4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

Transkrypt

1 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ Rozdzał ten pośwęcony et wyprowadzenu twerdzena o pracy wrtuane, edna wywód naeży poprzedzć wyaśnenem dwóch zagadneń: przemezczena wrtuanego (nezbędne w wrtuanym tane przemezczeń) oraz obcążena wrtuanego (nezbędne w wrtuanym tane obcążeń). Przemezczene wrtuane mu pełnać a charaterytycznych, ae bardzo ważnych warunów, mu być: pomyśane, możwe, tzn. nematyczne dopuzczane, nezaeżne od czynnów zewnętrznych (np. obcążeń), bardzo małe w porównanu z wymaram cała, nezaeżne od czau, cągłe (co namne raz różnczowane). Obcążene wrtuane (zewnętrzne ub wewnętrzne) podobne a przemezczene mu być: pomyśane, możwe, tzn. nematyczne dopuzczane, nezaeżne od czynnów zewnętrznych (np. obcążeń), małe w odneenu do wymarów obcążeń zewnętrznych, nezaeżne od czau, ne mu być cągłe (może być puntowe) zaada de Sant-Venanta. Interpretaca: 4.1. Wrtuany tan przemezczeń Przymuemy dowony uład pozotaący w równowadze U(x) Ry Rzeczywty mode uładu prętowego, obcążonego rzeczywtym łam, pod wpływem tórych doznae przemezczeń Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

2 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 2 U(x) H V M Ry Ten am uład ae z wymuzonym przemezczenem wrtuanym U x (nematyczne dopuzczanym) Wyprowadzene: Przymuemy dowony pręt (ry. 4.3) o długośc ończone, ońcach, oraz dowone obcążony łam zewnętrznym. Ry Pręt o długośc Wyobraźmy obe natępne bardzo mały fragment tego pręta o długośc (ry. 4.4). Dzałaą na nego ły uogónone, wewnętrzne przymuące dowoną ombnacę, powtałą od ł normanych, tnących momentów. M(x) M(x)+dM(x) N(x) T(x) N(x)+dN(x) T(x)+dT(x) Ry Fragment pręta W ceu uprozczena obczeń przeanazuemy oeno przypad obcążeń: łą normaną, łą tnącą momentem zgnaącym Przypade I (dzałane ł normanych) Załadamy, że dowone obcążene pręta łą powodue powtane tyo ł bernych pozomych Q Q wobec czego na naz eement będze dzałała tyo uogónona ła normana (podłużna, oowa) N(x) (ry. 4.5). Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

3 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 3 Q Q N(x) dy N(x)+dN(x) Ry Dzałane uogónone ły normane w pręce w eemence Zapuemy równane równowag da eementu (tzn. w ażdym punce tego pręta) otrzymuemy wyrażene: X = N x N x dn x p x = dn x p x =/: dn x p x = (4.1) Natępne nadaemy temu prętow pewne wrtuane przemezczene (ry. 4.6), zgodne z dzałanem uogónonych ł normanych, pełnaące warun podane na początu rozdzału. Przymuemy ego wartość równą u x δu(x) u u Ry Wrtuane przemezczene pręta Mnożymy równane (4.1) obutronne przez przemezczene wrtuane u x a natępne całuemy w grancach od x= do x=,: [ dn x p x ] u x = dn x u x [ p x ] = Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

4 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 4 u x dn x u x p x = (4.2) W ceu obczena cał u x dn x orzytamy z twerdzena o całowanu przez częśc, u x udv=uv vdu dn x u= u x dv= du= d u x dn x v= =N x dn x = u x N x N x d u x Równane (4.2) uzya węc potać: u x N x u N u N u Q u Q N x d u x N x d u x u x p x = u x p x = u x p x = N x d u x (4.3) Zna - przy e Q wyna z tego, że Q et łą ścaącą (z założena dodatn zna maą edyne ły powoduące rozcągane pręta) (ry. 4.7) Q Q Ry Znaowane ł Po uporządowanu otrzymano zaeżność: Q u Q u u x p x = N x d u x (4.4) gdze: Q u Q u u x p x - całowta praca ł zewnętrznych (bernych) na przemezczenach wrtuanych, - całowta praca ł zewnętrznych (czynnych) na przemezczenach wrtuanych, Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

5 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 5 N x d u x - całowta praca ł wewnętrznych (normanych) na wrtuanych przemezczenach wewnętrznych. Wobec oznaczeń: L z =Q u Q u u x p x L w = N x d u x (4.5) mamy: L z = L w (4.6.) L z - praca wzytch rzeczywtych ł czynnych obcążaących uład oraz bernych, pracuących na przemezczenach wrtuanych (wymuzonych nematyczne), L w - praca wzytch ł wewnętrznych rzeczywtych na wrtuanych przemezczenach wewnętrznych. Defnca: Praca rzeczywtych ł zewnętrznych (bernych czynnych) na przemezczenach wrtuanych et równa pracy ł wewnętrznych (wynaących z dzałana obcążeń zewnętrznych) na wewnętrznych przemezczenach wrtuanych. Wnoe: P R p u d= N x x d u x = x (4.7) gdze: P R p N x - ły czynne upone, - ły berne, - obcążene rozłożone na pręce czynne, - ły wewnętrzne. Warto zaznaczyć, że we wzorze nada obowązuą zaeżnośc fzyczne odpowadaące tanow wrtuanemu: x = N x EA Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

6 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ Przypade II (dzałane ł tnących) Załadamy, że dowone obcążene pręta łą powodue powtane tyo ł bernych ponowych T T wobec czego na naz eement będze dzałała tyo uogónona ła tnąca (poprzeczna) T(x) (ry. 4.8) T T T(x) T(x)+dT(x) Ry Dzałane ł poprzecznych na pręt na wycne pręta Zapuąc równane równowag da eementu (tzn. w ażdym punce tego pręta) otrzymuemy wyrażene: Z= T x T x dt x p x = dt x p x =/: dt x p x = (4.8) Natępne nadaemy temu prętow pewne wrtuane przemezczene (ry. 4.9), zgodne z dzałanem uogónonych ł poprzecznych (tnących), pełnaące warun podane na początu rozdzału. Przymuemy ego wartość równą: v x v δv(x) v Ry Wrtuane przemezczene pręta Mnożymy równane (4.8) obutronne przez przemezczene wrtuane v x a natępne całuemy w grancach od x= do x= : Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

7 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 7 [ dt v x x p x ] v x = dt x v x [ p x ] = dt x v x p x = (4.9) W ceu obczena cał v x dt x orzytamy z twerdzena o całowanu przez częśc, v x udv=uv vdu dt x u= v x dv= du= d v x dt x v= =T x dt x = v x T x T x d v x Równane (4.9) uzya węc potać: v x T x v T v T v T v T T x d v x T x d v x v x p x = v x p x = v x p x = T x d v x (4.1) Znaowane: Przyęto zaadę zgodnośc zwrotów ł T T oraz przemezczeń m odpowadaącym V V (ry. 4.1). T T Ry Dodatne zwroty ł poprzecznych Zna w wyrażenu (4.1) wynaą z fatu, że zna dodatn ły T() et przecwny do założonego zwrotu ły T, a zna dodatn ły T() et zgodny z założonym zwrotem ły T. T v T v v x p x = T x d v x (4.11) Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

8 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 8 W równanu (4.11) pozczegóne człony oznaczaą: T v T v v x p x - całowta praca ł zewnętrznych (bernych) na przemezczenach wrtuanych, - całowta praca ł zewnętrznych (czynnych) na przemezczenach wrtuanych, T x d v x - całowta praca ł wewnętrznych (tnących) na wrtuanych przemezczenach wewnętrznych. Wobec oznaczeń: L z =T v T v v x p x L w = T x d v x (4.12) mamy: L z = L w (4.13) L z - praca wzytch rzeczywtych ł czynnych obcążaących uład oraz bernych pracuących na przemezczenach wrtuanych (wymuzonych nematyczne), L w - praca wzytch ł wewnętrznych rzeczywtych na wrtuanych przemezczenach wewnętrznych Defnca: Praca rzeczywtych ł zewnętrznych (bernych R czynnych P, p()) na przemezczenach wrtuanych et równa pracy ł wewnętrznych T(x) (wynaących z dzałana obcążeń zewnętrznych) na wewnętrznych przemezczenach wrtuanych. Wnoe: P R p v d= T x śr x d v x = śr x (4.14) gdze: śr = Warto zaznaczyć, że we wzorze nada obowązuą zaeżnośc fzyczne odpowadaące tanow wrtuanemu. x = T x GA Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

9 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ Przypade III (dzałane momentów zgnaących) Załadamy czyte zgnane tzn. dowone obcążene pręta m(x) powodue powtane tyo ł bernych w potac momentów zgnaących M M, tąd na naz myśowo wycęty eement będze dzałał tyo uogónony moment zgnaący M(x) (ry. 4.11) m(x) M M M(x) m(x) M(x)+dM(x) Ry Dzałane momentów zgnaących na pręt na eement Zapuąc równane równowag da eementu (tzn. w ażdym punce tego pręta) otrzymuemy wyrażene: M = M x M x dm x m x = dm x m x =/: dm x m x = (4.15) Natępne (anaogczne a w poprzednm przypadu) nadaemy temu prętow pewne wrtuane przemezczene (ry. 4.12), zgodne z dzałanem uogónonych momentów zgnaących, o wartośc równe x φ δφ(x) φ Ry Wrtuane przemezczene Mnożymy równane (4.15) obutronne przez przemezczene wrtuane x a natępne całuemy w grancach od x= do x= : Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

10 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 1 [ dm x x x [ dm x m x ] x = dm x m x ] = x m x = (4.16) W ceu obczena cał x dm x orzytamy z twerdzena o całowanu przez częśc, x udv=uv vdu dm x u= x dv= d x dm x du= v= =M x dm x = x M x M x d x Równane (4.16) uzya węc potać: x M x M x d x M M M x M M x m x = d x x m x M x x m x = d x = (4.17) Zna w wyrażenu (4.17) wynaą z fatu, że dodatn moment M() et zgodny z założonym dodatnm momentem M,, a dodatn moment M() et przecwny do założonego dodatnego M (przyęto zaadę zgodnośc dodatnch zwrotów M M oraz przemezczeń m odpowadaących, ) (ry. 4.13). M M Ry Znaowane ł Po uwzgędnenu znaów otrzymano wyrażene: M M x m x = M x d x (4.18) Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

11 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 11 gdze: M M x m x - całowta praca ł zewnętrznych (bernych) na przemezczenach wrtuanych, - całowta praca ł zewnętrznych (czynnych) na przemezczenach wrtuanych, d x M x - całowta praca ł wewnętrznych (momentów) na wrtuanych przemezczenach wewnętrznych. Wobec oznaczeń: L z =M M x m x L w = M x d x (4.19) mamy: L z = L w (4.2) L z - praca wzytch rzeczywtych ł czynnych obcążaących uład oraz bernych, pracuących na przemezczenach wrtuanych (wymuzonych nematyczne), L w - praca wzytch ł wewnętrznych rzeczywtych na wrtuanych przemezczenach wewnętrznych. Defnca: Praca rzeczywtych ł zewnętrznych (bernych R czynnych P, p()) na przemezczenach wrtuanych et równa pracy ł wewnętrznych M(x) (wynaących z dzałana obcążeń zewnętrznych) na wewnętrznych przemezczenach wrtuanych. Wnoe: P R p d= M x x d x = x (4.21) Warto zaznaczyć, że we wzorze nada obowązuą zaeżnośc fzyczne odpowadaące tanow wrtuanemu. x = M x EJ Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

12 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ Przypade IV (wzyte ły) Załadamy, że dowone obcążene pręta powodue powtane dowonych ł bernych w potac uogónonych ł pozomych, ponowych momentów zgnaących (ry. 4.14). Q Q M T T M M(x) M(x)+dM(x) N(x) N(x)+dN(x) T(x) T(x)+dT(x) Ry Dzałane uogónonych ł Zapuąc równana równowag, da eementu (tzn. w ażdym punce pręta) otrzymuemy: X = Z= M = dn x p x x = dt x p z x = dm x m x = (4.22) Moment od ł tnących pomamy, gdyż ramę dzałana tych ł et be zeru Podumowane Korzytaąc z zaady uperpozyc doonuemy umowana powyżzych rozwązań: P R p u d= { gdze: N x x T x x M x x } (4.23) Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

13 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 13 P R - całowta praca ł czynnych (uponych) na przemezczenach wrtuanych, - całowta praca ł bernych (reac) na przemezczenach wrtuanych (oadanach), p u d - całowta praca obcążeń cągłych na przemezczenach wrtuanych. Warto zaznaczyć, że we wzorze tym nada obowązuą zaeżnośc fzyczne odpowadaące tanow wrtuanemu: x = N x EA x = T x GA x = M x EJ Praca ł zewnętrznych na przemezczenach wrtuanych równa ę pracy ł wewnętrznych na odztałcenach wrtuanych. Twerdzene: Jeże na uład dzała obcążene zewnętrzne pełnaące warun równowag, to obcążene zewnętrzne wyonue na przemezczenach wrtuanych pracę równą pracy uogónonych ł przeroowych na wrtuanych odztałcenach (na wrtuanych przemezczenach wewnętrznych) Wrtuany tan obcążeń (naprężeń) Dotychcza orzytaśmy z twerdzena, że ły zewnętrzne wyonywały pracę na wrtuanych przemezczenach równą pracy ł wewnętrznych na wewnętrznych przemezczenach wrtuanych. Ponżzy wywód et dentyczny a w aapce poprzednm, przy czym natępue zamana weośc. Przemezczena, odztałcena ą rzeczywte (ymboa bez nadreśeń) natomat obcążena zewnętrzne wewnętrzne ą wrtuane (ry. 4.15). Mumy przy tym zaznaczyć, że wrtuane obcążene pełna warun tatyczne dopuzczanośc (et możwe), nezaeżne od obcążeń zewnętrznych, czau. Jet małe w odneenu do wymarów uładu. F F+dF du Ry Obcążena przemezczene eementu Twerdzene: Jeże na uład dzała zewnętrzne obcążene wrtuane, pełnaące warun równowag, to wyonue ono Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

14 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 14 pracę na rzeczywtych przemezczenach (wywołanych przez rzeczywte obcążena zewnętrzne) równą pracy wrtuanych ł przeroowych na rzeczywtych odztałcenach (na rzeczywtych przemezczenach wewnętrznych). L w = L z (4.24) L z - praca ł wrtuanych pracuących na rzeczywtych przemezczenach (wytworzonych przez rzeczywte przemezczena) L w - praca wzytch wrtuanych ł wewnętrznych pracuących na rzeczywtych odztałcenach (przemezczenach wewnętrznych) Ponże zotał tworzony rzeczywty mode uładu (ry. 4.16), obcążony łam, pod wpływem tórych doznae przemezczeń U(x). U(x) Ry Mode rzeczywty Koeny ryune (ry. 4.17) przedtawa ten am uład ae obcążony łam wrtuanym P x, pod wpływem tórych doznae przemezczeń wrtuanych u x. P U(x) Ry Obcążena wrtuane Pracę ł wrtuanych na rzeczywtych przemezczenach opuemy wzorem: P R p u d= { N x x T x x M x x } (4.25) Po uwzgędnenu zwązów fzycznych na rzeczywte odztałcena: Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater

15 Część 1 4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ 15 x = N x EA = N P EA x = T x GA = T P GA x = M x EJ = M P EJ Możemy otateczne zapać wzór na pracę ł wrtuanych: P R p u d= { N x N P EA T x T P GA M x M P (4.26) EJ } gdze: P R - całowta praca wrtuanych ł zewnętrznych (bernych R czynnych P ) na przemezczenach rzeczywtych (np. oadane podpór), p u d przemezczenach, - całowta praca wrtuanych ł zewnętrznych (czynnych) na rzeczywtych { N x N P T x T P EA GA rzeczywtych odztałcenach (przemezczenach wewnętrznych). M x M P - praca wzytch wrtuanych ł wewnętrznych na EJ } N x - funca ł normanych wywołana od obcążena zewnętrznego (rzeczywtego), N x - funca ł normanych wywołana od obcążena wrtuanego, T x - funca ł poprzecznych wywołana od obcążena zewnętrznego (rzeczywtego), T x - funca ł poprzecznych wywołana od obcążena wrtuanego, M x - funca momentów wywołana od obcążena zewnętrznego (rzeczywtego), M x - funca momentów wywołana od obcążena wrtuanego. Dobra D., Jambroże S., Komoa M., Mołacza E., Przybya P., Sya A., Wdowa A. AmaMater