CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Transkrypt

1 CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Zadanie 1. (Charaterytyi czętotliwościowe) Problem: Wyznaczyć charaterytyi czętotliwościowe (amplitudową i fazową) członu całującego rzeczywitego (z inercją) G () Rozwiązanie: T ( +1) ( Tjω + ) ( jω) ( 1 Tjω) Do tranformaty wtawiamy jω + Tω G ( jω) (1) jω 4 ( T ω + 1) ω T + 1 ω ω jω, natępnie uwalniamy mianowni od części urojonej (mnożymy mianowni przez przężenie), przy czym należy pamiętać, iż j 1 P( ω) Q( ω) Grupujemy na część rzeczywitą i urojoną by móc zatoować wzór na pulacje ( ω) ( P( ω) ) ( Q( ω )) A + Tω ω G ( jω) j () 4 4 ω T + ω ω T + ω Wyznaczamy pulacje uładu Wyonujemy prote przeztałcenia matematyczce A ( ω) T Tω 4 ω ω T + 4 ω + ω 4 ( ω T + ω ) ω j 4 ω T + ω (3) Doprowadzamy do wyznaczenia i ω A ω 4 ( ) ( T ω + ω ) 1 ω 4 ( ω T + ω ) ω ( ω T + 1) ω T + 1 (4)

2 Wyznaczamy rzędnych faza ϕ (ω ) ϕ π 4 ( ω) arctg ω T + ω + arctgωt ω Tω 4 ω T + ω Wyznaczamy fazę φ(ω) ze wzoru : Q ( ) ( ω) ( ) ϕ ω arctg P (5) Moduł L(ω ) tranmitancji widmowej G(jω ) L ( ω) 0log 0lg ω T ω + 1 ( ) 0lg( ω T ω + 1) Obliczamy moduł L(ω ) tranmitancji widmowej G(jω ) wyrażony w decybelach, wzór z tórego orzytaliśmy L( ω) 0lg( A( ω) ) wyliczenia przeprowadzamy by móc naryować charaterytyę amplitudową Bodego. (6) Ry.1 Charaterytya amplitudowa Bodego dla 10, T1

3 Ry. Charaterytya fazowa Bodego dla 10, T1 Zadanie. (Charaterytyi czętotliwościowe) Problem: Wyznaczyć charaterytyi czętotliwościowe (amplitudową i fazową) natępującego członu: całującego idealnego. () G Rozwiązanie: Mając dane G (), jω (1) Po podtawieniu otrzymujemy G G ( jω) ( jω) Do danego tranformaty wtawiamy jω, a natępnie uwalniamy mianowni od części urojonej (mnożymy mianowni przez przężenie) przy czym należy pamiętać iż j 1 () jω ω ω (3) ω ( jω) j Grupujemy na część rzeczywitą i urojoną by móc zatoować wzór na pulacje ( ω) ( P( ω) ) ( Q( ω )) A +

4 Wyznaczamy pulacje uładu Wyonujemy prote przeztałcenia matematyczce przy czym należy pamiętać iż j 1 ω ω A ( ω) j 4 (4) ω ω Po róceniu wyznaczamy wpółczynnii i ω A ( ω) ω ω (5) Wyznaczamy rzędnych faza ϕ (ω ) ϕ ( ω) ω π arctg (6) ω Moduł L(ω ) tranmitancji widmowej G(jω ) L ( ω) 0lg 0log( ) 0lg( ω) (7) ω T ω + 1 Wyznaczamy fazę φ(ω) ze wzoru : Q ( ) ( ω) ( ) ϕ ω arctg P ω Obliczamy moduł L(ω) tranmitancji widmowej G(jω) wyrażony w decybelach. Wzór z tórego orzytaliśmy: L ( ω) 0lg( A( ω) ) Wyliczenia przeprowadzamy aby naryować charaterytyę amplitudową Bodego.. Ry.1 Charaterytya amplitudowa Bodego dla 10

5 Ry. Charaterytya fazowa Bodego dla 10, T1

6 Zadanie 3. (Charaterytyi czętotliwościowe) Wyznaczyć charaterytyę amplitudową i fazową Bodego dla uładu o tranmitancji G ( ) , Charaterytyi pozczególnych członów. 10 Człon I Człon II 0, Człon III Człon IV +100 Zetawienie charateryty na jednym wyreie

7 Charaterytyi wypadowe uładu o tranmitancji: , ) ( G

8 Zadanie 4. (Charaterytyi czętotliwościowe) Wyznaczyć charaterytyę amplitudową i fazową Bodego dla uładu o tranmitancji 1 G( ) Charaterytyi pozczególnych członów. 0,1 + 1 ( 0,1 + 1)( ) ( ) Człon I ( ) Człon II ( 10 +1) 1 Człon III Człon IV ( )

9 Zetawienie charateryty na jednym wyreie Charaterytyi wypadowe uładu o tranmitancji: 1 G( ) ( 0,1 + 1)( ) ( )

10

11 Zadanie 5. (Charaterytyi czętotliwościowe) Problem: Wyznaczyć uogólnione charaterytyi: amplitudową i fazową oraz amplitudowo-fazową dla członu z opóźnieniem. Rozwiązanie: Równanie członu z opóźnieniem ma potać: x ( t T ) y (1) gdzie T cza opóźnienia. Jeżeli na wejściu członu pojawi ię ygnał harmoniczny x j ϖ t ( x 0 e () to ygnał wyjściowy ma potać: jϖt y t) G( jω) x e. (3) ( 0 natępnie należy utalić potać przeputowości widmowej: G jϖt ( jω) e (4) tąd: To wyrażenie powtało w tai poób, ponieważ przeputowość Laplace a członu z opóźnieniem o równaniu (1) wyraża ię wzorem: G( ) e T G( jω) (cotω j intω) (5) tąd: P( ω) cotω ; część rzeczywita (6) Q( ω) intω ; część urojona (7) Natępnie obliczamy moduł tranmitancji widmowej widmowej: A ( ω ) P( ω) + Q( ω) (co Tω + in Tω) (8) lub: Taą potać otrzymuje ię orzytając z twierdzenia Eulera dla liczb zepolonych patrz podr. Matemetya T. Trajdo cz.iii rozdział VIII, p.4. A( ω) 1 (9) Wówcza można obliczyć argument tranmitancji widmowej: Q( ω) intω ϕ( ω) arctg arctg arctg( tgtω) Tω (10) W tym przypadu moduł i P( ω) cotω Wyznaczamy charaterytyę amplitudową i fazową argument przeputowości widmowej ą widoczne bezpośrednio ze wzoru (4)

12 P ( ω ) + Q( ω) co Tω + in Tω. (11) lub: P Q + 1 Wzór ten przedtawia równanie oręgu o promieniu jednotowym i o środu położonym w początu uładu wpółrzędnych. (1) Uogólnioną charaterytyę amplitudowo fazową najłatwiej wyznaczyć podnoząc wyrażenia (6) oraz (7) do wadratu i je zumować. Charaterytyi uogólnione mają potać A/ 1 : Tϖ Charaterytya amplitudowa. ϕ(ω) 0 45 o Tϖ Charaterytya fazowa. jq(ω)/ P(ω)/ -1 Tϖ 0 Charaterytya amplitudowo fazowa.

13 Zadanie 6. (Charaterytyi czętotliwościowe) Problem: Na wejściu uładu przedtawionego na chemacie bloowym, wprowadzono ygnał harmoniczny o amplitudzie x 0 i czętotliwości ω 0,5 rad/e. Wyznaczyć amplitudę y 0 i ąt przeunięcia fazowego ϕ ygnału wyjściowego. x x e 0 jωt ,5 + 1 y y e 0 jω t+ϕ ) Ryune 8.1 Rozwiązanie: Przeputowość uładu wynoi: 1 G ( ) (1) + 1 0, ,5 + 1 Na podtawie tranmitancji uładu należy wyznaczyć tranmitancję widmową (jω): (1 ω ) j5ω G ( jω) ; () (1 ω ) + 6,5ω tąd: (1 ω ) P ( ω) (1 ω ) + 6,5ω 5ω Q ( ω) (3) (1 ω ) + 6,5ω Podtawiając za ω 0,5 rad/ otrzymuje ię: P(0,5) 0,70; Q(0,5) -1,18; (4) Wzytie objaśnienia odnośnie zatoowanych w zadaniu wzorów i obliczeń znajduja ię w zadaniu 7. Moduł przeputowości widmowej dla czętotliwości ω 0,5 rad/ wynoi: A (0,5) P(0,5) + Q(0,5) (0,7) + ( 1,18) 1,4; (5) Stąd amplituda ygnału wyjściowego wynieie: y Ax 1,4,8. (6) 0 0

14 zatem argument przeputowości widmowej dla ω 0,5 rad/, a tym amym ąt przeunięcia fazowego ygnału wyjściowego wynoi: Q(0,5) 1,18 ϕ ( 0,5) arctg arctg 59 P(0,5) 0,7 o Charaterytya Nyquita dla rozważanego uładu

15 Zadanie 7. (Charaterytyi czętotliwościowe) Problem: Wyznaczyć charaterytyi czętotliwościowe : amplitudowo-fazową Nyquita oraz amplitudową i fazową Bode go dla uładu o tranmitancji G(). Rozwiązanie: 6 6 G (1) () ( + 3)( + ) ( jω) P( ω) jq( ω) G + () 6 6 ( ) ( 6 ω ) j5ω G jω ω + 5 jω + 6 ( 6 ω ) + j5ω ( 6 ω ) j5ω ( ω ) j30ω 36 6ω 30ω + j ( 6 ω ) + 5ω ( 6 ω ) + 5ω ( 6 ω ) + 5ω Część rzeczywita i urojona: 36 6ω ( ω) ( 6 ω ) + 5ω Charaterytya amplitudowa: P ; ( ω) ( ω) P ( ω) Q ( ω) ( 6 ω ) + 5ω (3) 30ω Q (4) A + (5) Tranmitancja widmowa () :za jω P(ω) część rzeczywita Q(ω) część urojona Moduł tranmitancji widmowej to pierwiate z umy wadratów części rzeczywitej P(ω) i części urojonej Q(ω) (4) A A ( ) ( 36 6ω ) + ( 30ω ) ω ( 6 ω ) + 5ω ( ω) 6 [ ] ( 6 ω ) 4 ω + 13ω + 36 ( 6 ω ) + 5ω 4 36ω + 468ω ω Charaterytya fazowa: Q ( ) ( ω) 30ω 5ω ϕ ω arctg arctg arctg (7) P( ω) 36 6ω 6 ω (6) Kąt przeunięcia fazowego Wzmocnienie: 4 6 ω + 13ω + 36 L 0log (8) ( ω) 0log A( ω) ( 6 ω ) + 5ω Punty charaterytyczne ch-i amplitudowo-fazowej Nyquita: ω 0 P(0)1 Q(ω)0 ω P(ω)0 Q( )0 Przecięcie z oią Q(ω): P(ω)0 36 6ω 0 ω 6 0 ω Q 6 ( 6) 0, 49 ω 6 (9) Ze wzoru (9) wybieramy wartość dla ω 6 (dla dodatniej wartości czętotliwości).

16 0 charaterytya amplitudowa Bodego L(ω),[dB] ω, rad/ Wyre 1.Charaterytya amplitudowa Bode go. φ(ω), [topnie] charaterytya fazowa Bodego ω, rad/ Wyre.Charaterytya fazowa Bode go.

17 0 charaterytya Nyquita Q(ω) P(ω) Wyre 3.Charaterytya amplitudowo-fazowa Nyquita.