s Dla prętów o stałej lub przedziałami stałej sztywności zginania mianownik wyrażenia podcałkowego przeniesiemy przed całkę 1 EI s

Transkrypt

1 Wprowadzenie Kontrukcja pod wpływem obciążenia odkztałca ię, a jej punkty doznają przemiezczeń iniowych i kątowych. Umiejętność wyznaczania tych przemiezczeń jet konieczna przy prawdzaniu warunku ztywności (przemiezczenia nie mogą przekraczać wartości dopuzczanych, okreśonych w normie toownej do rodzaju kontrukcji). rzyjmijmy założenie, że rozważamy płaki układ prętowy, a więc oie wzytkich prętów układu eżą w jednej płazczyźnie. W płazczyźnie tej znajduje ię ponadto jedna z głównych centranych oi bezwładności każdego przekroju poprzecznego pręta oraz inie działania ił obciążających układ. Oznacza to, że kontrukcja zginana jet w wojej płazczyźnie. Załóżmy również, że układ wykonany jet z materiału iniowo-prężytego, a rzeczywite przemiezczenia ą bardzo małe w porównaniu z wymiarami kontrukcji. Do wyznaczania przemiezczeń można zatoować zaadę pracy wirtuanej da układów prętowych, zgodnie z którą praca obciążeń wirtuanych na rzeczywitych przemiezczeniach jet równa pracy wirtuanych ił przekrojowych na rzeczywitych odkztałceniach: N N T T δ κ d E G gdzie - obciążenie wirtuane, δ - rzeczywite przemiezczenie w punkcie przyłożenia iły,, N, T - iły przekrojowe odpowiadające obciążeniu wirtuanemu,, N, T - iły przekrojowe odpowiadające obciążeniu rzeczywitemu, - ztywność zginania pręta, E - ztywność ścikania pręta, G - ztywność ścinania pręta, κ - wpółczynnik zaeżny od kztałtu przekroju poprzecznego pręta. rzyjmijmy, że w wybranym punkcie układu pozukujemy przemiezczenia uogónionego (iniowego bądź kątowego) δ. W punkcie tym przykładamy obciążenie wirtuane w potaci jednotkowej iły uogónionej (iły bądź momentu toownie do pozukiwanego przemiezczenia), o kierunku pozukiwanego przemiezczenia. o podtawieniu otrzymamy N N T T δ κ d E G ub N N T T δ κ d E G Zapi ten przedtawia wzór awea-ohra. W kontrukcjach złożonych z prętów h wiotkich (tounek wyokości przekroju poprzecznego pręta do jego długości ), wpływ ił poprzecznych na wiekość przemiezczeń jet pomijany. Wzór uprazcza ię do potaci N N δ d. E Z powyżzego wzoru korzytamy gdy kontrukcja kłada ię z prętów zginanych oraz z prętów dwuprzegubowych, w których nie działają momenty gnące i iły poprzeczne (rama

2 ze ściągiem, rama ze kratowaniem). Wpływ ił podłużnych działających w prętach zginanych na wiekość przemiezczeń jako mały można pominąć. Jeżei w układzie ramowym nie wytępują pręty dwuprzegubowe, nieobciążone protopade do wojej oi, to obiczając przemiezczenia uwzgędniamy tyko pierwzy kładnik w wyrażeniu podcałkowym. δ d Da prętów o tałej ub przedziałami tałej ztywności zginania mianownik wyrażenia podcałkowego przenieiemy przed całkę δ d ub δ d. W takim przypadku można uprościć wyznaczenie przemiezczenia zatępując całkowanie anaityczne obiczeniami z wykorzytaniem wzoru Werezczagina. y () unkcja () - dowona unkcja (np. unkcja o wykreie krzywoiniowym, unkcja nieciągła w kończonej iczbie punktów) y g( )g g() unkcja g() - unkcja iniowa - poe igury pod wykreem unkcji () w przedziae od do - środek ciężkości igury pod wykreem unkcji () w przedziae od do - odcięta środka ciężkości igury pod wykreem unkcji () w przedziae od do g( ) g - rzędna unkcji g() da odciętej Wzór Werezczagina ma potać: ( ) g( ) d rzykład Wyznaczyć kładową pionową przemiezczenia punktu w poniżzym układzie. cont g v? Zadanie rozwiążemy korzytając ze wzoru awea-ohra δ d

3 obiczając wartość całki anaitycznie. Układ naeży obciążyć iłą jednotkową, przyłożoną w punkcie i mającą kierunek pionowy. cont cont W pierwzym przedziae ( ) unkcja momentu gnącego od obciążenia jednotkowego jet natępująca: ( ), natomiat unkcja momentu gnącego od obciążenia rzeczywitego ma potać: ( ). W drugim przedziae ( ) unkcja momentu gnącego od obciążenia jednotkowego jet taka jak w pierwzym przedziae, czyi: ( ), natomiat unkcja momentu gnącego od obciążenia rzeczywitego ma potać: ( ) ( - ). ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) d d d d v ( ) ( ) To amo zadanie można rozwiązać korzytając ze wzoru Werezczagina. W tym ceu naeży porządzić wykrey momentów gnących zarówno od obciążenia jednotkowego, jak i obciążenia rzeczywitego. cont cont Oba wykrey ą iniowe, a więc warunek, żeby jedna z unkcji w wyrażeniu podcałkowym była iniowa jet pełniony. 5

4 Korzytając ze wzoru Werezczagina otrzymujemy 5 5 v d Wyznaczenie przemiezczenia drugim poobem jet protze pod wzgędem rachunkowym. odział trapezu w drugim przedziae wykreu momentów od obciążenia jednotkowego na dwa trójkąty nie jet jedynym możiwym podziałem. Wykre w potaci trapezu możemy przedtawić jako umę protokąta i trójkąta. 5 Wartość obiczonego przemiezczenia jet dodatnia. Oznacza to, że kładowa pionowa przemiezczenia w punkcie ma zwrot zgodny ze zwrotem iły jednotkowej, czyi punkt w kierunku pionowym przemiezcza ię do dołu. Umiejętność wyznaczania poa powierzchni i odciętej środka ciężkości igur płakich, takich jak protokąt, trójkąt i paraboa, jet nieodzowna przy toowaniu poobu Werezczagina do wyznaczania wartości całek. Figura oe powierzchni igury Odcięta środka ciężkości igury o 4 4

5 o 8 o Uwaga: w powyżzej tabei miejce wytępowania ektremum paraboi oznaczone zotało czerwonym koorem. rzy wyznaczaniu przemiezczeń uogónionych ważna jet też umiejętność doboru obciążenia jednotkowego, co iutrują poniżze ryunki. rzemiezczenia iniowe w ceu wyznaczenia kładowej pionowej przemiezczenia w wybranym punkcie układu przykładamy w tym punkcie iłę jednotkową o kierunku pionowym v w ceu wyznaczenia kładowej poziomej przemiezczenia w wybranym punkcie układu przykładamy w tym punkcie iłę jednotkową o kierunku poziomym u w ceu wyznaczenia zmiany odegłości między wybranymi punktami układu przykładamy w tych punktach iły jednotkowe o kierunku protej, przechodzącej przez te punkty i o przeciwnych zwrotach 5

6 w ceu wyznaczenia rozunięcia okładek teekopu przykładamy z jego obu tron iły jednotkowe o kierunku równoegłym do okładek i o przeciwnych zwrotach δ rzemiezczenia kątowe w ceu wyznaczenia przemiezczenia kątowego w wybranym punkcie układu przykładamy w tym punkcie jednotkowy moment ϕ w ceu wyznaczenia zmiany kąta między prętami układu połączonymi przegubowo, przykładamy do obu prętów w tym punkcie dwa jednotkowe momenty o przeciwnych zwrotach ϕ Zwroty uogónionych ił jednotkowych można przyjąć dowonie. Znak dodatni obiczonego przemiezczenia świadczy o tym, że zwrot przemiezczenia jet zgodny ze zwrotem jednotkowego obciążenia, natomiat znak ujemny inormuje na, że zwrot przemiezczenia jet przeciwny do zwrotu jednotkowego obciążenia.