tym równaniu występują trzy sąsiednie momenty podporowe):

3 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 X l ' 2 X l ' l ' X l ' = 6 EJ o P (3.6) gdzie: l ' =l EJ o EJ (3.7) jest długością sprowadzoną (długość zastępcza). Równanie trzech momentów na ońcach beli wieloprzęsłowej wymaga pewnej modyfiacji waruni brzegowe omówimy dla trzech przypadów zaończenia beli.. Przypade pierwszy - bela jest podparta na ońcu w sposób przegubowo przesuwny. 2 l l 2 Rys Przegubowo-przesuwne zaończenie beli Dla taiego zamocowania ońca belo moment w puncie jest równy, stad X o = i równie trzech momentów będzie sładało się tylo z trzech wyrazów. 2 X l ' l 2 ' X 2 l 2 ' = 6 EJ o P 2. Przypade drugi - bela z wolnym, nie podpartym ońcem: 2 3 l l 2 l 3 Rys Bela z przewieszeniem W tym przypadu na ońcu beli moment można łatwo wyznaczyć i wtedy M = M, X dla X =M dla 2 X l 2 ' 2 X 2 l 2 ' l 3 ' X 3 l 3 ' = 6 EJ o 2 P

4 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 4 3. Przypade trzeci utwierdzenie na początu beli 2 l l 2 Rys Utwierdzony począte beli Taą belę należy rozszerzyć o jedno przęsło wstecz, załadając równocześnie, że lo = 2 l l l 2 Rys Model zastępczy przy utwierdzeniu Tai zabieg doprowadzi do uzysania równania brzegowego w postaci: 2 X o l ' X l ' = 6 EJ o P (3.8) 3.2. Linie wpływu sił nadliczbowych X i bele wieloprzęsłowych Rozpatrzmy sytuację, w tórej obciążenie beli wieloprzęsłowej, statycznie niewyznaczalnej jest zmienne. P Rys Bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna Wyznaczanie w uładach statycznie niewyznaczalnych linii wpływu wielości statycznych lasyczną metodą sił, należy rozpocząć od wyznaczenia linii wpływu nadliczbowych niewiadomych X. Zmiennymi będą wyrazy wolne P i w onsewencji taże X przyjmą wartości zależne od położenia obciążenia. Problemem jest sposób wyznaczenia P przy obciążeniu poruszającym się po belce. Rozpocznijmy rozważania od rozwiązania tego problemu. Niech dana będzie bela wieloprzęsłowa, statycznie niewyznaczalna, po tórej porusza się siła P. Przyjmujemy uład podstawowy ja na rys. 3.2, wtedy P jest wzajemnym obrotem przeroju lewego i prawego przy podporze wywołany działaniem siły P.

5 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 5 P l l - - l Rys Uład podstawowy obciążony siłą poruszającą się Zatrzymajmy myślowo daną siłę P na jednym z przęseł (rys. 3.). P - l Rys. 3.. Siła P położona w danym przęśle (-,) Dla taiego, chwilowego położenia siły, wyres momentów wystąpi tylo w przęśle w tórym działa siła P. P M(P) O - O Rys. 3.. Wyres momentów od siły P położonej w przęśle (-,) Jeżeli założymy, że P = [-] możemy przejść na umowny zapis (wzajemny ąt obrotu jest równy podatności, tzn. przemieszczeniu od jednostowej siły): P = P (3.9) Na mocy twierdzenia Mawella wiadomo, że wzajemny ąt obrotu przeroju lewego i prawego przy przegubie jest równy: P = P (3.)

6 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 6 gdzie δp jest to przemieszczenie pionowe pod puntem przyłożenia siły P, wywołane działaniem momentu X = lub inaczej jest to linia ugięcia beli wywołana stałym momentem X =. Ugięcie to jet niezerowe tylo dla dwóch przęseł (-,) i (,). X = - δ P l l P δ P - l l Rys Linie ugięcia beli przy działaniu X i P Znajdźmy linię ugięcia beli w() wywołaną znanym momentem M() za pomocą całowania równania różniczowego. X = - EJ R - = l l w() M() Rys Momenty zginające w przęśle (-,) od przyłożonego momentu jednostowego Funcję ugiętej osi beli opisuje równanie różniczowe: EJ d 2 w d 2 = M (3.) Dla rozpatrywanej beli (rys. 3.3) moment M() jest opisywany funcją: M = l (3.2) Podstawiając równanie momentu do wzoru (3.) otrzymujemy:

7 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 7 EJ w' ' = l (3.3) Wprowadźmy bezwymiarową zmienną: = l (3.4) Druga pochodna funcji w(ξ) po zmiennej wynosi: d 2 w d 2 = d 2 w d 2 l 2 (3.5) Po podstawieniu (3.4) i (3.5) do (3.3) otrzymujemy równanie: EJ 2 2 l d w = d 2 EJ l 2 w' ' = (3.6) Otrzymaną funcję dwurotnie całujemy: EJ l w' = C (3.7) EJ l w = C D (3.8) A po podstawieniu warunów brzegowych w() = i w(l) = otrzymujemy wartości stałych: C= 6 D= W ten sposób uzysujemy funcję linii ugięcia beli l 2 w = 3 (3.9) 6 EJ

8 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 8 tóra jest poszuiwanym współczynniiem δp dla przęsła (-,) Krzywiznę ugiętej beli opisuje wzór: l 2 P = P =w = (3.2) 6 EJ = 3 (3.2) Wyres momentów MP od siły działającej w przęśle (-,) (rys. 3.) porywa się tylo z wyresami jednostowymi X= i X-= (rys. 3.3). Wobec tego dla dowolnego tylo P oraz -,P będą różne od. P mamy już wyznaczone, problemem teraz pozostaje wyznaczenie -,P = δ -,P = δ P,- (gdzie δ P,- jest przemieszczeniem pionowym pod siłą P wywołanym działaniem momentu supionego X-). X - = ξ ξ' δ P, - - l Rys Linia ugięcia beli od momentu jednostowego przyłożonego w puncie - Współczynni δp,- można wyznaczyć w analogiczny sposób co δp podstawiając jedynie do wyznaczonego wzoru (3.9) ξ' zamiast ξ. Otrzymamy wówczas równanie: l 2 P, = ' ' 3 (3.22) 6 EJ Po podstawieniu zależności ξ' = -ξ i uporządowaniu zapisu otrzymujemy: l 2 2 P, = [ 3 ]= l = l ' (3.23) 6 EJ 6 EJ 6 EJ 2 Funcję rzywizny opisuje wzór: ' = (3.24)

9 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 9 Uzysane funcje (3.2) i (3.22) trzeba wstawić do wzoru trzech momentów (3.6). Rozpiszemy występujące tam człony: 6 EJ o P = 6 EJ o l 2 3 = 6 EJ 6 EJ o l 2 = l 6 EJ l ' (3.25) 6 EJ o, P = l l ' ' (3.26) gdzie: l ' =l EJ o EJ Teraz możemy przejść do wyznaczenia nadliczbowych X i - stosujemy zapis macierzowy: [ F ] {X } { }={ } (3.27) [ F ] {X }= { } (3.28) gdzie {X} wetor szuanych sił nadliczbowych, [F] = [δi] - macierz podatności, {Δ} = [CP]- wetor wyrazów wolnych. Po przeniesieniu {Δ} na drugą stronę równania i podzieleniu obu stron równania przez [F] otrzymujemy: {X }= [ F ] { } (3.29) Jeżeli zapiszemy, że [ F ] =[ i ], to wzór ogólny na -tą niewiadomą przyjmie postać: X = C P 2 C 2 P, C, P C P, C, P (3.3) gdzie C jp = -6EJ oδ jp, przy czym należy zaznaczyć, że w przypadu gdy siła jednostowa porusza się w obrębie przęsła (-,), tylo dwa wyrazy CjP są niezerowe: C, P = 6 EJ o, P = l l ' ' (3.3) C, P = 6 EJ o, P = l l ' (3.32) Wobec powyższego funcja nadliczbowej X w ażdym przęśle ma inną postać wyznaczoną w oparciu o dwa człony wyrażenia (3.3).

10 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Linia wpływu nadliczbowej niewiadomej X przebiega następująco: Rys Linia wpływu nadliczbowej niewiadomej X lw X Widać z rysunu, że linia wpływu przestała być prostoreślna (ja w przypadu linii wpływu w uładach statycznie wyznaczalnych), jest natomiast rzywą trzeciego stopnia Linie wpływu sił wewnętrznych w belach wieloprzęsłowych statycznie niewyznaczalnych. Niech dana będzie bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna, obciążona poruszającą się siłą jednostową. P= - l - l Rys Przerój - w belce wieloprzęsłowej W poprzednim puncie wyznaczyliśmy już linie wpływu wszystich wielości nadliczbowych X i. Do wyznaczenia linii wpływu sił wewnętrznych posłużymy się zasadą superpozycji: n S n =S o S i X i (3.33) i gdzie: S wielość siły uogólnionej w uładzie statycznie niewyznaczalnym, S (o) - wielość siły uogólnionej w uładzie stycznie wyznaczalnym, S (i) - wielość siły uogólnionej w stanie X i =. Zasada superpozycji dla linii wpływu sił uogólnionych zastanie zapisana w następujący sposób:

11 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE lw S n =lw S o S i lwx i (3.34) i Wobec tego linia wpływu momentu w przeroju - w uładzie statycznie niewyznaczalnym wynosi: n lw M n =lw M o i M lwx i (3.35) i gdzie: lw M o linia wpływu momentu w przeroju - beli w uładzie podstawowym (statycznie wyznaczalnym), M i wartość momentu zginającego w przeroju - w stanie X i =. Rozpocznijmy od wyznaczenia linii wpływu momentu w przeroju - beli w uładzie podstawowym od wędrującej siły jedynowej. Dla uładu podstawowego moment w przeroju - będzie różny od zera, wtedy gdy siła poruszająca się obciąża przęsło (-,),w tórym zloalizowany jest przerój -. - P= ' O l O ' l - ( ) l lw M (o) Rys Linia wpływu momentu w przeroju w uładzie podstawowym Następnie oreślmy wartości M i, czyli wartości momentu zginającego w przeroju -, gdy uład podstawowy będzie obciążony olejno siłami X i =. Spośród wszystich wartości M i tylo dwie są niezerowe:

12 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE M -2 M ( -) M - M () M M Rys Wartości momentów M (i) w stanach jednostowych gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem jednostowym X- = (obciążenie stacjonarne) przy lewej podporze, ' X - = - l l l M ( -) Rys Moment M (-) przy obciążeniu lewej podpory przęsła siłą uogólnioną X - = wtedy: M = ' l (3.36) oraz gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem jednostowym X = (obciążenie stacjonarne) przy prawej podporze,

13 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 l - l ' l X = M () Rys Moment M () przy obciążeniu prawej podpory przęsła siłą uogólnioną X = wtedy: M = l (3.37) Podstawiając wyprowadzone wielości, otrzymujemy wzór ostateczny linii wpływu momentu w przeroju - (zloalizowanego w przęśle (i-,i)) beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej od wędrującej siły jedynowej P: lw M n =lw M o ' lw X l i lw X i l i (3.38) i Przebieg linii wpływu momentu zginającego w przeroju - dla uładu podstawowego i rzeczywistego przedstawiono na rys (o) lw M lw M Rys Linia wpływowa momentu zginającego w przeroju - Linia wpływu sił poprzecznych wyznaczymy analogicznie ja dla momentów zginających. Zapiszemy, zgodnie z zasadą superpozycji:

14 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 4 n lwt n =lwt o i T lwx i (3.39) i Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju - w uładzie podstawowym ogranicza się do przęsła, w tórym występuje przerój. - P= ' - l (o) O O lwt - l Rys Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju dla uładu podstawowego i Wartości siły poprzecznej T będą niezerowe, podobnie ja dla momentów, tylo w dwóch przypadach: gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem przy lewej podporze (rys. 3.9). T = l (3.4) oraz gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem przy prawej podporze (rys. 3.2). T = l (3.4) po podstawieniu powyższych wartości do wzoru (3.39) otrzymujemy: lw T n =lwt o l i lw X i l i lw X i (3.42) Przebieg linii wpływu siły poprzecznej w uładzie podstawowym i rzeczywistym ilustruje rys

15 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 5 P= - (o) O O lw T lw T Rys Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju 3.4 Linie wpływu reacji beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej. Taże w tym przypadu wyorzystamy zasadę superpozycji: n lw R n r =lw R o r i R r i lwx i (3.43) o Linia wpływu reacji w podporze w uładzie podstawowym R przęsła. swym zaresem obejmuje dwa P= - R l l (o) O O lw R - l l Wartości reacji R i będą niezerowe w trzech przypadach (w trzech stanach jednostowych): Pierwszy przypade przyładamy obciążenie jednostowe w puncie -:

16 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 6 X - = - R ( -) l l Rys Reacja w podporze w stanie X - = wtedy: R = l (3.44) Drugi przypade obciążenia jednostowe w podporze : X = - R () l l Rys Reacja w podporze w stanie X = wtedy: R = l l (3.45) Trzeci przypade obciążenie jednostowe w podporze : X = - R () l l Rys Reacja w podporze w stanie X =

17 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 7 wtedy: R = l (3.46) Po podstawieniu otrzymujemy ostateczny wzór na linie wpływu reacji w podporze beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej: lw R n i =lwr o i lw X l i i l i l i lw X i lwx l i (3.47) i Przebieg linii wpływu reacji (dla beli bez podpór sprężystych) przedstawiono poniżej: - R lw R (o) lw R Rys Linia wpływu reacji w podporze Zadanie Dla beli ciągłej przedstawionej na (rys. 3.29) wyznaczyć linie wpływowe momentów i reacji podporowych oraz momentu zginającego i siły poprzecznej w zaznaczonym przeroju. 7 A P = B C D E F,2 J J J J J Rys Bela ciągła

18 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 8 Sztywność porównawcza beli wynosi EJo, natomiast sztywność podpory sprężystej: = 5 EJ m 3 Rzędne linii wpływowych będą wyznaczone z doładnością co, m. Linie wpływowe w belach ciągłych statycznie niewyznaczalnych oblicza się zgodnie z wzorem superpozycyjnym: S n =S o S X i= X i (3.48) i gdzie: S wartość w uładzie niewyznaczalnym S o wartość w uładzie wyznaczalnym S Xi= wartość w stanie Xi = Uład jest jeden raz statycznie niewyznaczalny (SSN = ) W celu rozwiązania przyjmujemy uład podstawowy: P = X Rys Uład podstawowy Równanie anoniczne wyraża warune inematycznej zgodności. B = X P = (3.49) Przy obliczaniu wartości δ ij orzystamy z równania pracy wirtualnej uwzględniającego prace momentów zginających i reacji w podporach sprężystych. ij = M i M j EJ d R i R j (3.5)

19 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 9 W celu obliczenia przemieszczenia δ, wyonuję wyres momentów od siły jednostowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X Stan od obciążenia X = X = M Rys Stan od obciążenia X = Wyorzystując wzór (3.5) otrzymujemy: =,2 EJ EJ EJ = 4,9 6 EJ Zamiast obliczać przemieszczenie w danym puncie od poruszającej się siły P =, sorzystamy z twierdzenia Mawella i obliczymy przemieszczenia pionowe P puntu, nad tórym stanie siła P od założonej, nieruchomej siły X =. Ponieważ położenie siły P zmienia się funcja P jest linią ugięcia P = P = y (3.5) Aby obliczyć δ P() należy znaleźć linie ugięcia w ażdym z przedziałów orzystając z równania różniczowego linii ugięcia: EJ d 2 y i d i 2 = M i (3.52) gdzie y i, i to funcja ugięcia i współrzędna puntu w i-tym przedziale. Wyznaczamy linie ugięcia dla poszczególnych przedziałów (odcinów) beli:

20 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 przedział AB Przyjmujemy uład współrzędnych w zaczepiony w A A X = B M( )= Rys Schemat beli w przedziale AB Moment zginający w przeroju odległym o od A wynosi M ( ) = /. Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y,2 EJ d = 2 dy EJ = 2 d 2 2 C EJ y = C D (3.53) Waruni brzegowe dla przedziału AB: = y = = y = (3.54) Pozwalają wyznaczyć wartości stałych całowania D = C = 25 8 (3.55) Po podstawieniu wartości (3.55) do równania (3.53) otrzymujemy równanie linii ugięcia na odcinu AB: odcine BC y = EJ (3.56)

21 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 B 6 2 X = M( 2 )=- 2 6 C 6 6 Rys Schemat beli w przedziale BC Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y EJ 2 d = dy EJ 2 = 2 d C 2 2 EJ y 2 = C D (3.57) Waruni brzegowe dla przedziału BC mają następującą postać: 2 = y 2 = 2 =6 y 2 = R = 6 EJ 5 = 5 6 EJ (3.58) Po podstawieniu warunów brzegowych do równań (3.57) otrzymujemy: D 2 = C 2 = (3.59) Wartości (3.59) wstawione do równania (3.57) prowadzą do funcji linii ugięcia na odcinu BC : i ąta obrotu przeroju y 2 = EJ (3.6) 2 = EJ (3.6)

22 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 22 odcine CD C 6 3 D Rys Schemat beli w przedziale CD 8 Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y EJ 3 d = 2 3 EJ dy 3 d 3 =EJ 3 =C 3 EJ y 3 =C 3 3 D 3 (3.62) Ja wcześniej ustalono przemieszczenie w podporze sprężystej wynosi 3 = y 3 = 5 6 EJ (3.63) Natomiast ąt obrotu przeroju nad podporą jest tai sam z lewej i prawej strony 2 2 =6 = 3 3 = (3.64) obliczamy ąt dla lewego przedziału EJ 2 2 =6 = = 3 36 (3.65) i przyrównujemy do funcji z prawej strony EJ 3 3 = =C 3 (3.66) Ostatecznie otrzymujemy:

23 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 23 D 3 = 5 6 C 3 = 3 36 (3.67) Po ich wyorzystaniu otrzymujemy równanie linii ugięcia na odcinu CD: y 3 = EJ (3.68) odcine DE 4 D E 3 Rys Schemat beli w przedziale DE Również w tym przedziale moment w stanie X = wynosi zero. Podobnie ja poprzednio prowadzimy przeształcenia d 2 y EJ 4 d = 2 4 EJ dy 4 d 4 =C 4 EJ y 4 =C 4 4 D 4 (3.69) Przemieszczenie pionowe puntu D wyznaczone w przedziale CD musi być tai same ja w przedziale DE. y 3 3 =8 = y 4 4 = (3.7) Dla przedziału CD mamy EJ y 3 3 =8 = = 9 8 (3.7) a dla DE wynosi EJ y 4 4 = =D 4 (3.72)

24 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 24 w puncie E jest podpora więc dla 4 =3 y 4 = (3.73) Z powyższych zależności otrzymujemy D 4 = 9 8 C 4 = 9 54 (3.74) i dalej: y 4 = EJ (3.75) odcine EF E 5 F 3 Rys Schemat beli w przedziale EF Moment w stanie X wynosi dla przedziału EF. d 2 y EJ 5 d = 2 5 EJ dy 5 d 5 =C 5 EJ y 5 =C 5 5 D 5 (3.76) waruni brzegowe dotyczą podpory w puncie E. Przemieszczenie jest równe zero 5 = y 5 = (3.77)

25 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 25 a ąt obrotu tai sam nad podporą liczony z lewej i z prawej strony: 4 4 =3 = 5 5 = (3.78) z lewej strony już znamy wartość EJ 4 4 =3 = 9 54 (3.79) z prawej strony musimy wyznaczyć EJ 5 5 = =C 5 (3.8) Po podstawieniu otrzymujemy: D 5 = C 5 = 9 54 (3.8) Ostatecznie równanie linii ugięcia na odcinu EF ma postać : y 5 = EJ (3.82) Znając równania linii ugięcia beli można obliczyć linię wpływu X. Z równania anonicznego wyznaczamy funcję X = P Obliczenia zestawiono w (tab. 3.). Aby uzysać wyres funcji, prościej jest policzyć wartości P, a potem X np. co metr.

26 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 26 X (),6,8,356,53,76,88,56,232,82,4 _ -,28 -,542 -,77 -,949 -,59 -,85 -,8 -,84 -,483 -,339 -,58 -,542 -,475 -,339 -,69 -,44 -,82 -, Rys Linia wpływu momentu X () Linie wpływu reacji podporowych oraz momentu zginającego i siły poprzecznej w przeroju obliczymy ze wzoru (3.48) Wyznaczenie linii wpływu R A () Ponieważ R A X = = [ ] to: R A =R A X (3.83) Natomiast R A, oznacza linię wpływu reacji R A w uładzie podstawowym występującą w pierwszym przedziale i opisaną funcją. R A () [ - ] Rys Linia wpływu R A () Obliczenia dla R A zestawiono w (tab. 3.) a wyres przedstawiono na rys

27 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 27,,872,746,623,55,394,292,99,9,52 _ -,34 -,5 -,54 -,47 -,34 -,7,,8,36,53,7,88,6,23,82,4 _ -,4 -,82 -,23 R A () [ - ] Rys Linia wpływu R A () Wyznaczenie linii wpływu RB () Reacja R B w stanie X = wynosi 4/5 i jest sierowana w dół. Wobec tego: R n B =R B 4 5 X (3.84) Linia wpływu R B w uładzie podstawowym opisana jest różnymi funcjami w poszczególnych przedziałach (rys. 3.4). R B () [ - ] _ Rys Linia wpływu R B () Wartości RB () obliczono w tabeli 3. i zaznaczono na rys. 3.4.

28 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 28,75,345,56,653,782,889,969,7,29,,924,82,645,46,257,45 _,554,8,662 -,68 -,382 -,595 -,88 -,22 -,235 -,448 -,662 -,8 -,554 R B () [ - ] Rys Linia wpływu R B () Wyznaczenie linii wpływu R C () dla X = reacja R C wynosi /6 Linię wpływu reacji RC w uładzie podstawowym przedstawiono na rys R C () [ - ] _ Rys Linia wpływu R C () a w uładzie niewyznaczalnym na rys

29 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 29 _,,249,4,588,777,972,68,363,559,755,95 -,47 -,9 -,29 -,58 -,77 -,8 -,68 -,36 -,8 2,47 2,343 2,539,692,846 _ -,846 -,692-2,539 R C () [ - ] Rys Linia wpływu R C () Wyznaczenie linii wpływu R D () ponieważ RD(X=) = [-] to: R D n =R D R D () [ - ],333,667,,333,667 2, Rys Linia wpływu R D ()=R D () Wyznaczenie linii wpływu M Korzystając z zależności (3.48) możemy zapisać: M =M M X = X (3.85) Moment w przeroju - w stanie X = wynosi:

30 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 M, Rys Wyres momentów dla X = Natomiast linia wpływu M w uładzie podstawowym jest różna od zera tylo w przedziale A-B , , M () Rys Linia wpływu M () Obliczenia M n zestawiono w (tab. 3.),4,22,36,536,758,4,394,83,362 _,4,27,249,372,494,67,74,862,575,287 _ -,237 -,356 -,38 -,332 -,237 -,9 -,287 -,575 -,862 M () [ m ] Rys Linia wpływu M () Wyznaczenie linii wpływu T() T =T T X = X (3.86) gdzie: T(X = ) oznacza wartość siły poprzecznej w przeroju - od siły X = T oznacza linię wpływu siły poprzecznej T od siły P = w uładzie podstawowym.

31 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 Na rys przedstawiono wyres sił poprzecznych w stanie X =. Ponieważ w przedziale AB wartość siły tnącej jest stała to: T [ - ] - 6 _ Rys Wyres sił tnących dla X = T(X = ) =, [-] Najpierw wyznaczono linię wpływu w uładzie podstawowym - -,7 _ T () [ - ],3, Rys Linia wpływu T () A następnie obliczono T n -,28 -,254 -,377 -,495 -,66 -,78 -,8 _,99,99,52 _ -,34 -,5 -,54 -,47 -,34 -,7,,8,36,53,7,88,6,23,82,4 _ -,4 -,82 -,23 T () [ - ] Rys Linia wpływu T ()

32 Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 32 Tabela 3.. Zestawienie obliczeń dla olejnych puntów beli δ P() X () R A () R A () R B () R B () R C () R C () M () M () T () T (),,38 2 2,67 3 3,79 4 4,67 5 5,2 6 5,33 7 4,96 7 4,96 8 4, 9 2,38,,,67 2 2,5 3 2,67 4 2,33 5,67 6,83 6,83 7 -,3 8 -,89 9 -,75 2-2,6 2-3, , ,9 24-6,6 24-6,6 25-4,4 26-2,2 27, 27, 28 2,2 29 4,4 3 6,6,,,,,, -,28,9,872,,75, -,47,3,4 -, -,28 -,542,8,746,2,345, -,9,6,22 -,2 -,254 -,77,7,623,3,56, -,29,9,36 -,3 -,377 -,949,6,55,4,653, -,58,2,536 -,4 -,495 -,59,5,394,5,782, -,77,5,758 -,5 -,66 -,85,4,292,6,889, -,8,8,4 -,6 -,78 -,8,3,99,7,969, -,68 2,,394 -,7 -,8 -,8,3,99,7,969, -,68 2,,394,3,99 -,84,2,9,8,7, -,36,4,83,2,9 -,483,,2,9,29, -,8,7,362,,52,,,,,,,,,,,, -,339, -,34,83,924,,, -,237, -,34 -,58, -,5,67,82,33,249, -,356, -,5 -,542, -,54,5,645,5,4, -,38, -,54 -,475, -,47,33,46,67,588, -,332, -,47 -,339, -,34,7,257,83,777, -,237, -,34 -,69, -,7,,45,,972, -,9, -,7 -,69, -,7,,45,,972, -,9, -,7,6,, -,7 -,68,7,68,,4,,,8,,8 -,33 -,382,33,363,,27,,8,356,,36 -,5 -,595,5,559,,249,,36,53,,53 -,67 -,88,67,755,,372,,53,76,,7 -,83 -,22,83,95,,494,,7,88,,88 -, -,235 2, 2,47,,67,,88,56,,6 -,7 -,448 2,7 2,343,,74,,6,232,,23 -,33 -,662 2,33 2,539,,862,,23,232,,23 -,33 -,662 2,33 2,539,,862,,23,82,4 -,4 -,82 -,232,,,,,,,,82,4 -,4 -,82 -,23 -,89 -,44,,,44,89,33 -,8 -,554,554,8,662,56,78,, -,78 -,56-2,33,692,846 -,846 -,692-2,539,,,,,,,,575,287 -,287 -,575 -,862,,82,,4,,, -,4, -,82,,23

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 3 OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ OD OSIADANIA PODPÓR I TEMPERATURY

ĆWICZENIE NR 3 OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ OD OSIADANIA PODPÓR I TEMPERATURY zęść OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ 1 POLITEHNIK POZNŃSK INSTYTUT KONSTRUKJI UOWLNYH ZKŁ MEHNIKI UOWLI ĆWIZENIE NR 3 OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ O OSINI POPÓR I TEMPERTURY

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

Bardziej szczegółowo

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Belka Gerbera Poradnik krok po kroku mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Odrobina teorii Belki Gerbera: - układy jednowymiarowe (wiodąca cecha geometryczna: długość) -belki o liczbie reakcji >3 - występują w

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej

Bardziej szczegółowo

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania:

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania: Filtracja to zjawiso przepływu płynu przez ośrode porowaty (np. wody przez grunt). W więszości przypadów przepływ odbywa się ruchem laminarnym, wyjątiem może być przepływ przez połady grubego żwiru lub

Bardziej szczegółowo

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns)

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns) WIERZBICKI JĘDRZEJ 4 (ns) CZĘŚĆ 1a BELKA 1. Zadanie Przeprowadzić analizę kinematyczną oraz wyznaczyć reakcje w więzach belki, danej schematem przedstawionym na rys. 1. Wymiary oraz obciążenia przyjąć

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej Opracowanie: Spis treści Strona 1. Cel badania 3 2. Opis stanowiska oraz modeli do badań 3 2.1. Modele do badań 3

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału.

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału. Modele strutury apitału oszt apitału Optymalna strutura apitału dźwignia finansowa / Rys. 8.3. Krzywa osztów apitału. Założenia wspólne modeli MM Modigliani i Miller w swoich rozważaniach ograniczyli się

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH

TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH 1 Olga Kopac, Adam Łodygows, Wojcech Pawłows, Mchał Płotowa, Krystof Tymber Konsultacje nauowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Ponań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWI 7 ACH TWIERDZENIE BETTIEGO (o wajemnośc prac)

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

1. Dostosowanie paska narzędzi.

1. Dostosowanie paska narzędzi. 1. Dostosowanie paska narzędzi. 1.1. Wyświetlanie paska narzędzi Rysuj. Rys. 1. Pasek narzędzi Rysuj W celu wyświetlenia paska narzędzi Rysuj należy wybrać w menu: Widok Paski narzędzi Dostosuj... lub

Bardziej szczegółowo

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują

Bardziej szczegółowo

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk)

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk) Zaprojektować słup ramy hali o wymiarach i obciążeniach jak na rysunku. DANE DO ZADANIA: Rodzaj stali S235 tablica 3.1 PN-EN 1993-1-1 Rozstaw podłużny słupów 7,5 [m] Obciążenia zmienne: Śnieg 0,8 [kn/m

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Drgania harmoniczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Drgania harmoniczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Drgania haroniczne Projet współfinansowany przez Unię Europejsą w raach Europejsiego Funduszu Społecznego Drgania haroniczne O oscylatorze haroniczny ożey ówić wtedy, iedy siła haująca działa proporcjonalnie

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02

Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02 MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Anna Kusina Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2005

Bardziej szczegółowo

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne,

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne, sg M 6-1 - Teat: Prawo Hooe a. Oscylacje haroniczne. Zagadnienia: prawa dynaii Newtona, siła sprężysta, prawo Hooe a, oscylacje haroniczne, ores oscylacji. Koncepcja: Sprężyna obciążana różnyi asai wydłuża

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

prowadnice Prowadnice Wymagania i zasady obliczeń

prowadnice Prowadnice Wymagania i zasady obliczeń Prowadnice Wymagania i zasady obliczeń wg PN-EN 81-1 / 2 Wymagania podstawowe: - prowadzenie kabiny, przeciwwagi, masy równoważącej - odkształcenia w trakcie eksploatacji ograniczone by uniemożliwić: niezamierzone

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji może zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0

Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji może zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solow-Swan W modelu lasycznym mieliśmy do czynienia ze stałą wielością czynniów producji, a zatem był to model statyczny, tóry nie poazywał nam dlaczego

Bardziej szczegółowo

Poziom I-II Bieg schodowy 6 SZKIC SCHODÓW GEOMETRIA SCHODÓW

Poziom I-II Bieg schodowy 6 SZKIC SCHODÓW GEOMETRIA SCHODÓW Poziom I-II ieg schodowy SZKIC SCHODÓW 23 0 175 1,5 175 32 29,2 17,5 10x 17,5/29,2 1,5 GEOMETRI SCHODÓW 30 130 413 24 Wymiary schodów : Długość dolnego spocznika l s,d = 1,50 m Grubość płyty spocznika

Bardziej szczegółowo

Moduł stolika liniowego

Moduł stolika liniowego Podstawy Konstrucji Urządzeń Precyzyjnych Materiały pomocnicze do ćwiczeń projetowych część 1 Moduł stolia liniowego Presrypt opracował: dr inż. Wiesław Mościci Warszawa 2014 Materiały zawierają informacje

Bardziej szczegółowo

Stan graniczny użytkowalności wg PN-EN-1995

Stan graniczny użytkowalności wg PN-EN-1995 Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii ądowej i Środowiska Stan graniczny użytkowalności wg PN-EN-1995 Jerzy Bobiński Gdańsk, wersja 0.32 (2014) Ugięcie końcowe wynikowe w net,fin Składniki ugięcia: w

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Wpływ zamiany typów eletrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Grzegorz Barzy Paweł Szwed Instytut Eletrotechnii Politechnia Szczecińsa 1. Wstęp Ostatnie ila lat,

Bardziej szczegółowo

Katedra Silników Spalinowych i Pojazdów ATH ZAKŁAD TERMODYNAMIKI. Konwekcja wymuszona - 1 -

Katedra Silników Spalinowych i Pojazdów ATH ZAKŁAD TERMODYNAMIKI. Konwekcja wymuszona - 1 - Katedra Silniów Spalinowych i Pojazdów ATH ZAKŁAD TERMODYNAMIKI Konwecja wymuszona - - Wstęp Konwecją nazywamy wymianę ciepła pomiędzy powierzchnią ciała stałego przylegającym do niej płynem, w tórym występuje

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

, to niepewność sumy x

, to niepewność sumy x Wydział Fizyi UW (wersja instrucji 04.04a) Pracownia fizyczna i eletroniczna dla Inżynierii Nanostrutur oraz Energetyi i Chemii Jądrowej Ćwiczenie 6 Elementy testowania hipotez (z błędami złożonymi) oraz

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM MECANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM Ćwiczenie nr 4 Współpraca pompy z układem przewodów. Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyki pojedynczej pompy wirowej współpracującej z układem przewodów, przy różnych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM ZESP1 (12.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do analizy wytrzymałościowej belek stalowych współpracujących z płytą żelbetową. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE,

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1 Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

5. Zginanie ze ścinaniem

5. Zginanie ze ścinaniem 5. 1 5. Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego

Bardziej szczegółowo

2.1. Wyznaczenie nośności obliczeniowej przekroju przy jednokierunkowym zginaniu

2.1. Wyznaczenie nośności obliczeniowej przekroju przy jednokierunkowym zginaniu Obliczenia statyczne ekranu - 1 - dw nr 645 1. OBLICZENIE SŁUPA H = 4,00 m (wg PN-90/B-0300) wysokość słupa H 4 m rozstaw słupów l o 6.15 m 1.1. Obciążenia 1.1.1. Obciążenia poziome od wiatru ( wg PN-B-0011:1977.

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm. Tekst

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 5 płaszczyzna fazowa Poniższe ateriały tylo dla

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

PROJEKT I BUDOWA STANOWISKA DO POMIARÓW ODKSZTAŁCEŃ PROFILI ZE STOPÓW METALI NIEŻELAZNYCH

PROJEKT I BUDOWA STANOWISKA DO POMIARÓW ODKSZTAŁCEŃ PROFILI ZE STOPÓW METALI NIEŻELAZNYCH Mateusz Marzec, Seweryn Łapaj, Nicole Respondek, dr inż. Marcin Kubiak, dr inż. Tomasz Domański Politechnika Częstochowska, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki, Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Zakład Konstrukcji Żelbetowych SŁAWOMIR GUT. Nr albumu: 79983 Kierunek studiów: Budownictwo Studia I stopnia stacjonarne

Zakład Konstrukcji Żelbetowych SŁAWOMIR GUT. Nr albumu: 79983 Kierunek studiów: Budownictwo Studia I stopnia stacjonarne Zakład Konstrukcji Żelbetowych SŁAWOMIR GUT Nr albumu: 79983 Kierunek studiów: Budownictwo Studia I stopnia stacjonarne PROJEKT WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI ŻELBETOWEJ BUDYNKU BIUROWEGO DESIGN FOR SELECTED

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Zagadnienia: spektroskopia emisyjna, budowa i działanie spektrofluorymetru, widma. Wstęp. Część teoretyczna.

Ćwiczenie 4. Zagadnienia: spektroskopia emisyjna, budowa i działanie spektrofluorymetru, widma. Wstęp. Część teoretyczna. Ćwiczenie 4 Wyznaczanie wydajności wantowej emisji. Wpływ długości fali wzbudzenia oraz ształtu uweti i jej ustawienia na intensywność emisji i na udział filtru wewnętrznego. Zagadnienia: spetrosopia emisyjna,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowych Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie

Bardziej szczegółowo