W(s)= s 3 +7s 2 +10s+K

Transkrypt

1 PRZYKŁAD (LINIE PIERWIASTKOWE) Tramitacja operatorowa otwartego układu regulacji z jedotkowym ujemym przęŝeiem zwrotym daa jet wzorem: G O K ( + )( + 5) a) Podaj obraz liii pierwiatkowych układu zamkiętego. b) Określ krytycze wzmocieie K, przy którym układ zamkięty zajduje ię a graicy tabilości oraz podaj odpowiadającą temu pulację drgań ietłumioych. Rozwiązaie Niech: m ozacza liczbę kończoych zer tramitacji układu otwartego G (), ozacza liczbę jej bieguów. Dla rozwaŝaej tramitacji G () zachodzi: m oraz. Bieguami G () ą liczby: p 5, p, p. Liczba aymptot, do których dąŝą liie pierwiatkowe wyoi m. Kąty między aymptotami mają wartość: *8 o / o. Kąty między aymptotami a oią rzeczywitą ą rówe ± 6 o, 8 o. Odcięta σ puktu a oi rzeczywitej, z którego wychodzą aymptoty: a pi i σ a.. Wpólą część liii pierwiatkowych oraz rzeczywitej oi płazczyzy zepoloej taowi prawotroie domkięta półprota leŝąca w lewo od biegua p oraz domkięty odciek pomiędzy bieguami p i p. Wyika tąd, iŝ pukt "odejścia" liii pierwiatkowych od oi rzeczywitej aleŝy do odcika [p,p ]. Wpółrzędą puktu odejścia zajdujemy a podtawie charakterytyczego rówaia układu zamkiętego, wyzaczając makymalą wartość parametru K, dla której bieguy układu zamkiętego ą rzeczywite. Charakterytyczy wielomia W() rozwaŝaego układu ma potać W() +7 ++K RóŜiczkując otrzymujemy: W() ++ o atępujących pierwiatkach:.88 oraz.786.

2 Tylko pierwzy z ich wyzacza zukay pukt odejścia: d. Zachodzi bowiem [p,p ]. Podtawiając d w rówaiu W(), otrzymujemy odpowiadającą temu puktowi wartość K d wzmocieia K : K d.67 Krytyczą wartość wzmocieia K KR, przy której układ zamkięty oiąga graicę tabilości, obliczyć moŝa a podtawie rówaia charakterytyczego W(), kładąc jw. Potępując w te poób, uzykujemy rówaie jω ( ω ) 7ω + K () w którym ω ozacza pulację odpowiedich drgań ietłumioych. Przyrówując do zera urojoą część wyraŝeia po lewej troie tego rówaia, otrzymujemy: KR rad ω. Z kolei, po podtawieiu pulacji ω do rówaia (), uzykujemy rówaie,,z którego wyzaczamy krytyczą wartość wzmocieia: K KR. 7 Tak uzykay obraz liii pierwiatkowych pokazao a poiŝzym ryuku:

3 PRZYKŁAD (LINIE PIERWIASTKOWE) Rozpatrzymy układ ze przęŝeiem zwrotym W() E() Regulator U() Y() K p Obiekt G o () Tramitacja obiektu ma potać G K ( ) ( + ) Wyzaczyć połoŝeie pierwiatków układu zamkiętego ze względu a Kp. Rozwiązaie Wykorzytując przyjęte wcześiej formy zapiu m b() K K K p a() + p i, - Charakterytyka połoŝeia pierwiatków jet graficzym przedtawieiem pierwiatków rówaia: czyli: a ( ) + Kb( ) Rozwiązaia mają potać: + + K, ± K

4 Szkic połoŝeia pierwiatków Dla K pierwiatki przyjmują wartości rzeczywite z przedziału (-,). Dla K itieją dwa pierwiatki o wartościach rówych Dla K > pierwiatki ą liczbami zepoloymi, których część rzeczywita ma wartość atomiat część urojoa wzrata proporcjoalie do K., Zmieiając wartość K moŝemy umiejcowić bieguy układu zamkiętego w dowolych puktach aleŝących do charakterytyki pierwiatków.

5 PRZYKŁAD (LINIE PIERWIASTKOWE) RozwaŜmy tramitację: G O + K ( + )( + + ) które odpowiada rówaiu charakterytyczemu Rozwiązaie W()( + )( + + )+ K( +) Kofiguracja zero-bieguowa pokazaa jet a ryuku. Korzytając z pozaych właości liii pierwiatkowych, kiedy w rówaiu charakterytyczym K zmieia ię od do +, wówcza:. K : Pukty a liii pierwiatkowej w których K ą bieguami tramitacji G()H():,, +j oraz j.. K ± : Pukty a liii pierwiatkowej w których K ± ą zerami tramitacji G()H():,, oraz.. Z rówaia charakterytyczego widać, Ŝe będą cztery liie pierwiatkowe, gdyŝ rówaie to jet czwartego rzędu.. Liie pierwiatkowe ą ymetrycze względem oi liczb rzeczywitych. 5. PoiewaŜ liczba bieguów tramitacji G()H() jet więkza od liczby zer tramitacji G()H() i róŝica ta wyoi trzy ( m ), czyli kiedy K ±, wówcza liie pierwiatkowe zmierzają przy wzdłuŝ ześciu aymptot. Kąty aymptot przy K ą wyzaczae z rówaia i + Θ i 8, m m gdzie i,,,..., m -; 8 i Θ 6 5 i Θ 8 9 i Θ Kąty aymptot przy K ą wyzaczae z rówaia: gdzie i,,,..., i Θ i 8, m m m -; wyozą odpowiedio: o, o oraz o. 5

6 6. Kąty przecięcia aymptot wyzaczae ą ze wzoru m pi z i j σ a m,gdzie p i bieguy tramitacji G()H() z j - zera tramitacji G()H() j ( ) ( ) σ Aymptoty liii pierwiatkowych pokazae ą a ryuku. Ry. 6