UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.
|
|
- Antonina Sowińska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi gwałtowna zmiana O charakterze układu decyduje wiekośćobciążenia. Obciążenie krytyczne obciążenie przejścia ze stanu stabinego do stanu niestabinego.
2 Metody obiczeniowe w biomechanice STANY RÓWNOWAGI Stan trwały Po ustaniu zaburzenia powrót do pozycji wyjściowej Stan obojętny Każda pozycja jest pozycją równowagi Stan chwiejny Wytrącenie z równowagi prowadzi do katastrofy
3 KRYTERIUM ENERGETYCZNE BADANIA STATECZNOŚCI Ocena zmiany całkowitej energii potencjanej wywołanej przez bardzo małe zaburzenie. Równowaga trwała wytrącenie z równowagi wymaga dostarczenia energii > Równowaga chwiejna wytrącenie z równowagi powoduje oddawanie energii < Równowaga obojętna bez zmian energii RÓWNOWAGA KRYTYCZNA
4 Przyrost energii potencjanej wywołany małą zmianą(wariacją) δ δ! warunek konieczny równowagi + δ +! δ +... Kryterium Lagrange a-diricheta badanie pierwszego członu nieiniowego δ > równowaga trwała δ równowaga obojętna (krytyczna) δ < równowaga chwiejna 4
5 KRYTERIUM STATECZNOŚCI W METODZIE ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Całkowita energia potencjana funkcją przemieszczeń węzłowych Wektor zaburzenia (,..., n ) { } d,d,..., T d d n Przyrost energii wywołany zaburzeniem n d i + i i n i n j i j d i d j 5
6 6 Przyrost energii wywołany zaburzeniem zapis macierzowy + n n d... d d d,..., d, d + n n n n n n d... d d ,...,d,d d (I) (II)
7 Zerowanie się członu (I) jest warunkiem koniecznym równowagi, jeśi człon (II) jest zerowy jest to równowaga krytyczna. Warunek ten sprowadza się do układu równań: i j { d} { } Przyjmuje się zazwyczaj obciążenie jednoparametryczne okreśony układ sił zewnętrznych i nieznany mnożnik λ. Ponieważ warunek musi być spełniony da dowonego wektora zaburzeń{d} mamy ostatecznie: det i ( λ ) j 7
8 Z warunku tego wyznaczane są wartości mnożnika odpowiadające obciążeniom krytycznym λ i zazwyczaj praktyczne znaczenia ma jego najniższa wartość. Koejnym krokiem jest wyznaczenie odpowiadającego obciążeniu krytycznemu wektora {d i }, który opisuje postać wyboczenia kształt deformacji przy utracie stateczności. Taka anaiza nie daje informacji o rzeczywistych przemieszczeniach konstrukcji. Jeśi warunek równowagi krytycznej jest spełniony da wektora {d i }, to jest spełniony również da tego wektora przemnożonego przez dowoną stałą m*{d i }. 8
9 ANALIZA STATECZNOŚCI PRĘTÓW ŚCISKANYCH p[n/m] P[N] x N(x) * w(x) * Zmiana energii Δwywołana jest zaburzeniem ugięciem w * (x): U W Z Przyrost energii odkształcenia sprężystego: U EJ ( w ) dx * 9
10 Praca obciążeń zewnętrznych na przemieszczeniach wywołanych zaburzeniem: W Z λ N * ( x ) du λ N ( x ) ( * ) dx gdzie: λn * (x) siła normana działająca w przekroju x * w dx α dx du du dx sin w ( cos α ) dx * dx α
11 Ostatecznie przyrost całkowitej energii potencjanej wywołany zaburzeniem: λ EJ * * ( w ) dx N ( x )( w ) dx * W metodzie eementów skończonych przyrost ten jest to funkcja przemieszczeń węzłowych: ({ } )
12 Da każdego eementu skończonego jego inia ugięcia zaeży od przemieszczeń węzłowych i funkcji kształtu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } e * e * e 4 4 * N w N w N, N, N, N w
13 Zmiana energii potencjanej eementu skończonego Stąd e EJ λ { N } N d { } e N *( ){ N } N d { } e e e e ([ K ] e λ [ K ] ){ } e e e σ e Gdzie [K] e to macierz sztywności eementu, a e [ K ] N ( ){ N } N σ e * d to macierz sztywności geometrycznej (naprężeń początkowych) e
14 Da stałej siły normanej w eemencie: N * () [ K ] σ e e 6 e 6 e e 4 e e e 6 e 6 e e e e 4 e 4
15 Da siły normanej zmiennej iniowo: N czyi stałego wydatku obciążeń: * ( ) ( ) p e e [ K ] σ e e e e e e 6 e e 6 e e 5
16 W modeu MES składającym się z LE eementów LE i i [ ( K ] λ [ K ]){ } σ Warunek zerowej zmiany energii prowadzi do zagadnienia na wartości własne: ([ K ] λ [ K σ ]){ } { } det( [ K ] λ [ K ]) σ 6
17 Anaiza stateczności sprowadza się do takiej postaci da każdego typu eementów skończonych. Różną postać mają jedynie macierze sztywności [K] i macierz sztywności geometrycznej [K σ ], która jest obiczana wcześniej da iniowego zadania statyki z zadanym obciążeniem. 7
18 8 Przykład rozwiązania Da modeu z jednym eementem skończonym pconst EJconst λ EJ 4
19 9 Po uwzgędnieniu warunków brzegowych: λ EJ 4
20 Daje to w rezutacie układ dwóch równań: EJ 6 λ Aby miał rozwiązanie nietrywiane (był spełniony da dowonego {} {}): EJ 6 λ 6 6 det 6 4
21 Rozwiązaniem są następujące mnożniki λ λ λ,94ej I odpowiadające im wartości obciążenia (wydatku) krytycznego: 76,6EJ p p kr kr,94ej 76,6EJ
22 Oraz wektory postaci wyboczenia:,,,,9,,, 8,6 Które odpowiadają iniom ugięcia opisanym równaniami: w w ( ),6,6 + ( ) 6,6 + 5,6 +
23 Postaci wyboczenia,8,6 w,4,,8 w,6,4,,,,,4,5,6,7,8,9 / / w/
24 Obciążenie, da którego istnieją dwie różne możiwe postaci równowagi nazywa się punktem bifurkacji. Wyznaczone na podstawie opisanych anaiz obciążenia zazwyczaj traktuje sięjako niszczące. Tak jest w rzeczywistości np. w przypadku ściskanych prętów. 4
25 Punkt bifurkacji jest jednakże cechą równań w modeu matematycznym opisującym utratę stateczności i często niedokładnie oddaje fizykęzjawiska. Jest tak w przypadku płyty, kiedy po utracie stateczności ustrój może jeszcze przenosić obciążenia pozostając w równowadze i w stanie sprężystym, a przejście z jednej postaci równowagi w drugą jest łagodne. 5
26 Z koei w przypadku cienkościennych powłok obciążenie krytyczne (odpowiadające punktowi bifurkacji) może być zawyżone kikukrotnie. Przejście z jednej postaci równowagi w drugą może mieć charakter gwałtownego przeskoku. 6
27 W ceu dokładnego zbadania zachowanie się ustroju przy obciążeniu zbiżonym ub większym od obciążenia krytycznego z uwzgędnieniem rzeczywistych kształtów geometrycznych naeży przeprowadzićanaizy nieiniowe. 7
Rozwiązanie stateczności ramy MES
Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek
Bardziej szczegółowoWstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Bardziej szczegółowoStateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowoStateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Stateczność prętów prostych Równowaga, utrata stateczności, siła krytyczna, wyboczenie w zakresie liniowo sprężystym i poza liniowo sprężystym, projektowanie elementów konstrukcyjnych
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 5 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoBADANIE PRĘTÓW NA WYBOCZENIE
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Wydział Mechaniczny Technoogiczny oitechnika Śąska LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowo2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego
Przykład 10.. Obiczenie wartości obciażenia granicznego układu bekowo-słupowego Obiczyć wartość obciążenia granicznego gr działającego na poniższy układ. 1 1 σ p = 00 MPa = m 1-1 - - 1 8 1 [cm] Do obiczeń
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowoRozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2
Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia
LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE RĘTÓW ŚCISKANYCH 8.1. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest doświadczane wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego podpartego przegubowo na obu
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000
Bardziej szczegółowoNajprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia
MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna i Drgania
Mechanika naityczna i rgania Zasada prac przygotowanych dr inż. Sebastian akuła Wydział nżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki mai: spakua@agh.edu.p dr inż. Sebastian akuła
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA
Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowoCIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE
CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE Wykład 6: Wymiarowanie elementów cienkościennych o przekroju w ujęciu teorii Własowa INFORMACJE OGÓLNE Ścianki rozważanych elementów, w zależności od smukłości pod naprężeniami
Bardziej szczegółowoBadanie prętów na wyboczenie
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obiczeniowej Wydział Mechaniczny Technoogiczny oitechnika Śąska www.imio.pos.p fb.com/imiopos twitter.com/imiopos LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badanie prętów na
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoF + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi
MES Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F + R, u A R f f F R + f, f + f, f + F, u A Równania
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowoAnaliza I i II rzędu. gdzie α cr mnożnik obciążenia krytycznego według procedury
Analiza I i II rzędu W analizie I rzędu stosuje się zasadę zesztywnienia, tzn. rozpatruje się nieodkształconą, pierwotną geometrię konstrukcji, niezależnie od stanu obciążenia. Gdy w obliczeniac statycznyc
Bardziej szczegółowoLINIOWA MECHANIKA PĘKANIA
Podstawowe informacje nt. LINIOW MECHNIK PĘKNI Wytrzymałość materiałów II J. German KONCEPCJ CŁKI J 1 Podstawy teoretyczne Sprężyste (iniowo b nieiniowo), jednorodne i anizotropowe continm materiane o
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoMetody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
Politechnika Poznańska Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli Studia Stacjonarne II Stopnia I rok Semestr II 21/211 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA
Bardziej szczegółowoLINIOWA MECHANIKA PĘKANIA
Podstawowe informacje nt. LNOWA MECHANKA PĘKANA Wytrzymałość materiałów J. German PRZYKŁADY Przykład Przeanaizować szczeinę o długości, która tworzy kąt α z kierunkiem x, znajdującą się w nieograniczonym
Bardziej szczegółowoBadanie prętów na wyboczenie
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obiczeniowej Wydział Mechaniczny Technoogiczny oitechnika Śąska www.imio.pos.p fb.com/imiopos twitter.com/imiopos LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badanie prętów na
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowoAnaliza płyt i powłok MES
Analiza płyt i powłok MES Jerzy Pamin e-mails: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: M. Radwańska, A. Wosatko ANSYS, Inc. http://www.ansys.com Tematyka zajęć Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Elementy
Bardziej szczegółowo6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
Część 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 6. 6. OMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 6.1. Wprowadzenie Dotąd poznaiśmy dwie metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczanych: metodę sił
Bardziej szczegółowo11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ
11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH.
Podstawy modeowania i syntezy mechanizmów. CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH. Charakterystyki kinematyczne to zapis parametrów ruchu
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoPierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)
METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Bardziej szczegółowoTemat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie
Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoŁagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych
Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoProjekt 9: Dyfuzja ciepła - metoda Cranck-Nicloson.
Projekt 9: Dyfuzja ciepła - metoda Cranck-Nicoson. Tomasz Chwiej stycznia 9 Wstęp n y ρ j= i= n x Rysunek : Siatka węzłów użyta w obiczeniach z zaznaczonymi warunkami brzegowymi: Diricheta (czerwony) i
Bardziej szczegółowoNOŚNOŚĆ GRANICZNA
4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie
Bardziej szczegółowoMetoda Różnic Skończonych (MRS)
Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoNależy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t,
Część 2 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 1 14. 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 14.1. Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego pręta. Drgania poprzeczne są to takie
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoPrzykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie
rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA
Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ SPRĘŻYSTA TRÓJKĄTA HAMULCOWEGO
MODELOWNIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 44, s. 99-08, Gliwice 0 STTECZNOŚĆ SPRĘŻYST TRÓJKĄT HMULCOWEGO KRZYSZTOF MGNUCKI,), SZYMON MILECKI ), ) Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska, ) Instytut
Bardziej szczegółowoKonstrukcje metalowe Wykład VI Stateczność
Konstrukcje metalowe Wykład VI Stateczność Spis treści Wprowadzenie #t / 3 Wyboczenie giętne #t / 15 Przykład 1 #t / 45 Zwichrzenie #t / 56 Przykład 2 #t / 83 Niestateczność lokalna #t / 88 Zapobieganie
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowo1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz
1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowo19. PROBLEMY STATECZNOŚCI
Część 4 19. PROBLEMY STATECZNOŚCI 1 19. PROBLEMY STATECZNOŚCI 19.1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE 19.1.1. Bifurkacja stanu równowagi Zagadnienia stateczności naeżą do najtrudniejszych, a zarazem kuczowych probemów
Bardziej szczegółowo1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
Bardziej szczegółowoZbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania
Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać
Bardziej szczegółowoPrzykład 1.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną
Przykład.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną Anaizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne da zadanych wartości przekrojów prętów A [m ] i napręŝeń
Bardziej szczegółowoModelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).
Bardziej szczegółowo= 2 42EI 41EI EI 2 P=15 M=10 M=10 3EI. q=5. Pret s-p. Pret s-p. Pret s-p. Pret s-p. Pret s-l.
Dane wyjściowe do obliczeń kf=0 ks=20 3 EI 2 2EI EI P=5 M=0 3EI M=0 q=5 EI 5 6 8 2 Dobór układu podstawowego metody przemieszczeń n = 2 3 Pret s-p 2 Pret s-p Pret s-p Pret s-p Pret s-l Pret p-s 5 6 Wyznaczenie
Bardziej szczegółowoFLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua
FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua Program FLAC jest oparty o metodę róŝnic skończonych. Metoda RóŜnic Skończonych (MRS) jest chyba najstarszą metodą numeryczną. W metodzie tej kaŝda pochodna w
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoORIGIN 1. E 10GPa - moduł Younga drewna. 700 kg m 3. g - ciężar właściwy drewna g m s 2. 6cm b2 6cm b3 5cm 12cm h2 10cm h3 8cm. b1 h1.
Statyka kratownicy drewnianej o różnych przekrojach prętów, obciążonej siłai, wilgocią i ciężare własny ORIGIN - ustawienie sposobu nueracji wierszy i kolun acierzy E GPa - oduł Younga drewna αw. ρ - współczynnik
Bardziej szczegółowoBIOMECHANIKA KRĘGOSŁUPA. Stateczność kręgosłupa
BIOMECHANIKA KRĘGOSŁUPA Stateczność kręgosłupa Wstęp Pojęcie stateczności Małe zakłócenie kątowe Q Q k 1 2 2 spadek energii potencjalnej przyrost energii w sprężynie V Q k 1 2 2 Q Stabilna równowaga występuje
Bardziej szczegółowoRozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej. Część 1 Odwzorowanie drgań oscylatora liniowego na płaszczyźnie fazowej
WYKŁAD 5 Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej Część 1 Odwzorowanie drgań oscyatora iniowego na płaszczyźnie fazowej 3.1. Płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa, obraz fazowy
Bardziej szczegółowom q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,
OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Kzysztof Tymbe, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsutacje naukowe: pof. d hab. Jezy Rakowski Poznań 00/00.. Opis uchu OPIS RUCHU
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zagadnień nieliniowych
Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych Wykład 4 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BIM+BIŚ+BOI Jerzy Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania:
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo