Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. WPROWADZENIE 2. PROBLEM STABILNOŚCI

Transkrypt

1 Akademia Mrka w Gdyni Katedra Autmatyki Okrętwej Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Mirław Tmera. WPROWADZENIE Kryterium Nyquita jet metdą wykreślną pzwalającą na kreślanie tabilnści układu zamknięteg przez badanie włanści wykreu w dziedzinie częttliwści. Wykre Nyquita twrzny jet na pdtawie tranmitancji pętli twartej G()H() lub ). Wykre Nyquita pętli tranmitancji ) jet wykreem j ) we wpółrzędnych biegunwych Im[j )] w funkcji Re[j )] gdy zmienia ię d 0 d. Jet t klejny przykład użycia włanści tranmitancji pętli w celu kreślenia jakści układu zamknięteg. Kryterium Nyquita ma natępujące włanści, które tanwią użytecznści tej metdy w analizie i prjektwaniu układów terwania.. Ddatkw pza kreśleniem tabilnści ablutnej, tak jak przy użyciu kryterium Rutha, kryterium Nyquita daje również infrmacje tabilnści względnej układu tabilneg i tpniu nietabilnści układu nietabilneg. Daje również wkazanie tym jak w razie kniecznści mże ztać pprawina tabilnść układu.. Wykre Nyquita pętli twartej G()H() lub ) jet bardz łatwy d uzykania, zczególnie z pmcą kmputera.. Wykre Nyquita pętli twartej G()H() daje infrmację charakterytykach w dziedzinie częttliwści, takich jak M r, r, BW.. Wykre Nyquita jet bardz użyteczny w układach z czytym czaem późnienia, które nie mgą być rzważane przy użyciu kryterium Rutha lub Hurwitza, i ą trudne d analizy przy użyciu metdy linii pierwiatkwych.. PROBLEM STABILNOŚCI Kryterium Nyquita jet metdą kreślania płżeń pierwiatków równania charakterytyczneg z dkładnścią d prawej lub lewej półpłazczyzny. W przeciwieńtwie d metdy linii pierwiatkwej, kryterium Nyquita nie daje dkładnych płżeń pierwiatków równania charakterytyczneg. Zakładając, że tranmitancja pętli zamkniętej układu z pjedynczym wejściem i wyjściem (SISO) jet natępująca G( ) T ( ) ( G( ) H ( ) gdzie tranmitancja pętli G()H() mże mieć natępującą ptać G( ) H ( ) N ( T )( T )( a T )...( T )...( b Tm) e T ) a wpółczynniki T mają ptać liczb rzeczywitych lub zeplnych, natmiat T jet rzeczywitym czaem późnienia. n T () Otatnia aktualizacja: M. Tmera

2 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Równanie charakterytyczne uzykiwane jet przez przyrównanie wielmianu mianwnika M() d zera, pierwiatki równania charakterytyczneg ą również zerami + G()H(). Pierwiatki równania charakterytyczneg muzą pełniać zależnść gdzie ) jet tranmitancją pętli w ptaci gólnej ()... IDENTYFIKACJA ZER I BIEGUNÓW ( ) G( ) H( ) ) 0 () zera tranmitancji pętli: zera ) bieguny tranmitancji pętli: bieguny ) bieguny tranmitancji pętli zamkniętej: zera + ) = pierwiatki równania charakterytyczneg bieguny + ) = bieguny ).. WARUNKI STABILNOŚCI. Definiwane ą dwa typy tabilnści w dnieieniu d knfiguracji układu.. Stabilnść pętli twartej. Układ ma tabilną pętlę twartą jeśli wzytkie bieguny tranmitancji pętli znajdują ię w lewej półpłazczyźnie.. Stabilnść pętli zamkniętej. Układ ma tabilną pętlę zamkniętą lub jet tabilny, jeśli bieguny tranmitancji pętli zamkniętej lub wzytkie zera + ) znajdują ię w lewej półpłazczyźnie. Wyjątkiem d pwyżzych definicji ą układy z zerami lub biegunami znajdującymi ię w pczątku układu.. PODSTAWOWE DEFINICJE Kryterium Nyquita jet metdą graficzną i knieczne jet utalenie pewnych pdtawwych zaad, które wykrzytywane ą d interpretacji wykreu Nyquita w celu utalenia tabilnści... PUNKT OKRĄŻONY (Encircled) Mówi ię, że punkt lub bzar na płazczyźnie zmiennej zeplnej jet krążny jeśli znajduje ię wewnątrz zamknięteg knturu. Dla przykładu punkt A z ryunku jet krążny przez zamknięty kntur, gdyż znajduje ię w jeg wnętrzu. Punkt B nie jet krążny gdyż znajduje ię na zewnątrz knturu. Jeśli z zamkniętym knturem pwiązany jet kierunek, który mże być zgdny z kierunkiem ruchu wkazówek zegara (CW clckwie) lub d nieg przeciwny (CCW cunterclckwie). Kierunki nie mają znaczenia przy kreślaniu krążania. Ry.. Definicja krążania punktu przez zamknięty kntur.. PUNKT ZAWARTY (Encled) Mówi ię, że punkt lub bzar na płazczyźnie zmiennej zeplnej jet zawarty w zamkniętym knturze, jeśli jet krążany w kierunku dwrtnym d ruchu wkazówek zegara lub gdy punkt lub Otatnia aktualizacja: M. Tmera

3 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita bzar znajdują ię z lewej trny knturu, który przechdzi w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara. (a) Ry.. Definicja zawierania punktu przez zamknięty kntur. (a) Punkt A jet zawarty w knturze. (b) Punkt A nie jet zawarty, natmiat punkt B jet zawarty w knturze... Liczba krążeń Kiedy punkt jet krążany przez zamknięty kntur t liczba N mże być pwiązana z liczbą krążeń teg punktu. Wartść N mże być kreślna przez wykreślenie trzałki d teg punktu d pewneg punktu znajdująceg ię na zamkniętym knturze i wtedy punkt przemiezcza ię w zadanym kierunku aż pwróci d punktu pczątkweg. N jet całkwitą liczbą krążeń tej trzałki i uzykany kąt wyni N. Dla przykładu punkt A z ryunku (a) jet krążany przez kntur jednkrtnie lub radianów, a punkt B jet krążany dwukrtnie lub radianów, bydwa punkty krążane ą w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara. Na ryunku (b) punkt A jet krążany przez kntur jednkrtnie, a punkt B jet krążany dwukrtnie. Z definicji N jet ddatnie dla brtów przeciwnych, a ujemne dla krążeń zgdnych z kierunkiem ruchu wkazówek zegara. (b) 0 0 (a) Ry.. Definicja liczby krążeń (b).. Zaada Argumentu Kryterium Nyquita ztał wyprwadzne dla zatwań inżynierkich z dbrze znanej w terii liczb zeplnych zaady argumentu. Niech () jet funkcją jednznacznie kreślną i ma ptać równania (), które ma kńczną liczbę biegunów na płazczyźnie. Termin funkcja jednznacznie kreślna znacza, że dla każdeg punktu na płazczyźnie dpwiada tylk jeden punkt na płazczyźnie zeplnej () włączając w t niekńcznść. Niekńcznść na płazczyźnie zeplnej interpretwana jet jak punkt. Przypuśćmy, że na płazczyźnie arbitralnie wybrany ztał pewien zamknięty kntur, jak t pkazane ztał na ryunku (a). Jeśli nie przechdzi przez żaden biegun ani zer funkcji (), t wówcza trajektria będąca przekztałceniem knturu przez () na płazczyznę () będzie również linią zamkniętą, jak pkazan t na ryunku (b). Otatnia aktualizacja: M. Tmera

4 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita j Płazczyzna ( jim Płazczyzna () ( 0 ( 0 Re (a) (b) Ry.. (a) Arbitralnie wybrany zamknięty kntur na płazczyźnie. (b) Odpwiadająca knturwi na płazczyźnie () linia Rzpczynając d punktu, przechdzi ię przez kntur w pewnym arbitralnie wybranym kierunku (w tym przypadku w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara) pprzez punkty raz i natępnie wraca ię d punktu p przejściu wzytkich punktów na linii jak pkazan t na ryunku (a). Trajektria, dpwiadająca knturwi, tartuje d punktu ( i przemiezcza ię pprzez punkty ( ) i ( ), dpwiadające punktm, raz i tatecznie wraca d punktu pczątkweg ( ). Kierunek przemiezczania mże być zgdny lub przeciwny d ruchu wkazówek zegara, który jet tym amym lub przeciwnym d kierunku w którym zrientwany jet kntur, zależnie d rdzaju funkcji (). Zaada argumentu mże być zdefiniwana natępując: Niech () będzie jednznacznie kreślną funkcją, która ma kńczną liczbę biegunów na płazczyźnie. Przypuśćmy, że arbitralnie wybrany na płazczyźnie kntur zamknięty nie przechdzi przez żadne zer ani żaden biegun funkcji (). Trajektria jet wykreślna na płazczyźnie () i dpwiada knturwi przekztałcnemu przez funkcję () i krąża pczątek układu wpółrzędnych tyle razy ile wyni różnica pmiędzy liczbą zer i biegunów funkcji () które ą krążne na płazczyźnie przez kntur. W ptaci równania, zaada argumentu wygląda natępując: N liczba krążeń pczątku układu przez Z liczba zer funkcji () krążnych przez P liczba biegunów () krążnych przez N = Z P () na płazczyźnie () na płazczyźnie na płazczyźnie Ogólnie N mże być ddatnie (Z > P), zerwe (Z = P) lub ujemne (Z < P). Te trzy ytuacje ą piane pniżej bardziej zczegółw. N > 0 (Z > P). Jeśli kntur na płazczyźnie krąża w pewnym kierunku więcej zer aniżeli biegunów funkcji () wówcza N jet liczbą ddatnią. W tym przypadku linia będzie krążać pczątek układu płazczyzny () N razy w tym amym kierunku c.. N = 0 (Z = P). Jeśli kntur na płazczyźnie krąża tyle am zer c biegunów, lub żadnych zer lub biegunów funkcji (), kntur nie będzie krążał pczątku układu na płazczyźnie ().. N < 0 (Z < P). Jeśli kntur na płazczyźnie krąża w pewnym kierunku więcej biegunów aniżeli zer funkcji () wówcza N jet liczbą ujemną. W tym przypadku linia będzie krążać pczątek układu płazczyzny () N razy w kierunku przeciwnym niż. Otatnia aktualizacja: M. Tmera

5 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita.5. Punkt krytyczny Pczątek układu na płazczyźnie liczba krążeń N. () ni nazwę punktu krytyczneg z któreg wyznaczana jet.6. Kntur Nyquita Wiele lat temu, kiedy Harry Nyquit [] zajmwał ię rzwiązaniem prblemu tabilnści, który bejmwał prawdzenie czy funkcja ( ) ) ma zera w prawej półpłazczyźnie t dkrył, że zaada argumentu mże być zatwana d rzwiązania prblemu tabilnści jeśli weźmie ię pd uwagę taki kntur, który bejmie całą prawą półpłazczyznę. Na ryunku 5 znajduje ię linia zamknięta zwana knturem Nyquita i zrientwana w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara. Kntur Nyquita nie mże przechdzić przez żaden biegun i żadne zer i dlateg też gdy znajdują ię ne na i liczb urjnych t mija je. Jeśli zera lub bieguny znajdują ię w prawej półpłazczyźnie t ą krążane przez kntur Nyquita. j j Płazczyzna Bieguny j R j j Ry. 5. Kntur Nyquita.7. Kryterium Nyquita i wykre ) lub G()H() Kryterium Nyquita jet bezpśrednim zatwaniem zaady argumentu kiedy linia zamknięta kreślna na płazczyźnie jet knturem Nyquita pkazanym na ryunku 5. Stabilnść układu zamknięteg mże być kreślna przez wykreślenie funkcji ( ) ), kiedy zmienia wje wartści wzdłuż knturu Nyquita i bada ię zachwanie wykreu () względem punktu krytyczneg, który w tym przypadku jet pczątkiem płazczyzny (). Stąd, że funkcja ) jet zazwyczaj znana t prściej będzie kntruwać wykre ), który dpwiada knturwi Nyquita i te ame wniki tabilnści układu zamknięteg mgą być uzykane przez berwację zachwania wykreu funkcji ) w dnieieniu d punktu (, j0) na płazczyźnie ). Jet tak, gdyż pczątek układu na płazczyźnie ( ) ) dpwiada punktwi (, j0) na płazczyźnie ). Stąd punkt (, j0) na płazczyźnie ) taje ię punktem krytycznym d kreślania tabilnści pętli zamkniętej. Dla układu z pjedynczą pętlą tranmitancji ) = G()H() kreślenie tabilnści plega na badaniu zachwania wykreu G()H() w dnieieniu d punktu ( + j0) na płazczyźnie G()H(). Dany układ terwania, który ma równanie charakterytyczne dane przez przyrównanie wielmianu licznika + ) d zera, gdzie ) jet tranmitancją pętli, zatwanie kryterium Nyquita d prblemu tabilnści bejmuje natępujące krki:. Kntur Nyquita definiwany jet na płazczyźnie jak pkazan t na ryunku 5. Wykre ) dpwiadający knturwi Nyquita kntruwany jet na płazczyźnie ). Otatnia aktualizacja: M. Tmera 5

6 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita. Oberwwana jet wartść N, która jet liczbą krążeń punktu (, j0) przez wykre ).. Kryterium Nyquita wynika z równania () N = Z P (5) gdzie N jet liczbą krążeń punktu (, j0) przez wykre ). Z jet liczbą zer + ) wewnątrz knturu Nyquita (tzn. w prawej półpłazczyźnie ) P jet liczbą biegunów + ) wewnątrz knturu Nyquita (tzn. w prawej półpłazczyźnie ); zauważ, że bieguny + ) ą takie ame jak te z ). Wymagania dla dwóch zdefiniwanych wcześniej typów tabilnści w zależnści d Z i P ą natępujące: Dla tabilnści pętli zamkniętej, Z mui być równe zer. Dla tabilnści pętli twartej, P mui być równe zer. Warunki dtyczące tabilnści przy użyciu kryterium Nyquita ą natępujące N = P (6) Układ z pętlą zamkniętą będzie tabilny jeśli wykre ) będzie krążał punkt (, j0) tyle razy ile wyni liczba biegunów ), które znajdują ię w prawej półpłazczyźnie i krążanie jeśli jet, mui być w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara (jeśli kntur zdefiniwany jet w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara).. OGÓLNE KRYTERIUM NYQUISTA DLA TRANSMITANCJI MINIMALNOFAZOWEJ I NIE MINIMALNOFAZOWEJ Kryterium Nyquita piane w pprzednim rzdziale jet uciążliwe d twania gdy tranmitancja pętli nie jet typu minimalnfazweg. Jeśli tranmitancja pętli nie jet typu minimalnfazweg, t wówcza prawdzenie czy wykre Nyquita pętli ) nie bejmuje punktu (, j0) na płazczyźnie jet tylk warunkiem kniecznym, a nie wytarczającym dla tabilnści pętli zamkniętej. Włanści tranmitancji minimalnfazwej ą natępujące:. Tranmitancja minimalnfazwa nie zawiera biegunów ani zer w prawej półpłazczyźnie ani na i j, z wyjątkiem pczątku układu.. Dla tranmitancji minimalnfazwej ) z m zerami i n biegunami wyłączając z teg = 0, kiedy = j i jak zmienia ię d 0 d t całkwita zmiana fazy j ) jet równa ( n m) radianów.. Wartść tranmitancji minimalnfazwej dla pewnej kńcznej częttliwści niezerwej nie mże być równa zer ani niekńcznść.. Tranmitancja nieminimalnfazwa zawze będzie miała bardziej ddatnie przeunięcie fazwe gdy zmienia ię d d 0. Jet t równważne temu, że tranmitancja ta będzie miała bardziej ujemne przeunięcie fazwe gdy zmienia ię d 0 d. Dla układu z tranmitancją nieminimalnfazwą pętli ) ryginalne kryterium Nyquita wymaga zrbienia wykreu pętli ), który dpwiada całemu knturwi Nyquita z ryunku 5. Jeśli tranmitancja pętli ) ma bieguny lub zera na i liczb urjnych t wykre Nyquita mui mieć małe nacięcia wkół nich na i liczb urjnych j. Yeung [] zaprpnwał uprzczną werję kryterium Nyquita, która pzwala na kreślenie tabilnści zarówn układów tranmitancjach pętli minimaln jak również nieminimaln fazwych pprzez zatwanie tylk ddatniej części i j z której kłada ię kntur Nyquita. Jeśli układ jet typu minimalnfazweg t prawdzenie czy punkt (, j0) jet bjęty jet łatwiejze d zatwania. Dla układów nieminimalnfazwych pza prawdzeniem czy punkt (-, j0) jet bjęty wymaga prawdzenia ddatkweg warunku kąta który mui być pełniny aby układ badanej tranmitancji był tabilny. Otatnia aktualizacja: M. Tmera 6

7 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita j Płazczyzna j Płazczyzna R R (a) Ry. 6. (a) Kntur Nyquita, (b) Alternatywny kntur Nyquita. (b) Rzważne ztaną dwa kntury Nyquita pkazane na ryunku 6. Kntur Nyquita z ryunku 6(a) jet knturem ryginalnym wprwadznym przez Nyquita, pdcza gdy z ryunku 6(b) krążą nie tylk prawą półpłazczyznę ale również wzytkie zera i bieguny funkcji ) znajdujące ię na i liczb urjnych j. Zdefiniwane ztaną natępujące wkaźniki. Z liczba zer + ) znajdujących ię w prawej półpłazczyźnie P liczba biegunów ) lub + ) znajdujących ię w prawej półpłazczyźnie P liczba biegunów ) lub + ) znajdujących ię na i liczb urjnych uwzględniając również te z pczątku układu N liczba krążeń punktu (, j0) na płazczyźnie ) przez wykre Nyquita funkcji ) dpwiadający knturwi N liczba krążeń punktu (, j0) na płazczyźnie ) przez wykre Nyquita funkcji ) dpwiadający knturwi Wówcza w dnieieniu d tych dwóch knturów pkazanych na ryunku 6 i twnie d kryterium Nyquita zachdzą natępujące związki raz N Z P (7) N Z P P (8) Przypuśćmy, że raz ą kątami utwrznymi przez wektr łączący wykrey Nyquita funkcji ) z punktem (-, j0), który t wykrey dpwiadają dpwiedni knturm raz. Wówcza N 60 ( Z ) 60 (9) P 60 ( Z P P N ) 60 (0) Zauważmy, że każdy kntur Nyquita raz utwrzne ą z trzech kawałków:. Kawałek d = j d +j wzdłuż półkręgu niekńcznym prmieniu.. Kawałek wzdłuż i j, wyłączając wzytkie małe wyżłbienia.. Wzytkie małe wyżłbienia znajdują ię na i j. Otatnia aktualizacja: M. Tmera 7

8 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Z knturów pkazanych na ryunku 6, które ą ymetryczne wkół i liczb rzeczywitych na płazczyźnie, kąty twrzne przez wykrey Nyquita względem punktu (-, j0) ą identyczne dla ddatnich i ujemnych wartści. Dlateg też raz ą zapiywane natępując gdzie ( ( jet kątem utwrznym przez wykre Nyquita wielmianu ) w dnieieniu d punktu (, j0), dpwiadający ddatniej lub ujemnej i j na płazczyźnie wyłączając małe wyżłbienia. jet kątem utwrznym przez wykre Nyquita wielmianu ) w dnieieniu d punktu (, j0), dpwiadający małym żłbkm na i j knturu (kierunki na małych wyżłbieniach na knturze ą przeciwne d tych z knturu w równaniu ( jet ujemny) jet kątem utwrznym przez wykre Nyquita wielmianu ) w dnieieniu d punktu (, j0), dpwiadający półkręgm z niekńcznymi prmieniami na knturze Nyquita. Dla tranmitancji która nie ma więcej zer niż biegunów, wykre Nyquita tranmitancji ) który dpwiada niekńcznemu półkręgwi mui również być punktem na i rzeczywitej lub trajektrii wkół pczątku płazczyzny ). Więc kąt twrzny przez dcinek rywany z punktu (, j0) d wykreu Nyquita wzdłuż półkręgu niekńcznym prmieniu jet zawze równy zer. Teraz ddając równanie ( d ( i wykrzytując równanie (9) raz (0), trzymuje ię Rzwiązując dla trzymuje ię ( Z P P ) 60 ( ( Z P 0.5P ) 80 ( Równanie t znacza, że kąt całkwity twrzny przez dcinek narywany z punktu (, j0) d wykreu Nyquita funkcji ), który dpwiada części knturu kładająceg ię z ddatniej i j płazczyzny wyłączając małe wyżłbienia, jeśli itnieją jet równy = [liczbie zer + ) w prawej półpłazczyźnie zmiennej liczba biegunów ) w prawej półpłazczyźnie zmiennej 0.5(liczba biegunów ) na i j )] 80 (5) Kryterium tabilnści Nyquita mże być twane p kntruwaniu tylk tej części wykreu Nyquita, który dpwiada fragmentwi knturu Nyquita d = j d = 0. Dlateg też jeśli układ zamknięty jet nietabilny t pprzez znajmść wartści, P raz P, z równania ( wyznacza ię liczbę pierwiatków równania charakterytyczneg, które ą w prawej półpłazczyźnie. Dla układu zamknięteg tabilneg, Z mui być równe zer. Więc kryterium Nyquita dla tabilnści układu zamknięteg (0.5P ) 80 (6) P Stąd, że P raz P nie mgą być ujemne, równanie (6) znacza, że kąt utwrzny przez wykre Nyquita funkcji j ) w dnieieniu d punktu (, j0) przy zmianie d d 0 jet ddatni. Nie wytarczy że kąt (5). jet ujemny, mui być również pełniny warunek piany przez równanie Otatnia aktualizacja: M. Tmera 8

9 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita 5.. Układ z minimalnfazwą tranmitancją pętli Jeśli ) jet typu minimalnfazweg, wówcza P = 0 raz P znacza liczbę biegunów ) które znajdują ię w pczątku układu; równanie ( przyjmuje ptać ( Z 0.5 ) 80 (7) P dla tabilnści układu zamknięteg Z = 0; równanie (7) uprazcza ię 90 P (8) Stąd, że P znacza liczbę biegunów ) które znajdują ię w pczątku układu; t łatw zbaczyć, że jeśli punkt (, j0) nie jet bejmwany przez wykre Nyquita funkcji ) t będzie zawze dane przez równanie (8). Jeśli ) jet typu minimalnfazweg, warunek że punkt (, j0) nie jet bejmwany przez wykre Nyquita jet warunkiem kniecznym i wytarczającym dla tabilnści układu zamknięteg. Przykład Rzważny ztanie układ terwania pkazany na ryunku.. Przy użyciu kryterium Nyquita wyznacz zakreu parametru trjneg K dla któreg układ ten będzie tabilny. R() K Y() Ry... Schemat blkwy układu terwania Rzwiązanie: Tranmitancja pętli układu ) KG( ) H( ) Bieguny tranmitancji pętli znajdują ię w = 0,, = j, =. Mżna użyć kryterium Rutha d zweryfikwania płżeń biegunów tranmitancji ). Więc P = raz P =. Tranmitancja ) jet typu nieminimalnfazweg. Z równania (6), wymaganie dtyczące tabilnści układu zamknięteg jet natępujące 6 0 (. (0.5P ) (.) P Pdtawiając = j, równanie (. ma ptać j ) L ( j ) (.) ( 6) j (0 ) W celu znalezienia punktu przecięcia z ią liczb rzeczywitych na płazczyźnie j ), należy przekztałcić j ) d ptaci w której w mianwniku nie ma funkcji zeplnej K{ ( 8) j ( 0)} L ( j ) (.) ( 6) (0 ) Przyrównując część urjną j ) d zera trzymuje ię ( 0) 0 (.5) Otatnia aktualizacja: M. Tmera 9

10 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Rzwiązaniami równania (.7) ą = 0,,. 9,,5. 5 rad/, które ą częttliwściami przy których wykre j ) przecina ś liczb rzeczywitych na płazczyźnie j ). Dla ddatnich wartści częttliwści, p pdtawieniu d równania (.) uzykuje ię dwa punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych. Kiedy =.9 rad/ natmiat dla =.5 rad/ j.9) K (.6) j.5) 0. 09K (.7) Warunek kąta (.), który jet warunkiem kniecznym tabilnści teg układu będzie pełniny jeśli punkt przecięcia z ią liczb rzeczywitych piany wzrem (.6) będzie z prawej, natmiat punkt przecięcia (.7) z lewej trny punktu (, j0). Uzykuje ię w ten pób dwa warunki dtyczące tabilnści układu z ryunku K (.8) 0.09K (.9) Z rzwiązania układu równań (.8) raz (.9) uzykuje ię zakre tabilnści dla trjneg parametru K 5.9 K 5.65 (.0) Kiedy K jet ujemne używa ię wykreu funkcji (.) w dnieieniu d punktu (+, j0) jak punktu krytyczneg. Dla dwlnej wartści wzmcnienia K z zakreu d d 0 w dnieieniu d punktu krytyczneg (+, j0) kąt 90, czyli nie jet pełniny warunek (.). Wniek jet taki, że układ ten będzie tabilny dla zakreu K z zakreu (.0). Wyniki w tym przykładzie ztały uzykane przy użyciu natępująceg kdu prgramu clear % Tranmitancja pętli twartej K = ; num_ = K*[ ]; den_ = [ 6-0 0]; G = tf( num_, den_) % Miejca zerwe tranmitancji pętli twartej rt( den_) % Wykre Nyquita nyquit(g) % Wartści częttliwści przy których wykre Nyquita % przecina ś liczb rzeczywitych w_rt = rt([ 0-0 0]) % Wyznaczenie punktu przecięcia z ią liczb rzeczywitych % dla pierwzej ddatniej wartści częttliwści w = w_rt( w = w; Mw = (w^-6*w^)^ + w^*(0+*w^)^; Pw = -*K*w^*(8+w^)/Mw % Pierwza wartść krytyczna wzmcnienia K = -/Pw % Wyznaczenie punktu przecięcia z ią liczb rzeczywitych % dla drugiej ddatniej wartści częttliwści w = w_rt() w = w; Otatnia aktualizacja: M. Tmera 0

11 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Mw = (w^-6*w^)^ + w^*(0+*w^)^; Pw = -*K*w^*(8+w^)/Mw % Druga wartść krytyczna wzmcnienia K = -/Pw 6. STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW STEROWANIA Z CZYSTYM CZASEM OPÓŹNIENIA Układy z czaem późnienia w pętli ą przedmitem zainterewania więkzej ilści prblemów tabilnści aniżeli układy bez późnienia. Czyty cza późnienia T mdelwany jet przez T tranmitancję e c pwduje, że równanie charakterytyczne układu nie ma tałych wpółczynników. Dlateg też kryterium Rutha nie ma tutaj zatwania. Metda linii pierwiatkwych mże być twana d układów z czytym czaem późnienia, lecz kntruwanie takich linii jet dść złżne. W tym rzdziale pkazane ztanie, że kryterium Nyquita mże być zatwane d układów z czytym czaem późnienia. Tranmitancja pętli układu terwania z czytym czaem późnienia wyrażna jet w natępującej ptaci T L ( ) L ( ) e (9) gdzie L ( ) jet funkcją ze tałymi wpółczynnikami, a T jet czytym czaem późnienia wyrażnym w ekundach. Stabilnść układu mże być badana przez kntruwanie wykreu Nyquita funkcji ) i berwację jeg zachwania w dnieieniu d punktu (, j0). Wpływ czynnika ekptencjalneg w równaniu (9) jet taki, że wprwadza brty wykreu L ( j ) dla każdeg przez kąt T w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara. Amplituda funkcji L ( ) nie zmienia ię pd wpływem czau późnienia, wynika t tąd, że amplituda e jet jedntkwa dla wzytkich częttliwści. Więkzść układów terwania jet typu lub wyżzych i amplituda funkcji L ( j ) zazwyczaj zmierza d zera gdy zmierza d niekńcznści. Więc wykre Nyquita tranmitancji pianej równaniem (9) zazwyczaj zmierza piralnie w kierunku pczątku układu wpółrzędnych w kierunku zgdnym z ruchem wkazówek zegara gdy zmierza d niekńcznści i tąd jet niekńczna liczba przecięć z ią liczb rzeczywitych na płazczyźnie L ( j ). P kntruwaniu wykreu Nyquita funkcji L ( j ), tabilnść układu jet kreślana w zwykły pób przez badanie kąta. Pniżzy przykład ilutruje analizę tabilnści układu zamknięteg z czytym czaem późnienia przy użyciu kryterium Nyquita. j T j Przykład Rzważ układ z jedntkwym przężeniem zwrtnym, któreg tranmitancja pętli twartej ma ptać T K T ) L ( ) e e (. Dla czau późnienia T = [] wyznacz zakre tabilnści układu. Rzwiązanie: Dla teg układu tranmitancja widmwa pętli twartej ma natępującą ptać j Ke c j in )( j ) j ) (.) j czyli K L ( j ) [(c in ) j(in c )] (.) Otatnia aktualizacja: M. Tmera

12 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Część urjna tranmitancji widmwej L ( j ) jet równa zer gdy tąd Rzwiązując t równanie dla najmniejzej wartści Pdtawiając wyznaczną wartść twartej L ( j ) (.), trzymuje ię in c 0 (.) tg (.5) uzykuje ię.088 [rad/] (.6) z równania (.6) d tranmitancji widmwej pętli K j.088) (c in.088) 0. K (.7).088 Wartść krytyczna wzmcnienia K jet uzykiwna jet przez przyrównanie zależnści (.7) d wartści. 0. K (.8) czyli K.69 (.9) Na ryunku.. pkazane ztały wykrey Nyquita dla tranmitancji pętli z wartścią wzmcnienia krytyczneg (.9) bez późnienia Im = = 9 = =.088 = 8 = 5 = 0 Re =.5 = 7 = 6 = = =.088 =.5 = (a) = 0.5 (b) = 6. = = 0.5 Ry... Wykrey Nyquita dla układów pianych tranmitancjami widmwymi (a)-(.0), (b)-(...69 L ( j ) (.0) j i czau późnienia T = [] j T.69 j ) L ( ) e e (. j Otatnia aktualizacja: M. Tmera

13 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Z wykreu widać, że układ pierwzeg rzędu bez późnienia jet tabilny dla wzytkich ddatnich wartści, natmiat dla układu z czaem późnienia T = [] układ taje ię nietabilny dla K > TRAJEKTORIA KRYTYCZNA Dtychcza w analizie tabilnści dla K ddatnich i ujemnych jak punkty krytyczne na płazczyźnie L ( j ) używane były punkty (, j0) raz (, j0). W pewnych warunkach ideę punktu krytyczneg mżna rzzerzyć d trajektrii. Z równania (0) widać, że pierwiatki równania charakterytyczneg pełniają zależnść T L ( ) e (0) Prawa trna pwyżzeg równania jet faktycznie punktem krytycznym (, j0) w analizie tabilnści układu zamknięteg. Równanie ( mże być zapiane jak L ) e T ( ( Kiedy = j, lewa trna tatnieg równania daje wykre tranmitancji pętli przy braku czau późnienia. Czynnik ekptencjalny równania () ma amplitudę równą jeden dla wzytkich wartści i jeg faza wyni T radianów. Dlateg też prawa trna równania () piuje trajektrię krytyczną, która jet kręgiem prmieniu równym jeden i śrdku umiezcznym w pczątku układu płazczyzny L ( j ). Kiedy = 0, wówcza trajektria krytyczna tartuje w punkcie (, j0) i wraz ze wzrtem punkt krytyczny przemiezcza ię p kręgu jedntkwym w kierunku przeciwnym d ruchu wkazówek zegara. Pniżzy przykład ilutruje zatwanie kryterium Nyquita d badania tabilnści układu zamknięteg z czytym czaem późnienia. Przykład Dana jet tranmitancja pętli układu terwania zamknięteg z czytym czaem późnienia T.69 T ) L ( ) e e (. Należy znaleźć wartść graniczną czau późnienia T dla której układ ten jet tabilny. Na ryunku.. przedtawiny jet wykre Nyquita funkcji L ( ) razem z trajektrią krytyczną j T e. Częttliwść przy której wykre L ( ) przecina trajektrię krytyczną znajdwany j jet przez przyrównanie amplitudy L ( ) d jednści j j.69 L ( j ) (.) j Rzwiązując równanie (.) trzymuje ię ddatnie rzwiązanie dla =.088 rad/, która jet częttliwścią przy której wykre Nyquita funkcji L ( j ) przecina krąg prmieniu punkt (, j0) na płazczyźnie L ( j ). Kąt mierzny w rad punktu (, j0) d punktu przecięcia z wykreem L ( j ) i trajektrią krytyczną jet równy T, gdzie znaleźć wartść krytyczną T przez przyrównanie =.088 rad/, mżna lub c prwadzi d L 088 ( j.088). T (.) arctan. 088T.088 (.) Otatnia aktualizacja: M. Tmera

14 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita czyli.8.088t (.5) T [] (.6) 7. STABILNOŚĆ WZGLĘDNA: ZAPAS WZMOCNIENIA I ZAPAS FAZY Wytępuje zainterewanie nie tylk tabilnścią ablutną ale również tabilnścią względną. W dziedzinie czau, tabilnść względna mierzna jet przez takie parametry jak makymalne przeregulwanie czy wpółczynnik tłumienia, w dziedzinie częttliwści, pik reznanwy M r. Inny pób pmiaru tabilnści względnej w dziedzinie częttliwści plega na pmiarze dległści wykreu Nyquita d punktu (, j0). 7.. ZAPAS WZMOCNIENIA Zapa wzmcnienia (GM) jet jednym z najczęściej używanych kryteriów d pmiaru tabilnści względnej układów terwania. W dziedzinie częttliwści zapa wzmcnienia używany jet d znaczenia blikści przecięcia ujemnej i rzeczywitej przez wykre Nyquita funkcji j ) względem punktu (, j0). Przed pdaniem definicji zapau wzmcnienia, najpierw należy zdefiniwać fazę dcięcia na wykreie Nyquita i częttliwść fazy dcięcia. Punkt dcięcia fazy. Punkt dcięcia fazy na wykreie j ) jet punktem w którym wykre przecina ujemną ś liczb rzeczywitych. Częttliwść graniczna fazy. Częttliwść graniczna fazy p jet częttliwścią przy której wytępuje punkt przecięcia fazy lub gdzie L ( j p ) 80 () Wykre Nyquita tranmitancji pętli j ), która jet typu minimalnfazweg pkazany jet na ryunku 7. Częttliwść fazy dcięcia znaczna ztała jak p, a amplituda j ) przy której p jet zapiana jak L j ) i wówcza zapa amplitudy układu z zamkniętą pętlą ( p zapa wzmcnienia = GM = 0 lg 0 lg j p ) j ) p () Na pdtawie tej definicji mżna wypiać natępujące wniki zapaie wzmcnienia układu pkazaneg na ryunku 7. Wykre j ) nie przecina i liczb rzeczywitych (brak kńcznej niezerwej fazy dcięcia) L ( j p ) 0 GM = db (). Wykre j ) przecina i liczb rzeczywitych pmiędzy punktami 0 raz 0 p L ( j ) GM > 0 db (5). Wykre j ) przechdzi przez punkt (, j0). Wykre j ) bejmuje punkt (, j0) L ( j p ) GM = 0 db (6) L ( j p ) GM < 0 db (7) Otatnia aktualizacja: M. Tmera

15 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Płazczyzna j ) jiml Punkt dcięcia fazy = p ReL j p ) Ry. 7. Definicja zapau wzmcnienia we wpółrzędnych biegunwych Opierając ię na pwyżzej dykuji, fizyczne znaczenie zapau wzmcnienia mże być trezczne natępując: Zapa wzmcnienia jet wielkścią wzmcnienia w decybelach (db), która mże być ddana d pętli nie pwdując nietabilnści. Kiedy wykre Nyquita nie przecina i liczb rzeczywitych przy żadnej kńcznej częttliwści t wówcza zapa wzmcnienia jet niekńczny c znacza, że teretycznie wartść wzmcnienia pętli mże być zwiękzana d niekńcznści. Kiedy wykre Nyquita przechdzi przez punkt (, j0), zapa wzmcnienia wyni 0 db, c znacza, że wzmcnienie pętli nie mże być zwiękzane gdyż układ znajduje ię na granicy tabilnści. Kiedy przecięcie fazy znajduje ię z lewej trny punktu (, j0), zapa wzmcnienia jet ujemny i wzmcnienie pętli mui być zmniejzne aby uzykać tabilnść układu Zapa wzmcnienia układów nieminimalnfazwych Dla takich układów układ mże być nietabilny nawet wówcza gdy punkt przecięcia fazweg znajduje ię z prawej trny punktu (, j0) i wówcza ddatni zapa wzmcnienia mże dpwiadać układwi nietabilnemu. 7.. ZAPAS FAZY Zapa wzmcnienia jet tylk jednwymiarwym piem tabilnści względnej układu zamknięteg. Jak ama nazwa mówi, zapa wzmcnienia znacza tabilnść układu w dnieieniu tylk d zmian wzmcnienia pętli. W zaadzie wierzymy, że układ z dużym zapaem wzmcnienia pwinien być relatywnie bardziej tabilny niż z mniejzym zapaem wzmcnienia. Chciaż am zapa wzmcnienia jet nieadekwatny d znaczania tabilnści kiedy inne parametry układu pza wzmcnieniem ię zmieniają. Aby bjąć wpływ przeunięcia fazweg na tabilnść wprwadzny ztanie zapa fazy (PM) który wymaga wprwadzenia pewnych definicji: Punkt dcięcia wzmcnienie. Punkt dcięcia wzmcnienia jet punktem na wykreie j ) przy którym amplituda j ) jet równa. Częttliwść graniczna wzmcnienia. Częttliwść graniczna wzmcnienia g jet Otatnia aktualizacja: M. Tmera 5

16 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita częttliwścią przy której wytępuje punkt dcięcia wzmcnienia lub gdzie Definicja zapau fazy mże być trezczna natępując L ( j g ) (8) Zapa fazy (PM) definiwany jet jak kąt wyrażny w tpniach który wykre j ) mui być brócny wkół pczątku układu aby mógł przechdzić przez punkt (-, j0). Na ryunku 8 pkazany ztał wykre Nyquita typweg wykreu minimalnfazweg j ) i zapa fazy definiwany jet jak kąt pmiędzy linią która przechdzi przez punkt dcięcia wzmcnienia i pczątek układu raz ujemną ią liczb rzeczywitych na płazczyźnie j ). Zapa fazy jet wartścią czyteg późnienia fazweg które ddane d pętli dprwadza g d nietabilnści. Kiedy układ jet typu minimalnfazweg, analityczne wyrażenie zapau fazy zapa fazy = PM = L ( j g ) 80 (9) gdzie g jet częttliwścią graniczną wzmcnienia. jiml Płazczyzna j ) ReL Zapa fazy Punkt dcięcia wzmcnienia = g Ry. 8. Definicja zapau fazy na płazczyźnie j ) 7... Zapa fazy układów nieminimalnfazwych Kiedy tranmitancja pętli jet typu nieminimalnfazweg, punkt przecięcia wzmcnienia mże pjawiać ię w pewnej ćwiartce płazczyzny j ) i definicja zapau fazy danej wzrem (9) nie zawze będzie pprawna. Przykład Dla układu regulacji pkazaneg na ryunku. i rzważaneg w przykładzie, krzytając z kryterium Nyquita wyznacz zapa amplitudy i fazy dla K = 5. Rzwiązanie: Tranmitancja peratrwa pętli twartej ) ma ptać Otatnia aktualizacja: M. Tmera 6

17 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita ) 6 0 natmiat tranmitancja widmwa pętli twartej L ( j ) (. j ) L ( j ) (.) ( 6) j (0 ) Częttliwść przy której wykre L ( j ) przecina trajektrię krytyczną znajdwany jet przez przyrównanie amplitudy L ( j ) d jednści j ) L ( j ) (.) ( 6) j (0 ) Mduły liczb zeplnych licznika i mianwnika wyznaczane ą z twierdzenia Pitagraa i równanie (.) przekztałca ię d ptaci ( K 6) (( Dalze przekztałcanie zależnści (.) prwadzi d natępująceg wielmianu ) (0 ) (.) (00 K ) K 0 (.5) Z rzwiązania wielmianu (.5) dla K = 5 uzykuje ię częttliwść przecina trajektrię krytyczną g przy której wykre g.96 [rad/] (.6) Pdtawiając d równania (.) za wyznaczną wartść graniczną g uzykuje ię j6.8 5 j e j89.96 L ( j.9 e (.7) 6.5 j6.05 j Pnieważ tranmitancja piana wzrem (. jet typu nieminimalnfazweg t w tym przypadku punkt przecięcia ię wykreu Nyquita z trajektrią krytyczną znajduje ię pwyżej punktu krytyczneg (, j0) i zapa fazy wyrażny w tpniach PM = L ( j (.8) Aby wyznaczyć zapa mdułu trzeba znaleźć punkty w których tranmitancja widmwa piana wzrem (.) iąga wartść fazy równą 80, czyli punkty przecięcia wykreu Nyquita z ujemną częścią i liczb rzeczywitych. Spób wyznaczania tych punktów pkazany jet w przykładzie. Uzykuje ię dwa punkty przecięcia dla =.5 raz =.9. Dla K = 5. j p j.5).807 (.9) j p ) j.9) 0.65 (.0) Zapay wzmcnienia w wartściach bezwzględnych GM = j.5) 0. 7 GM = j.9). 59 (. (. Otatnia aktualizacja: M. Tmera 7

18 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Zapay wzmcnienia wyrażne w decybelach GM db = 0 lg. 80 [db] (. j.5) GM db = 0 lg. 70 [db] (. j.9) Znając wartści zapaów wzmcnienia wyrażne w wartściach bezwzględnych mżna wyznaczyć zakrey tabilnści teg układu K gr GM (.5) K K gr GM (.6) K Natmiat z zapau fazy wyrażneg w radianach mżna wyznaczyć makymalny zakre dla czau późnienia który mże ztać jezcze ddany d układu aby nie tracił n tabilnści. PM g T (.7) czyli makymalna wartść czyteg późnienia przy wzmcnieniu K = 5 PM 0.78 T [] (.8).96 g Wyniki w tym przykładzie uzykane ztały przy użyciu natępująceg kdu prgramu Matlaba. clear K = 5; % Wielmian z któreg wyznaczana jet wartść wg w_rt = rt( [ (00-K^) 0 -K^]) wg = w_rt(5) w = wg; % Licznik tranmitancji widmwej dla w = wg w ptaci algebraicznej Lwg = K*(+w*j) % Mianwnik tranmitancji widmwej dla w = wg w ptaci algebraicznej Mwg = w^*(w^-6)-w*(0+*w^)*j % Wyznaczenie ptaci wykładniczej licznika M_Lwg = ab( Lwg) % mduł fi_lwg = angle( Lwg)*80/pi % faza % Wyznaczenie ptaci wykładniczej mianwnika M_Mwg = ab( Mwg) % mduł fi_mwg = angle( Mwg)*80/pi % faza % Tranmitancja wypadkwa w ptaci wykładniczej Awg = M_Lwg/M_Mwg faza = fi_lwg - fi_mwg % zapa fazy w radianach PM = (faza - 80)*pi/80 % Makymalna wartść czyteg czau późnienia T = PM/wg % Wartści częttliwści przy których wykre Nyquita % przecina ś liczb rzeczywitych w_rt = rt([ 0-0 0]) % Wyznaczenie zapau wzmcnienia dla pierwzej ddatniej wartści % częttliwści wp = w_rt( w = wp; Otatnia aktualizacja: M. Tmera 8

19 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Mw = (w^-6*w^)^ + w^*(0+*w^)^; % Pwp - punkt przecięcia z ujemną ią liczb rzeczywitych Pwp = -*K*w^*(8+w^)/Mw % GM - pierwzy zapa fazy wyrażny w jedntkach bezwzględnych GM = /ab(pwp % Kgr - graniczna wartść wzmcnienia Kgr = GM*K % GMdB - pierwzy zapa fazy wyrażny w decybelach GMdB = -0*lg0(ab( Pwp) % Wyznaczenie zapau wzmcnienia dla drugiej ddatniej wartści % częttliwści wp = w_rt() w = wp; Mw = (w^-6*w^)^ + w^*(0+*w^)^; % Pwp - drugi punkt przecięcia wykreu Nyquita % z ujemną ią liczb rzeczywitych Pwp = -*K*w^*(8+w^)/Mw % GM - drugi zapa fazy wyrażny w jedntkach bezwzględnych GM = /ab(pwp) % Kgr - druga graniczna wartść wzmcnienia Kgr = GM*K % GMdB - drugi zapa fazy wyrażny w decybelach GMdB = -0*lg0( ab( Pwp)) ĆWICZENIA M.. Tranmitancja pętli układu z pjedynczą pętlą ) dane ą pniżej. Nazkicuj wykre Nyquita j ) dla = 0 d =. Określ tabilnść układu zamknięteg. Jeśli układ jet nietabilny, znajdź liczbę biegunów tranmitancji układu zamknięteg znajdujących ię w prawej półpłazczyźnie. Mżez kntruwać wykre Nyquita j ) przy użyciu prgramu kmputerweg. f) L ( ) g) h) L ( ) L ( ) 50 ( 5)( ( ) ( 0. ( ( a) L ( ) ( 0 0.( 0.5) i) L ( ) ( 00 ( ) b) L ( ) ( 0 0.( 0.5) j) L ( ) ( 5 0) c) L ( ) ( 00( ) 0.( 0.)( 0.5) k) L ( ) 0.( ( ( ) d) L ( ) ( 0 0.)( 0.5) l) L ( ) 0( 0) ( ( 00) e) L ( ) 5( ) ( ( M.. Tranmitancje pętli ) układu z pjedynczą pętlą dane ą pniżej. Zatuj kryterium Nyquita i kreśl zakre wartści K dla któreg układ ten będzie tabilny. Wyznacz Otatnia aktualizacja: M. Tmera 9

20 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita wartści wzmcnienia przy których układ znajdzie ię na granicy tabilnści i kre cylacji tałej amplitudzie. Wykre Nyquita j ) mżez kntruwać przy użyciu prgramu kmputerweg. a) b) c) d) e) f) g) h) i) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) ( ( ( ( ( ( ( K )( )( K )( ) K 0)( ( ( 5 ( j) L ( ) k) l) m) L ( ) L ( ) L ( ) ( ( ( 0K 0) 5)( 5 ) 0) ) 0) ) 0) ) ) 5) 0) M.. Rzważ układy z jedntkwym przężeniem zwrtnym pniżzych tranmitancjach. Krzytając z wykreu Nyquita kreśl zakre wzmcnienia dla któreg te układy ą tabilne. a) G( ) Ke b) G( ) Ke 0.8 M.. Tranmitancja układu terwania z jedntkwym przężeniem zwrtnym jet natępująca G( ) ( 00Ke 0 T 00) a) Kiedy K =, kreśl makymalną wartść czau późnienia dla której układ ten jet tabilny. b) Kiedy cza późnienia T =, znajdź makymalną wartść K dla której układ ten jet tabilny. M.5. Pwtórz zadanie z pniżzymi warunkami. a) Kiedy K = 0., kreśl makymalną wartść czau późnienia dla któreg układ zamknięty jet tabilny. b) Kiedy cza późnienia T = 0., znajdź makymalną wartść K dla której układ ten jet tabilny. M.6. Tranmitancje pętli ) układu z pjedynczą pętlą dane ą pniżej. Zatuj kryterium Nyquita i kreśl zakre wartści K dla któreg układ ten będzie tabilny. Wyznacz wartści wzmcnienia przy których układ znajdzie ię na granicy tabilnści i kre cylacji tałej amplitudzie Dla K = wyznacz zapa amplitudy i fazy. Na pdtawie wyznaczneg zapau fazy wyznacz makymalną wartść czyteg czau późnienia. Wykre Nyquita j ) mżez kntruwać przy użyciu prgramu kmputerweg. a) b) c) d) L ( ) ) L ( ) ) 5 9 ) 7 6 ) ) 7 6 Otatnia aktualizacja: M. Tmera 0

21 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita e) L ( ) 5 6 j) L ( ) 9 ) 0 f) L ( ) 5) 5 k) L ( ) ) g) L ( ) 0) 6 l) L ( ) 8 0) 5 h) L ( ) ) 5 i) ) ) ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ M. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ( Z 0.5) 80 70, Z =, nietabilny ( Z 0.5) 80 90, Z = 0, tabilny ( Z 0.5) 80 70, Z =, nietabilny ( Z 80 80, Z =, nietabilny ( Z 0.5) 80 90, Z =, nietabilny ( Z 0.5) 80 90, Z =, nietabilny ( Z 0.5) 80 90, Z =, nietabilny ( Z 0.5) 80 90, Z = 0, tabilny ( Z 0.5 ) 80 90, Z =, nietabilny ( Z 0.5) 80 90, Z =, nietabilny ( Z 0.5) 80 90, Z = 0, tabilny ( Z 0.5) 80 90, Z = 0, tabilny ( Z 0.5) 80 90, Z = 0, tabilny n) M. ( Z 0.5) 80 70, Z =, nietabilny a) tabilny dla 0 < K < 0; warunek tabilnści: 0 [rad/], L ( j 0) K ; K[ j (0 )] L ( j ), (0 ) Otatnia aktualizacja: M. Tmera

22 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita b) tabilny dla 0 < K < 97.; warunek tabilnści: 90 ; K ( 65) j 9 50) L ( j ), [rad/], j9.755) K ( 5 ) (50 ) c) nietabilny dla każdeg K; warunek tabilnści: d) nietabilny dla każdeg K; warunek tabilnści: e) nietabilny dla każdeg K; warunek tabilnści: 80 ; 70 ; 70 ; f) tabilny dla K < ; warunek tabilnści:.87 [rad/], L ( j.87) K 50 ; ) j L ( j ), ( ) g) tabilny dla. < K <.9; warunek tabilnści: 6 50 ; 5 ) j 7 0) L ( j ),. [rad/], j. 0. 8K ( ) (0 ).95, j.95) 0. 7K h) tabilny dla < K < 0; warunek tabilnści: 90 6 ; ) j ) L ( j ), 0 [rad/], L ( j0) K. ( ) j. K i) tabilny dla K > 0.58; warunek tabilnści: 60 ;, K ( 5 ) j 0 0) L ( j ),. 6 [rad/], j.6). 8K 00 (5 ) j) nietabilny dla każdeg K; warunek tabilnści: 70 ; L ( j ) K[ j( )] k) tabilny dla 0 < K < ; warunek tabilnści: 0.7 [rad/], j 0) 0. 5K 90 ; 0K j0 0) L ( j ), (0 ) l) nietabilny dla każdeg K; warunek tabilnści: 50 ; L ( j ) K[ ( w j ( ) 9 6)] m) tabilny dla K > 0; warunek tabilnści: 90 ; 6 K j L ( j ), ( ) ( ) M6. a) Warunek knieczny tabilnści: 0 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: 0, 0. 89,. 650 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: j ) 0. 5K, j ) K, j ) K ; Stabilny dla < K <.650, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr.650, Tc Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM =.808 db ( p =0.89 [rad/]), zapa fazy PM = 7.65 [] b) Warunek knieczny tabilnści: 90 ; Otatnia aktualizacja: M. Tmera

23 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: j ). 0K ; Stabilny dla 0 < K < 0.806, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr 0.806, Tc [] Dla K = ; (układ nietabilny) zapa wzmcnienia, GM =.8706 db ( p = [rad/]), zapa fazy PM = 9.8 ( g = 0.96 [rad/]), c) Warunek knieczny tabilnści: 0 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: 0,. 66 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L ( j ) K, L j ) 0. 08K ( Stabilny dla < K <.806, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr.806, Tc Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM =.66 db ( p =.66 [rad/]), zapa fazy PM = 80 ( g = 0 [rad/]).87 [] d) Warunek knieczny tabilnści: 90 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 580 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L j ) 0. 9K ( Stabilny dla 0 < K <.0, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr.0, Tc Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM = 7.8 db ( p =.580 [rad/]), zapa fazy PM = 0.69 ( g = [rad/]) makymalna wartść czyteg czau późnienia T.0055 []..996 [] e) Warunek knieczny tabilnści: 0 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: 0,. 0908,. 000 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywit.: j ) K, j ) 0. K, j ) 0. 0K ; Stabilny dla 8.05 < K < 6, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr 8.05, Tc Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM = db ( p = 0 [rad/]), zapa fazy PM = f) Warunek knieczny tabilnści: 80 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 6 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L j ) 0. K ( Stabilny dla 0 < K <.5, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr.5, Tc Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM = db ( p =.6 [rad/]), zapa fazy PM = 9.97 ( g =.7 [rad/]) makymalna wartść czyteg czau późnienia T [] [] g) Warunek knieczny tabilnści: 80 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 77 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L j ) K ( Stabilny dla 8 < K <, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr 8, Tc Dla K = (układ nietabilny); zapa wzmcnienia, GM = 8.9 db ( zapa fazy PM = ( g =.66 [rad/]).679 [] h) Warunek knieczny tabilnści: 80 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 66 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L j ) 0. 6K ( 7.65 [] p =.77 [rad/]), Stabilny dla 0 < K < 7., Ocylacje tałej amplitudzie: K kr 7., Tc.895 [] Dla K = (układ nietabilny); zapa wzmcnienia, GM = db ( p =.66 [rad/]), Otatnia aktualizacja: M. Tmera

24 Teria terwania Badanie tabilnści Kryterium Nyquita zapa fazy PM = 8.98 ( g = [rad/]) makymalna wartść czyteg czau późnienia T []. i) Warunek knieczny tabilnści: 50 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą:. 0,. 8 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: j ) K, j ). 90K Stabilny dla 0.79 < K <.7808, Ocylacje tałej amplitudzie: K kr 0.79, Tc.689 [] lub K kr.7808, Tc [] Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM = 8.88 db ( p =.0 [rad/]) zapa fazy PM = 9.67 ( GM =.867 db ( PM =. ( g =.00 [rad/]) g =.769 [rad/]) makymalna wartść czyteg czau późnienia T p =.8 [rad/]) []. j) Warunek knieczny tabilnści: 0 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: L j ) 0. 8K ( Stabilny dla.8 < K < ; Ocylacje tałej amplitudzie: K kr.8, Tc Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM = ; zapa fazy PM = 7.66 [] k) Warunek knieczny tabilnści: 80 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: brak Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: brak Stabilny dla 0 < K < ; Ocylacje tałej amplitudzie: brak Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM = zapa fazy: PM = ( g =.9 [rad/]) makymalna wartść czyteg czau późnienia T 0.55 []. l) Warunek knieczny tabilnści: 60 ; Częttliwści przy których wykre przecina ś rzeczywitą: 0,. 959 [rad/] Punkty przecięcia z ią liczb rzeczywitych: j ) 8K, L j ). 08K ( Stabilny dla < K < Ocylacje tałej amplitudzie: K kr 0.859, Tc.959 [] Dla K = ; zapa wzmcnienia, GM =.667 db ( p =.0 [rad/]) zapa fazy PM =.0 ( g =.987 [rad/]) makymalna wartść czyteg czau późnienia T 0.0 []. Literatura. Ku B. C. Autmatic Cntrl f Dynamic Sytem, 7th ed, Addin-Weley & Sn Inc., Nyquit H., Regeneratin Thery, Bell Syt. Techn. Jurnal, Vl., pp. 6-7, 9.. Yeung K. S., A Refrmulatin f Nyquit Criterin, IEEE Tranactin Educatin, Vl. E-8, pp , Feb Otatnia aktualizacja: M. Tmera