Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Transkrypt

1 Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych reakcji i przyjęcia układu współrzędnych. α W ceu obiczenia reakcji naeży wykorzystać trzy równania równowagi: o 1 Px 0 q cosα H 0 H q cos5 H q H q M P y Tak więc 0 V V 0 1 q sinα + q V + q 0 o q sin5 + q + q V q q V q q sinα + V q + V 0 V q q 1 + q q V q α Obecnie możemy już przystąpić do rysowania wykresów sił przekrojowych.

2 Wykres siły normanej N Rysowanie wykresu sił normanych rozpoczniemy na ewym końcu beki, tj. w punkcie A. W punkcie tym przyłożona jest siła skupiona, mająca niezerową składową poziomą. Oznacza to, że punkcie A występuje siła normana równa co do wartości bezwzgędnej wiekości tej składowej, czyi o 1 N q cosα q cos5 q q W ceu okreśenia znaku siły normanej naeży zbadać, czy przyłożona siła zewnętrzna ściska czy rozciąga bekę. Pamiętając, że rozciąganie oznacza dodatni kierunek siły normanej, zaś ściskanie - ujemny oraz zauważywszy, że składowa pozioma rozpatrywanej siły powoduje ściskanie możemy wrysować na wykres N wartość siły w punkcie A: Ponieważ pomiędzy punktami A i brak jakiegokowiek obciążenia podłużnego, więc wartość siły N pozostaje niezmieniona: W punkcie przyłożona jest pozioma reakcja o wartości q skierowana w ewo, tj. rozciągająca bekę (naeży zauważyć, że siła pozioma skierowana w ewo rozciąga, a skierowana w prawo ściska bekę gdy rozpatrujemy bekę od strony ewej; w przeciwnym wypadku, tj. gdy rozpatrujemy prawą część beki siła pozioma skierowana w ewo ściska,

3 a skierowana w prawo rozciąga badaną bekę). Oznacza to, że w punkcie musi nastąpić skokowe zwiększenie się wartości siły normanej N q o wartość reakcji, tj. + q czyi z prawej strony podpory mamy N q + q 0. Na pozostałej części beki, tj. między, a E obciążenia podłużne nie występują, czyi wykres się nie zmienia.

4 Wykres siły tnącej T Rysowanie ponownie zaczynamy w punkcie A, przesuwać się będziemy w prawo. W punkcie A przyłożona siła skupiona ma składową pionową skierowaną w dół o wartości o 1 q sinα q sin 5 q q. Oznacza to, że wartość siły tnącej na początku beki wynosi q (ponieważ wywołuje obrót rozważanej części układu przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara). Na odcinku A- brak obciążeń poprzecznych, więc wartość siły T się nie zmienia. W punkcie działa reakcja pionowa q starająca się obrócić ewą część beki zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, co oznacza skokowe zwiększenie wartości siły tnącej o q, czyi: T q T p T + q q przy czym indeksy górne i p oznaczają odpowiednio ewą i prawą stronę punktu wskazanego przez indeks dony.

5 Tak więc mamy: Na odcinku - działa obciążenie poprzeczne równomiernie rozłożone o wartości q, skierowane ku dołowi. Oznacza to, że na odcinku długości od punktu do wykres siły T musi być zmienny iniowo i maejący. Różnica wartości siły T pomiędzy punktami i jest równa wypadkowej obciążenia rozłożonego na tym odcinku, tj. q q. p T q p 5 T T q q Ponieważ wykres zmienia znak istnieje potrzeba wyznaczenia miejsca zerowania się funkcji T(x), gdyż w tym punkcie występuje ekstremum okane momentu zginającego. Położenie tego punktu najłatwiej obiczyć z proporcji: q x 5 q + q qx q x 5

6 W punkcie działa reakcja o wartości w tym punkcie skokowej zmiany wartości T o T T p T 5 q + q q q skierowana do góry, co powoduje wystąpienie + q, czyi: Na odcinku -D o długości działa skierowane do dołu obciążenie równomiernie rozłożone q, co powoduje, że funkcja T na tym odcinku maeje iniowo o q, stąd T T p D q T P q 0 Ponieważ ani w punkcie D, ani na końcowym odcinku D-E nie występują obciążenia poprzeczne wartość siły tnącej T do końca beki się nie zmienia (T0). 6

7 Tak więc ostatecznie wykres siły tnącej ma postać: Wykres momentu zginającego M Zaczynamy od punktu A. W punkcie tym nie występuje moment skupiony, więc M0. Na odcinku A-, jak wynika z wykresu T, siła tnąca jest stała, co oznacza, że wykres momentu musi się zmieniać iniowo od 0 w punkcie A. Wartość momentu w punkcie można łatwo poiczyć przecinając bekę w tym punkcie, uzewnętrzniając siły wewnętrzne i rozpatrując ewą część beki. Z równowagi momentów w punkcie wynika M 0 M + q 0 M q Minus oznacza, że rzeczywisty kierunek momentu jest przeciwnie skierowany do założonego, czyi rozciągane są górne włókna beki. Pamiętając, że wykres momentów rysujemy zawsze po stronie włókien rozciąganych kreśimy w punkcie do góry wartość q i łączymy inią prostą (wszak wykres ma być iniowy) z zerem w punkcie A:

8 p W punkcie nie występuje moment skupiony, więc M M q. Na odcinku - wykres T zmienia się iniowo, co oznacza, że wykres M musi zmieniać się paraboicznie. W punkcie odegłym o od punktu, tj. w miejscu zerowania się wykresu T wykres M osiąga ekstremum okane o wartości: M ekstr. q q sin5 o 1 + q q q Inną metodą uzyskania wartości ekstremanej momentu jest wykorzystanie faktu wynikającego z równań różniczkowych równowagi x dm ( x) T ( x) M ( x) M ( x0 ) T ( x) dx, dx x 0 a mianowicie, że zmiana wartości momentu na danym odcinku jest równa pou pod wykresem siły tnącej na tym odcinku (poe to może być dodatnie ub ujemne w zaeżności od tego jaki znak ma siła tnąca). W rozpatrywanym przypadku mamy 1 M ekstr. q q M ekstr. M + M ekstr. q + q Znak + we wzorze na M ekstr. występuje gdyż poruszamy się wzdłuż beki w prawo; w przypadku ruchu w ewo naeży stosować odejmowanie. q 8

9 Podobnie jak moment ekstremany obiczymy moment w punkcie. ( ) q q q sin q q M o + rak momentów skupionych w punkcie oznacza, że wartości momentu zginającego z prawej i z ewej strony tego punktu są identyczne (nie występuje skok wartości). Wykres wygąda więc następująco Daszą część wykresu narysujemy rozpatrując prawą część beki. W punkcie E przyłożony jest moment skupiony rozciągający górne włókna beki o wartości q

10 Na odcinku E-D siła tnąca równa jest zeru, co oznacza, że wartość momentu się nie zmienia. W punkcie D brak momentu skupionego, więc nie występuje tu skok wartości funkcji M. Z koei na odcinku D- wykres siły tnącej zmienia się iniowo, co oznacza, że wykres momentu musi zmieniać się na tym odcinku paraboicznie pomiędzy M q i M D q. Ponieważ siła tnąca pomiędzy punktami i D nie zmienia znaku więc nie występuje tu ekstremum. Kierunek wygięcia paraboi można ustaić uwzgędniając fakt, że w punkcie D nie występuje skokowa zmiana znaku siły T, co oznacza, że styczne do wykresu po obu stronach punktu D pokrywają się. Tak więc ostatecznie: 10

11 Da ukazania zaeżności pomiędzy geometrią, sposobem podparcia i obciążenia beki oraz wykresami sił przekrojowych umieszczony został poniżej rysunek zbiorczy. α 11