INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA

Transkrypt

1 Na prawach rękopiu do użytku łużbowego INSTYTUT ENEROELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport erii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA ĆWICZENIE Nr SPOSOBY OPISU UKŁADU AUTOMATYKI STEROWANIE DYSKRETNE OBIEKTEM CIĄŁYM MODEL CYFROWY OBIEKTU CIĄŁEO Miroław Łukowicz Słowa kluczowe: tranmitancja, przetrzeń tanów, okre próbkowania, ektrapolator. WROCŁAW 28

2 . Wtęp Modelowanie proceu terowania komputerowego ma we podwaliny w teorii układów impulowych. Jet ona z powodzenie toowana w yntezie algorytmów terowania oraz dykretnej ymulacji układów ciągłych. Rozważmy hipotetyczny ytem mikroproceorowy, którego zadaniem jet powielenie ciągłego ygnału wejściowego na wyjście, przy czym ygnał wyjściowy będzie dykretyzowany w czaie, oraz będzie ciągły w poziomie, tzn. będzie mógł przyjmować dowolne wartości ze zbioru liczb rzeczywitych. Ogólny chemat takiego ytemu przedtawiony jet na ry.. u(t) Sytem Mikroproceorowy (t) Obiekt Sterowany o ( y(t) y*(nt p ) y*(t) Ry.. Dykretne terowanie obiektem ciągłym ze terownikiem o tranmitancji (z)=. W yntezie algorytmu terowania wymagana jet częto znajomość modelu dykretnego obiektu ciągłego, w którym uwzględniony jet proce formowania ygnału wyjściowego z przetwornika C/A. W takich rozważaniach pomocny może być ry. 2, w którym przedtawiono kolejno procey przetwarzania ygnału wejściowego. T p u(t) u(nt p ) u*(t) (z)= (nt p ) *(t) E ( Obiekt Sterowany o ( y(t) A/C mp C/A SYSTEM MIKROPROCESOROWY Ry. 2. Model matematyczny proceu dykretnego terowania obiektem ciągłym ze terownikiem o tranmitancji (z)=. Ciągły ygnał wejściowy jet próbkowany przez impulator, którego model matematyczny opiany jet natępująca zależnością:

3 u *( t) u( t) n ( t nt ) u( nt ) ( t nt ) () p Z zależności tej wynika, że ygnał za impulatorem jet zetawieniem impulów Dirac a, czyli impulów o niekończonej wyokości i niekończenie krótkim czaie trwania oraz polach powierzchni pod wykreami impulów równym wpółczynnikom u(nt p ). Pomiędzy impulami ygnał przyjmuje wartość zero. W związku z tym informacja w tym ygnale ukryta jet w potaci pól powierzchni pozczególnych impulów Diraca generowanych przez impulator. Wpółczynniki te ą natępnie przetwarzane przez mikroproceor a właściwie algorytm (program w nim pracujący) reprezentowany przez odpowiednią tranmitancję impulową (z). Sygnał wyjściowy algorytmu przetwarzającego ma taką amą naturę, jak ygnał wejściowy, tzn. jet ciągiem impulów Diraca, ale o zmienionych przez ten algorytm wpółczynnikach, czyli polach powierzchni pod impulami. W rzeczywitym układzie regulacji obiekt ciągły jet terowany najczęściej ygnałem chodkowym wyprowadzanym z ytemy mp poprzez przetwornik C/A. Proce ten można zamodelować podając impuly Diraca napływające z algorytmu terowania na ektrapolator zerowego rzędu, którego tranmitancja ciągła jet natępująca: n T p p e E ( ) (2) Interpretacja działania ektrapolatora zerowego rzędu jet taka, że wydobywa on informację zawartą w polach powierzchni pod impulami w proceie całkowania ciągłego. Ponieważ intereuje na terowanie ygnałem o wartości zakodowanej w otatnim impulie, należy ten impul całkować i odjąć wynik wzytkich całkowań poprzednich. Należy być świadomym, że jet to model matematyczny proceu, który przebiega w przetworniku C/A i mui być uwzględniony podcza proceu yntezy algorytmu terowania. Proce ten mógłby być pominięty, gdyby obiekt ciągły był terowany z komputera impulami Diraca, a tak w rzeczywitości nie jet. Ponieważ ektrapolator zerowego rzędu jet w wej naturze ciągły, można jego tranmitancję połączyć z tranmitancją rozpatrywanego obiektu jak na ry. 3. p T p u(t) u(nt p ) u*(t) (z)= (nt p ) *(t) OE ( e T p ) o y(t) Z ( OE ( z) ( z ) Z Ry. 3. Model matematyczny proceu dykretnego. Sterowanie obiektem ciągłym ze terownikiem o tranmitancji (z)=.

4 Model dykretny obiektu i ektapolatora zerowego rzędu otrzymuje ię przez bezpośrednie znalezienie tranformaty Z zeregowego połączenia ektrapolatora i obiektu, co daje w efekcie zależność: gdzie tranformatę natępującą formułą: OE O Z ( ( z) ( z ( ) O ) Z (3) można policzyć np. z metody reiduów zgodnie z nb rk d r z k ( z) r k k Tp k rk d ( ) ( ) ( )! z e gdzie n b jet liczbą różnych biegunów (, przy czym wielokrotność pozczególnych biegunów jet równa r k, z czego wynika, że n n r k k Podanie ygnału na wejście obiektu oraz tak zaprojektowanego modelu obiektu powinno dać na wyjściu obiektu ygnał ciągły gładki, natomiat na wyjściu modelu ygnał ciągły o wartościach równych wartościom ygnału wyjściowego z obiekty, ale tylko w chwilach próbkowania (ry 4). u(t) T p OE Obiekt O ( Model obiektu ( z) ( z ) Z b. o y(t) y m (t) k y*(t) y m (nt p )=y*(nt p ) Ry. 4. Odpowiedź obiektu i jego modelu na pobudzenie dowolnym ygnałem wejściowym. Skoro odpowiedzi obiektu i jego modelu ą takie ame, to zaprojektowany algorytm terowania dla modelu powinien równie dobrze pracować dla obiektu ciągłego. W związku z tym korzytnie jet poługiwać ię podcza yntezy algorytmu terowania dykretnym modelem obiektu np. w potaci równań tanu. Rożne pooby otrzymania dykretnego modelu tanowego obiektu ciągłego reprezentowanego tranmitancją o ( przedtawiono na ry. 5. (4)

5 Np. metoda: bezpośrednia, zeregowa, równoległa. o o (- z-) Z met. reiduów o ( OE (z) A, B, C, c2dm (w Matlabie) z metodą zoh 2 o zerowego rzedu 2 o D Ad, Bd, Cd, Dd obiekt z ektrapolatorem ztp Podtawienie np. do o z Podtawienie np. ztp do o z D OE ( z) C Iz A B Np. metoda: bezpośrednia, zeregowa, równoległa, Ry. 5. Drogi przejścia z tranmitancji ciągłej obiektu na dykretne równania tanu i tranmitancję impulową modelu obiektu z ektrapolatorem zerowego rzędu. Najprotzym poobem otrzymania dykretnego modelu tanowego obiektu jet znalezienie najpierw modelu tanowego ciągłego, a natępnie przejście na model tanowy dykretny korzytając z odpowiedniej funkcji w Matlabie, np. c2d ( continuou to dicrete tranformation with method, gdzie metoda zoh czyli zero-order-hold odpowiada zatoowaniu ektrapolacji zerowego rzędu). Model tanowy ciągły można zaprojektować korzytając z jednej z metod wyzczególnionych na ry. 5. Dla przypomnienia poniżej zetawiono kroki działania w metodzie bezpośredniej. Niech będzie dana tranmitancja obiektu, dla którego należy znaleźć opi w przetrzeni zmiennych tanu bl bl ( n a l n n l b b a a Podzielmy licznik i mianownik przez n. Wówcza otrzymamy l n bl bl ( a n l n b b n n a a n Wprowadzamy nową funkcję E( o natępującej potaci l n n Y( U(S) U( l n l n n Y ( bl bl b b n n a a a n E( Wówcza ygnał wyjściowy jet równy n ) (5) (6) (7)

6 ln ln Y E( ( bl bl b b ) (*) (8) i obowiązują zależności jak natępuje: n ( n n E ( an a a ) U( (9a) n ( n E U( E( ( a a a ) (**) (9b) Na podtawie równań (*) i (**) można porządzić chemat blokowy modelu w przetrzeni zmiennych tany jak na ry. 6. n n Y( b l b b U( E( E( - E( -2 -n E(-n E( x n x n =x n- x n- =x n-2 x 2 x 2 x x a n a n2 a a Ry. 6. Schemat blokowy modelu obiektu w przetrzeni tanu otrzymany metodą bezpośrednią. Po potawieniu E(=x n można formułować kolejno równania tanu w natępującej potaci x x x x 2 x n 2 3 () x n ax ax2 an xn U xn oraz równanie wyjściowe: Y () b x b x2 b l xl Stoując metodę bezpośrednią otrzymujemy macierze modelu o tałej formie jak natępuje: Macierz tanowa:

7 Macierz wejściowa: Macierz wyjściowa A a a a 2 a n (2) B (3) C b b b (4) l oraz macierz bezpośredniego przężenia wyjścia z wejściem D. (5) PRORAM ĆWICZENIA. W Simulink-u zarejetrować odpowiedź obiektu o tranmitancji o o (6a) ( N )( I ) ( N ji )( N ji ) (6b) na kok jednotkowy, gdzie N jet liczbą liter w nazwiku, a I w imieniu. O typie tranmitancji zadecyduje prowadzący tzn. dokona wyboru między 6a i 6b. 2. Zakładając, że obiekt ten będzie terowany dykretnie w czaie, dobrać odpowiedni okre próbkowania i znaleźć tranmitancję dykretną OE (z) obiektu z ektrapolatorem. 3. Znaleźć model obiektu ciągłego w przetrzeni zmiennych tanu. 4. Znaleźć model dykretny obiektu i ektrapolatora w przetrzeni zmiennych tanu. 5. Zarejetrować odpowiedź modelu dykretnego korzytając z odpowiedniego bloczka w Simulink-u oraz zamodelować ten układ korzytając z umatorów, bloku opóźnienia i odpowiednich wzmocnień macierzowych jak przedtawiono na ry. 7 w otatnim wariancie. Uwagi!. W prawozdaniu zamieścić wzelkie obliczenia i wyprowadzenia. 2. Wzytkie kroki w wyprowadzeniach powinny być opiane i uzaadnione łownie. 3. Koniecznie podać wnioki.

8 o ( OE (z) A, B, C, A, B, C, d d d D D d B d z - C d A d Ry. 7. Wzór chematu do realizacji w Simulink-u.