Politechnika Śląska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych

Transkrypt

1 Politechnika Śląka w Gliwicach Intytut Mazyn i Urządzeń Energetycznych Zakład Podtaw Kontrukcji i Ekploatacji Mazyn Energetycznych Ćwiczenie laboratoryjne z wytrzymałości materiałów Temat ćwiczenia: Wyboczenie pręta ścikanego iłą oiową Gliwice, 009 1

2 1. Cel ćwiczenia 1. Poznanie teoretycznych wiadomości o wyboczeniu.. Obliczeniowe i doświadczalne wyznaczenie iły ytycznej dla różnych poobów zamocowania pręta: a. Przeguby na obu końcach, b. Przegub na jednym końcu (drugi koniec ztywno utwierdzony), c. Sztywno utwierdzone oba końce.. Wiadomości teoretyczne o wyboczeniu prętów..1. Pojęcie iły ytycznej Rozpatrzmy proty pręt zaopatrzony na końcach w przeguby i obciążony oiową iłą ścikającą P (ry.1a). Jeżeli iła P nie jet zbyt duża, to pręt pracuje na zwykłe oiowe ścikanie, przy czym oś pręta pozotaje protą. Jeżeli na tak obciążony pręt zadziałamy jakąś niewielką iłą poprzeczną Q, to po uunięciu tej iły poprzecznej pręt powróci do początkowego tanu równowagi. Utrój taki nazywamy tatecznym. Ry. 1. Potać równowagi pręta ścikanego: a) protoliniowa, b) zywoliniowa Jeżeli iłę P ścikającą pręt w poób przedtawiony na ry.1a będziemy tale powiękzać, to dojdziemy wrezcie do takiej wartości iły P, że przy imalnym impulie ( np. po chwilowym przyłożeniu bardzo małej iły Q ) pręt ścikany wygnie ię w poób pokazany na ry.1b, a po utaniu impulu (po uunięciu iły Q ) nie wróci już do wojego poprzedniego protoliniowego tanu równowagi, lecz pozotanie w tanie równowagi przy zywoliniowej potaci pręta. Opiane przejście układu ze tanu równowagi tałej (w danym przypadku protoliniowa potać pręta) do tanu równowagi chwiejnej lub obojętnej (zywoliniowa potać równowagi pręta) nazywamy utratą tateczności układu, a iłę, przy której to przejście zachodzi, nazywamy iłą ytyczną lub iłą wyboczającą i oznaczamy P k.

3 .. Wzór Eulera, naprężenia ytyczne, mukłość pręta Siłę ytyczną przy wyboczeniu prętów ścikanych oiowo wyznaczamy ze wzoru π EJ P (1) lw gdzie E moduł Younga, I najmniejzy moment bezwładności przeoju poprzecznego pręta, l w długość wyboczeniowa pręta zależna od poobu jego zamocowania. Ry.. Długości wyboczeniowe prętów Naprężenia ytyczne, przy których natępuje utrata tateczności pręta ścikanego, otrzymamy przez podzielenie wzoru (1) przez pole F przeoju poprzecznego pręta: P π EJ () F lw F W celu ujęcia w ótzej formie wielkości charakteryzujące przeój poprzeczny pręta wprowadzono pojęcie tzw. imalnego promienia bezwładności przeoju J i F (3) a natępnie po podzieleniu długości wyboczeniowej l w przez i otrzymujemy jedną tylko wielkość charakteryzującą wymiar pręta zwaną mukłością pręta. lw (4) i Po zatoowaniu powyżzych oznaczeń eulerowkie naprężenia ytyczne oeślone zależnością () wyraża ię natępującym protym wzorem π E (5) Wzór Eulera (5) oeślający wartość naprężenia ytycznego, wyboczającego, jako funkcję mukłości pręta na wyeie we wpółrzędnych, przedtawia ię w potaci hiperboli (ry.3) Ze wzoru (5) korzytać można tylko wówcza, gdy naprężenia nie przeaczają granicy toowalności prawa Hooke a, a więc dla. Obliczenia prętów ścikanych za pomocą wzoru (5) możemy przeprowadzić tylko wtedy, gdy mukłość pręta jet więkza od mukłości granicznej gr, wynikającej z zależności 3

4 tąd π E gr gr (6) E π (7).3. Prota Tetmajera-Jaińkiego Ry.3. Naprężenia ytyczne w funkcji mukłości W zaeie tzw. średnich mukłości, a więc dla odcinka AK zywej doświadczalnej (dla tali w zaeie mukłości 0-100), wytarczające dla zatoowań praktycznych okazało ię przybliżenie wprowadzone przez L. Tetmajera i F. Jaińkiego, polegające na zatąpieniu hiperboli Eulera protą Tetmajera o równaniu: a b (8) Wpółczynniki a i b wytępujące w powyżzym równaniu wyznacza ię z warunku, że prota ta mui przejść przez dwa punkty oznaczone A i C na ry.3. Dla materiałów mających granicę orcjonalności i granice yczności wpółrzędne punktu A leżącego na protej Tetmajera ( i równocześnie na hiperboli Eulera, ry.3) wynozą: dla gr a punktu C : dla 0 Po podtawieniu tych warunków do zależności (8) otrzymujemy a b i równanie protej Tetmajera dla takich materiałów (np. tale węglowe kontrukcyjne itp.) przybiera potać: gr 4

5 (9) gr.4. Parabola Johnona-Otenfelda Johnon i Otenfeld twierdzili, że dla takich materiałów jak topy aluium (durale) oraz miedź (moiądze, brązy) znacznie lepzą zgodność z doświadczeniem uzykuje ię przez wprowadzenie zamiat protej Tetmajera paraboli o równaniu: a b (a) Wpółczynniki w powyżzym równaniu oblicza ię z warunku, że wierzchołek paraboli znajduje ię w punkcie C ( tj. dla 0, zatem a ), a parabola podchodzi tycznie do hiperboli Eulera oeślonej wzorem (5). Punkt tyczności obu tych zywych (oznaczony literą D na ry.3) znajdujemy z warunku, że dla odciętej 0 kąty nachylenia tycznych do obu tych linii (a więc pierwze pochodne) muzą być takie ame. Z porównania pierwzych pochodnych wzorów (a) i (5) po podtawieniu wartości zczególnej 0 otrzymujemy π E b0 3 tąd π E b (b) 4 0 Równanie paraboli Johnona-Otenfelda przyjmuje potać: π E (c) 4 0 Wartość mukłości granicznej 0 obliczamy z warunku, że dla 0 naprężenie ytyczne obliczone ze wzoru (b) mui być takie amo jak ze wzoru Eulera (5) Stąd π E π E E 0 π (10) Wzór Johnona-Otenfelda przybiera natępującą potać (11) 4Eπ i należy go toować dla mukłości od zera do mukłości granicznej 0 oeślonej wzorem (10). Dla mukłości więkzych od 0 należy toować wzór Eulera (5). 5

6 3. Metoda pomiaru Bezpośredni pomiar iły ytycznej przez obciążanie pręta aż do wytąpienia zjawika wyboczenia jet trudne do zrealizowania. Ze względu na wtępną zywiznę pręta a i na trudność ściśle oiowego przyłożenia iły oberwuje ię poprzeczne wygięcie pręta już przy iłach mniejzych od iły ytycznej i praktycznie niemożliwe jet utalenie, kiedy rozpoczyna ię wyboczenie. W związku z tym touje ię metodę Southwella polegającą na pomiarze trzałki ugięcia δ pręta podcza ścikania iłą P mniejzą od ytycznej P. δ δ P a (1) P Ry. 4. Metoda Southwella wyznaczenia iły ytycznej W układzie wpółrzędnych kierunkowym δ, δ jet to równanie linii protej o wpółczynniku P tg α (13) P 6

7 4. Wykonanie ćwiczenia Stanowiko badawcze pokazano na ryunku 5. Pręt talowy (1) o przeoju protokątnym umiezczony jet w uchwytach (,3). Ramie (4) łuży do wywierania iły na pręt. Siłę przykładamy kokowo dokładając ciężary na zalce (5) lub płynnie przeuwając uwak (6). Do pomiaru wygięcia pręta w środku rozpiętości łuży pecjalny uwak pomiarowy (7). A-A A A 4.1. Obliczenia iły ytycznej Ry. 5. Stanowiko badawcze Obliczyć iły ytyczne dla podanych danych i rozpatrywanych poobów zamocowania pręta. Dane materiałowe: 00MN / m pl 40MN / m E,1 x 10 5 MN/m Dane geometryczne a 5 mm b 0 mm Podtawowe zależności: Pole przeoju poprzecznego Minimalny moment bezwładności Promień bezwładności F a x b 3 a b J 1 J i F 7

8 Smukłość Smukłość graniczna Jeżeli l i gr w π E π EJ > gr P lw Pręt zamocowany przegubowo na obu końcach l 74 mm Długość wyboczeniowa l w l Pręt zamocowany przegubowo na jednym końcu, drugi koniec ztywno utwierdzony l 693 mm Długość wyboczeniowa l w 0.7 l Pręt ztywno utwierdzony na obu końcach l 670 mm Długość wyboczeniowa l w ½ l 4.. Pomiary iły ytycznej Siłę ścikającą pręt w tanowiku pomiarowym liczymy ze wzoru: 0 + x P G + G 4 0 gdzie : G ciężar umiezczony na zali w [N], G ciężar uwaka w [N], G 0 N x odległość uwaka od położenia zerowego Kolejność wykonywania czynności jet natępująca: 1. Zamocować i odciążyć pręt. Położenie początkowe czujnika utawić na 0.. Obciążać pręt poprzez przeuwanie uwaka i dokładanie ciężarków na zalkę. Po każdorazowej zmianie obciążenia i utaleniu ię równowagi zanotować wkazania czujnika. Pomiar zakończyć po obciążeniu pręta iłą równą około 0,8 P. U w a g a. Ciężarki nakładać bardzo otrożnie, aby ograniczyć do imum iły dynamiczne. 3. Na podtawie wykonanych pomiarów obliczyć wartości δ i δ /P, a natępnie porządzić wye δ w funkcji δ /P. 4. Wyznaczyć iłę ytyczną na podtawie wyeu, korzytając ze wzoru: c P tg α d gdzie c mierzone jet w kali δ, d zaś w kali δ /P. 6. Czynności powtórzyć dla innych poobów zamocowania pręta. 7. Sporządzić prawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego, które powinno zawierać: wiadomości teoretyczne o wyboczeniu, obliczenia iły ytycznej dla rozpatrywanych poobów zamocowania pręta, tablice pomiarowe oraz wyey δ w funkcji δ /P dla rozpatrywanych poobów zamocowania pręta, 8

9 Tablica pomiarowa Lp. δ [µm] G[kg] G [N] x [m] P [N]