KOOF Szczecin:

Transkrypt

1 Źródło: III OLIMPID FIZYCZN (953/954). Stopień I, zadanie teoretyczne 4 Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Stefan Czarnecki: Olimpiady Fizyczne I IV. PZWS, Warzawa 956, Pozorny ruch ciała po okręgu w świetle trobokopowym. Kinematyka, mechanika. ruch, okre, czętotliwość, prędkość pozorna, trobokop Zadanie teoretyczne 4, zawody I topnia, III OF W dokładnie zaciemnionym pokoju po okręgu koła o promieniu r poruza ię ruchem jednotajnym ciało o rozmiarach bardzo małych w porównaniu z promieniem r. Okre tego ruchu równy jet. Ciało jet widoczne tylko chwilami, dzięki krótkotrwałym błykom lampy, natępującym w równych odtępach czau. Cza nazywamy okreem błyków. Odpowiedzieć na natępujące pytania:. Jak zmienia ię charakter i kierunek pozornego oberwowanego ruchu kokowego" punktu, gdy okre błyków zmieniamy; od wartości małej w porównaniu z okreem aż do wartości 2 (przyjmujemy, że okre obiegu jet dotatecznie duży, aby nie brać pod uwagę zjawik fizjologicznych związanych z przetrzymywaniem przez iatkówkę oka wrażeń świetlnych)? 2. Znaleźć związek między średnią pozorną prędkością v ruchu oberwowanego a okreem obiegu ciała po kole i okreem błyków w przypadku: Jaki winien być najmniejzy okre błyków, aby oberwator widział pozorny ruch ciała n-krotnie zwolniony i odbywający ię w kierunku wtecznym? 4. Wkazać metodę, za pomocą której można by zmierzyć czętość, obrotów wału lub kół mazyn, wykorzytując do tego celu! omawiane zjawiko, zwane efektem trobokopowym. 5. (pytanie nieobowiązkowe). Przyjmując, iż ciało jet wycinkiem koła (lub pierścienia kołowego) takim, że w kole mieści ię całkowita liczba takich wycinków, oraz wiedząc, że iatkówka oka przetrzymuje wrażenia świetlne k ekund (gdzie,4 < k <,2 ). Obmyślić poób pomiaru k dla różnych ludzi. Rozwiązanie. Rozwiązanie pierwzej części zadania rozbijemy na kilka przypadków w zależności od wielkości okreu błyku w tounku do okreu obiegu ciała, a) < /2, n > 2n. Między jednym a drugim kolejnym błykiem.ciało zakreśli łuk mniejzy niż polowa obwodu, przy każdym natępnym błyku oberwator zobaczy je o taki am odcinek okręgu dalej. Stwierdzi on innymi łowy kokowy ruch ciała po obwodzie koła z prędkością średnią równą co do wartości i kierunku prędkości rzeczywitej v. b) = /2, n = 2n. Każdy natępny kolejny błyk oświetli ciało, gdy znajdować ię ono będzie o /2 obwodu kola dalej niż przy błyku poprzednim. Oberwator będzie je widział co /2, na przemian raz na jednym, a raz na drugim końcu tej amej średnicy. Gdy okre jet dotatecznie krótki, tzn. gdy czętość jet na tyle duża, że /2 < k, wtedy oberwator widzieć będzie na przeciwległych końcach średnicy pozornie dwa ciała. /7

2 c) /2 < <, n < n < 2n. Ponieważ okre błyków jet krótzy od okreu obiegu ciała, przeto natępny kolejny błyk oświetli je w położeniu ' (ry. ). W ciągu czau równego ciało przeunęło ię po dłużzym łuku ' = 8 i zajęło położenie '. Oberwatorowi wydaje ię, że ciało przeunęło ię po łuku krótzym ' w kierunku wtecznym. Przy trzecim błyku oberwator zobaczy je w położeniu ", po czwartym w '" itd. Dla oberwatora ciało będzie pozornie wykonywać ruch wteczny z prędkością v = /. Ry.. d) =, n = n. Skoro oba okrey ą równe, przeto między jednym a drugim błykiem ciało opize pełny okrąg i znajdzie ię na tym amym miejcu. W rezultacie ciało będzie pozotawać pozornie nieruchome. e) < < 3/2, 2/3n < n < n. Okre błyków jet teraz dłużzy od okreu obiegu. W ciągu zatem czau ciało obiegnie nie tylko cały obwód, ale ponadto odcinek obwodu (ry. 2) zawarty między i πr ( < < πr). Przeprowadzając analogiczno rozumowanie jak w przypadku c dojdziemy do wnioku, że oberwator twierdzi pozorny kokowy ruch ciała w kierunku zgodnym z ruchem rzeczywitym, jednak z prędkością znacznie od rzeczywitej mniejzą. Ry. 2. 2/7

3 f) = 3 /2, n = 2n /3. Przypadek ten jet podobny do przypadku b. W ciągu jednego okreu błyków ciało obiegnie l½ obwodu, każdy więc natępny błyk zatanie je na przemian to na jednym, to na drugim końcu tej amej średnicy. Cza między jednym a drugim ukazaniem ię ciała będzie 3 razy dłużzy niż w przypadku b (3 /2). g) 3 /2 < < 2, 2n < n < 2n /3. Z ryunku 3 widać od razu, że w tym przypadku kolejne błyki zataną ciało w położeniu np., ', ",... a oberwator podobnie jak w przypadku b twierdzi pozorny kokowy ruch wteczny. h) = 2, n = n /2. Ciało ukazywać ię będzie co 2 tale w tym amym punkcie. h) Ry Dla wyznaczenia prędkości pozornego ruchu ciała ( /2 < < 3 /2) korzytamy z ry.. Prędkość tę łatwo obliczymy jako tounek pozornej drogi do okreu błyków. Rzeczywita prędkość wynoi a rzeczywita droga odbyta w czaie : Pozorna droga wynoi więc tąd prędkość pozorna υ, () S. S, υ. (2) 3/7

4 Widać tąd, że dla: < mamy v < (ruch wteczny), = mamy v =, > mamy v > (ruch proty), przy czym gdy, to i również v. Wzór () nietrudno uogólnić i dla > 2, mamy m, υ (3) gdzie m oznacza ile w okreie błyków mieści ię pełnych okreów obiegu punktu. Wzory (2) i (3) znacznie ię uprozczą, jeżeli operować będziemy nie prędkościami liniowymi po obwodzie, a czętościami. Oznaczmy przez v czętość pozornego ruchu ciała, przez n czętość faktycznego ruchu tego ciała i przez n czętość błyków. Z uwagi na związek v = ωr możemy napiać v = 2vr oraz v = 2n r. Podtawiając te otatnie wartości do wzoru (2) otrzymujemy czyli Podobnie ze wzoru (3): n n v, n n v n n. (2) v n mn. (3) 3. Warunek, by prędkość ruchu pozornego była n razy mniejza od rzeczywitej i kierowana wtecz, łatwo znajdziemy ze wzoru () oraz (2) piząc: kąd wynika natychmiat: υ n υ n. n 4. Zjawika trobokopowego używa ię niejednokrotnie do pomiarów czętości obrotów lub też (nawet częściej) do kontroli ich: tałości. Przytoczymy kilka możliwych rozwiązań. Wyobraźmy obie, że koło, którego obroty mamy zmierzyć, ma z boku bliko obwodu plamkę namalowaną białą farbą, lub też jeśli; poiada ono zprychy, to jedna z nich pomalowana jet na biało. Koło to oświetlamy lampą neonową zailaną prądem zmiennym ieciowym o czętości 5 cykli na ekundę. Błyków mamy zatem n = lub jeśli użyjemy prądu jednokierunkowo protowanego, n = 5. Zamiat neonówki można użyć wiązki światła ciągłego przerywanej periodycznie za pomocą wirującej tarczy z otworami, napędzanej ynchronicznym ilniczkiem elektrycznym.. Można również koło oświetlić światłem ciągłym, a za to patrzeć przez otwory takiej wirującej tarczy jet to zupełnie równoznaczne. Jeżeli zukana czętość koła jet n, to czętość pozornego ruchu kołowego białej plamy, w myśl wzoru (3'), wynoi v = n + mn,, 4/7

5 przy czym znak plu dotyczy pozornego ruchu protego, natomiat minu ruchu wtecznego. Szukana czętość koła będzie n = mn v. By wyznaczyć n, wytarczy policzyć w ciągu minuty liczbę obiegów pozornych plamy i dodać lub odjąć od znanej czętości błyków. Od razu jednak widać, że metoda taka może być toowana tylko w bardzo ograniczonych ramach. mianowicie wtedy tylko, gdy n mało ię różni od mn, gdzie m =, 2, 3,. Możemy więc mierzyć n bardzo dokładnie, ale w wąkich zakreach. I tak na przykład zakrey takie przy użyciu neonówki będą: gdy m = : 96 4 (ewentualnie przy zailaniu neonówki przez jednokierunkowy protownik), gdy m = 2: (96 4 ) itd. Więcej bowiem niż cztery pozorne obiegi plam}- w ciągu ekundy trudno by było wizualnie policzyć. Z uwagi na te niedogodności metoda ta nadaje ię raczej do bardzo dokładnej kontroli tałości obrotów (mierzenia drobnych odchyleń od przepianej czętości). Itotnie, znajduje ona zatoowanie np. przy prawdzaniu prawidłowej czętości obrotów płyt gramofonowych. Płyta gramofonowa powinna wykonywać 78, 45 lub 33/3 obrotów na minutę. żeby prawdzić, czy tak jet w itocie, na płycie kładziemy pecjalny krążek tekturowy z określoną ilością wycinków na przemian czarnych i białych, a natępnie w czaie jego ruchu oświetlamy go neonówką. W celu pozbycia ię ograniczeń przy dokonywaniu pomiarów n lepiej jet potąpić inaczej, a mianowicie badane koło oświetlić wiązką światła przechodzącą przez otwory wirującej tarczy 2 (ry. 4). arcza jet obracana przez ilniczek elektryczny o czętości obrotów regulowanej w zerokich granicach za pomocą np. opornicy. Silniczek zaopatrzony jet ponadto w automatyczny wkaźnik czętości obrotów. Nadajmy tarczy na tyle zybkie obroty, by mieć przekonanie, że czętość błyków n pełnia na pewno warunek n > 2n. eraz topniowo obniżamy czętość błyków i oberwujemy pozorny ruch plamy. W pewnej chwili zobaczymy dwie plamy na przeciwległych końcach średnicy (n = 2n przypadek b), potem zybki pozorny ruch wteczny plamy topniowo zwalniający, aż wrezcie pojawi ię jedna plama nieruchoma. Świadczyć to będzie, że czętość błyków i czętość mierzona ą obie równe (n = n ). Jeżeli na tarczy mamy p otworów, a wkaźnik obrotów przy ilniczku pokaże N - wtedy możemy napiać: n = NP. Dokładność pomiaru w wyokim topniu będzie oczywiście zależna od dokładności wkaźnika zybkości obrotów ilniczka napędzającego tarczę. Można również potąpić inaczej. Dobrać mianowicie jakąkolwiek znaną czętość błyków n, przy której natępuje pozorne zatrzymanie koła. Wówcza: n = mn. Natępnie zmniejzać w poób ciągły ilość błyków do takiej wartości n 2, przy której koło ulega powtórnemu pozornemu zatrzymaniu. eraz: n = (m + )n 2. Rugując z obu związków m otrzymamy zukaną czętość obrotu koła Można rozzerzyć ten zakre malując na kole nie jedną, ale więcej plam, np. cztery jednakowe i rozmiezczone równomiernie na obwodzie kola. W ten poób co ¼ obrotu powtarza ię ten am układ plam. Pozwala to na dokonywanie pomiarów czętości cztery razy mniejzych. 2 Można również oświetlać neonówką z generatora drgań relakacyjnych o regulowanej czętości. 5/7

6 n n n n n 2. 2 wkaźnik czętości obrotów oczewka Ry Wyobraźmy obie urządzenie kładające ię z dwóch tarcz i B (ry. 5) umocowanych ztywno na wpólnej oi. arcza wykonana jet z matowego zkła z zaczernionymi dwoma naprzeciwległymi kwadratami (brak zaznaczenia na ry.). arcza B wykonana z blachy poiada cztery otwory umiezczone w równych od iebie odtępach i jednakowo odległe od oi. Oś napędzana jet ilniczkiem o regulowanej w poób ciągły czętości obrotów, przy czym czętość tę można w każdej chwili odczytać na pecjalnym wkaźniku. Światło z żarówki punktowej zebrane jet prze oczewkę w ten poób, że przebiega ono przez otwory w tarczy B i oświetla tarczę błykami. źródło światła B oczewka Ry. 5. Podcza jednego obrotu oi na tarczy powtórzy ię dwukrotnie ten am układ czarnych i białych kwadrantów, a jednocześnie zotanie ona oświetlona czteroma błykami. Jeżeli przez 6/7

7 n oznaczymy czętość powtarzania ię tego amego układu, a przez n czętość błyków, mamy wówcza: n = 2n. Jet to zatem przypadek omawiany w punkcie b. Człowiek, którego wzrok ma być poddany badaniu, patrząc na wirującą tarczę z przeciwnej trony niż pada na nią światło będzie widział pozornie nieruchome czarne i jane ektory, ale co /2 zmieniające ię miejcami. Gdy będziemy czętość obrotów topniowo powiękzać, to dojdziemy w końcu do takiej czętości krytycznej, przy której nie zauważy on już migotania i tarcza przedtawi mu ię cała oświetlona równomiernie. Stanie ię to wtedy, gdy /2 będzie równa tałej k charakterytycznej dla jego wzroku. Niech krytyczna czętość obrotów układu wynoi N k, liczba błyków będzie wówcza: n = 4N k i n = 2N k, a tąd, n 2n k czyli k. 2 4 Przypuśćmy na przykład, że oberwator widzi tarczę równomiernie oświetloną począwzy od czętości obrotu oi N k = 5 min = 2,5. Stała charakterytyczna k dla jego wzroku wynoi zatem: k,. 4 2,5 N k 7/7