1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Transkrypt

1 . Funkcje zepolone zmiennej rzeczywitej Jeżeli każdej liczbie rzeczywitej t, t α, β] przyporządkujemy liczbę zepoloną z = z(t) = x(t) + iy(t) to otrzymujemy funkcję zepoloną zmiennej rzeczywitej. Ciągłość takiej funkcji, pochodną i całkę określamy w naturalny poób, przyjmując, że obie funkcje x(t), y(t) ą ciągłe, różniczkowalne bądź całkowalne. Ponieważ równania: x = x(t), y = y(t), t α, β] tanowią parametryczny opi krzywej na płazczyźnie, więc równanie z = x(t) + iy(t) jet też opiem krzywej. Przykłady. Jaką krzywą przedtawia równanie: a) z = i + ( + i)t, < t < b) z = t + i t, 0 t.. Napiać równanie protej przechodzącej przez punkty z = 4 + 3i, z = 5 + i.. Funkcje zepolone zmiennej zepolonej Jeżeli zarówno argumentem, jak i wartością funkcji z = f(w) ą liczby zepolone, to mówimy, że określona jet funkcja zepolona zmiennej zepolonej. Można taką funkcję traktować jako odwzorowanie jednej płazczyzny (której punktami ą liczby z) w drugą płazczyznę (której punktami ą liczby w). Podtawiając z = x + iy, w = u + iv mamy f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Funkcje u(x, y) i v(x, y) nazywamy częścią rzeczywitą i częścią urojoną funkcji zepolonej f(z). Przykłady. Określić dziedzinę funkcji w = z + z oraz podać jej część rzeczywitą i urojoną.. Jaki jet obraz krzywej: a) x + y = 9; b) x = przy przekztałceniu w = z? Rozwiązanie. a) Mamy Stąd w = z = z z = x x + y y x + y i. ( ) ( ) u + v x y = + = x + y x + y Zatem gdy x + y = 9, to u + v = 9. x + y.

2 b) Protą x = zapiujemy w potaci z = + it i mamy w = + it = + t t + t i. Zatem równaniami parametrycznymi obrazu ą u =, v = t. Rugując parametr t +t +t (przez podnieienie obu równości do kwadratu i dodanie) otrzymamy u + v = u. Jet to równanie okręgu. 3. Podtawowe funkcje zmiennej zepolonej Funkcja wykładnicza: w = e z = e x+iy = e x (co y + i in y) ma właności: a) e z jet funkcją okreową o okreie πi. W zczególności e z = dla z = kπi, k Z b) Jeżeli z = iy, to e z =. Stąd e z = e Rez. Funkcje trygonometryczne określamy wzorami in z def = eiz e iz, co z def = eiz = e iz. i Są to funkcje okreowe, o okreie π, ale nieograniczone! 4. Przekztałcenie Laplace a Definicja. Funkcję f(t) zmiennej rzeczywitej, przedziałami ciągłą, nazywamy oryginałem, gdy. f(t) = 0 dla t < 0;. f(t) = (f(t 0) + f(t + 0)) (ymbole f(t 0) i f(t + 0)) oznaczają granicę lewotronną i prawotronną w punkcie t); 3. itnieją liczby M i α takie, że f(t) Me αt dla t > 0. Powyżze warunki określają pewien zbiór funkcji klaę oryginałów. Na tym zbiorze określimy teraz pewne przekztałcenie. Definicja. Dla funkcji f(t) należącej do klay oryginałów, określamy funkcję zepoloną: F () = 0 f(t)e t dt, C Funkcję tę nazywamy tranformatą Laplace a oryginału f(t) i pizemy Lf(t)] = F (). Warunki formułowane w definicji oryginału zapewniają zbieżność całki. Zatem przyporządkowanie: oryginał f(t) tranformata F (),

3 jet przekztaceniem klay oryginałów w pewien podzbiór zbioru funkcji zepolonych. To przekztałcenie nazywamy przekztałceniem (tranformacją) Laplace a. Używany jet także termin operator Laplace a. Przykłady Znajdziemy z definicji tranformatę funkcji: (t) = Funkcja ta nazywa ię funkcją Heaviide a. Obliczamy: Podobnie znajdziemy L(t)] = 0 0, t < 0, t = 0, t > 0 e t dt = e t 0 =. Le at ] = a, Lt n ] = n!, n+ Lco at] = + a, a Lin at] = + a, i inne tranformaty. Ze znanych właności całki wynika, że przekztałcenie Laplace a jet liniowe, tzn. Np. Laf(t) + bg(t)] = alf(t)] + blg(t)]. Le 3t 5 in t] = Le 3t ] 5Lin t] = Przekztałcenie Laplace a jet także różnowartościowe, a więc każdej tranformacie odpowiada jednoznacznie określony oryginał. Można go znaleźć toując wzór na odwrotne przekztałcenie Laplace a: L F ()] = πi +i i e t F ()d. Jet to jednak niepraktyczne. Elementarną metodą znajdowania oryginału w ytuacji gdy tranformata F () jet funkcją wymierną jet jej rozkład na ułamki prote i znalezienie oryginałów przy pomocy tablic. Przykład. Jeżeli F () =, to znajdujemy rozkład: + F () = +, i odczytujemy z tablic: L + ] = e t, L ] = więc f(t) = e t. Inną metodą, którą omówimy później, jet połużenie ię tzw. reiduami. Obecnie podamy kluczowe dla zatoowań twierdzenie o tranformacie pochodnej. 3

4 Twierdzenie. Jeżeli itnieje n-ta pochodna funkcji f, to Lf (n) (t)] = n Lf(t)] n f(0+) n f (0+) f (n ) (0+). gdzie ymbole f(0+), f (0+),... oznaczają prawotronne granice w punkcie 0. W zczególności dla n = i n = otrzymujemy: Lf (t)] = Lf(t)] f(0+), Lf (t)] = Lf(t)] f(0+) f (0+). 5. Zatoowanie przekztałcenia Laplace a do rozwiązywania równań różniczkowych Interpretując twierdzenie możemy powiedzieć, że różniczkowaniu oryginału odpowiada mnożenie tranformaty przez. Zatem jeśli mamy równanie różniczkowe z funkcją niewiadomą y(t), to po obliczeniu tranformat obu tron równania otrzymamy równanie algebraiczne z funkcją niewiadomą Ly(t)] = Y (). Należy wyznaczyć teraz funkcję Y (), a natępnie znaleźć odpowiadający jej oryginał y(t) będzie to rozwiązanie równania różniczkowego. Przykład Znaleźć rozwiązanie zczególne równania y +y +y = 0, y(0) =, y (0) = 0. Rozwiązanie. Tranformując otrzymamy: Y + (Y ) + Y = 0 (zwróćmy uwagę, że w miejce granic prawotronnych o których mowa w twierdzeniu podtawiamy warunki początkowe). Wyznaczamy Y i rozkładamy na ułamki: Y = Teraz z tablic znajdziemy = + + ( + ) + = + ( + ) + + ( + ) + L + ( + ) + ] = e t co t, L ( + ) + ] = e t in t, a więc y(t) = L Y ] = e t co t + e t in t = e t (co t + in t). Zauważmy, że gdyby nie było warunków początkowych, to w miejce granic lewotronnych należałoby wpiać tałe dowolne. To oczywiście komplikowałoby rachunki. Dlatego też ta metoda (nazywana również metodą operatorową) jet toowana najczęściej do zagadnień z warunkami początkowymi. 4

5 Tranformaty ważniejzych funkcji Oryginał Tranformata.. t n n! n+ 3. e αt α β +β 4. in βt 5. co βt 6. inh βt 7. coh βt 8. t n αt e n! 9. e αt in βt 0. e αt co βt α. t in βt β +β β β β ( α) n+ β ( α) +β ( α) +β ( +β ) β ( +β ). t co βt 3. te αt ( α) Przykład Znaleźć rozwiązanie zczególne równania Rozwiązanie. Tranformując otrzymamy: y + 4y = co x, y(0) = 0, y (0) = 4. Y 4 + 4Y = Wyznaczamy Y i rozkładamy na ułamki: Teraz z tablic znajdziemy a więc + 4 Y = = 4 ( + 4) ( + 4) L ] = in t, L 4 ( + 4) ] = t in t, y(t) = L Y ] = in t + t in t. 6. Reiduum funkcji zepolonej Definicja 3. Niech f() będzie funkcją wymierną zmiennej zepolonej : f() = P () Q(), gdzie P (), Q() ą wielomianami. Liczbę 0 nazywamy k-krotnym biegunem funkcji f(), gdy 0 jet k-krotnym pierwiatkiem Q() oraz P ( 0 ) 0. 5

6 Definicja 4. Jeżeli 0 jet k-krotnym biegunem funkcji f(), to reiduum funkcji f() w 0 nazywamy liczbę: gdy 0 jet biegunem jednokrotnym; re f() = = 0 gdy 0 jet biegunem k-krotnym. re f() = lim = 0 0 ( 0 )f(), (k )! lim 0 d k d k ( 0) k f()], Uwaga. Zarówno pojęcie bieguna, jak i reiduum (łowo łacińkie, znaczy rezta; w liczbie pojedynczej nieodmienne; liczba mnoga: reidua, tych reiduów) definiuje ię zwykle ogólniej. Do nazych celów wytarczy jednak ta uprozczona werja. Przykłady. Znaleźć bieguny i obliczyć reidua funkcji: ) f() = +. ( ) Mianownik ma dwa miejca zerowe: 0 (jednokrotne) i (-krotne). Nie ą one zerami licznika, więc ą biegunami, odpowiednio jedno- i -krotnymi. Obliczamy: oraz re f() = = ( )! lim re f() = lim + =0 0 ( ) =, ( + ) f() = + +. Są dwa bieguny jednokrotne: i oraz i. Obliczamy: ) = lim ( ) = 0 re f() = lim ( i) + =i i ( i)( + i) = i + i re f() = lim ( + i) + = i i ( i)( + i) = i + i = i, = + i. 7. Zatoowanie reiduów do obliczania oryginałów dla tranformat Twierdzenie. Jeżeli tranformata F () jet funkcją wymierną, to oryginał f(t) wynoi: f(t) = re = k F ()e t, gdzie uma rozciąga ię na wzytkie bieguny k funkcji F (). Mamy natępujące fakty. Fakt. Jeżeli, ą biegunami przężonymi, to re F ()e t + re F ()e t = Re ( re F ()e t). = = = Inaczej mówiąc, reidua ą liczbami przężonymi (można to było zauważyć w Przykładzie wyżej). Dowód właności jet nietrudny. 6

7 Fakt. Jeżeli 0 jet biegunem pojedynczym funkcji F () = P () Q(), to re F ()e t = P ( 0) = 0 Q ( 0 ) e 0t. Dowód: lim ( 0 ) P () P () 0 Q() et = 0 lim Q() Q( 0 e t = P ( 0) ) Q ( 0 ) e 0t. 0 Wniokiem z wykazanej właności jet natępujące twierdzenie. jet tranformatą i wzytkie pier- Twierdzenie 3. (o rozkładzie) Jeżeli F () = P () Q() wiatki k wielomianu Q() ą jednokrotne, to f(t) = P ( k ) Q ( k ) e kt, gdzie uma rozciąga ię na wzytkie pierwiatki. 8. Zadania rozwiązywanie równań. y y = t, y(0) = Obliczamy: oraz re Y =0 ()et = więc y = t + 4e t.. y + y =, y(0) = y (0) = 0 Obliczamy: oraz Y = + + ( ) re Y + + = ()et = lim e t = 4e t, ( ) ( )! lim + + e t = t, Y = ( + )) re Y = ()et = lim + et = re Y =i ()et = lim i ( + i)e = (co t + i in t), t re Y = i ()et = lim i ( + i)e = (co t i in t) t więc y = co t. 3. Rozwiązać układ { y + 3y + z = 0 z y + z = 0 z warunkami początkowymi y(0) =, z(0) =. 7