Diagnostyka i monitoring maszyn część III Podstawy cyfrowej analizy sygnałów

Transkrypt

1 Diagnotyka i monitoring mazyn część III Podtawy cyfrowej analizy ygnałów Układy akwizycji ygnałów pomiarowych Zadaniem układu akwizycji ygnałów pomiarowych jet zbieranie ygnałów i przetwarzanie ich na potać cyfrową. Najczęściej w układach pomiarowych touje ię przetwarzanie napięcie-cyfra. Czaami, gdy mierzona wielkość związana jet z czaem (np. pomiar odcinka czau, czętotliwości, okreu) toowane jet przetwarzanie cza-cyfra. W trukturze konfiguracyjnej podtawowych układów przeznaczonych do akwizycji ygnałów pomiarowych znajdują ię przeważanie natępujące bloki: a) przełączniki kanałów b) bloki formowania wtępnego oraz obróbki i normalizacji ygnału wejściowego (przeważnie analogowego) (kondycjonowanie ygnału = wzmacniacze, filtry dolnoprzeputowe) c) układy próbkująco-pamietające d) przetwornik analogowo-cyfrowy Podtawowe konfiguracje układu akwizycji ygnałów pomiarowych: MUX - przełącznik kanałów A/A - układ formujący (zadaniem tego układu jet wtępna obróbka i normalizacja ygnału wejściowego = kondycjonowanie ygnału [np.: wzmacniacze, filtry dolnoprzeputowe, itp..] S&H -układ próbkująco-pamiętający A/C -układ analogowo-cyfrowy (konwerja ygnału na kod cyfrowy)

2 Blok S&H zaada działania układu próbkująco-pamiętającego Bloki S&H łużą do pobrania próbki napięcia wejściowego i zapamiętania jej na określony cza Pobieranie danej próbki ygnału dokonywane jet w kończonym przedziale czau t i, zwanym czaem apertury, a nie dokładnie w czaie t i. W praktyce dążymy do tego, aby funkcja próbkująca realizowała jak najdokładniej oddziaływanie dytrybucji delta-diraca (ma to znaczenie z uwagi na błąd apertury zwanego błędem zczeliny). Proce próbkowania (kwantyzacji w dziedzinie czau) polega na pobieraniu jego wartości w wybranych chwilach czau, zwykle co pewien zadany, tały krok czaowy t. W zczególności ważne, aby cza apertury t i był dużo mniejzy od czau próbkowania t. Wybrane apekty proceu przetwarzania analogowo-cyfrowego ygnałówmultiplekowanie W przypadku gdy próbkowaniu poddanych jet jednocześnie kilka ygnałów, konieczne jet multiplekowanie ygnałów z podziałem czau (ry a z zatoowaniem układu próbkująco-pamiętającego) W przypadku gdy nie zotanie zatoowany układ próbkująco pamiętający (ry b), powtaną tzw. błędy zukoowania. Spowodowane jet to opóźnieniem czaowym wytępującym pomiędzy próbkami pobieranymi z różnych kanałów, chociaż ama analiza ygnałów prowadzona jet przy założeniu, że wzytkie próbki były pobrane jednocześnie. Wybrane apekty proceu przetwarzania analogowo-cyfrowego ygnałówczętotliwość próbkowania czętotliwość Nyquita Twierdzenie o próbkowaniu: Jeżeli analizowany ygnał należy do pama czętotliwości [0, f m ], to minimalny cza zapiu T z, umożliwiający jego odtworzenie z wartości dykretnych mui pełniać warunek Tz 1/(2 f m ) {kryterium Rayleigha}. Z twierdzenie o próbkowaniu wynika zależność pomiędzy makymalną czętotliwością wytępująca w ygnale f m a czaem próbkowania w potaci 1/(2 t) f m. Jeżeli przyjąć cza próbkowania za znany, to wynikająca z tej nierówności czętotliwość graniczna f N = 1/(2 t) nazywana jet czętotliwością Nyquita. Jet to najwyżza czętotliwość ygnału, którą można analizować przy zadanym czaie próbkowania t. Dla kładowej o czętotliwości f N na jeden okre przypadają dwie próbki (a dla każdej czętotliwości poniżej czętotliwości Nyquta więcej niż dwie próbki). Powoduje to, że jakościowy przebieg funkcji inu, to znaczy zmiana znaku w trakcie okreu, zotaje uwzględniony w dykretnej potaci ygnału (w granicznym przypadku jako dwa punkty o wartościach przeciwnego znaku).

3 Wybrane apekty proceu przetwarzania analogowo-cyfrowego ygnałówefekt aliaingu efekt przeuwania kładowych o czętotliwościach powyżej czętotliwości Nyquita w zakre poniżej jej wartości Jeżeli czętotliwość próbkowania fp jet mniejza od czętotliwości Nyquita, to ten am zbiór próbek może opiywać różne przebiegi czaowe. Reprezentacja ygnału rzeczywitego taje ię wówcza niejednoznaczna. Składowe ygnału o czętotliwości więkzej niż czętotliwość Nyquita wytępują wtedy w jego widmie czętotliwościowym jako kładowe o czętotliwości równej różnicy pomiędzy czętotliwością rzeczywitą i czętotliwością próbkowania. Wybrane apekty proceu przetwarzania analogowo-cyfrowego ygnałówefekt aliaingu (cd) W celu wyeliminowania wpomnianego wyżej, niekorzytnego efektu aliaingu (przemiezczania ię kładowych o wyokich czętotliwościach do niżzego zakreu czętotliwości) touje ię w praktyce jedną z dwóch natępujących metod: 1. Pierwza z nich polega na wybraniu tak małego odtępu czaowego pomiędzy próbkami, aby pełniony był warunek f p =1/ t 2f N, tzn. aby odwrotność tego przedziału czaowego była więkza od podwojonej makymalnej czętotliwości zawartej w analizowanym ygnale. Oczywiście należy przy tym pamiętać, ze przyjęcie zbyt małego odtępu czaowego prowadzi do zbędnego nadmiaru danych nie wnozących żadnych dodatkowych informacji o przebiegu. W praktyce przyjmuje ię najczęściej jako najwłaściwzą czętotliwość próbkowania wartość, która jet 2,5 do 4 razy więkza od najwyżzej czętotliwości zawartej w badanym ygnale. 2. Druga metoda eliminacji efektu przeunięcia kładowych o wyokich czętotliwościach do zakreu nikich czętotliwości polega na przepuzczeniu ygnału przed jego próbkowaniem przez filtr dolnoprzeputowy (antyaliaingowy), dzięki czemu uunięte zotają z przebiegu wzytkie kładowe o czętotliwościach leżących powyżej intereującej na czętotliwości makymalnej. Zatoowanie filtru zmniejza ponadto niekorzytny wpływ na zdykretyzowane dane kładowych zumowych o wyżzych czętotliwościach, które przy braku filtracji mogłyby być uważane za kładowe zumowe należące do rozpatrywanego pama czętotliwości. Wybrane apekty proceu przetwarzania analogowo-cyfrowego ygnałówdobór czau próbkowania t proce kwantowania Błąd kwantowania q wyraża ię zależnością: q = x g (t) t) Wpływ czau próbkowania na dokładność odtworzenia ygnału. Drugi etap przekztałcania przebiegu polega na jego kwantowaniu w kali amplitudy. Proce ten jet podobny do proceu próbkowania z tym, ze zamiat równych przedziałów czaowych przyjmuje ię dla przedziału równe przedziały (koki) amplitudy. Itota kwantowania polega na przyporządkowywaniu kolejnym próbkom przebiegu określonych wartości poziomów, zwanych poziomami kwantowania. Podobnie jak w przebiegu próbkowania również i w odnieieniu do kwantowania itnieje tzw. twierdzenie o kwantowaniu, z którego wynika, że jeżeli dynamika ygnału wejściowego rozciąga ię na kilka przedziałów to można wówcza odtworzyć właściwości tatytyczne ygnału.

4 proce kwantowania W proceie kwantowania wartość każdej próbki ygnału mui być wyrażona za pomocą pewnej liczby cyfr, najczęściej w ytemie dwójkowym (liczby bitów) przyporządkowanej określonemu poziomowi kwantowania. Ponieważ jednak ygnał analogowy może przyjmować niekończoną liczbę poziomów, podcza gdy w praktyce mamy do dypozycji określony zbiór poziomów, tak wiec w wyniku kwantowania otrzymuje ię przybliżoną potać ygnału, obarczoną pewnym błędem kwantowania. Dokładność tego przybliżenia zależy od liczby poziomów kwantowania, będących do dypozycji. Stoowane najczęściej kwantyzatory, tzn. urządzenia łużące do podziału ygnału wejściowego na ograniczoną liczbę poziomów dzielą ten ygnał na zakre od 64 do poziomów, co odpowiada liczbie 6 do 16 bitów. rozdzielczość i zakre przetwornika A/C Rozdzielczość przetwornika analogowo-cyfrowego jet to liczba tanów wyjściowych wyrażona w bitach. Czym więkza rozdzielczość, tym zakre przetwarzania podzielony jet na więcej poziomów. Liczba tanów wyjściowych wynoi 2 n, gdzie n jet liczbą bitów. Stoowane w kartach pomiarowych przetworniki analogowo-cyfrowe poiadają zwykle rozdzielczość od 12 do 16 bitów. Przetwornik 12-bitowy dzieli zakre pomiarowy na 2 12 = 4096 poziomów (łowa kodowe od do ). Zakre przetwornika określa minimalne i makymalne napięcie, jakie może być przetworzone. Karty pomiarowe dają zwykle możliwość wyboru zakreu, np.: V (bipolarne), V, V (unipolarne). Zmianę zakreu wykonuje ię przełączając przełączniki lub zwory na karcie, lub w nowzych typach kart poługując ię programem. Od zakreu i rozdzielczości zależy przedział kwantowania, tzn. różnica między dwoma ąiednimi poziomami progowymi. Dla przetwornika 12-bitowego na zakreie V lub V przedział kwantowania wynoi 10[V]/ 2 12 =2,44[mV], a na zakreie 0..5V lub -2,5..+2,5V wynoi 5[V]/ 2 12 =1,22[mV]. Z zakreu kwantowania wynika błąd kwantowania, którego wartość bezwzględna jet nie więkza niż połowa przedziału kwantowania. Zakre powinien być tak dobrany, by zmiany mierzonej wielkości nie były więkze od zakreu, ale z drugiej trony, ze względu na błąd kwantowania [powinien być możliwie mały. Wybór zakreu zależy też od tego, czy mierzymy ygnał unipolarny (np B) czy bipolarny (np V). błędy przetwornika A/C Błędy przetwornika A/C można podzielić na trzy grupy: a) błędy przeunięcia zera (odpowiada wartości ygnału na wejściu przy zerowym ygnale wyjściowym) b) błędy kalowania (wzmocnienia) (odpowiada nachyleniu charakterytyki rzeczywitej względem idealnej) c) błędy nieliniowości (określa ię jako makymalną różnicę między charakterytyką rzeczywitą i idealną, przy założeniu że błędy przeunięcia i kalowania ą równe zero)

5 Analiza Fouriera Sygnały pomiarowe analizowane ą zwykle w dziedzinie czau lub w dziedzinie czętotliwości. W przypadkach, gdy ygnał kłada ię z wielu kładowych o różnych czętotliwościach, użyteczniejzą jet analiza w dziedzinie czętotliwości. Do przejścia z funkcji czau na funkcję czętotliwości można wykorzytać przekztałcenie Fouriera. Przekztałcenie Fouriera opiera ię na założeniu, że każdy ygnał w dziedzinie czau można przedtawić jako umę zeregu ygnałów o różnych czętotliwościach (zereg Fouriera): 1 t) = Ao + [ A 2 Σ = 1 Innymi łowy - można udowodnić, że: n n co( n ω t) + B o n co( n ω t)] dowolny, niekończenie długi w czaie ygnał można rozłożyć na zereg niekończenie długich w czaie ygnałów kładowych inuoidalnych o określonych amplitudach, czętotliwościach i fazach. Oczywiście można udowodnić odwrotną relację, iż: dowolny ygnał można zyntetyzować ze kładowych inuoidalnych o odpowiednich amplitudach, czętotliwościach i fazach. Analiza Fouriera (cd) Zatem tranformata Fouriera jet równaniem, które pozwala wyznaczyć wpomniane parametry dla dowolnego ygnału na podtawie jego przebiegu czaowego. Klayczna tranformata Fouriera opiera ię na przekztałceniu całkowym ciągłego ygnału (analogowego). Sygnały dykretne (próbkowane) przeprowadza ię z dziedziny czau do dziedziny czętotliwości za pomocą tzw. dykretnej tranformaty Fouriera, w której operacje całkowania ą zatąpione operacjami umowania. Wpółczynniki kładowych harmonicznych wyznacza ię dokonując przekztałcenia funkcji czau w funkcję czętotliwości (tranformacja Fouriera) zgodnie z zależnością: W przypadku, gdy wykorzytywane ą ygnały dykretne, dla ciągu kt ) złożonego z N próbek odległych między obą o okre próbkowania T, tranformata Fouriera ma potać: nf N = X ( f ) = N 1 k = 0 + o t) e gdzie t) analizowany ygnał w reprezentacji czau; a X(f) tranformata Fouriera ygnału t) kt ) dt e j2πft j 2πnk / N dt gdzie: n=0,1,2,...n-1; f =1/T N całkowita liczba próbek. Tranformata Fouriera jet zawze zepolona, tąd zawiera dwa rodzaje informacji: amplitudę oraz fazę. Tranformata Fouriera DFT Dykretna tranformata Fouriera DFT (Dicrete Fourier Tranform) tranformuje N punktowy ciąg dykretny w dziedzinie czau: (( N ) T ) kt ) = 0), T ), 2T ),..., x 1 Na N punktowy ciąg dykretny w dziedzinie czętotliwości: nf N f 2 f = X (0),, N N ( N 1 f,..., N ) W latach ześćdzieiątych pojawił ię algorytm zybkiej tranformaty Fouriera FFT. W tounku do dykretnej tranformaty Fouriera DFT, zybka tranformata FFT jet algorytmem umożliwiającym znaczne zmniejzenie liczby wykonywanych działań arytmetycznych, a więc krócenie czau obliczeń. Realizuje ię to poprzez podział ciągu N próbek na krótze ciągi, dla których obliczana jet dyktertna tranformata. Liczba próbek, dla których obliczana jet FFT, powinna być potęgą liczby 2. Do dokonania DFT należy wykonać N 2 mnożeń, w przypadku FFT tylko NLog 2 N.

6 Okno wycinające Dla obliczenia tranformaty Fouriera konieczne jet ograniczenie długości ciągu kt ), które jet realizowane przez wycinanie. Wycinanie to powoduje zniekztałcenie widma, zwane przenikaniem, ponieważ powoduje przenikanie części mocy z obzarów o oryginalnej czętotliwości do obzarów ąiednich. W przypadku, gdy próbkowany ygnał jet okreowy, błąd związany z przenikaniem zależy od tego, czy wycięte próbki zawierają całkowitą liczbę okreów. Jeżeli liczba wyciętych okreów nie jet całkowita, błąd przenikania powoduje znaczne złagodzenie otrych przejść w dziedzinie czętotliwości. A ygnał oryginalny B wycięty ciąg próbek C ygnał przyjęty w obliczeniach D obliczone widmo Okno wygładzające Zmniejzenie przenikania widma można uzykać przez zatoowanie okna wygładzającego. Znanych jet wiele różnych okien, różniących ię charakterytyką. Wybór okna zależy od konkretnego zatoowania, np.. Okno protokątne, nadaje ię do przebiegów nieutalonych, okno Hanninga do ygnałów ciągłych. Wpływ okna wygładzającego na potać widma: A ygnał oryginalny B wycięty ciąg próbek C funkcja okna D zmodyfikowany kztałt ygnału E widmo obliczone bez okna wygładzającego F prawdziwe widmo G widmo obliczone z oknem wygładzającym Filtracja ygnałów Proce filtracji ygnału związany jet przede wzytkim z procedurą uuwania zakłóceń. Wytępujące w rzeczywitych ygnałach zakłócenia można podzielić na dwie zaadnicze klay: zakłócenia cykliczne (mające charakter wąkopamowy) oraz zakłócenia niecykliczne (o charakterze zerokopamowym). Uuniecie tego typu zakłóceń na drodze cyfrowego przetwarzania ygnałów pomiarowych wymaga zatoowania takiego filtru cyfrowego, który wytnie z badanego ygnału kładową o ściśle określonej czętotliwości (np. filtr wąkopamowy zakłócenie czętotliwością 50Hz wpływ źródła ieciowego zailania). Zarówno filtry analogowe, jak i cyfrowe dzieli ię ze względu na kztałt ich charakterytyki czętotliwościowej na cztery podtawowe klay: dolnoprzeputowe; górnoprzeputowe, środkowoprzeputowe oraz środkowozaporowe. Zakre czętotliwości przepuzczanych przez filtr nazywamy jego pamem przenozenia, natomiat zakre czętotliwości blokowanych przez filtr jego pamem zaporowym. W praktycznych realizacjach filtrów pomiędzy pamem przenozenia i pamem zaporowym znajduje ię pamo przejściowe. Przy doborze lub w proceie projektowania filtrów dla więkzości przypadków, dążymy aby filtry charakteryzowały ię jak najwiękzym tłumieniem w paśmie zaporowym przy jednocześnie minimalnej zerokości pama przejściowego oraz minimalizacji falowania w paśmie przenozenia i paśmie zaporowym. Idealny filtr powinien poiadać tałe wzmocnienie równe 1 w paśmie przenozenia, tałe wzmocnienie równe 0 w paśmie zaporowym oraz zerokość pama przejściowego równa 0 Hz.