METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH

Transkrypt

1 RAFAŁ PALEJ, RENATA FILIPOWSKA METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH APPLICATION OF THE SHOOTING METHOD TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN EXCESSIVE NUMBER OF BOUNDARY CONDITIONS Streszczene Abstract W artykule przedstawono sposób zastosowana metody strzałów do rozwązywana nelnowego zagadnena brzegowego z nadmarową lczbą warunków brzegowych. W tego typu zagadnenach metoda strzałów wymaga wyznaczena welomanów nterpolacyjnych, których lczba rośne wykładnczo wraz ze wzrostem lczby nadwyżkowych warunków brzegowych. Ogólne można stwerdzć, że metoda strzałów zastosowana do zagadnena brzegowego z nadmarową lczbą warunków brzegowych polega na sukcesywnym obnżanu lczby parametrów podlegających wyznaczenu. Słowa kluczowe: nelnowe zagadnene brzegowe, metoda strzałów The paper deals wth the applcaton of the shootng method to a nonlnear boundary value problem wth an excessve number of boundary condtons. The shootng method appled to such a problem requres the establshng of nterpolaton polynomals, the number of whch s exponentally dependent on the number of excessve boundary condtons. In general, the applcaton of the shootng method to a nonlnear boundary value problem wth an excessve number of boundary condtons depends on successve lowerng of the number of unknown parameters. Keywords: nonlnear boundary value problem, shootng method Dr hab. nż. Rafał Palej, prof. PK, mgr nż. Renata Flpowska, Instytut Informatyk Stosowanej, Wydzał Mechanczny, Poltechnka Krakowska.

2 4. Wstęp Idea metody strzałów polega na zastąpenu zagadnena brzegowego zagadnenem początkowym (o neznanym parametrze) klkakrotnym rozwązanu go w celu ustalena takej wartośc tego parametru, dla której rozwązane zagadnena początkowego będze odpowadać rozwązanu zagadnena brzegowego. Zagadnene początkowe można rozwązywać w sposób teracyjny, zblżając sę do poszukwanej wartośc parametru za pomocą równań waracyjnych opsujących wrażlwość rozwązana na wartość wprowadzonego parametru []. Można też ostrzelać pożądany wynk metodą prób błędów, by wyznaczyć poszukwaną wartość wprowadzonego parametru po wcześnejszym wyznaczenu welomanu nterpolacyjnego, operając sę na uzyskanych wynkach [, 3]. Metodę strzałów można stosować zarówno do lnowych, jak nelnowych zagadneń brzegowych. Z reguły lczba warunków brzegowych odpowada rzędow równana różnczkowego. W artykule przedstawono sposób zastosowana metody strzałów do rozwązana nelnowego zagadnena brzegowego w przypadku, gdy lczba warunków brzegowych jest wększa od rzędu równana różnczkowego.. Sformułowane zagadnena Problem dotyczy zagadnena punktu materalnego poruszającego sę po gładkej krzywej w jednorodnym polu grawtacyjnym w próżn (rys. ). h y n B A β h N γ C α d Rys.. Grafczna lustracja zagadnena Fg.. A graphc llustraton of the problem Zagadnene brzegowe składa sę z nelnowego równana różnczkowego opsującego zwązek pomędzy zarysem krzywej płaskej a jej reakcją normalną oraz różnym zestawam warunków brzegowych. Równane różnczkowe, o którym mowa, wyprowadza sę na podstawe drugego prawa Newtona, zasady zachowana energ, wyrażena opsującego promeń krzywzny oraz zwązku wynkającego z geometrycznej nterpretacj pochodnej. Reakcja normalna N (rys. ) występująca podczas ruchu punktu materalnego po krzywej o równanu y(x) zwązana jest z zarysem tej krzywej jej pochodnym następującym zwązkem [4] h+ h y( x) N( x) = G + G y ( x) () 3 [ ( )] + [ y ( x)] + y x { } { } G x

3 5 Wprowadzając welkośc bezwymarowe, równane to przyjme postać η + η ψ ( ) ν ( ) = + ψ ( ) () 3 { [ ( )] } + ψ { [ ( )] } + ψ gdze: N ν = bezwymarowa reakcja normalna, G h η = bezwymarowa wysokość punktu B, d h η = d bezwymarowa wysokość punktu A nad punktem B, x = d bezwymarowa współrzędna nezależna, y ψ = d bezwymarowa współrzędna zależna. Elmnując z równana () ψ ( ), otrzymamy nelnowe równane różnczkowe ze względu na poszukwany zarys krzywej ψ () { + [ ψ ( )] } ν( ) [ ψ ( )] ψ ( ) = (3) [ η + η ψ ( ) ] W równanu tym reakcja normalna ν () ne ma sprecyzowanego zapsu. Jej postać zwązana jest z lczbą warunków brzegowych, jake można sformułować dla omawanego zagadnena. Ponżej przedstawone zostaną różne waranty zagadnena brzegowego, począwszy od klasycznego zawerającego dwa warunk brzegowe, a skończywszy na zagadnenu zawerającym pęć warunków brzegowych. Każdy z omawanych warantów będze rozwązany metodą strzałów Zagadnene brzegowe z dwoma warunkam brzegowym Aby poszukwane rozwązane równana (3) przechodzło przez punkty B C, muszą być spełnone następujące warunk brzegowe ψ () = (4) ψ () = η Mamy zatem do czynena z klasycznym zagadnenem brzegowym, w którym lczba warunków brzegowych odpowada rzędow równana różnczkowego. Zagadnene to da sę rozwązać przy założenu, że funkcja ν( ) ma zadaną postać. W metodze strzałów zastępujemy zestaw warunków brzegowych (4) zestawem warunków początkowych w postac ψ () = (5) ψ () = p gdze p jest neznanym parametrem.

4 6 Rozwązując klkakrotne zagadnene początkowe dla takch wartośc p, by rozwązane na prawym brzegu ψ () przyjmowało wartośc blske P = η, można sporządzć weloman nterpolacyjny P( p ), operając sę na uzyskanych wynkach. Rozwązując odwrotne zagadnene nterpolacj, polegające na znalezenu perwastka równana P( p), można wyznaczyć poszukwaną wartość p, dla której ψ () = η. Przyjęce ν( ) = const oznacza, że poszukwana krzywa cechować sę będze stałą reakcją normalną podczas ruchu punktu materalnego. Dla danych lczbowych: η = =, , η =, ν() =, poszukwana wartość p wynos,3574. Wykres rozwązana zagadnena brzegowego oraz reakcj normalnej zameszczono na rys.. η ψ ν Rys.. Wykres rozwązana zagadnena brzegowego reakcj normalnej Fg.. The soluton of boundary value problem and the normal reacton force 4. Zagadnene brzegowe z trzema warunkam brzegowym Aby rozwązane równana (3) przechodzło przez punkty B C, a dodatkowo styczna do wykresu była nachylona do os w punkce C pod kątem α, muszą być spełnone następujące warunk brzegowe ψ () = ψ () = tg α ψ () =η Mamy teraz do czynena z zagadnenem brzegowym, w którym lczba warunków brzegowych jest o wększa od rzędu równana różnczkowego. Zagadnene to da sę rozwązać w przypadku, gdy funkcja ν() jest określona z dokładnoścą do jednego parametru oznaczonego podobne jak poprzedno symbolem p. W metodze strzałów można wykorzystać dwa perwsze warunk brzegowe (6) formułujące zagadnene początkowe rozwązać klkakrotne równane (3) dla takch wartośc p, by rozwązane na prawym brzegu ψ () przyjmowało wartośc blske P =η. Na podstawe uzyskanych wynków można, podobne jak poprzedno, sporządzć weloman nterpolacyjny P( p ). Rozwązane równana P( p) wyznacza poszukwaną wartość p. Sposób wyznaczana wartośc parametru p przedstawa ponższy schemat oblczenowy. (6)

5 7 P P P ( p) Rys. 3. Sposób wyznaczana wartośc parametru p Fg. 3. A block dagram presentng the way of computng parameter p Przyjęce ν ( ) =,5 p oznacza, że poszukwana krzywa cechować sę będze lnowo-zmenną reakcją normalną toru podczas ruchu punktu materalnego. Dla danych lczbowych: η η takch samych jak w punkce 3 oraz α =,5 poszukwana wartość p wynos,874. Wykres rozwązana zagadnena brzegowego oraz reakcj normalnej zameszczony jest na rys. 4. η ψ ν Rys. 4. Wykres rozwązana zagadnena brzegowego reakcj normalnej Fg. 4. The soluton of boundary value problem and the normal reacton force 5. Zagadnene brzegowe z czterema warunkam brzegowym Aby rozwązane równana (3) przechodzło przez punkty B C, a dodatkowo styczna do wykresu była nachylona do os w punktach C B odpowedno pod kątem α β, muszą być spełnone następujące warunk brzegowe ψ () = ψ () = tgα ψ () = η ψ () = tg β Mamy zatem do czynena z zagadnenem brzegowym, w którym lczba warunków brzegowych jest o wększa od rzędu równana różnczkowego. Zagadnene to można rozwązać w przypadku, gdy funkcja ν () jest określona z dokładnoścą do dwóch parametrów: p q. W metodze strzałów można wykorzystać dwa perwsze warunk brzegowe (7), które tworzą wraz z równanem (3) nelnowe zagadnene początkowe. Problem sprowadza sę do wyznaczena takch wartośc p q, dla których rozwązane równana (3) (7)

6 8 spełnać będze pozostałe warunk brzegowe (7). Rozwązując welokrotne zagadnene początkowe dla takch wartośc parametrów q = qj, by rozwązane na prawym brzegu ψ () = przyjmowało wartośc blske P = η oraz ψ () = Q przyjmowało j Pj wartośc blske Q = tg β, można sporządzć welomany nterpolacyjne, np. P ( p ). Roz- wązana równań P j ( p) wyznaczają wartośc pj = pj zapewnające spełnene trzecego warunku brzegowego dla każdej wartośc q j. Rozwązując z kole równane Q ( q) = Q, gdze gwazdka oznacza, że parametr p jest już odpowedno dobrany dla poszczególnych wartośc q j, otrzymamy poszukwaną wartość q. Rozwązując na konec równane P ( p), gdze gwazdka oznacza, że wartość parametru q jest już wyznaczona, otrzymamy poszukwaną wartość p. Sposób wyznaczana wartośc obu parametrów przedstawa schemat oblczenowy zameszczony na rys. 5. j j j q = q j P P j Q Q j j j Q ( q) = Q q = q P ( p) Rys. 5. Sposób wyznaczana wartośc parametrów: p q Fg. 5. A block dagram presentng the way of computng parameters: p and q η ψ ν Rys. 6. Wykres rozwązana zagadnena brzegowego reakcj normalnej Fg. 6. The soluton of boundary value problem and the normal reacton force

7 9 Przyjęce ν ( ) = p q oznacza, że poszukwana krzywa cechować sę będze lnowo- -zmenną reakcją normalną podczas ruchu punktu materalnego. Dla danych lczbowych: η, η α, takch samych jak w punkce 4 oraz β = 35, poszukwane wartośc p q wynoszą odpowedno,894733,634. Wykres rozwązana zagadnena brzegowego oraz reakcj normalnej zameszczono na rys Zagadnene brzegowe z pęcoma warunkam brzegowym W poprzednm punkce na rozwązane równana różnczkowego (3) nałożone były cztery geometryczne warunk brzegowe narzucające wartośc poszukwanej funkcj jej pochodnej na obu końcach przedzału. Poszukując rozwązań tak sformułowanego zagadnena brzegowego dla ν ( ) = p q, =,3,..., można zauważyć, że wraz ze wzrostem wykładnka maleje wartość reakcj normalnej na prawym końcu przedzału. Dla = 8 reakcja normalna przyjmuje wartość ujemną w tym punkce, co oznacza, że w przypadku węzów jednostronnych poruszający sę punkt strac kontakt z podłożem. Aby ne dopuścć do tego, należałoby dodać pąty, fzyczny warunek brzegowy, odnoszący sę do wartośc reakcj normalnej na prawym końcu przedzału. Aby zatem rozwązane równana (3) przechodzło przez punkty B C, a dodatkowo styczna do wykresu była nachylona do os w punktach C B odpowedno pod kątem α β oraz by reakcja normalna przyjmowała wartośc dodatne, muszą być spełnone następujące warunk brzegowe ψ () = ψ () = tgα ψ () =η ψ () = tgβ ν () = Mamy tym razem do czynena z zagadnenem brzegowym, w którym lczba warunków brzegowych jest o 3 wększa od rzędu równana różnczkowego. Zagadnene to można rozwązać w przypadku, gdy funkcja ν( ) będze określona z dokładnoścą do trzech parametrów: p, q r. Podobne jak poprzedno, można wykorzystać dwa perwsze warunk brzegowe (8), które tworzą wraz z równanem (3) nelnowe zagadnene początkowe. Problem sprowadza sę do wyznaczena takch wartośc p, q r, dla których rozwązane równana (3) spełnać będze pozostałe warunk brzegowe (8). Rozwązując welokrotne zagadnene początkowe dla takch wartośc parametrów, q = q r = r, by rozwązane na prawym brzegu ψ () przyjmowało j k jk jk wartośc blske P = η, ψ () = Q wartośc blske Q = tgβ oraz ν () = wartośc blske R =, można sporządzć odpowedne welomany nterpolacyjne, służące do wyznaczena poszukwanych parametrów. Budowane welomanów można rozpocząć np. od Pjk ( p ) określających zależność ψ jk () dla ustalonych j k. Rozwązana równań Pjk ( p) wyznaczają wartośc p jk jk jk jk jk Rjk (8) = p zapewnające spełnene trzecego warunku

8 brzegowego dla każdej pary q j r k. Rozwązując z kole równana Q k ( q) = Q, gdze gwazdka oznacza, że parametr p jest już odpowedno dobrany, otrzymamy wartośc q k zapewnające spełnene czwartego warunku brzegowego dla poszczególnych wartośc r k. q = q j r = rk P Q R jk jk jk P Q R P jk ( p) jk jk Q k ( q) = Q q k = q k R ( r) = R r = r P j ( p) j j Q ( q) = Q q = q P ( p) Rys. 7. Sposób wyznaczana wartośc parametrów: p, q warunek Fg. 7. A block dagram presentng the way of computng parameters: p, q and r Rozwązując następne równane R () r = R, gdze gwazdka oznacza, że wartość parametrów p q są tak wyznaczone, by spełnony był trzec czwarty warunek brzegowy,

9 otrzymamy poszukwaną wartość r gwarantującą spełnene pątego warunku. Po określenu wartośc r należy wyznaczyć następne welomany służące do wyznaczena wartośc kolejnego parametru. Mogą to być welomany P j ( p ), gdze gwazdka oznacza fakt dysponowana wskazaną wcześnej wartoścą parametru r. Rozwązana równań wyznaczają wartośc p j j P j ( p) = p zapewnające spełnene trzecego warunku brzegowego dla każdej wartośc q j wyznaczonej wartośc r. Rozwązując z kole równane Q ( q) = Q, gdze gwazdka oznacza, że wartośc pozostałych parametrów gwarantują spełnene trzecego pątego warunku, otrzymamy poszukwaną wartość q. Aby określć wartość p, należy wyznaczyć weloman P ( p ), gdze gwazdka oznacza tym razem znajomość pozostałych wartośc parametrów. Rozwązując na konec równane P ( p), otrzymamy poszukwaną wartość p. Sposób wyznaczana wartośc wszystkch parametrów przedstawa schemat oblczenowy zameszczony na rys Przyjęce ν ( ) = p q r oznacza, że poszukwaną krzywą cechować będze welomanowy charakter zmennośc reakcj normalnej podczas ruchu punktu materalnego. Dla danych lczbowych: η, η, α β, takch samych jak w punkce 5, poszukwane wartośc p, q r wynoszą odpowedno, ,, , Wykres rozwązana zagadnena brzegowego oraz reakcj normalnej zameszczono na rys. 8. η ψ ν Rys. 8. Wykres rozwązana zagadnena brzegowego reakcj normalnej Fg. 8. The soluton of boundary value problem and the normal reacton force 7. Wnosk końcowe Sposób zastosowana metody strzałów w przypadku nadwyżk jednego warunku brzegowego jest tak sam jak w przypadku klasycznym. Nadwyżka dwóch warunków brzegowych wymaga wyznaczena welu welomanów nterpolacyjnych pozwalających na wylczene pośrednch wartośc jednego z parametrów, by w konsekwencj wyznaczyć poszukwane wartośc obu parametrów. Problem komplkuje sę w przypadku, gdy lczba nadwyżkowych warunków brzegowych jest wększa od dwóch. Lczbę nezbędnych welomanów można wyznaczyć ze wzoru rekurencyjnego k k = w = w + m, w =

10 gdze oznacza lczbę nadwyżkowych warunków brzegowych, a m lczbę punktów wyznaczających welomany nterpolacyjne. Jak wdać, lczba welomanów nterpolacyjnych rośne w sposób wykładnczy wraz ze wzrostem lczby nadwyżkowych warunków brzegowych. Przyjmując m = 5, lczba welomanów dla =,, 3 wynos odpowedno:, 7, 38, a lczba nezbędnych do rozwązana zagadneń początkowych wynos odpowedno: 5, 35, 9. W przypadku nadwyżk czterech warunków brzegowych należałoby wyznaczyć 94 welomany, po wcześnejszym rozwązanu 97 zagadneń początkowych. Omówony w artykule przypadek nadwyżk trzech warunków brzegowych ma znaczene praktyczne. Rozpatrując profl najazdu skoczn narcarskej pomędzy częścą startową progem, można wyznaczyć zarys spełnający narzucone warunk geometryczne, dla którego reakcja normalna toru będze przyjmowała najmnejszą możlwą wartość w bezpośrednm sąsedztwe z progem. Wartośc lczbowe η η zostały wylczone dla Welkej Krokw, dla której w wynku modyfkacj proflu najazdu sła bezwładnośc dzałająca na skoczka może zostać obnżona o ponad 6% w stosunku do proflu stnejącego. Lteratura [] R a o S.S., Appled Numercal Methods for Engneers and Scentsts, Prentce Hall, New Jersey. [] E p p e r s o n J.F., An Introducton to Numercal Methods and Analyss, John Wley & Sons Inc., New York. [3] Kncad D., Cheney W., Analza numeryczna, WNT, Warszawa 6. [4] Flpowska R., Zagadnene krzywej płaskej o sterowanej reakcj toru, I Kongres Mechank Polskej, Warszawa 7.