Podstawy Automatyki. Karol Cupiał

Transkrypt

1 Poawy Automatyki Karol Cupiał Czętochowa tyczeń Kierunek Energetyka tudia tacjonarne em. 3 we 3 l3 c Kierunek Mechanika i BM tudia tacjonarne em 4 5 w 3 l Kierunek Mechatronika tudia tacjonarne em. 5 w 3 l Kierunek Mechanika tudia nietacjonarne em. 6 5 w E 5 l Program wykładu Wiadomości wtępne. Poawy rachunku operatorowego. Równania różniczkowe członów, tranmitancje operatorowe, charakterytyki czaowe. Tranmitancja widmowa, charakterytyki czętotliwościowe. Połączenia członów zeregowe i równoległe, człony wielokanałowe. Układy ze przężeniem zwrotnym, tabilność układu regulacji z ujemnym przężeniem zwrotnym, kryteria tabilności. Właności dynamiczne poawowych członów układu regulacji i metody ich identyfikacji. Regulatory, dobór nataw regulatora PID. Nieliniowe układy regulacji, linearyzacja członów nieliniowych. Warunki zaliczenia przedmiotu Laboratorium - obligatoryjne: zaliczenie wzytkich ćwiczeń i prac kontrolnych Wykład - obligatoryjne: obecność na wykładach zaliczenie laboratorium nieobowiązkowa praca kontrolna podnoząca ocenę Egzamin - piemny i utny, na piemnym można korzytać z dowolnej literatury Wykaz literatury. Geing R.: Poawy automatyki. Wydawnictwo Politechniki Śląkiej,.. Kaczorek T., Dzielińki A., Dąbrowki W., Łopatka R.: Poawy teorii terowania. WNT, Warzawa Mazurek J., Vogt H., Zydanowicz W.: Poawy automatyki. Oficyna Wydawnicza PW, Warzawa. 4. Węgrzyn S.: Poawy automatyki. PWN, Warzawa Żelazny M.: Poawy automatyki. PWN, Warzawa 976. Tekt wykładu jet dotępny na tronie internetowej Intytutu Mazyn Tłokowych i Techniki Sterowania Politechniki Czętochowkiej: Mechatronika -> Poawy automatyki i teorii terowania

2 Spi treści Wtęp 4. Wiadomości poawowe 6.. Klayfikacja układów regulacji 6.. Wybrane przykłady układów regulacji 8.3. Opi matematyczny dynamiki członów 5. Wybrane zagadnienia z poaw rachunku operatorowego 9. Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych 9.. Przekztałcenie całkowe Laplace.3. Poawowe właności tranformat Laplace.4. Tranformacja prota i odwrotna w programie Mathematica Analiza dynamiki liniowych układów dykretnych Charakterytyki czaowe Tranmitancja operatorowa członu jednokanałowego Metoda operatorowa analizy charakterytyk czaowych Cza zanikania proceów przejściowych Charakterytyki czętotliwościowe Tranmitancja widmowa Tranmitancja zatępcza układu członów Człony połączone zeregowo Człony połączone równolegle Człony wielokanałowe Idealny układ członów ze przężeniem zwrotnym Uchyb regulacji w zakłócanym układzie ze przężeniem zwrotnym Przykład analizy układu ze przężeniem zwrotnym Wpływ rodzaju przężenia zwrotnego na uchyb regulacji Zagadnienia do pracy kontrolnej, przykładowy temat 5. Stabilność układu z ujemnym przężeniem zwrotnym Warunek tabilności układu z ujemnym przężeniem zwrotnym Kryterium tabilności Routha Hurwitza Kryterium tabilności Nyquita Przykład analizy tabilności i uchybu regulacji Zagadnienia do pracy kontrolnej, przykładowy temat Dynamika poawowych członów układu regulacji Człony inercyjne Człon inercyjny zerowego rzędu Człon inercyjny pierwzego rzędu Człon inercyjny drugiego i n - tego rzędu Człon ocylacyjny Człony całkujące 68

3 6.3.. Człon całkujący idealny Człon całkujący rzeczywity Człony różniczkujące Człon różniczkujący idealny Człon różniczkujący rzeczywity Człon opóźniający Ekperymentalna identyfikacja dynamicznych właności członów Metody identyfikacji Identyfikacja członow tatycznych Identyfikacja członów atatycznych 7. Regulator PID 7.. Dobór nataw regulatora PID Analiza tabilności układu regulacji z opóźnieniem Regulacja dwutanowa Regulacja dwutanowa obiektu z opóźnieniem 65 3

4 Wtęp Automatyka powtała w chwili, gdy bezpośrednia ingerencja człowieka w procey techniczne zotała zatąpiona odpowiednio zbudowanymi urządzeniami pecjalitycznymi działającymi amoczynnie i dziiaj nazywanymi potocznie regulatorami. Najdawniejzy znany automat o znanej zaadzie działania zotał zbudowany w III wieku p.n.e. przez Kteibioa z Alekandrii i zatoowany do regulacji przepływu wody w bardzo dokładnym i komplikowanym zegarze wodnym. Precyzyjne działanie tego zegara zależało od wytworzenia tałego ciśnienia i prędkości przepływu wody. W tym celu Kteibio przepuścił wodę przez regulator przepływu był to pierwzy w dziejach znany amoczynnie działający regulator. Szkocki matematyk i wynalazca Jame Watt w 788 roku kontruował pierwzy technicznie zaawanowany i działający układ automatycznej regulacji prędkości obrotowej ilnika parowego zawierający odśrodkowy przetwornik prędkości obrotowej (zw. regulatorem Watta), ale na kutek nieznajomości dynamiki układu regulacji i metod jej analizy układ ten nie zawze realizował tabilną regulację. Poawy teoretyczne do analizy tabilności układów regulacji opracował kanadyjki matematyk Edward Routh i niemiecki matematyk pochodzenia żydowkiego Adolf Hurwitz, w wyniku badań tateczności rozwiązań równań algebraicznych formułowali oni w roku 895 kryterium pozwalające na poawie analizy równania charakterytycznego twierdzić, czy układ regulacji automatycznej będzie tabilny. Najważniejze dla automatyków kryterium oceny granic tabilności układu regulacji automatycznej oparte na charakterytyce amplitudowo-fazowej układu otwartego zotało formułowane dopiero w roku 93 przez Amerykanina pochodzenia zwedzkiego Harry Nyquita. Poawy teoretyczne automatyki obejmują modelowanie i analizę właności dynamicznych pozczególnych elementów układu regulacji oraz całych układów utworzonych z tych elementów. Właności tych elementów ą opiane równaniami algebraicznymi, równaniami różniczkowymi i równaniami całkowymi; równania te mogą być liniowe i nieliniowe. Do modelowania i analizy układu równań opiujących cały układ regulacji lub terowania użyteczne ą zaawanowane metody matematyczne, m. in. rachunek operatorowy ogromnie uprazczający analizę zwyczajnych liniowych równań różniczkowych i równań całkowych. Głównym celem tej analizy jet taki dobór właności pozczególnych elementów kładowych układu regulacji i taki dobór ich nataw, by cały układ regulacji był tabilny i by ygnały przenozone przez pozczególne elementy układu pozwoliły jak najlepiej pełnić wymagane kryteria jakości regulacji a w zczególności zminimalizować uchyb regulacji. Zagadnienia te będą ukceywnie omawiane w trakcie wykładu. 4

5 . Wiadomości poawowe.. Klayfikacja układów regulacji Kontrukcja i działanie układów automatycznie działających ą w dużym topniu zróżnicowane, układy te można rozmaicie klayfikować opierając ię na różnych kryteriach. Ze względu na funkcjonalność można wyróżnić: Układy zamknięte z ujemnym przężeniem zwrotnym nazywane układami regulacji; Układy otwarte bez przężenia zwrotnego nazywane układami terowania. Ry.. Schemat blokowy zamkniętego układu regulacji z ujemnym przężeniem zwrotnym Ry.. Schemat blokowy otwartego układu terowania Ze względu na poób tranmiji ygnałów w pozczególnych elementach można wyróżnić: Układy ciągłe, w których ygnały analogowe ą tranmitowane w poób ciągły; Układy dykretne, w których wytępują quai ciągłe ygnały dykretne; Układy przerywane, w których ygnały tranmitowane ą w potaci impulów wytępujących okreowo. 5

6 Ze względu na właności pozczególnych elementów można wyróżnić: Układy liniowe, w których wzytkie elementy układu ą opiane liniowymi równaniami, w tych układach obowiązuje zaada uperpozycji; Układy nieliniowe, w których co najmniej jeden element jet nieliniowy, w tych układach zaada uperpozycji nie obowiązuje. Ze względu na liczbę regulowanych wielkości można wyróżnić: Układy regulacji (terowania) jednej wielkości; Układy regulacji (terowania) wielu wielkości (zazwyczaj kilku). Ze względu na realizowane zadanie można wyróżnić: Układy tabilizujące, w których wartość zadana jet tała; Układy nadążne, w których wartość zadana zmienia ię w poób nieprzewidywalny; Układy programowe, w których wartość zadana zmienia ię wg znanego programu; Układy ektremalne (optymalne), w których wielkość regulowana ma oiągać ektremum (makimum lub minimum). Ze względu na możliwość amoczynnego dotoowania ię do zmieniających ię warunków można wyróżnić: Układy adaptacyjne, amoczynnie uwzględniające zmienne zakłócenia i zmienne warunki zewnętrzne działające na układ; Układy zwykłe nie mające właności adaptacyjnych. 6

7 .. Wybrane przykłady układów regulacji Ry. 3. Przykład ilutrujący budowę protego układu tabilizującego w poób ciągły poziom cieczy w zbiorniku i chemat blokowy zamkniętego układu regulacji zawierający główny tor ygnałów i tor ujemnego przężenia zwrotnego 7

8 Ry. 4. Przykład dwutanowego (nieciągłego) układu regulacji temperatury w zbiorniku wody podgrzewanej elektrycznie oraz chemat blokowy zamkniętego układu regulacji zawierający główny tor ygnałów i tor ujemnego przężenia zwrotnego Pierwzy technicznie zaawanowany układ regulacji automatycznej opracował i zatoował w praktyce zkocki matematyk i wynalazca Jame Watt. ( ) ur. w zkockim mieście portowym Greenock. Ze względu na zły tan zdrowia nie uczęzczał do zkół, jakkolwiek wykazywał uzdolnienia w kierunku naprawy i budowy urządzeń. Dzięki tym umiejętnościom podejmuje w roku 754 prace na uniwerytecie w Glagow gdzie zdobywa wykztałcenie i rozwija woje umiejętności pierwze ulepzenia ilnika parowego Newcomena, 78 - zakończenie budowy parowego ilnika dwutronnego działania - był to pierwzy przemyłowy ilnik parowy, kontruowanie odśrodkowego regulatora prędkości obrotowej (zw. regulatorem Watta) dla ilnika parowego. Takie układy regulacji budowane na poawie intuicji technicznej nie popartej analizą dynamiki całego układu regulacji nie zawze działały prawidłowo, czaem wytępowały w tych układach nietabilności generujące nie przewidziane ocylacje prędkości obrotowej. 8

9 Ry. 5. Przykład ilutrujący budowę mazyny parowej wypoażonej w odśrodkowy regulator prędkości obrotowej i chemat blokowy zamkniętego układu regulacji zawierający główny tor ygnałów i tor ujemnego przężenia zwrotnego 9

10 Ry. 6. Wybrane układy terowania i automatycznej regulacji przemyłowego ilnika gazowego napędzającego generator prądotwórczy oraz uprozczone chematy blokowe: zamkniętego układu regulacji kładu miezanki palnej (z ujemnym przężeniem zwrotnym) otwartego układu terowania kątem wyprzedzenia zapłonu

11 Ry.7. Manualna regulacja obiektu wieloparametrowego, w którym ygnały ą dotatecznie wolnozmienne Ry.8. Wpomagana komputerem manualna regulacja obiektu wieloparametrowego, w którym ygnały ą dotatecznie wolnozmienne

12 Ry.9.Automatyczna regulacja autonomiczna obiektu wieloparametrowego Ry.. Automatyczna regulacja nieautonomiczna obiektu wieloparametrowego

13 Ry..Skomputeryzowany układ regulacji obiektu wieloparametrowego realizujący różnorodne złożone algorytmy regulacji 3

14 .3. Opi matematyczny dynamiki członów Opi matematyczny dynamiki dowolnego dykretnego członu: mechanicznego, hydraulicznego, pneumatycznego lub elektrycznego wchodzącego w kład obwodu układu regulacji najczęściej jet wyrażony zwyczajnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Proce tworzenia opiu matematycznego członu mechanicznego zotanie zilutrowany na przykładzie uprozczonego modelu jednooiowej przyczepy pokonującej ze tałą prędkością próg o znanym profilu pionowym. Dykretny model przyczepy zotał porządzony przy założeniu, że jet to człon inercyjny drugiego rzędu o jednym topniu wobody, na który działają zmienne pionowe iły wymuzające i w którym nieutalone przemiezczenia wytępują tylko w kierunku pionowym. Założono, że zawiezenie zawiera liniowy element prężyty ( odkztałcenie wprot proporcjonalne do iły) i równolegle z nim połączony wikotyczny element tłumiący drgania (iła tłumiąca wprot proporcjonalna do prędkości). Ry.. Dykretny model pojazdu jednooiowego pokonującego próg o znanym profilu opianym funkcją czau Na kutek przemiezczenia punktowego koła powodowanego wjechaniem przyczepy ze tałą prędkością na próg o znanym profilu opianym funkcją czau element podatny łączący koło z maą odkztałca ię i przenoi zmienną kładową iły z podłoża na maę pojazdu, tłok elementu tłumiącego przemiezcza ię w cylindrze i wytwarza zmienną iłę oporu, która także przenoi ię z podłoża na maę pojazdu. Z drugiej zaady dynamiki Newtona wynika, że w ruchu potępowym iła bezwładności may jet równa umie wzytkich ił zewnętrznych działających na tę maę w kierunku przyjętym za dodatni kierunek jej ruchu, tj. w górę. d y df dy m R b ( ) c ( f y) zewn Kolejne człony tak otrzymanego liniowego równania różniczkowego licząc od lewej trony równania wyrażają: 4

15 d y m - iłę bezwładności may pojazdu, b df ( dy ) iła ta jet iloczynem may i przypiezenia pionowego działającego na tę maę, - iłę wikotycznego tłumienia tłumika drgań łączącego maę z podłożem, iła ta jet iloczynem tałej tłumienia tłumika drgań i różnicy prędkości obydwóch końców tłumika, c ( f y) - iłę odkztałcenia prężytego prężyny łączącej maę z podłożem, iła ta jet iloczynem tałej prężytości prężyny i różnicy przemiezczeń obydwóch końców prężyny. Równanie umy ił po przenieieniu wzytkich wyrazów na jedną tronę d m y dy b ( df ) c ( y f ) można przekztałcić do klaycznej potaci zwyczajnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu d y dy m b c y b df c f w której pozukiwane przebiegi pionowego wychylenia, prędkości i przypiezenia may pojazdu wytępują na lewej tronie a zadane (i znane) przebiegi pionowych przemiezczeń punktowego koła przemiezczającego ię ze tałą prędkością po podłożu o znanym profilu wytępują na prawej tronie. Równanie to w automatyce częto przeawia ię w takiej potaci, w której wpółczynnik wytępujący przy wyrazie wolnym lewej trony równania jet równy. W tym celu równanie różniczkowe dzieli ię tronami przez tała c m c d y b c dy y b c df f i wartości tak otrzymanych nowych tałych m / c T i b / c T nazywa ię tałymi czaowymi, ponieważ mają one wymiar jednotki czau. d y dy df T T y T f Jeżeli znany jet przebieg zmian wyokości progu w funkcji czau f (t) i warunki początkowe, to otrzymane równanie różniczkowe można rozwiązać różnymi metodami analitycznymi. 5

16 Gdyby w opiie matematycznym modelu uwzględnić, że iła tłumiąca jet proporcjonalna np. do drugiej potęgi prędkości (a to jet bliżze rzeczywitości) d y m dy b ( df ) c ( y f ) to po uporządkowaniu wyrazów otrzymuje ię równanie różniczkowe nieliniowe d y dy m b b dy df c y b df c f w którym na lewej tronie wytępują dwa człony nieliniowe i na prawej tronie jeden człon nieliniowy. Ściłe rozwiązanie analityczne równania nieliniowego można uzykać tylko w nielicznych zczególnych przypadkach, zazwyczaj równania nieliniowe rozwiązuje ię w poób przybliżony przez ich linearyzację polegającą na zatąpieniu członów nieliniowych równoważnymi członami liniowymi. Opi matematyczny przebiegu prądu w zeregowym obwodzie elektrycznym RLC zawierającym zeregowo połączone: indukcyjność L, rezytancję R i pojemność C Ry. 3. Obwód elektryczny zawierający zeregowo połączone: indukcyjność L, rezytancję R i pojemność C można łatwo porządzić poługując ię prawem Kirchhoffa (uma ił elektromotorycznych w oczku umie padków napięcia) di L R i i C t E ( t) Jeżeli do tak otrzymanego równania różniczkowo-całkowego wprowadzi ię pojęcie ładunku elektrycznego q di 6

17 to opi matematyczny tego obwodu można wyrazić liniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu d q dq L R q C E( t ) które po wprowadzeniu tałych czaowych potaci T L C i T RC można zapiać w T d q dq T q C E( t) której lewa trona jet identyczna z potacią lewej trony równania różniczkowego opiującego układ mechaniczny. Opi matematyczny przebiegu prądu w zeregowo - równoległym obwodzie elektrycznym RLC zawierającym rezytancję zeregowo połączoną z oczkiem utworzonym z indukcyjności L i pojemności C Ry. 4. Szeregowo-równoległy obwód elektryczny zawierający rezytancję zeregowo połączoną z oczkiem utworzonym z indukcyjności L i pojemności C można porządzić poługując ię prawem Kirchhoffa (uma prądów dopływających do węzła umie prądów wypływających z węzła) i prawem Kirchhoffa (uma ił elektromotorycznych w oczku umie padków napięcia) di L R ( i i ) E( t) t ( i i) i E( t) C R 7

18 Tak otrzymany układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi i oraz i zawierający jedno niejednorodne równanie różniczkowe pierwzego rzędu i jedno niejednorodne równanie całkowe można tounkowo łatwo rozwiązać przy pomocy rachunku operatorowego natomiat rozwiązanie metodami klaycznego poawiania byłoby o wiele bardziej pracochłonne.. Wybrane zagadnienia z poaw rachunku operatorowego.. Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych Rachunek operatorowy oparty na przekztałceniach całkowych polega na tranformacji równania różniczkowego z dziedziny funkcji czau f (t) (dziedzina oryginałów) do dziedziny funkcji zmiennej zepolonej F () (dziedzina tranformat). W wyniku tounkowo protej operacji tranformacji równania różniczkowego przeprowadzanej przy pomocy tablicy tranformat wykorzytywanej w poób podobny do łownika obcojęzycznego otrzymuje ię równanie algebraiczne, z którego metodami algebraicznymi można obliczyć tranmitancję układu opianego równaniem różniczkowym pozwalającą łatwo obliczyć m. in. charakterytyki czętotliwościowe układu. Z równania tranmitancji można również łatwo obliczyć wartości graniczne rozwiązania w dziedzinie funkcji czau ( dla t oraz dla t ). Jeżeli jet konieczna znajomość analitycznej potaci rozwiązania równania różniczkowego w dziedzinie funkcji czau to najpierw oblicza ię pozukiwaną tranformatę rozwiązania równania różniczkowego i potem przeprowadza ię dość pracochłonną operację znajdowania odwrotnej tranformacji tej tranformaty. Znajomość tego rozwiązania jet konieczna m. in. do obliczenia przebiegu charakterytyk czaowych układu. Tok potępowania w czaie rozwiązywania równań różniczkowych opiujących dynamikę układu zilutrowano na ryunku. Tor proty górny (od równania w prawo do rozwiązania) ilutruje działania wykonywane w czaie rozwiązywania równania różniczkowego klayczną metodą poawiania natomiat tor dolny z pętlą ilutruje wykorzytanie do tego celu rachunku operatorowego. W przypadku równań różniczkowych wyżzego rzędu, a w zczególności w przypadku układu opianego rozbudowanymi układami równań różniczkowych zwyczajnych rachunek operatorowy pozwala znacznie uprościć obliczenia i znacząco zmniejzyć nakład czau niezbędnego do uzykania rozwiązania. 8

19 Ry. 5. Ilutracja graficzna toku potępowania w czaie analizy równań różniczkowych zwyczajnych klayczną metodą poawiania (tor górny) i metodą operatorową (tor dolny) Bloki nie zacieniowane oznaczają operacje wykonywane w dziedzinie funkcji czau. Bloki zacieniowane oznaczają operacje wykonywane w dziedzinie tranformat... Przekztałcenie całkowe Laplace W rachunku operatorowym wykorzytuje ię różne przekztałcenia całkowe do tranformacji protej różnych funkcji z dziedziny funkcji czau do dziedziny funkcji zmiennej zepolonej, do tego celu wykorzytuje ię m.in. równanie jednotronnej protej tranformacji Laplace w którym operator F ( ) { ( )} ( ) t L f t f t e δ j mający wymiar [ / ec] zapiywany krótowo jako [ / ] jet liczbą zepoloną mającą j oznacza liczbę urojoną. Aby obliczenie tranformaty było możliwe funkcja czau mui pełniać natępujące warunki: cześć rzeczywitą δ i część urojoną. Symbol Mui być ciągła w całym obzarze jej zmienności, Mui mieć pierwzą pochodną w każdym kończonym przedziale t Całka f e mui być zbieżna. ( t) 9

20 Warunki te dla powzechnie używanych funkcji czau ą pełnione. Poługując ię równaniem tranformacji protej można obliczyć tranformaty dla różnych funkcji czau i zetawić je w potaci tablicy nazywanej tablicą tranformat. W praktyce obliczanie tranformaty funkcji czau prowadza ię do znalezienia w tablicy tranformat funkcji czau i odpowiadającej jej tranformaty. Powrót z dziedziny funkcji zmiennej zepolonej do dziedziny funkcji czau nazywa ię tranformacją odwrotną i jet bardziej kłopotliwy niż tranformacja prota. W praktyce tranformację odwrotną przeprowadza ię wykorzytując do tego celu tablicę tranformat porządzoną w wyniku przeprowadzenia tranformacji protej. Aby to można było uczynić konieczne jet zazwyczaj przeprowadzenie dość pracochłonnych przekztałceń algebraicznych mających na celu rozłożenie złożonego wyrażenia tranformaty wynikowej na umę takich wyrażeń protych, dla których można znaleźć odpowiedniki w tablicy tranformat. Do przeprowadzania odwrotnej tranformacji tranformat o różnym topniu złożoności można z powodzeniem wykorzytać różne programy komputerowe, np. Mathematica Poawowe właności tranformat Laplace Tranformata umy funkcji czau f (t) L { f( t) f( t)} F( ) F( ) Tranformata funkcji czau f (t) mnożonej przez tałą a L{ a f( t)} a F( ) Tranformata pierwzej pochodnej funkcji f (t) L{ f ' ( t ) } F( ) f() Tranformata drugiej pochodnej funkcji f (t) Tranformata n-tej pochodnej funkcji f (t) L{ f '' } ' ( t ) F( ) f() f() L{ f n } ' ( ) n ( ) n f() n t F f() L f n ()

21 Tranformata n-tej pochodnej funkcji f (t) dla zerowych warunków początkowych L { f n ( ) } n t F( ) Tranformata całki oznaczonej w granicach całkowania od do t t L{ f( t) } F( ) Tranformata całki nieoznaczonej ze tałą całkowania C L { f( t) } ( F( ) C) Tranformata funkcji f(t) z wpółczynnikiem a kali czau L { f } a F( ) ( t) a a Tranformata funkcji f (t) przeuniętej (opóźnionej) w dziedzinie czau o cza T L{ f( )} e T t T F( ) Tranformata funkcji f (t) przeuniętej w dziedzinie zmiennej zepolonej o a L { e at f( t)} F( a) Tranformata plotu funkcji może być wykorzytana do przeprowadzenia odwrotnej tranformacji iloczynu dwu tranformat H () i X (), jeżeli funkcje czau h (t) i x (t) odpowiadające pozczególnym tranformatom ą znane τ t L{ h( t) x( t) } L{ h( τ ) x( t τ ) dτ } H( ) X ( ) τ Twierdzenie graniczne o wartości początkowej funkcji f (t) pozwala obliczyć wartość początkową funkcji (jeżeli granica tej funkcji itnieje) bezpośrednio z jej tranformaty

22 f( ) lim f( t) lim F( ) t Twierdzenie graniczne o wartości końcowej funkcji f (t) pozwala obliczyć wartość końcową funkcji ( jeżeli granica tej funkcji itnieje) bezpośrednio z jej tranformaty f( ) lim f( t) lim t F( )

23 Tablica.. Tranformaty niektórych funkcji czau Funkcja czau f( t) L { F( ) _} Tranformata Laplace F( ) L{ f ( t)} Skok jednotkowy ( t ) Impul zpilkowy Diraca δ (t) Impul protokątny o polu k k δ (t ) k Stała wolnotojąca T T Cza wolnotojący t Cza wolnotojący t 3 Cza do potęgi n tej t n n! n t Człon inercyjny rzędu e T T T Człon inercyjny rzędu e at a t e at ( a ) t n e at n ( n )! ( a) t e T ( T ) in t co t e at in t ( a) a e at co t ( a) t ξ T in( t e ξ ) ξ T T T ξ T Człon inercyjny rzędu Człon inercyjny rzędu n 3

24 Przykład Człon dynamiczny zawierający obwód elektryczny złożony z indukcyjności L H zeregowo połączonej z rezytancją R 8 Ω jet opiany niejednorodnym równaniem różniczkowym pierwzego rzędu di L R i E W chwili t człon ten zotał poddany działaniu kokowo zmiennego napięciowego ygnału wejściowego E( t) 6 [ V ] ( t) o przyroście równym 6 V. Warunek początkowy dla tanu tego obwodu w chwili t wynoi i( ). 5 A Sygnałem wyjściowym z tego członu jet przebieg natężenia prądu w obwodzie. Obliczyć wartość ygnału wyjściowego i(t) dla t oraz wyprowadzić równanie przebiegu ygnału wyjściowego i(t) będące charakterytyką czaową odpowiedzi tego członu na kokową zmianę napięciowego ygnału wejściowego. Po poawieniu wartości liczbowych niejednorodne równanie różniczkowe przybiera potać di 8i 6 ( t) z warunkiem początkowym i()-.5. Równanie to z obzaru funkcji czau tranformuje ię tronami do obzaru zmiennej zepolonej, operację tranformacji protej oznacza ię litera L a wyrażenia tranformowane ujmuje ię w nawiay {}. di L{ 8i} L{6 ( t)} Po wykorzytaniu właności liniowości (tranformata umy umie tranformat) i po wyłączeniu wartości tałych przed znak L oznaczający operację tranformacji di L{ } 8 L{ i} 6 L{( t)} znajduje ię tranformaty F() odpowiadające funkcjom czau f(t) wytępującym w pozczególnych członach równania [ I( ) i()] 8 I( ) 6 4

25 i uwzględnia ię zadany niezerowy warunek początkowy i().5. [ I() (.5)] 8 I() 6 Po uporządkowaniu wyrazów otrzymuje ię algebraiczne równanie tranformat [ 8] I() 6 z którego można łatwo obliczyć tranformatę Laplace pozukiwanego równania ygnału wyjściowego I() ( 8) Poługując ię twierdzeniem dotyczącym granicznej o wartości końcowej f( ) lim f( t) lim F( ) t można z równania tranformaty bezpośrednio obliczyć wartość końcową (tylko dla t ) funkcji czau i( ) 6 lim ( 8) A Dla otrzymania pełnego równania ygnału wyjściowego w dziedzinie funkcji czau trzeba przeprowadzić odwrotną tranformację już obliczonej tranformaty ygnału wyjściowego, operację odwrotnej tranformacji oznacza ię ymbolem f ( t) L { F( )}. Aby tę operację można było przeprowadzić przy pomocy tablicy tranformat równanie tranformaty wytępujące w potaci ilorazu dwóch wielomianów (zazwyczaj dość złożone) trzeba najpierw rozłożyć na umę takich ułamków protych, dla których w tablicy tranformat można znaleźć odpowiednie wyrażenia. Operacja rozkładu ilorazu wielomianów P () i Q() na umę ułamków protych czaem może być dość pracochłonna i może wymagać pecjalnych metod rachunkowych. Jeżeli wielomian Q() topnia n wytępujący w mianowniku i mający n pierwiatków nie ma pierwiatków wielokrotnych to opierając ię na twierdzeniu Heaviide a P( ) Q( ) K K K Ki K 3 L L L L n 3 i n 5

26 6 można obliczyć pozczególne wpółczynniki i K mnożąc powyżze równanie przez ) ( i i poawiając i. Jeżeli wytępują pierwiatki wielokrotne, to powyżze równanie różniczkuje ię i potem potępuje ię podobnie jak poprzednio. W analizowanym przykładzie członu zawierającego obwód elektryczny RL tranformata ma niekomplikowaną potać, ale pomimo to dla tej tranformaty brak jet gotowego odpowiednika w przytoczonej tablicy tranformat. Aby takie odpowiedniki znaleźć wytarczy tranformatę ygnału wyjściowego rozłożyć w poób proty na umę dwóch ułamków 8) ( 6 8 8) ( 6 I() i pozczególne ułamki przekztałcić do takiej potaci, dla której w tablicy tranformat ą gotowe odpowiedniki () I Pamiętając o wyłączaniu tałych przed znak tranformacji i o liniowości tranformat (tranformata umy umie tranformat) przy pomocy tablicy tranformat (Tabl..) Funkcja czau } { _ ) ( ) ( t F L f Tranformata Laplace )} ( { ) ( t f L F T t e T T T t e ) ( T można łatwo przeprowadzić odwrotną tranformację powyżzej tranformaty 4 L L 8 {I()} L i(t) i otrzymać otateczną potać pozukiwanego równania przebiegu prądu w dziedzinie funkcji czau. t 4 t 4 t 4 e ) e ( 4 3 e i(t)

27 Poawiając do tego równania t można łatwo prawdzić, że wartość i(t) obliczona z tego równania dla t jet identyczna z wartością otrzymaną z twierdzenia o granicznej wartości końcowej..4. Tranformacja prota i odwrotna w programie Mathematica 7. Niektóre matematyczne programy komputerowe np. Mathematica 7. zawierają bardzo bogate biblioteki tranformat protych i odwrotnych, a to pozwala bardzo łatwo przeprowadzić tranformację protą nawet dla bardzo złożonych funkcji czau i tranformację odwrotną dla bardzo złożonych potaci tranformat. Programy te pozwalają również uzykać wykrey analizowanych funkcji. W programie Mathematica 7. operacja znajdowania protej lub odwrotnej tranformaty Laplace prowadza ię do napiania i wykonania kilku bardzo protych intrukcji, intrukcje te muzą być piane z zachowaniem dokładnej ekwencji dużych i małych liter w odpowiednich miejcach. Dla uniknięcia kolizji nazw funkcji wprowadzonych przez użytkownika z nazwami zatrzeżonymi funkcje użytkownika powinny być piane małymi literami. Uwaga! W tarzych werjach programu Mathematica najpierw należało wczytać pakiet tranformat wykonując w tym celu intrukcję: <<Calculu`LaplaceTranform` W nowzych werjach programu nie jet to konieczne.: <Shift> <Enter> Obliczenie protej tranformaty Laplace Y () dla wyrażenia opianego równaniem wyr(t) zawierającego różne funkcje czau i zapianego w programie Mathematica 7 jako yt wyr(t) realizuje intrukcja y LaplaceTranform[yt, t, ] <Shift> <Enter> w której obliczoną tranformatę umownie oznaczono ymbolem y wyr(). Operację przeprowadzenia odwrotnej tranformacji równania tranformaty Laplace ygnału wyjściowego Y () zapianego w programie Mathematica 7 i oznaczonego umownie ymbolem y wyr() realizuje intrukcja: yt InvereLaplaceTranform[y,, t] <Shift> <Enter> Ilutrację graficzną tak otrzymanej funkcji czau y (t) oznaczonej umownie ymbolem yt realizuje intrukcja Plot[yt, {t, tmin, tmax}] <Shift> <Enter> porządzająca wykre funkcji yt przedziale zmienności czau t od tmin do tmax. 7

28 Przykład kompletnego wydruku programu zawierającego opiy pozczególnych intrukcji i realizującego obliczenia obwodu elektrycznego przeprowadzone w poprzednim przykładzie pokazano na ryunku 8

29 9

30 Ry.6. Wydruk programu realizującego obliczenia przebiegów ygnałów w obwodzie elektrycznym RL omówionym w poprzednim przykładzie (intrukcja nr 7 <<PlotLegend` oraz 3 otatnie wierze intrukcji nr 8 Plot ą niezbędne tylko wtedy, gdy obok wykreu ma być pokazana legenda zawierająca opiy linii ) 3. Analiza dynamiki liniowych układów dykretnych 3.. Charakterytyki czaowe Charakterytyki czaowe przeawiają przebieg odpowiedzi układu w dziedzinie funkcji czau na ygnał wejściowy zmienny w czaie i mający znany przebieg; np. na ygnał impulowy, na ygnał kokowy, na ygnał liniowo naratający lub na dowolny inny ygnał o znanym przebiegu. Charakterytyki czaowe można porządzić metodami ekperymentalnymi na poawie pomiarów przebiegów ygnału wejściowego x(t) i ygnału wyjściowego y (t) zmierzonych na obiekcie rzeczywitym do którego wprowadza ię ygnał wejściowy o znanym przebiegu (najczęściej jet to ygnał kokowo zmienny) lub na poawie analizy znanego opiu matematycznego tego obiektu wyrażonego równaniem różniczkowym lub tranmitancją operatorową. Ry. 7. Przykład kokowo zmiennego ygnału wejściowego x (t) i ygnału wyjściowego y (t) będącego odpowiedzią obiektu na ygnał wejściowy Charakterytyki czaowe można uzykać metodami obliczeniowymi rozwiązując analitycznie równanie różniczkowe opiujące zależność ygnału wyjściowego y (t) od ygnału wejściowego x (t) doprowadzanego do obiektu ale można to zrealizować tyko wtedy, gdy odpowiednie zależności analityczne ą znane. Charakterytykę czaową można obliczyć poługując ię rachunkiem operatorowym lub rozwiązując to równanie metodami numerycznymi bez pozukiwania analitycznego rozwiązania. Do porządzania charakterytyk czaowych można wykorzytywać różne potacie ygnału wejściowego, najczęściej wykorzytuje ię do tego celu natępujące ygnały impulowe, ygnały kokowe i ygnały liniowo naratające. Sygnał impulowy nazywany impulem zpilkowym lub deltą Diraca δ 3

31 Ry. 8. Sygnał impulowy o bardzo krótkim czaie trwania o powierzchni impulu k x( t) k δ( t) któremu odpowiada tranformata Laplace X ( ) k Sygnał kokowy Ry. 9. Sygnał kokowo naratający o przyroście x max x( t ) xmax ( t ) któremu odpowiada tranformata Laplace X ( ) xmax Sygnał liniowo naratający 3

32 Ry.. Sygnał liniowo naratający o wpółczynniku nachylenia C dy / x( t ) któremu odpowiada tranformata Laplace X ( ) C t C Do analizy charakterytyk czaowych można także wykorzytywać inne rodzaje ygnałów zmiennych w czaie, np. ygnał harmoniczny powtający w chwili t. Sygnał harmoniczny Ry.. Sygnał harmoniczny powtający w chwili t o amplitudzie A i o czętości kątowej x( t ) A in t któremu odpowiada tranformata Laplace X ( ) A 3.. Tranmitancja operatorowa członu jednokanałowego 3

33 Dla dowolnego członu opianego równaniem różniczkowym liniowym i mającego wzytkie warunki początkowe równe zeru (tzw. zerowe warunki początkowe ) równanie różniczkowe tego członu d n y d n y dy a n an a a y x( t) n L n po tranformacji Laplace uwzględniającej zerowe warunki początkowe przybiera potać ( a n n n an L a a) Y ( ) X ( ) z której można obliczyć tranmitancję operatorową członu G( ) Y ( ) X ( ) n an n an L a a która jet tounkiem tranformaty ygnału wyjściowego Y() do tranformaty ygnału wejściowego X(). Tranmitancja operatorowa nie zależy od natury fizycznej obiektu, określa ona jedynie związki analityczne między tranformatą ygnału wejściowego X() i tranformatą ygnału wyjściowego Y(). Jeżeli warunki początkowe równania różniczkowego opiującego właności członu w dziedzinie funkcji czau ą zerowe i człon jet opiany równaniem różniczkowym liniowym to tranmitancja operatorowa nie zależy od rodzaju ani od przebiegu ygnałów i jet równie kompletnym opiem właności dynamicznych członu jak równanie różniczkowe jednorodne opiujące właności tego członu w dziedzinie funkcji czau. Mnożąc tranmitancję operatorową członu G() przez tranformatę ygnału wejściowego X() otrzymuję ię tranformatę ygnału wyjściowego Y() Y ( ) G( ) X ( ) odpowiadającego temu ygnałowi wejściowemu. Matematycznie można zrealizować także inną operację dzieląc tranformatę ygnału wyjściowego przez tranmitancję operatorową członu można otrzymać tranformatę ygnału wejściowego ale taka czynność w rzeczywitym układzie fizycznym zazwyczaj nie jet możliwa. Jeżeli mianownik tranmitancji operatorowej zotanie przyrównany do zera, to tak otrzymane równanie algebraiczne n n an an L a a jet równaniem charakterytycznym równania różniczkowego tego członu. W przypadku członu opianego równaniem różniczkowym o tatecznym rozwiązaniu charakteryzującym ię tym, że y ( t ) jeżeli na ten człon nie działają żadne iły zewnętrzne wzytkie pierwiatki równania charakterytycznego muzą być ujemne lub zepolone przężone o ujemnych częściach rzeczywitych. Jeżeli pierwiatki równania charakterytycznego ą rzeczywite, to odpowiedź układu na kokowy lub impulowy ygnał wejściowy będzie przebiegiem aperiodycznym, natomiat jeżeli pierwiatki te będą liczbami zepolonymi 33

34 przężonymi, to odpowiedzią będzie przebieg ocylacyjny. Znajomość pierwiatków równania charakterytycznego jet przydatna m. in. w czaie analizy tabilności układów ze przężeniem zwrotnym. Przykład Obwód elektryczny utworzony z 3 zeregowo połączonych elementów: cewki o indukcyjności L. 3 H, rezytancji R 6 Ω i kondenatora o pojemności C.5 µ F jet podłączony do źródła prądu o ile elektromotorycznej E ( t) V. W chwili t w tym obwodzie już płynie prąd, i. A. Na poawie różniczkowo całkowego równania tego obwodu L di R i C t i E(t) obliczyć: równanie tranformaty natężenia prądu płynącego w obwodzie I () po kokowej zmianie iły elektromotorycznej od do V dla niezerowych warunków początkowych i. A, równanie tranformaty natężenia prądu płynącego w obwodzie I () po kokowej zmianie iły elektromotorycznej od do V dla zerowych warunków początkowych i A, równanie tranmitancji operatorowej dla niezerowych warunków początkowych, równanie tranmitancji operatorowej dla zerowych warunków początkowych, wartość natężenia prądu w obwodzie dla t dla obydwóch wariantów warunków początkowych, przy pomocy programu Mathematica przeprowadzić odwrotną tranformację obliczonej tranformaty natężenia prądu dla obydwóch wariantów warunków początkowych, przebiegi zmian natężenia prądu w obwodzie zilutrować graficznie w funkcji czau dla obydwóch wariantów warunków początkowych wykorzytując do tego celu intrukcję Plot programu Mathematica Metoda operatorowa analizy charakterytyk czaowych Metoda operatorowa jet narzędziem matematycznym bardzo przydatnym do analizy czaowych charakterytyk różnych członów ale może być praktycznie wykorzytana tylko wtedy, gdy oprócz tranmitancji układu znana jet także tranformata ygnału wejściowego lub gdy znane ą tranformaty pozczególnych funkcji tworzących złożony ygnał wejściowy. Sporządzanie opiu matematycznego, obliczenia tranmitancji i porządzanie charakterytyk czaowych dla różnych potaci ygnału wejściowego z wykorzytaniem rachunku operatorowego zotanie zilutrowane na przykładzie analizy dynamiki członu 34

35 inercyjnego drugiego rzędu wykorzytanego do modelowania drgań różnych obiektów mechanicznych m. in do modelowania drgań pionowych przetwornika drgań mechanicznych zawierającego maę bezwładną połączoną z drgającym podłożem za pośrednictwem liniowego elementu prężytego i wikotycznego elementu tłumiącego. Ry.. Dykretny model przetwornika drgań z maą ejmiczną poadowionego na podłożu wykonującym drgania o różnej potaci zainicjowane w chwili t (impul zpilkowy, kok jednotkowy, przebieg liniowo naratający, przebieg harmoniczny) Na kutek pionowego przemiezczenia drgającego podłoża elementy podatne odkztałcają ię i przenozą zmienną iłę z podłoża na maę ejmiczną, elementy tłumiące też wytwarzają zmienną iłę oporu, która także przenoi ię z podłoża na maę ejmiczną. Z drugiej zaady dynamiki Newtona wynika, że w ruchu potępowym iła bezwładności may jet równa umie wzytkich ił zewnętrznych działających na tę maę w kierunku przyjętym za dodatni kierunek jej ruchu, tj w górę. d y dx dy m R b ( ) c ( x zewn y) Tak uzykane równanie różniczkowe uwzględnia wzytkie pionowe iły zmieniające ię w funkcji czau natomiat nie uwzględnia tałej iły ciężkości nie mającej wpływu na drgania układu jeżeli elementy prężyte i tłumiące nie tracą kontaktu z maą ani z podłożem. Kolejne człony licząc od lewej trony równania wyrażają: x f (t) - znana funkcja czau opiująca pionowe przemiezczenie podłoża, y - nieznane pionowe przemiezczenie may ejmicznej, d y m - iłę bezwładności may ejmicznej, iła ta jet iloczynem may i przypiezenia pionowego działającego na tę maę, dx dy b ( ) - iłę wikotycznego tłumienia zatępczego tłumika drgań łączącego maę z podłożem, iła ta jet iloczynem zatępczej tałej tłumienia tłumików drgań i różnicy prędkości obydwóch końców tłumika, 35

36 c ( x y) - iłę odkztałcenia zatępczego elementu prężytego łączącego maę z podłożem, iła ta jet iloczynem zatępczej tałej prężytości prężyny i różnicy przemiezczeń obydwóch końców prężyny. Po przenieieniu wzytkich wyrazów na jedną tronę otrzymuje ię zwyczajne równanie różniczkowe drugiego rzędu d y m dy b ( dx ) c ( y x) które można przekztałcić do potaci, w której pozukiwane funkcje pionowego wychylenia may ejmicznej (wychylenie, pierwza i druga pochodna wychylenia) będące funkcjami ygnału wyjściowego wytępują na lewej tronie a zadane funkcje czau wymuzające pionowe drgania podłoża i będące zmiennym ygnałem wejściowym f (t) wytępują na prawej tronie równania d y dy m b c y f ( t) dx b c x Dla uprozczenia zapiu równanie różniczkowe dzieli ię tronami przez tałą prężytości c m c d y b c dy y b c dx x i wprowadza ię do niego ymbol czętości nie tłumionych drgań włanych układu lub tałej czaowej T / c m T oraz ymbol bezwymiarowego topnia tłumienia drgań. D b b kryt b b b o m c m m b o c lub tałej czaowej T b / c. b c D T 36

37 37 Po uwzględnieniu tych ymboli zapi równania różniczkowego przybiera inną, w pełni równoważną, potać częto toowaną do opiu układów mechanicznych x dx D y dy D y d lub jezcze inną potać chętnie toowaną w automatyce i elektronice. x dx T y dy T y d T W tak otrzymanym zapiie równań różniczkowych kompletne właności dynamiczne tego przetwornika drgań opiują tylko dwie wielkości niezależne od rodzaju ygnałów wejściowych i wyjściowych: czętość kątowa nie tłumionych drgań włanych lub tała czaowa T topień tłumienia drgań D lub tała czaowa T. Po tranformacji tych dwóch równań do obzaru zmiennej zepolonej przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymuje ię odpowiednie równania tranformat ) ( ) ( X D Y D ( ) ( ) ) ( ) ( X T Y T T z których można obliczyć ogólne równanie tranmitancji operatorowej dla wychylenia may przetwornika drgań z maą ejmiczną. ) ( ) ( ) ( T T T D D X Y G Przyrównując do zera wyrażenie wytępujące w mianowniku tranmitancji operatorowej otrzymuje ię równanie charakterytyczne równania różniczkowego D które w zależności od wartości topnia tłumienia D ma dwa pierwiatki zepolone przężone lub dwa pierwiatki rzeczywite

38 38 ± ± ± 4, D D D D D D Obydwa pierwiatki równania charakterytycznego mają wartości rzeczywite gdy > D lub zepolone przężone ±, D j D gdy < D Można wykazać, że w przypadku pierwiatków rzeczywitych odpowiedź układu na kokowy (lub impulowy) ygnał wejściowy będzie przebiegiem aperiodycznym, natomiat w przypadku pierwiatków zepolonych przężonych ygnał wyjściowy będzie przebiegiem ocylacyjnym. Znając tranmitancję operatorową dowolnego obiektu np. przetwornika drgań z maą ejmiczną ) ( G i tranformatę ygnału wejściowego wchodzącego do tego obiektu (np. pionowego przemiezczenia podłoża) ) ( X można łatwo obliczyć tranformatę ygnału wyjściowego (np. wychylenia may) ) ( Y z równania ) ( ) ( ) ( ) ( X D D X G Y

39 lub z innej potaci równania tego amego obiektu Y( ) G( ) X ( ) T X ( ) T T Wzytkie obliczenia niezbędne do porządzenia charakterytyki czaowej przebiegu ygnału wyjściowego y (t) będącego odpowiedzią członu o znanym równaniu n różniczkowym f ( y,.. y, y, y, y) x( t) na zadziałanie znanego ygnału wejściowego x (t) można porządzić poługując ię plikiem intrukcji programu Mathematica 7 realizujących kolejno natępujące operacje: obliczenie tranformaty Laplace równania różniczkowego, obliczenie tranmitancji operatorowej G () członu, obliczenie traformaty Laplace ygnału wejściowego X (), obliczenie tranformaty ygnału wyjściowego Y (), obliczenie równania odpowiedzi członu w dziedzinie funkcji czau y (t) przez przeprowadzenie odwrotnej tranformacji Laplace dla tranformaty ygnału wyjściowego Y (), porządzenie wykreu funkcji y (t) w przedziale czau od t min do Poniżej pokazano uprozczony zapi odpowiednich intrukcji, w którym wzytkie nazwy funkcji wprowadzone przez użytkownika zapiano małymi literami dla uniknięcia kolizji z nazwami wewnętrznych funkcji programu Mathematica 7 zaczynających ię dużą literą. y LaplaceTranform[ ft, t, ] (* tranformacja Laplace rownania rozniczkowego *) g y / x ( obliczenie tranmi tancji operatorowej ) x LaplaceTranform[ xt, t, ] (* tranformacja Laplace ygnalu wejciowego *) y g x (* obliczenie tranformaty ygnalu wyjciowego ) yt InvereLaplaceTranform[ y,, t] ( odwrotna tranformacja Laplace ) rynrx Plot[ yt, t, t min, t max] ( ryowanie wykreu yt( t) we wpolrzednych lin lin ) Pełny zapi kompletnych intrukcji programu realizującego obliczenia i obrazującego ich wyniki zilutrowano na ryunkach 7 -. Z ogólnego równania różniczkowego uwzględniającego wzytkie zmienne iły zewnętrzne działające na maę ejmiczną d y dx dy m R b ( ) c ( x zewn y) wynika, że zmienna kładowa umy ił zewnętrznych jet równa ile bezwładności i jet równocześnie zmienną kładową iły przenozonej na podłoże. Wypadkowa iła przenozona na podłoże jet umą tałej iły ciężkości i umy ił zmiennych równej ile bezwładności. 39

40 R um m g R zewn d y m g m > Jeżeli wypadkowa iła ma wartość dodatnią, to nie zachodzi obawa zaniku naciku may na podłoże i oderwania ię elementów od podłoża, ujemna wartość tej iły oznacza, że elementy te mogą chwilowo tracić kontakt z podłożem lub z maą ejmiczną jeżeli z maą i z podłożem nie ą trwale połączone. Z powyżzego równania wynika, że warunek braku oderwania przetwornika od podłoża jet pełniony, gdy d y g > uma przypiezenia ziemkiego i makymalnej wartości zmiennej kładowej ujemnego przypiezenia działającego na maę ejmiczną jet więkza od zera. Po tranformacji równania ił do obzaru zmiennej zepolonej z uwzględnieniem, że wartość iloczynu m g cont wytępuje w równaniu jako wolnotojąca tała można obliczyć tranformatę Laplace m g Rum( ) m Y( ) umarycznej iły naciku przetwornika na podłoże. Charakterytyki czaowe członu inercyjnego drugiego rzędu opianego powyżzymi równaniami i poddanemu działaniu ygnałów wejściowych o przebiegach zilutrowanych na Ry. 3 obliczono przy pomocy programu Mathematica 7 i pokazano je na kolejnych ryunkach. 4

41 Ry. 4. Wydruk początkowego fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego obliczenia tranmitancji operatorowej przetwornika drgań z maą ejmiczną modelowanego obiektem inercyjnym drugiego rzędu o czętotliwości nie tłumionych drgań włanych f. 5 Hz i o topniu wikotycznego tłumienia D. 4

42 Ry. 5. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego obliczenia i wykre charakterytyki czaowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań na impulowy ygnał wejściowy o powierzchni impulu.4 m 4

43 Ry. 6. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego obliczenia i wykre charakterytyki czaowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań na kokowy ygnał wejściowy o przyroście wyokości x. 5 m 43

44 Ry. 7. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego obliczenia i wykre charakterytyki czaowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań na liniowo naratający ygnał wejściowy o nachyleniu c.5 m / 44

45 Ry. 8. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego obliczenia i wykre charakterytyki czaowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań zainicjowanej w chwili t ygnałem harmonicznym o amplitudzie.5 m i o czętotliwości f pięciokrotnie więkzej od czętotliwości nie tłumionych drgań włanych przetwornika wynozącej f. 5 Hz 3... Cza zanikania proceów przejściowych 45

46 Na wykreach przebiegów odpowiedzi modelu przetwornika drgań z maą ejmiczną na różne potacie ygnału wejściowego wytępują dwa wyraźnie różniące ię tany ygnału wyjściowego:. Stan przejściowy, wytępujący od chwili początku zadziałania na przetwornik ygnału wejściowego i trwający w czaie nie przekraczającym kilku okreów nie tłumionych drgań włanych przetwornika.. Stan tacjonarny, wytępujący po zaniknięciu ww proceów przejściowych. W równaniach wzytkich analizowanych odpowiedzi wytępują wyrażenia opiujące tan przejściowy i tan utalony tej odpowiedzi. Wyrażenia określające tany przejściowe ą mnożone przez człon zawierający iloczyn ( i) t e 5.45t e i74.87t e rzeczywitego wyrazu zanikającego ( dążącą do zera dla czau t dążącego do niekończoności) D t e 5 e.45 t i wyrazu urojonego i74.87t e który zgodnie z wzorami Eulera co(74.87 t) i in(74.87 t) ± ϕ e j coϕ ± j inϕ znanymi z analizy matematycznej przeawia przebiegi ocylacyjne o tałej amplitudzie. Potwierdza to rozwiązanie uzykane w wyniku odwrotnej tranformacji ogólnej potaci równania odpowiedzi obiektu inercyjnego drugiego rzędu na harmoniczny ygnał wejściowy o czętości kątowej i o amplitudzie A przeprowadzonej intrukcją programu Mathematica 7 Wzytkie wyrażenia wytępujące w drugim i trzecim wierzu tak otrzymanego i przekztałconego rozwiązania 46

47 opiują procey przejściowe ponieważ ą mnożone wpółczynnik wytępujący w pierwzym D t wierzu i zawierający zanikający człon e natomiat tan utalony ygnału wyjściowego opiują wyrażenia wytępujące w czwartym wierzu. Jeżeli w wyrazie zanikającym uwzględni ię związek czętości nietłumionych drgań włanych z czętotliwością f i okreem T tych drgań π f π T to zanikający człon wykładniczy e t π D D t T e można uzależnić od wartości bezwymiarowego topnia tłumienia D i od tounku czau t do okreu nie tłumionych drgań włanych T przetwornika. Dla t /T wartość tego członu dąży do zera i wtedy wartość wzytkich wyrażeń mnożonych przez ten człon też dąży do zera a to oznacza że wtedy w ygnale wyjściowym zanikają procey przejściowe. Zanikanie proceów przejściowych,8,7,6 e**d*omega*t,5,4,3,, D*omega*t Ry. 9. Przebieg zanikania proceów przejściowych Tablica. wartości członu ekponencjalnego 47

48 t π D T t π D T,368,35,5,8,7,5 e Z powyżzego ryunku i z tablicy wynika, że wartość członu ekpotencjalnego wyrażającego wpływ proceów przejściowych zmniejza ię poniżej % jeżeli wartość wykładnika potęgi t D t π D T 4 a to oznacza, że z dotateczną dla praktyki dokładnością można przyjąć, iż zanik proceu przejściowego natąpi gdy t T π D Przebieg proceów przejściowych zilutrowany na ryunku dla różnych wartości bezwymiarowego topnia tłumienia D 48

49 Ry. 3. Przebiegi zaniku proceów przejściowych w przetworniku drgań z maą ejmiczną dla różnych wartości topnia tłumienia D. (linia zielona), D. 5 (linia brązowa), D.5(linia niebieka) i D (linia czerwona) w zależności od tounku czau t do okreu nie tłumionych drgań włanych T przetwornika wkazuje, że cza zanikania proceów przejściowych zależy w dużym topniu od wartości bezwymiarowego topnia tłumienia D i od okreu nie tłumionych drgań włanych T modelowanego obiektu natomiat nie zależy od czętotliwości ygnału wejściowego. Dla krytycznej wartości topnia tłumienia D. proce przejściowy zanika gdy t / T >. 64, dla D. 5 - gdy t / T >. 3 natomiat w przypadku niewielkiego tłumienia odpowiadającego D. zanik proceu przejściowego natępuje dopiero gdy t / T > 6. 4 tzn. po upływie czau równego 6.4 okreom nie tłumionych drgań włanych przetwornika. Dla analizowanego przetwornika drgań o okreie nie tłumionych drgań włanych T. 83 i o topniu tłumienia D. dotateczny zanik proceów przejściowych natąpi gdy t / T 3. tzn po upływie czau t licząc od chwili zadziałania ygnału wejściowego na przetwornik drgań modelowany członem inercyjnym drugiego rzędu. Ry. 3. Stan przejściowy i tan utalony ygnału wyjściowego w przypadku gdy czętotliwość ygnału wejściowego f jet równa % czętotliwości nie tłumionych drgań włanych przetwornika drgań z maą ejmiczną wynozącej f, 5 Hz 49

50 Ry. 3. Stan przejściowy i tan utalony ygnału wyjściowego w przypadku gdy czętotliwość ygnału wejściowego f jet równa 75 % czętotliwości nie tłumionych drgań włanych przetwornika drgań z maą ejmiczną wynozącej f, 5 Hz Ry. 33. Stan przejściowy i tan utalony ygnału wyjściowego w przypadku gdy czętotliwość ygnału wejściowego f jet równa 5 % czętotliwości nie tłumionych drgań włanych przetwornika drgań z maą ejmiczną wynozącej f, 5 Hz 5

51 Ry. 34. Stan przejściowy i tan utalony ygnału wyjściowego w przypadku gdy czętotliwość ygnału wejściowego f jet równa 5 % czętotliwości nie tłumionych drgań włanych przetwornika drgań z maą ejmiczną wynozącej f, 5 Hz Analiza dynamiki członu inercyjnego drugiego rzędu wykorzytanego do modelowania dynamiki obiektu będącego przetwornikiem drgań z maą ejmiczną wykazała, że charakterytyka czaowa przebiegu ygnału wyjściowego y(t) będącego odpowiedzią obiektu na dowolny ygnał wejściowy x(t) działający na obiekt od chwili t zawiera: przebieg przejściowy powodowany tanami przejściowymi wytępującymi w obiekcie bezpośrednio po zadziałaniu ygnału wejściowego zmieniającego pierwotny tan obiektu, przebieg utalony odpowiadający utalonej części przebiegu ygnału wejściowego i wytępujący dopiero po zaniknięciu tanów przejściowych w obiekcie. W przypadku zadziałania na obiekt harmonicznego ygnału wejściowego x A in( t) przebieg przejściowej części ygnału wyjściowego jet opiany funkcjami złożonymi z um i iloczynów funkcji harmonicznych i funkcji ekpotencjalnych, natomiat utalona część ygnału wyjściowego jet opiana funkcją harmoniczną y B in( t ± γ ) o niezmienionej czętości kątowej ale zazwyczaj ma ona inną amplitudę i jet fazowo przeunięta (opóźniona) o pewien kąt γ w tounku do ygnału wejściowego. Z analizy utalonej części przebiegów ygnałów wejściowych i wyjściowych zilutrowanych na ryunkach 4 7 wynikają natępujące wnioki: 5

52 Jeżeli czętotliwość ygnału wejściowego f jet znacznie mniejza od czętotliwości nie tłumionych drgań włanych obiektu (ry. 3 - f / f. ), to amplituda utalonej części ygnału wyjściowego nie różni ię w itotnym topniu od amplitudy ygnału wejściowego, wzajemne przeunięcie fazowe obydwóch ygnałów nie wytępuje; Jeżeli czętotliwość ygnału wejściowego f mieści ię w zakreie okołorezonanowym obiektu tj. jet zbliżona do czętotliwości nie tłumionych drgań włanych obiektu (ry. 3 - f / f. 75 i ry 6 - f / f. 5), to amplituda utalonej części ygnału wyjściowego jet znacząco więkza od amplitudy ygnału wejściowego i wytępuje zauważalne opóźnienie fazowe ygnału wyjściowego w tounku do ygnału wejściowego, w zakreie czętotliwości f > f opóźnienie to jet znacznie więkze od opóźnienia wytępującego w zakreie czętotliwości f < f ; Jeżeli czętotliwość ygnału wejściowego f jet znacznie więkza od czętotliwości nie tłumionych drgań włanych obiektu (ry. 9 - f / f 5. ), to amplituda utalonej części ygnału wyjściowego jet znacząco mniejza od amplitudy ygnału wejściowego, wytępuje znaczne opóźnienie fazowe ygnału wyjściowego w tounku do ygnału wejściowego. Charakterytyki czaowe uzykane w wyniku analizy utalonej części przebiegów ygnałów harmonicznych dają dobre wyniki tylko dla jednej analizowanej czętotliwości ygnału wejściowego dlatego do analizy takich ygnałów bardziej przydatne ą charakterytyki czętotliwościowe obrazujące wyniki obliczeń w zerokim zakreie czętotliwości ygnałów. Program Mathematica daje możliwość analizy charakterytyk czaowych obiektu, do którego doprowadzony jet ygnal wejściowy złożony z kilku ygnałów impulowych kolejno po obie natępujących w pewnych oępach czau. Do przygotowania opiu matematycznego takiego ygnału wejściowego w dziedzinie funkcji czau łuży intrukcja zawierająca zapiy funkcji czau: impulu zpilkowego (c*diracdelta[t-t] ) opóźnionego o cza t koku jednotkowego (c*heviidetheta[t-t]) opóźnionego o cza t Czay opóźnienia (t i t) ą liczone od chwili t odpowiadającej początkowi obliczeń, obydwie funkcje ą mnożone przez odpowiednie tałe (c i c). Przykład wydruku takiej intrukcji (In[4]) opiującej funkcję czau x5t zawierającą dwa kolejno po obie natępujące impuly zpilkowe (dodatni i ujemny) o polu pimp i dwa kolejno po obie natępujące koki jednotkowe (dodatni i ujemny) o przyroście ako opóźnione o n tą wielokrotność czau td oraz przykład intrukcji (In[5]) realizującej tranformację funkcji czau do dziedziny zmiennej zepolonej zawiera poniżzy fragment wydruku programu. Pełny wydruk programu zawierającego obliczenia i wykre charakterytyki czaowej odpowiedzi członu inercyjnego rzedu na taki złożony ygnał wejściowy zamiezczono poniżej. 5

53 Ry. 35. Wydruk programu Mathematica obliczającego ygnał wyjściowy odpowiedzi członu inercyjnego drugiego rzędu (przetwornika drgań) na ygnał wejściowy zawierający ciąg ygnałów impulowych przeuniętych w czaie (impul, -impul, kok, -kok) wraz z najprotzą potacią intrukcji Plot obrazującej przebieg dwu funkcji: ygnału wejściowego x 5t i ygnału wyjściowego y 5t 53

54 Ry. 36. Rozzerzona intrukcja Plot (bez legendy) i wykre zobrazowany tą intrukcją 54

55 Ry. 37. Intrukcja wczytująca pakiet opiu legendy i rozzerzona intrukcja Plot, w której 3 otatniewierze tworzą legendę wykreu zobrazowanego tą intrukcją Przykład Obwód elektryczny utworzony z 3 zeregowo połączonych elementów: cewki o indukcyjności L. 3 H, rezytancji R 6 Ω i kondenatora o pojemności C.5 µ F jet podłączony do źródła prądu o ile elektromotorycznej E ( t) V. W chwili t w tym obwodzie nie płynie żaden prąd, i A. Na poawie różniczkowo całkowego równania tego obwodu 55

56 L di R i C t i E(t) obliczyć: równanie tranformaty natężenia prądu I () płynącego w obwodzie po podłączeniu do źródła prądu o ile elektromotorycznej E (t), równanie tranmitancji operatorowej G () I() / E() dla zerowych warunków początkowych obwodu, równanie ygnału wejściowego złożonego kokowego przyrotu napięcia o 6 V i impulowego przyrotu napięcia o polu impulu.5 V ec opóźnionego o.5 ec w tounku do ygnału kokowego, przy pomocy programu Mathematica przeprowadzić tranformację Laplace ygnału wejściowego, obliczyć tranformatę ygnału wyjściowego (przebiegu prądu w obwodzie) przy pomocy programu Mathematica przeprowadzić odwrotną tranformację obliczonej tranformaty natężenia prądu, przebiegi zmian natężenia prądu w obwodzie zilutrować graficznie w funkcji czau dyrektywą Plot 3.3. Charakterytyki czętotliwościowe Charakterytyki czętotliwościowe odnozą ię tylko do utalonych tanów obiektu poddanego działaniu harmonicznych ygnałów wejściowych. Charakterytyki te zawierają ważne informacje o wpływie czętotliwości ygnału wejściowego na wpółczynnik wzmocnienia wyrażony tounkiem amplitudy ygnału wyjściowego do amplitudy ygnału wejściowego oraz o wpływie tej czętotliwości na kąt przeunięcia fazowego ygnału wyjściowego w tounku do ygnału wejściowego. 56

57 Ry. 38. Tranmija ygnałów zawierających kładową harmoniczną przez człon liniowy obrazująca tounek amplitud kładowej harmonicznej ygnału wyjściowego Y max do amplitudy ygnału wejściowego X max oraz kąt opóźnienia fazowego γ ygnału wyjściowego w tounku do ygnału wejściowego Znajomość charakterytyk czętotliwościowych pozczególnych członów układu regulacji jet bardzo itotna ponieważ charakterytyki te ą poawą oceny dynamiki tych członów i tabilności całego układu regulacji. Charakterytyki czętotliwościowe nie zawierają żadnych informacji o proceach przejściowych i dlatego do bezpośredniej oceny takich proceów nie ą przydatne. Charakterytyki czętotliwościowe można porządzić na poawie pomiarów przebiegów ygnału wejściowego x(t) i ygnału wyjściowego y (t) przeprowadzonych na obiekcie rzeczywitym do którego wprowadza ię harmoniczny ygnał wejściowy x( t) X max in( t) o bardzo wolno zmieniającej ię czętości kątowej lub na poawie analizy znanego opiu matematycznego tego obiektu wyrażonego tranmitancją operatorową przetworzoną do potaci tranmitancji widmowej Tranmitancja widmowa 57

58 Do analizy dynamiki obiektu poddanego działaniu harmonicznych ygnałów wejściowych najodpowiedniejze jet poddanie równania różniczkowego tranformacji Fouriera pozwalającej uzykać tranmitancję widmową obiektu. Tranmitancja widmowa jet bardzo przydatna do porządzania charakterytyk czętotliwościowych ilutrujących właności dynamiczne różnych układów poddanych działaniu utalonych ygnałów harmonicznych (o niezmiennej amplitudzie i czętotliwości) i do tego celu jet chętnie toowana, zwłazcza w elektronice i automatyce. Tranmitancja widmowa nie zawiera informacji o tanach przejściowych obiektu i o tałych kładowych ygnału wejściowego i ygnału wyjściowego y m. W praktyce do otrzymania tranmitancji widmowej wykorzytuje ię jej bliki związek z tranmitancją operatorową ponieważ równanie tranmitancji widmowej jet identyczne z urojoną częścią równania tranmitancji operatorowej. W celu otrzymania równania tranmitancji widmowej przekztałca ię równanie tranmitancji operatorowej przyjmując, że część rzeczywita δ zepolonego operatora δ j jet równa zeru a to w praktyce oznacza zatąpienie operatora operatorem, w którym ymbol j oznacza liczbę urojoną j. j x m G( j) G( ) j Jet to potrzeżenie mające itotne znaczenie praktyczne ponieważ pozwala ono bardzo łatwo wyprowadzić równanie tranmitancji widmowej gdy znana jet tranmitancja operatorowa układu. Tranmitancja widmowa jet liczbą zepoloną wyrażającą tounek zepolonej amplitudy harmonicznego ygnału wyjściowego do zepolonej amplitudy ygnału wejściowego Ry. 39. Ilutracja graficzna tranmitancji widmowej na płazczyźnie liczb zepolonych Moduł tranmitancji widmowej G ( j ) Re[ G( j)] Im[ G( j)] Y max X max 58

59 wyraża rzeczywity wpółczynnik wzmocnienia ygnałów harmonicznych w obiekcie i jet tounkiem rzeczywitej amplitudy harmonicznego ygnału wyjściowego Y max do rzeczywitej amplitudy harmonicznego ygnału wejściowego X max. Moduł tranmitancji widmowej zazwyczaj jet funkcją czętości kątowej ygnału wejściowego Argument tranmitancji Im[ G( j)] γ ( ) arc tg ϕ( Y max) ϕ( X max) Re[ G( j)] Wyraża kąt przeunięcia fazowego γ harmonicznego ygnału wyjściowego y (t) w tounku do harmonicznego ygnału wejściowego x (t), argument tranmitancji widmowej też zazwyczaj jet funkcją czętości kątowej ygnału wejściowego. Charakterytyki czętotliwościowe analizowanego obiektu ą graficznym obrazem tranmitancji widmowej porządzonym dla harmonicznych ygnałów wejściowych o różnych wartościach czętości kątowej lub czętotliwości tego ygnału. Charakterytyki czętotliwościowe przeawiają zależność modułu tranmitancji widmowej (wpółczynnika wzmocnienia, tounku amplitud) i kąta przeunięcia fazowego (opóźnienia fazowego) dla ygnałów harmonicznych w zależności od czętości kątowej [rad/] lub czętotliwości f [cykl/] ygnału wejściowego. W elektronice i automatyce powzechne zatoowanie znajdują charakterytyki czętotliwościowe amplitudowo fazowe wykreślane na płazczyźnie liczb zepolonych o wpółrzędnych ( Im, Re ) lub na płazczyźnie o wpółrzędnych moduł tranmitancji widmowej G ( j), kąt przeunięcia fazowego γ. W mechanice chętniej jet używany układ dwu oddzielnych charakterytyk złożony z charakterytyki amplitudowej wykreślonej na płazczyźnie o w wpółrzędnych moduł tranmitancji widmowej G ( j) oraz czętotliwość f (lub odpowiadająca jej czętość kątowa ) oraz z charakterytyki fazowej wykreślonej na płazczyźnie o wpółrzędnych kąt przeunięcia fazowego γ oraz czętotliwość f (lub odpowiadająca jej czętość kątowa ). Równanie tranmitancji widmowej jet liczbą zepoloną powtałą przez przekztalcenie ilorazu dwóch wielomianów, w każdym z tych wielomianów zazwyczaj wytępują wyrazy rzeczywite Re zależne od czętości kątowej ygnału i wyrazy urojone Im również zależne od czętości kątowej ygnału. W trakcie obliczania tranmitancji widmowej wykonuję ię poawowe działania algebraiczne na liczbach zepolonych zgodnie z poawowymi zaadami działań algebraicznych na tych liczbach. Dodawanie i odejmowanie dwu liczb zepolonych { Re( ) j Im( ) } { Re ( ) Im ( )} G( j) G( j) G( j) j najwygodniej jet wykonywać na liczbach zepolonych podanych w potaci algebraicznej ponieważ umowanie liczb zepolonych polega na oddzielnym umowaniu ich części rzeczywitych i na oddzielnym umowaniu ich części urojonych. Im[( G ( )] Im[ G( )] Im[ G( )] Re[( G ( )] Re[ G( )] Re[ G( )] 59

60 Natomiat mnożenie i dzielenie liczb zepolonych najwygodniej jet wykonywać na liczbach zepolonych podanych w potaci wektorowej. W przypadku mnożenia dwu liczb zepolonych G( j) G( j) G( j) moduł ich iloczynu jet równy iloczynowi modułów pozczególnych liczb a kąt fazowy jet umą kątów fazowych pozczególnych liczb. W przypadku dzielenia dwu liczb zepolonych G( j) G( j) G( j) γ ( ) γ( ) γ ( ) G ( j) G( j) G( j) moduł ich ilorazu jet równy ilorazowi modułów pozczególnych liczb a kąt fazowy jet różnicą kąta fazowego dzielnej i kąta fazowego dzielnika. G ( j) G( j) G( j) γ ( ) γ( ) γ ( ) W wyniku przekztałceń równanie tranmitancji widmowej można doprowadzić do potaci G ( j) Re( ) j Im( ) Re( ) Re( ) j j Im( ) Im( ) w której wytępuje iloraz dwu liczb zepolonych i z tej potaci można obliczyć moduł tranmitancji widmowej. G ( j) Y max X max Re( ) Im( ) Re( ) Re( ) Im( ) Im( ) oraz kąt przeunięcia fazowego γ ( ) Im( ) arc tg Re( ) Im( ) Im( ) arc tg arc tg Re( ) Re( ) ygnału wyjściowego y (t) w tounku do ygnału wejściowego (t) x. 6

61 W przypadku porządzania charakterytyki amplitudowo fazowej przeawiającej graficzny obraz tranmitancji widmowej na płazczyźnie liczb zepolonych celowe jet doprowadzenie równania tranmitancji widmowej do potaci jednej liczby zepolonej zapianej w potaci algebraicznej. W tym celu licznik i mianownik ilorazu dwu liczb zepolonych wyrażającego tranmitancję widmową mnoży ię przez liczbę zepoloną przężoną z liczbą zepoloną wytępującą w mianowniku. G( j) Re( ) Re( ) G( j) G( j) j j Re( ) Re( ) Im( ) Re( ) Im( ) Re( ) Re( ) Re( ) Im( ) Im( Re( ) Re( ) Im( ) Im( ) j j j j Im( ) Im( ) Im( ) Im( ) ) j ( Re( ) Im( ) Re( ) Im( ) ) ( Re( ) ) ( Im( ) ) Re( ) Im( ) Re( ) Im( ) j ( Re( ) ) ( Im( ) ) ( Re( ) ) ( Im( ) ) Zaawanowane programy matematyczne np. Mathematica 7, w ograniczonym zakreie także arkuz kalkulacyjny Excel i inne programy zawierają procedury realizujące ww działania algebraiczne na liczbach zepolonych. W programie Mathematica 7 do obliczeń charakterytyk czętotliwościowych przydatne ą m. in. natępujące dyrektywy: y LaplaceTranform[ ft, t, ] (* tranformacja Laplace rownania rozniczkowego *) g y / x ( obliczenie tranmi tancji operatorowej ) I ( zmiana rodzaju operatora ) gj g ( przekztalcenie tranmi tancji operatorowej w widmowa ) mgj Ab[ gj] ( obliczenie modulu tranmi tancji widmowej wzmocn ) agj Arg[ gj] ( obliczenie argumentu tranmi tancji widmowej γ ) rgj Re[ gj] ( obliczenie rzeczywitej czeci tranmi tancji widmowej ) igj Im[ gj] ( obliczenie urojonej czeci tranmi tan cji widmowej ) rynrx Plot[] ( ryowanie wykreu we wpolrzednych lin lin ) rynrx LogLogPlot[] ( ryowanie wykreu we wpolrzednych log log ) rynrx LogLinearPlot[] ( ryowanie wykreu we wpolrzednych log lin ) rynrx ParametricPlot[] ( ryowanie wykreu parametrycznego lin lin ) Arkuz kalkulacyjny Excel zawiera procedury realizujące działania algebraiczne na liczbach zepolonych ale nie oblicza tranformat Laplace a to znacząco ogranicza jego przydatność do analizy dynamiki różnych członów i układów metodami operatorowymi ponieważ równania odpowiednich tranmitancji trzeba wyprowadzać metodami rachunkowymi. Technika porządzania charakterytyki czętotliwościowej zotanie omówiona na przykładzie członu inercyjnego drugiego rzędu modelującego przetwornik drgań z maą ejmiczną, dla którego równanie tranmitancji operatorowej 6

62 6 ) ( ) ( ) ( T T T D D X Y G wyprowadzono i omówiono w poprzednich rozdziałach. Do porządzenia charakterytyki czętotliwościowej niezbędna jet znajomość równania tranmitancji widmowej, które otrzymuje ię z równania tranmitancji operatorowej poawiając tam tylko część urojoną zepolonego operatora, co w praktyce prowadza ię do poawienia δ δ j j Dla ygnałów harmonicznych równanie tranmitancji widmowej wyrażające tounek zepolonych amplitud wychyleń jet liczbą zepoloną, która po uporządkowaniu wyrazów przybiera taką potać ) ( ) ( ) ( Im Re Im Re Im Re T j T T j D j D j j j j X Y G M M L L j j j z której poługując ię zaadami działania na liczbach zepolonych można obliczyć moduł tranmitancji widmowej wyrażające tounek rzeczywitych wartości amplitudy drgań may do amplitudy drgań podłoża ( ) ( ) ( ) ( ) ν (max) (max) ) ( Im Re Im Re T T T X Y G M M L L j nazywany wpółczynnikiem wzmocnienia amplitudy ν, który dla protych drgań harmonicznych jet równocześnie wpółczynnikiem wzmocnienia amplitudy wychylenia, amplitudy prędkości i amplitudy przypiezenia. Kąt fazowego przeunięcia ygnału wyjściowego (wychylenia may ejmicznej) ) (t y w tounku do ygnału wejściowego (wychylenia podłoża) ) (t x określa równanie ( ) Re Im Re Im γ T T arctg T arctg arctg arctg M M L L

63 Można wykazać, że wartość liczbowa wpółczynnika wzmocnienia amplitud Y(max) X (max) Y X (max) (max) Y(max) X (max) v( y max) v( x max) a( y max) a( x max) ν jet identyczna dla wychylenia, dla prędkości i dla przypiezenia jeżeli czętość kątowa jet niezmienna. Amplituda harmonicznej iły działającej na maę jet równa amplitudzie iły bezwładności będącej iloczynem wartości may m i amplitudy harmonicznego przypiezenia a( y max) działającego na tę maę a jak wykazano przypiezenie to a( y max) ν a( x max) ν X max jet iloczynem wpółczynnika wzmocnienia ν i amplitudy przypiezenia a (x max) działającego na podłoże wykonujące drgania o zadanej amplitudzie X max i czętości. Amplituda iły przenozonej przez element prężyty i przez tłumik na drgające podłoże R (max) m a m Y(max) m a( max) ν ( y max) x jet równa amplitudzie iły bezwładności działającej na maę i zależy od amplitudy przypiezenia podłoża a (x max) oraz od wpółczynnika wzmocnienia amplitudy ν. Jeżeli wartość wpółczynnika wzmocnienia amplitudy wychylenia ν. (tak jet gdy f < f ), to wtedy amplituda iły działającej na maę i przenozonej przez elementy łączące tę maę z drgającym podłożem jet wprot proporcjonalna do amplitudy przypiezenia drgań działającego na drgające podłoże. R(max) a( x max) ν m Spotrzeżenie to jet wykorzytywane w przetwornikach drgań mierzących przypiezenia ponieważ przetworniki takie mierzą umaryczną iłę przenozoną na maę ejmiczną przez elementy prężyte i tłumiące łączące tę maę z drgającym podłożem i na poawie pomiaru tej iły pozwalają obliczyć wartość przypiezenia drgań wykonywanych przez podłoże Program Mathematica 7 jet wypoażony w procedury realizujące działania na liczbach zepolonych a to dla znanego równania tranmitancji widmowej pozwala łatwo uzykać wyniki obliczeń modułu i argumentu tej tranmitancji oraz pozwala zilutrować te wyniki w potaci różnych charakterytyk czętotliwościowych. Do realizacji takich obliczeń konieczne jet jedynie przetworzenie równania tranmitancji operatorowej G () w celu uzykania równania tranmitancji widmowej G ( j) natomiat dalze przekztałcanie równania tranmitancji widmowej niezbędne do uzykania równania modułu i argumentu tej tranmitancji zrealizuje am program. W zapiie Mathematica liczbę urojoną j zaleca ię oznaczyć ymbolem I. 63

64 Ry. 4. Wydruk początkowego fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego przekztałcenia tranmitancji widmowej potrzebne do obliczenia charakterytyk czętotliwościowych przetwornika drgań z maą ejmiczną modelowanego obiektem 64

65 inercyjnym drugiego rzędu o czętotliwości nie tłumionych drgań włanych i o topniu wikotycznego tłumienia D. f. 5 Hz Ry. 4. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego intrukcje graficzne i wykre charakterytyki czętotliwościowej modułu tranmitancji widmowej (wpółczynnika wzmocnienia amplitudy ygnału wyjściowego w tounku do amplitudy harmonicznego ygnału wejściowego) ww modelu przetwornika drgań 65

66 Ry. 4. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego intrukcje graficzne i wykre charakterytyki czętotliwościowej argumentu tranmitancji widmowej (kąta fazowego przeunięcia (opóźnienia) ygnału wyjściowego w tounku do ygnału wejściowego ) ww modelu przetwornika drgań 66

67 Ry. 43. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego intrukcje graficzne i wykre charakterytyki amplitudowo fazowej ww modelu przetwornika drgań 67

68 Ry. 44. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego intrukcje graficzne i wykre Blacka obrazujący charakterytkę amplitudowo fazową ww modelu przetwornika drgań 68

69 Jeżeli program realizujący działania na liczbach zepolonych nie jet dotępny, to charakterytyki czętotliwościowe można obliczyć przy pomocy dowolnego kalkulatora, ale wtedy nakład pracy jet znacznie więkzy. Przykład takich obliczeń zawartych w tablicy arkuza kalkulacyjnego EXCEL zilutrowano na poniżzym ryunku. G( j ) Y( j) X ( j) ReL ReM j ImL j ImM j D j D G ( j) γ γ L γ Y X (max) M (max) ReL ImL PIERWIASTEK( C^) ν Re Im PIERWIASTEK(B^ C^) M M Im Im arctg L arctg M ReL ReM ATAN ( C/) ATAN (C/ B) Im ν in γ D SIN (H) Re ν co γ D COS (H) Ry. 45. Wycinek arkuza kalkulacyjnego Excel zawierający fragment tablicy z wynikami obliczeń charakterytyki czętotliwościowej modułu ni i kąta przeunięcia fazowego gamma (ni) tranmitancji widmowej przetwornika drgań z maą ejmiczną dla bardzo małego topnia tłumienia D. w zależności od tounku czętotliwości drgań podłoża f do czętotliwości drgań włanych may ejmicznej fo oraz równania wykorzytane do obliczeń zawartych w tej tablicy 69

70 ni,, Wzmocnienie amplitudowe D, D, D,5 D, Ry. 46. Charakterytyka amplitudowa przetwornika drgań z maą ejmiczną przeawiająca tounek ni amplitudy harmonicznego wychylenia may ejmicznej do amplitudy wychylenia podłoża wykonującego drgania harmoniczne w zależności od tounku czętotliwości drgań podłoża f do czętotliwości drgań włanych may ejmicznej fo,,, f / fo gama Kąt fazowy ,, f / fo D, D, D,5 D, Ry. 47. Charakterytyka fazowa przetwornika drgań z maą ejmiczną przeawiająca zależność kąta gamma przeunięcia fazowego harmonicznego wychylenia may ejmicznej w tounku do wychylenia podłoża wykonującego drgania harmoniczne w zależności od tounku czętotliwości drgań podłoża f do czętotliwości drgań włanych may ejmicznej fo Im (ni) Charakterytyka amplitudowo-fazowa D, D, D,5 D, Ry. 48. Charakterytyka amplitudowo fazowa przetwornika drgań z maą ejmiczną przeawiająca zależność części urojonej Im(ni) tranmitancji widmowej od części rzeczywitej Re(ni) tranmitancji widmowej przetwornika drgań z maą ejmiczną Re (ni) 7

71 ni Wykre Blacka,,,, gamma D, D, D,5 D, Ry. 49. Charakterytyka amplitudowo fazowa przetwornika drgań z maą ejmiczną porządzona we wpółrzędnych Blacka przeawiająca zależność modułu ni tranmitancji widmowej od kąta gamma przeunięcia fazowego harmonicznego wychylenia may ejmicznej w tounku do wychylenia podłoża wykonującego drgania harmoniczne Z analizy zależności zilutrowanych na wykreach wynika, że ą trzy przedziały wartości tounku czętotliwości drgań podłoża do czętotliwości drgań włanych układu złożonego z may ejmicznej i elementów podatnych łączących tę maę z drgającym podłożem, w każdym z tych przedziałów inne ą właności dynamiczne układu. W zakreie wartości tounku czętotliwości drgań podłoża do czętotliwości drgań włanych układu maa ejmiczna element podatny f/fo mniejzych od.5 (ztywne połączenie may ejmicznej z podłożem) wpółczynnik wzmocnienia amplitudy wychylenia w nieznacznym topniu zależy od wpółczynnika tłumienia i jet zbliżony do oraz amplituda iły bezwładności działającej na maę ejmiczną i przenozonej na podłoże jet wprot proporcjonalna do amplitudy przypiezenia drgań podłoża a więc w tym zakreie czętotliwości pomiar tej iły daje możliwość określenia przypiezenia drgań podłoża jeżeli znana jet wartość may ejmicznej. Kąt przeunięcia fazowego wychylenia may w tounku do wychylenia podłoża nie zależy w topniu itotnym ani od wpółczynnika tłumienia, ani od tounku czętotliwości i jet bliki. W zakreie wartości tounku czętotliwości drgań podłoża do czętotliwości drgań włanych układu zawierających ię w granicach od.5 do.5 (około rezonanowe warunki pracy przetwornika drgań) wpółczynnik wzmocnienia amplitudy wychylenia znacząco zależy od wartości wpółczynnika tłumienia i od tounku czętotliwości, jet znacznie więkzy od. Amplituda iły bezwładności działającej na maę ejmiczną i przenozonej na podłoże jet znacznie więkza od iloczynu amplitudy przypiezenia drgań podłoża i wartości may ejmicznej. Kąt przeunięcia fazowego wychylenia may w tounku do wychylenia podłoża w tym zakreie zmienia ię w zależności od tounku czętotliwości drgań podłoża do czętotliwości drgań włanych may ejmicznej i w zależności od wpółczynnika tłumienia. W tym zakreie czętotliwości i przetwornik drgań z maą ejmiczną nie daje możliwości pomiaru przypiezenia drgań podłoża ani wychylenia podłoża i nie powinien być wykorzytywany do pomiaru drgań. W zakreie wartości tounku czętotliwości drgań podłoża do czętotliwości drgań włanych układu więkzych od.5 (podatne połączenie may ejmicznej z podłożem) wpółczynnik wzmocnienia amplitudy wychylenia may aymptotycznie dąży do zera i w niewielkim topniu powiękza ię w miarę wzrotu od wpółczynnika tłumienia (to oznacza, że maa ejmiczna przetaje drgać) oraz amplituda iły bezwładności działającej na maę ejmiczną i przenozonej na podłoże jet znacznie mniejza od iloczynu amplitudy przypiezenia drgań podłoża i wartości may ejmicznej. W tym zakreie czętotliwości 7

72 przetwornik drgań z maą ejmiczną nie daje możliwości pomiaru przypiezenia drgań podłoża ale maa ejmiczna tego przetwornika może być wykorzytana jako nieruchomy układ odnieienia do pomiaru wychylenia drgań. Kąt przeunięcia fazowego wychylenia may w tounku do wychylenia podłoża w tym zakreie zmienia ię w zależności od wpółczynnika tłumienia i od tounku czętotliwości drgań podłoża do czętotliwości drgań włanych may ejmicznej, dla tounku czętotliwości przekraczającego wartość kąta przeunięcia fazowego tabilizuje ię i aymptotycznie dąży do 9 topni. Przykład Tranmitancja operatorowa układu zawierającego idealny człon całkujący i człon inercyjny drugiego rzędu jet opiana równaniem G().7 (.64.6 ) Obliczyć równanie tranmitancji widmowej i porządzić natępujące charakterytyki czętotliwościowe: Charakterytykę amplitudową modułu tranmitancji widmowej { G(j ) f ( ) }, Charakterytykę fazową argumentu tranmitancji widmowej{ γ f ( ) }, Charakterytykę amplitudowo - fazową { G (j) f (Im, Re) }, Wykre Blacka { G(j ) f ( γ) }. 7

73 4. Tranmitancja zatępcza układu członów 4.. Człony połączone zeregowo W układzie członów połączonych zeregowo ygnał przechodzi kolejno przez wzytkie człony i w każdym z tych członów jet przekztałcany. Ry. 5. Tranmitancja zatępcza dwóch członów połączonych zeregowo Tranformata ygnału wejściowego X() pomnożona przez tranmitancję pierwzego członu G() daje tranformatę ygnału wyjściowego Y() pierwzego członu Y() G() X() i równocześnie jet ona tranformatą ygnału wejściowego dla członu drugiego. Mnożąc tranformatę ygnału Y() przez tranmitancję drugiego członu G() otrzymuje ię tranformatę ygnału wyjściowego V() z drugiego członu, tranformata tego ygnału jet równocześnie tranformatą ygnału wyjściowego z całego układu. V() G() Y() G() G() X() Stounek tranformaty ygnału wyjściowego V() do tranformaty ygnału wejściowego X() jet tranmitancją zatępczą Gz() całego układu. Gz() V() X() G() G() X() X() G() G() Stąd wynika, że tranmitancja zatępcza jet iloczynem tranmitancji obydwóch członów połączonych zeregowo. W podobny poób można wykazać, że dla układu zawierającego dowolną liczbę członów połączonych zeregowo tranmitancja zatępcza układu jet iloczynem tranmitancji pozczególnych członów tworzących ten układ. 4.. Człony połączone równolegle 73

74 W układzie członów połączonych równolegle ten am ygnał wejściowy X() jet doprowadzany do wejść obydwóch członów a ygnały wyjściowe z tych członów ą ze obą umowane i tworzą ygnał wyjściowy dla całego układu. Tranformata ygnału wyjściowego Y() z pierwzego członu jet iloczynem tranmitancji tego Ry. 5. Tranmitancja zatępcza dwóch członów połączonych równolegle członu G() i ygnału wejściowego X() Y() G() X() Podobnie tranformata ygnału wyjściowego Y() z drugiego członu jet iloczynem tranmitancji tego członu G() i ygnału wejściowego X() Y() G() X() Tranformata ygnału wyjściowego Y() z całego układu jet umą tranformat ygnałów wyjściowych z pozczególnych członów Y() Y() Y() ( G() G() ) X() Stounek tranformaty ygnału wyjściowego Y() do tranformaty ygnału wejściowego X() jet tranmitancją zatępczą Gz() całego układu. Y() ( G() G() ) X() Gz () G() G() X() X() Stąd wynika, że tranmitancja zatępcza jet umą tranmitancji obydwóch członów połączonych równolegle. W podobny poób można wykazać, że dla układu zawierającego 74

75 dowolną liczbę członów połączonych równolegle tranmitancja zatępcza układu jet umą tranmitancji pozczególnych członów tworzących ten układ Człony wielokanałowe Człon wielokanałowy ma kilka wejść i kilka wyjść, liczba wejść nie mui być równa liczbie wyjść. Sygnały wewnątrz członu wielokanałowego przemiezczają ię torami różnych przężeń łączących wejścia i wyjścia. Właności pozczególnych torów można opiać tranmitancjami wewnętrznymi G o, i () tworzącymi macierz tranmitancji obiektu. W oznaczeniach pozczególnych tranmitancji wewnętrznych pierwzy indek liczbowy o (Output) oznacza numer wyjścia obiektu wielokanałowego, oznacza on także numer wierza w macierzy tranmitancji obiektu. Drugi indek liczbowy i (Input) oznacza numer wejścia do tego obiektu, oznacza on także numer kolumny w macierzy tranmitancji obiektu. Go nr wy nr wierza, i nr we nr kolumny() Tranmitancje o jednakowych numerach wejść i wyjść ( i o ) określają właności dynamiczne toru głównych przężeń natomiat tranmitancje o różniących ię numerach wejść i wyjść ( i o ) odnozą ię do torów krośnych przężeń. Ry. 5. Przykład członu wielokanałowego ze przężeniami głównymi i krośnymi Tranformaty pozczególnych ygnałów wyjściowych ą umami tranformat ygnałów biegnących tymi torami, które do tych wyjść dochodzą. Y() Y() G() X() G() X() G3() X3() G() X() G() X() G3() X3() 75

76 Dla znanej czętotliwości ygnałów wejściowych pozczególne tranmitancje ą tałymi wpółczynnikami i tworzą wierze macierzy tranmitancji, każdemu wyjściu odpowiada jeden wierz macierzy a każdemu wejściu odpowiada jedna kolumna macierzy. Tranformaty ygnałów wejściowych tworzą wektor kolumnowy ygnałów wejściowych. Y() Y() G() G() G() G() G3() G3() X() X() X3() W zapiie wektorowym Y() G() X() wektor kolumnowy ygnałów wyjściowych Y() jet iloczynem macierzy tranmitancji G() i wektora kolumnowego ygnałów wejściowych X(). Zgodnie z zaadami działania na wektorach i macierzach: liczba kolumn macierzy tranformat mnożonej przez wektor kolumnowy ygnałów wejściowych mui być równa liczbie wierzy wektora ygnałów wejściowych, liczba wierzy wektora ygnałów wyjściowych mui być równa liczbie wierzy wektora ygnałów wejściowych. Jeżeli wzytkie wyrazy G o, i () o - tego wierza macierzy tranmitancji ą równe zeru, to tranformata o - tego ygnału wyjściowego Y o też jet równa zeru. Tranformaty kolejnych ygnałów wyjściowych ą umami iloczynów kolejnych wyrazów z wierza nr o macierzy tranmitancji i kolejnych wyrazów wektora kolumnowego ygnałów wejściowych, można je obliczyć z równania Y m o () Go,i () Xi () i w którym pozczególne ymbole oznaczają : m liczbę wejść i numer wejścia numer kolejny kolumny w macierzy tranmitancji, numer kolejny wierza w wektorze ygnałów wejściowych o numer wyjścia numer kolejny wierza w macierzy tranmitancji numer kolejny wierza w wektorze ygnałów wyjściowych W macierzy tranmitancji G() tranmitancje wewnętrznych torów głównych przężeń Go k,i k ( ) leżą w głównej przekątnej macierzy, numery ich wierzy i kolumn ą identyczne. Pozotałe tranmitancje odpowiadają torom przężeń krośnych. Jeżeli liczba wejść obiektu jet równa liczbie wyjść z tego obiektu to w macierzy tranmitancji liczba wierzy jet równa liczbie kolumn i taką macierz nazywa ię macierzą kwadratową. Jeżeli tranmitancje niezerowe wytępują tylko w przekątnej głównej to w członie 76

77 wieloparametrowym wytępują tylko tory przężeń głównych i nie ma tam torów przężeń krośnych, taki człon nazywa ię członem autonomicznym Idealny układ członów ze przężeniem zwrotnym Układ członów ze przężeniem zwrotnym zawiera dwa tory tranmiji ygnałów i węzeł umacyjny: tor główny zawierający wzytkie człony tranmitujące ygnały od węzła umacyjnego do wyjścia z układu; tor przężenia zwrotnego zawierający wzytkie człony tranmitujące ygnały od wyjścia z układu powrotem do węzła umacyjnego; węzeł umacyjny, w którym natępuje umowanie (w zależności od rodzaju przężenia natępuje dodawanie lub odejmowanie) ygnału zwrotnego z ygnałem wejściowym. Ry. 53. Równoważne chematy blokowe układów ze przężeniem zwrotnym o zatępczej tranmitancji operatorowej Gz () zawierające: tor główny o zatępczej tranmitancji operatorowej G (), tor przężenia zwrotnego o zatępczej tranmitancji operatorowej H () W idealnym układzie ze przężeniem zwrotnym nie uwzględnia ię ygnałów zakłócających i wzytkie człony w torze głównym o zatępczej tranmitancji operatorowej G () i człony znajdujące ię w torze przężenia zwrotnego o zatępczej tranmitancji operatorowej H () traktuje ię jako człony jednokanałowe. Sygnał wyjściowy Y () z toru głównego o tranmitancji operatorowej G () (będący ygnałem wyjściowym z całego układu ) jet przetwarzany w członach znajdujących ię w pętli przężenia zwrotnego o tranmitancji H () i potem jako ygnał zwrotny V () jet dodawany lub odejmowany od ygnału wejściowego X () doprowadzanego do wejścia całego układu. Sprzężenie zwrotne może być dodatnie lub ujemne. W układzie z dodatnim przężeniem zwrotnym ygnał zwrotny V () jet dodawany do ygnału wejściowego X (), E () X() V() 77

78 w układzie z ujemnym przężeniem zwrotnym ygnał zwrotny V () jet odejmowany od ygnału wejściowego X (). E() X() V() Obydwa układy będą analizowane równocześnie przy założeniu, że w równaniu ogólnym tranformaty ygnału uchybu E () X() ± V() i w pozotałych równaniach znaki górne dotyczą dodatniego przężenia zwrotnego a znaki dolne dotyczą ujemnego przężenia zwrotnego. Przekztałcając powyżze równanie uchybu można z niego obliczyć tranformatę ygnału wejściowego X() E() m V() Po uwzględnieniu tranformaty ygnału wyjściowego Y() G() E() można z powyżzych równań obliczyć tranmitancję operatorową układu ze przężeniem zwrotnym. Gz() Y() X() G() E() E() m V() Po uzależnieniu tranformaty ygnału zwrotnego V () od uchybu E () V() H() Y() G() H() E() Otrzymuje ię otateczną potać równania zatępczej tranmitancji układu z dodatnim lub ujemnym przężeniem zwrotnym Gz() Y() X() G() E() E() m G() H() E() G() m G() H() Jeżeli do tego równania wprowadzi ię pojęcie tranmitancji układu otwartego utworzonego przez zeregowe połączenie wzytkich członów znajdujących ię w pętli utworzonej przez tor główny i tor przężenia zwrotnego Go () G() * H() to równanie tranmitancji zatępczej układu z dodatnim lub ujemnym przężeniem zwrotnym przybiera potać 78

79 Gz() G() m Go() w której zgodnie z wcześniej przyjętym założeniem znak górny (-) odnoi ię do układu z dodatnim przężeniem zwrotnym a znak dolny () odnoi ię do układu z ujemnym przężeniem zwrotnym. Poawowym kryterium oceny jakości układu regulacji jet przebieg uchybu regulacji a w zczególności wartość uchybu utalonego wytępująca po upływie czau t. Równanie ogólne tranformaty uchybu regulacji po przekztałceniu przebiera potać E() X() ± V() X() ± G() H() E() X() ± Go() E() z której można obliczyć tranformatę uchybu regulacji w idealnym układzie ze przężeniem zwrotnym E() X() m Go() na który poza ygnałem wejściowym (wartością zadaną) nie działają żadne ygnały zakłócające. Wartość uchybu utalonego można obliczyć z twierdzenia o wartości końcowej. et lim e(t) t lim E() X() lim m Go() W przypadku kokowej zmiany ygnału wejściowego x(t) x (t ) o tranformacie X() x wartość uchybu utalonego e t lim x m Go() lim x m Go() zależy głównie od tranmitancji operatorowej układu otwartego. W układzie regulacji z ujemnym przężeniem zwrotnym, w którym tranmitancję układu otwartego zawierającego n członów całkujących o tranmitancjipołączonych zeregowo zapiano w potaci ogólnej jako iloczyn tranmitancji n członów całkujących n / oraz ilorazu wielomianów Go() K n r r Tlr Tlr Tl L m m Tmm Tmm L Tm 79

80 możliwe ą natępujące przypadki: n układ otwarty zawiera co najmniej człon całkujący, jet to układ atatyczny; n układ otwarty nie zawiera członow całkujących, jet to układ tatyczny n < układ otwarty zawiera człony różniczkujące. Uchyb utalony po kokowej zmianie wartości zadanej o x dla n e t n lim K n x K Tlr m Tm m r Tl x Tm r m r L Tl m L Tm oiąga wartość równą zeru tylko wtedy, gdy równanie charakterytyczne tranmitancji układu otwartego zawiera co najmniej jeden pierwiatek zerowy a to wytępuje wtedy, gdy n tzn gdy w układzie otwartym jet więcej uczłonów całkujących o tranmitancji /(Ti ) niż członów różniczkujących o tranmitancji Td. Zerową warość uchybu utalonego powodowanego kokową zmianą ygnału wejściowego można oiągnąć tylko w takich układach regulacji, w których w układzie otwartym wytępuje co najmniej jeden człon całkujący. Jeżeli w układzie otwartym nie wytępuje żaden człon całkujący, to wtedy n i uchyb utalony et n lim K x K x r r Tlr Tlr Tl L m m Tmm Tmm L Tm jet w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalny do wartości wpółczynnika wzmocnienia K. Uchyb utalony po kokowej zmianie wartości zadanej o x dla n et n lim K n x x r r Tlr Tlr Tl L m m Tmm Tmm L Tm oiąga wartość równą zeru tylko wtedy, gdy równanie charakterytyczne tranmitancji układu otwartego zawiera co najmniej jeden pierwiatek ujemny a to wytępuje wtedy, gdy n < tzn gdy w układzie otwartym jet więcej uczłonów różniczkujących Td niż członów całkujących o tranmitancji /(Ti ). 8

81 Zerową warość uchybu utalonego powodowanego kokową zmianą ygnału wejściowego można oiągnąć tylko w takich układach regulacji, w których w układzie otwartym wytępuje co najmniej jeden człon całkujący o tranmitanvji /(Ti ). W zależności od liczby członów całkujących znajdujących ię w układzie otwartym układy regulacji można podzielić na: układy tatyczne w których brak jet członów całkujących i wytepuje niezerowy uchyb utalony po kokowej zmianie ygnalu wejściowego, układy atatyczne w których wytępują człony całkujące oraz ich liczba jet co najmniej o więkza od liczby członów różniczkujących, uchyb utalony po kokowej zmianie ygnału wejściowego dąży do zera Uchyb regulacji w zakłócanym układzie ze przężeniem zwrotnym W zakłócanym układzie ze przężeniem zwrotnym zotanie uwzględniony ygnał zakłócający Z () działający na obiekt, w którym właności dynamiczne głównego toru opiane tranmitancją G () różnią ię od właności dynamicznych toru ygnałów zakłócających opianych tranmitancją P (). W takim ujęciu obiekt regulacji jet traktowany jako człon wielokanałowy o dwóch wejściach jednym wyjściu. Ry. 54. Układ ze przężeniem zwrotnym zawierający obiekt narażony na działanie zakłóceń Sygnał wyjściowy Y () z obiektu jet umą ygnału tranmitowanego torem głównym o tranmitancji operatorowej G () i ygnału tranmitowanego torem zakłóceń o tranmitancji operatorowej P (). Sumaryczny ygnał wyjściowy (będący także ygnałem wyjściowym z całego układu ) jet przetwarzany w członach znajdujących ię w pętli przężenia zwrotnego o tranmitancji H () i potem jako ygnał zwrotny V () jet dodawany lub odejmowany od ygnału wejściowego X () doprowadzanego do wejścia całego układu. Sprzężenie zwrotne może być dodatnie lub ujemne. W układzie z dodatnim przężeniem zwrotnym ygnał zwrotny V () jet dodawany do ygnału wejściowego X (), E () X() V() 8

82 w układzie z ujemnym przężeniem zwrotnym ygnał zwrotny V () jet odejmowany od ygnału wejściowego X (). E() X() V() Obydwa układy będą analizowane równocześnie przy założeniu, że w równaniu ogólnym tranformaty ygnału uchybu E () X() ± V() i w pozotałych równaniach znaki górne dotyczą dodatniego przężenia zwrotnego a znaki dolne dotyczą ujemnego przężenia zwrotnego. Tranformata umarycznego ygnału wyjściowego Y() G() E() P() Z() uwzględnia ygnał uchybu regulacji E () tranmitowanego przez wewnętrzny tor obiektu o tranmitancji G () charakteryzującej dynamikę tego toru oraz tranformatę ygnału zakłócającego Z () tranmitowanego przez wewnętrzny tor obiektu o tranmitancji P () charakteryzującej wpływ zakłóceń na ygnał wyjściowy. Tranformata ygnału zwrotnego tranmitowanego przez tor przężenia zwrotnego V() H() Y() H() [G() E() P() Z()] uwzględnia tranmitancję H () charakteryzującej dynamikę tego toru. Po uwzględnieniu równania tranformaty uchybu regulacji E() X() ± V() X() ± H() [G() E() P() Z()] i przekztałceniu otrzymanego równania [ m H() G()] E() X() ± H() [P() Z()] można obliczyć tranformatę uchybu regulacji w układzie ze przężeniem zwrotnym E() X() ± P() H() Z() m G() H() Jeżeli do tego równania wprowadzi ię pojęcie tranmitancji układu otwartego utworzonego przez zeregowe połączenie wzytkich członów znajdujących ię w pętli utworzonej przez tor główny i tor przężenia zwrotnego Go () G() * H() 8

83 to równanie tranformaty uchybu regulacji w układzie z dodatnim lub ujemnym przężeniem zwrotnym przybiera ogólną potać uwzględniającą zmianę wartości ygnału wejściowego (wartości zadanej) zadanej X () oraz wpływ ygnału zakłócającego Z (). E() X() ± P() H() Z() m Go() W powyżzym równaniu zgodnie z wcześniej przyjętym założeniem znaki górne ( ±, m ) odnozą ię do układu z dodatnim przężeniem zwrotnym a znaki dolne odnozą ię do układu z ujemnym przężeniem zwrotnym a więc równanie to przybiera natępujące potacie: Dla dodatniego przężenia zwrotnego równanie ogólne przybiera potać E() X() P() H() Z() Go() W przypadku zmiany ygnału wejściowego w układzie, na który nie działają ygnały zaklócające Z () równanie ogólne uprazcza ię do potaci E() X() Go() Dla ujemnego przężenia zwrotnego równanie ogólne przybiera potać E() X() P() H() Z() Go() W przypadku zmiany ygnału wejściowego w układzie, na który nie działają ygnały zaklócające Z () równanie ogólne uprazcza ię do potaci E() X() Go() W zczególnym przypadku tanu układu regulacji z ujemnym przężeniem zwrotnym, w którym ygnał wejściowy będący wartością zadaną jet niezmienny i równy zeru X () a jedyną przyczyną zakłócającą tan równowagi układu jet ygnał zakłócający z (t) o tranformacie Z () równanie ogólne uchybu regulacji uprazcza ię do potaci E() P() H() Z() Go() 83

84 4.5.. Przykład analizy układu ze przężeniem zwrotnym Przykładowy opi analityczny układu ze przężeniem zwrotnym kładającego ię z członów umiezczonych w torze głównym i w torze przężenia zwrotnego jet w dużym topniu uprozczony w celu zachowania przejrzytości opiu ponieważ w wielu członach nie uwzględniono ił bezwładności i zaniedbano wpływ zakłóceń. Ry. 55. Schemat układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku i chemat blokowy połączenia członów tworzących układ zamknięty z dodatnim lub ujemnym przężeniem zwrotnym Tor główny ygnałów W analizowanym układzie w torze głównym znajduje ię człon natawczy (zawór dozujący przepływ cieczy) i obiekt regulacji (zbiornik o regulowanym poziomie cieczy). Człon natawczy o 3 Strumień objętości cieczy przepływającej przez zawór dozujący v [m / ec] zależny tylko od topnia otwarcia tego zaworu i jet proporcjonalny do wzniou jet 84

85 e [m] wrzeciona zaworu. Chwilową wartość trumienia objętości cieczy może być opiana równaniem o v o e vmax emax C e poprawnie opiującym przepływ tylko wtedy, gdy chwilowe przemiezczenie wrzeciona zaworu e nie przekracza wartości makymalnej e max określonej kontrukcją zaworu. W tym zakreie przemiezczeń wrzeciona właności przepływowe zaworu określa tylko tała C [m /ec], bezwładność części ruchomych nie jet w tym przypadku uwzględniona. Po tranformacji równania przepływu do dziedziny zmiennej zepolonej o V() C E() można obliczyć tranmitancję członu natawczego o G () V() E() C znajdującego ię w głównym torze ygnałów. Obiekt regulacji Obiektem regulacji jet otwarty zbiornik cieczy w którym wielkością regulowaną jet wyokość poziomu cieczy będąca równocześnie ygnałem wyjściowym z obiektu i z całego układu. Poziom nieściśliwej cieczy w [m] w zbiorniku zależy od trumienia objętości o 3 cieczy dopływającej do zbiornika i dozowanej przez człon natawczy, od v [m / ec] powierzchni poprzecznego przekroju zbiornika A [m ] i od trumienia objętości cieczy o 3 wypływającej ze zbiornika z [m / ec] będącego ygnałem zakłócającym. Jeżeli zaniedba ię ygnał zakłócający jako pomijalnie mały w porównaniu z ygnałami wytępującymi w torze głównym to przyrot poziomu cieczy w zbiorniku powodowany amym dopływem cieczy do zbiornika można opiać równaniem całkowym w t o o v z A z którego po tranformacji Laplace do dziedziny funkcji zmiennej zepolonej 85

86 W() V() Z() A o o można obliczyć tranmitancję części toru głównego przebiegającego przez obiekt regulacji którym jet zbiornik. G() W() o V() A o Z() o V() W zczególnym przypadku, gdy ygnał zakłócający jet pomijalnie mały w tounku do o o ygnału tranmitowanego torem głównym tzn gdy z << v (taki tan wytępuje w układzie regulacji m. in. po kokowej zmianie ygnału wejściowego ) równanie zbiornika uprazcza ię do potaci w t o v A z której po tranformacji Laplace do dziedziny funkcji zmiennej zepolonej W() o V() A można obliczyć uprozczoną tranmitancję operatorową zbiornika G() W() o V() A A na który nie oddziałują zakłócenia. Otatni człon / wutępujący w równaniu tranmitancji uwzględnia całkujące działanie zbiornika. W tym przykładzie ygnałów zakłócających obiekt nie uwzględniono zakładając, że ą one pomijalnie małe w tounku do ygnału wejściowego. Tranmitancja operatorowa toru głównego Tranmitancja operatorowa całego toru głównego zawierającego człon natawczy zeregowo połączony z obiektem regulacji. G() W() E() G() G() C A C A jet iloczynem tranmitancji pozczególnych członów znajdujących ię w tym torze. 86

87 Tor przężenia zwrotnego W torze przężenia zwrotnego znajduje ię pływakowy przetwornik (pływak) mierzący ygnał wyjściowy (poziom cieczy w zbiorniku) i wzmacniacz dźwigniowy przetwarzający przemiezczenie przetwornika poziomu cieczy na przemiezczenie członu natawczego. Przetwornik poziomu cieczy Opi matematyczny dynamiki pływaka będącego przetwornikiem poziomu cieczy w zbiorniku porządza ię na poawie równania bilanu ił pionowych działających na wytrącony z położenia tatycznej równowagi i przemiezczający ię pionowo pływak o maie m,powierzchni przekroju poprzecznego Ap, pływający w cieczy o gętości ρ znajdującej ię w polu działania przypiezenia ziemkiego g.w równaniu ił porządzonym na poawie drugiej zaady dynamiki uwzględnia ię niezrównoważoną iłę wyporu hydrotatycznego i iłę wikotycznego tłumienia ruchu pływaka. d u m ila bezw Ap (w u) ρ g b ila wyporu du ila tlum Po rozdzieleniu zmiennych i uporządkowaniu wyrazów d u m b du Ap ρ g u Ap ρ g w oraz po uwzględnieniu, że wyrażenie będące tounkiem przyrotu ily wyporu przyrotu zagłębienia pływaka w cieczy u P do c P u Ap ρ g może być interpretowane jako tała prężytości c układu pływak ciecz równanie ił można przekztałcić do kilku potaci 87

88 m d u b du u Ap ρ g Ap ρ g m d u b du u c c d u D du u d u du T T u w odpowiadających opiowi członu inercyjnego drugiego rzędu. Po tranformacji Laplace przeprowadzonej przy założeniu zerowych warunkow początkowych układu można obliczyć tranmitancję operatorową układu pływak - ciecz H() U() W() D T T Gdyby zaniedbać wpływ ił bezwładności i iły tłumienia na pływakowy przetwornik poziomu cieczy w zbiorniku przyjmując lub odpowiednio T oraz T to przemiezczenie pionowe pływaka u [m] byłoby równe przemiezczeniu pionowemu w [m] poziomu cieczy w zbiorniku i tranmitancja operatorowa byłaby opiana równaniem U() H () W() Wzmacniacz ygnału Wzmacniacz dźwigniowy znajdujący ię w torze przężenia zwrotnego przetwarza przemiezczenie pływaka u [m] na przemiezczenie wrzeciona zaworu q [m] będącego członem natawczym, wzmocnienie tego wzmacniacza wyrażone tounkiem przemiezczeń zależy od bezwymiarowego przełożenia r a / b mechanizmu dźwigniowego. Jeżeli zaniedba ię bezwładność mechanizmu dźwigniowego to z równania bezinercyjnego wzmacniacza q a b u r u po tranformacji Laplace można obliczyć tranmitancję operatorową 88

89 Q() H () U() r tego wzmacniacza. Tranmitancja operatorowa toru przężenia zwrotnego Tranmitancja operatorowa całego toru przężenia zwrotnego zawierającego przetwornik poziomu cieczy o dynamice odpowiadającej członowi inercyjnemu drugiego rzędu zeregowo połączony z bezinercyjnym wzmacniaczem dźwigniowym. H() Q() W() H() H() r T T jet iloczynem tranmitancji pozczególnych członów znajdujących ię w tym torze. Tranmitancja operatorowa układu otwartego Układ otwarty powtaje przez myślowe rozcięcie pętli utworzonej przez tor główny i tor przężenia zwrotnego, układ ten tworzą wzytkie zeregowo połączone człony znajdujące ię w torze głównym i w torze przężenia zwrotnego. Tranmitancja operatorowa układu otwartego Go() Q() E() G() H() m m C r ec m A m T ec C A T T r T T K T jet iloczynem tranmitancji wzytkich członów tworzących pętlę i jet wielkością bezwymiarową ponieważ operator wytępujący w mianowniku tej tranmitancji i reprezentujący działanie całkujące ma wymiar [ / ec]. Równanie charakterytyczne tej tranmitancji utworzone przez przyrównanie mianownika do zera ma jeden pierwiatek zerowy ponieważ w pętli znajduje ię jeden człon całkujący a to oznacza, że układ regulacji jet atatyczny. Stały wpółczynnik K o wymiarze [ / ec] wytępujący w równaniu tranmitancji układu otwartego [ ] K C r A uwzględnia całkowite wzmocnienie układu otwartego utworzonego przez zeregowe połączenie wzytkich członów toru głównego i toru przężenia zwrotnego. 89

90 Ry. 56. Charakterytyka amplitudowo fazowa układu otwartego dla układu regulacji z przetwornikiem poziomu o charakterytyce członu inercyjnego drugiego rzędu ( c [m / c], A.8[m ], f.7[hz], D., r.5 ) 9

91 Węzeł umacyjny W węźle umacyjnym natępuje dodawanie (w przypadku dodatniego przężenia zwrotnego) lub odejmowanie (w przypadku ujemnego przężenia zwrotnego) przetworzonego ygnału wyjściowego q (wzmocnionego lub ołabionego w torze przężenia zwrotnego) i ygnału wejściowego x. W wyniku umowania ygnału wejściowego i ygnału zwrotnego powtaje ygnał uchybu e, który jet wprowadzany na początek toru głównego o tranmitancji operatorowej G () i tam podlega dalzemu przetworzeniu. Przebiegi ygnałów wyjściowych z układu Gdyby w analizowanym układzie zatoowano dodatnie przężenie zwrotne, to w takim układzie o tranmitancji operatorowej Gz() W() X() C A T G() Go() K T T C A K T tranformatę ygnału wyjściowego będącego odpowiedzią układu na kokową zmianę ygnału wejściowego o wartość x opiuje równanie ogólne W() Gz() X() C A K T T x W rzeczywitym układzie z ujemnym przężeniem zwrotnym o tranmitancji operatorowej Gz() W() X() C A T G() Go() K T T C A K T tranformatę ygnału wyjściowego będącego odpowiedzią układu na kokową zmianę ygnału wejściowego o wartość x opiuje równanie ogólne 9

92 9 x T T K A C X() Gz() W() którego odwrotną tranformację do dziedziny funkcji czau dogodnie jet przeprowadzić przy pomocy programu Mathematica. Opierając ię na twierdzeniu o wartości końcowej można z równania tranformaty ygnału wyjściowego obliczyć wartość przyrotu poziomu cieczy, który w tabilnym układzie utali ię po czaie t r x K A x C x T T K A C W() w ) (t lime lime Ry. 57. Charakterytyka czaowa tounku odpowiedzi w idealnego układu ze przężeniem zwrotnym ujemnym lub dodatnim na kokową zmianę ygnału wejściowego o x