OPIS KINEMATYKI MOBILNEGO ROBOTA KOŁOWEGO

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 57, ISSN X OPIS KINEMATYKI MOBILNEGO ROBOTA KOŁOWEGO Z KOŁAMI TYPU MECANUM Zenon Hendzel a, Łukaz Rykała b Katedra Mechaniki Stoowanej i Robotyki, Politechnika Rzezowka a zenhen@prz.edu.pl, b lrykala@prz.edu.pl Strezczenie W pracy omawiane jet zagadnienie modelowania kinematyki mobilnego robota kołowego z kołami typu mecanum. Koła mecanum należą do nowego typu kół toowanych w mobilnych robotach kołowych. Składają ię ze wobodnie obracających ię rolek umiezczonych na obwodzie koła. Zatoowanie omawianych kontrukcji w mobilnych robotach kołowych znacznie zwiękza zakre możliwych ruchów robota w odnieieniu do konwencjonalnych kół. W pracy zamiezczono również wyniki badań ymulacyjnych zadania odwrotnego kinematyki i jego realizację. Słowa kluczowe: mobilne roboty kołowe, kinematyka, koła mecanum DESCRIPTION OF KINEMATICS OF A WHEELED MOBILE ROBOT WITH MECANUM WHEELS Summary Problem of modeling kinematic of a wheeled mobile robot with mecanum wheel i dicued. The mecanum wheel belong to the new type of wheel ued in the mobile robot. Each wheel conit of a freely rotating roller placed around the circumference of the wheel. Application of mentioned contruction in the mobile robot highly enhance the range of robot movement comparing to the conventional wheel. The article alo how reult of the imulation of the invere kinematic problem and it realization. Keyword: wheeled mobile robot, kinematic, mecanum wheel. WSTĘP Wraz z rozwojem technologii toowanych w robotyce mobilne roboty kołowe (w krócie mrk) znajdują zatoowanie w coraz więkzej liczbie obzarów. Niektóre z zatoowań, tj. poruzanie ię w wąkich i zatłoczonych przetrzeniach, wymagają od mobilnych robotów dużej manewrowości. [3, ]. Problem manewrowości mrk można rozwiązać toując tzw. koła omnikierunkowe. Są to pecjalnie zaprojektowane koła kładające ię z piaty oraz określonej liczby rolek zamontowanych na obwodzie piaty. Wpomniana liczba rolek może różnić ię pośród rozmaitych projektów wymienionych kół, natomiat każda z nich może wobodnie obracać ię wokół włanej oi. Omawiane koła można charakteryzować za pomocą kąta δ wytępującego pomiędzy oią obrotu koła i oią obrotu rolki. Wartość nachylenia wpomnianych oi różni ię pośród rozmaitych projektów kół. Do dwóch najczętzych typów kół omnikierunkowych należą: klayczne koła omnikierunkowe, koła mecanum (ry. ). [, 2, 9, ] Ry.. Model CAD koła mecanum 5

2 OPIS KINEMATYKI MOBILNEGO ROBOTA KOŁOWEGO Z KOŁAMI TYPU MECANUM Gdy wymieniony kąt δ wynoi 9, to taki typ kół nazywa ię klaycznymi kołami omnikierunkowymi. Natomiat w przypadku, gdy omawiany kąt δ wynoi 45, kontrukcja noi nazwę kół mecanum (ry. 2). Koła mecanum ą również nazywane tzw. kołami zwedzkimi, ze względu na pochodzenie ich twórcy, zwedzkiego inżyniera Bengt Ilona. Projekty rozpatrywanych kół ą oparte na patencie wymienionego inżyniera z 975 r., który pracował wówcza dla firmy MECA- NUM AB.[, 2, 4, 5] Ponadto przyjęto natępujące związki wektorowe (), (2) oraz (3): SA = ı + ȷ () O A = (R + r)k (2) MA = rk (3) Wytępujące w powyżzych zależnościach wektory ı, ȷ, k ą werorami układu wpółrzędnych x p y p z p, natomiat x oraz y to odległości będące rzutami wektora SA na oie x p oraz y p. [9] Ry. 2. Model koła mecanum z zaznaczonym graficznie kątem δ W porównaniu do konwencjonalnych mrk, roboty omnikierunkowe poiadają trzy topnie wobody podcza ruchu na płakiej powierzchni, tzn. umożliwiają m.in. ruch wzdłużny, poprzeczny punktu charakterytycznego robota oraz obrót całej platformy robota wokół jej środka. [2, 3, 5, 9, ] 2. Opi kinematyki koła mecanum Jako model koła omnikierunkowego bierze ię pod uwagę obracający ię niekończenie cienki dyk o promieniu R z geometrycznym środkiem bryły w punkcie (ry. 3.). Na obwodzie wpomnianego dyku znajduje ię wobodnie obracająca ię rolka o promieniu r. Z kolei punkt M tanowi geometryczny środek rolki. Przyjęto natępujące zależności: O M = R oraz MA = r. Natępnie w modelu założono, iż koło mecanum podcza ruchu zawze tyka ię z podłożem w widocznym na ry. 3 punkcie A. Zakłada ię dodatkowo, iż koło podcza ruchu zawze pozotaje w płazczyźnie pionowej. Rozpatrywany problem dotyczy kół mecanum, dlatego przyjmuje ię również, że wartość kąta δ jet tała i wynoi zgodnie z opiem w rozdziale 45. Ponadto punkt M jet początkiem układu wpółrzędnych x y z związanego z rolką. W wymienionym modelu przyjęto, iż ϕ jet kątem obrotu włanego koła mecanum oraz ψ r jet kątem obrotu włanego rolki. Z kolei punkt S jet punktem charakterytycznym platformy mrk, który jet również początkiem układu wpółrzędnych x p y p z p związanego z platformą mrk. Dodatkowo założono, iż punkt S poruza ię z prędkością v, natomiat kąt β opiuje kąt obrotu platformy wokół oi przechodzącej przez punkt S. Ry. 3. Mechaniczny model koła mecanum Związek pomiędzy układami wpółrzędnych x y z, a x p y p z p widocznych na ry. 3 można zapiać w potaci natępującego wyrażenia: x y = R, z x y z (4) Po wprowadzeniu macierzy rotacji R, do zależności (4) powyżze wyrażenie można zapiać jako (5): [6, 7 8] x coδ inδ y = inδ coδ y (5) z z Koło mecanum poruza ię po poziomej płazczyźnie ruchu bez poślizgu, co opiuje zależność (6): x v = (6) Ruch koła mecanum po płakiej powierzchni jet przypadkiem ruchu złożonego, tak więc prędkość v jet zdefiniowana poprzez równanie (7): v = v + v (7) W powyżzym wyrażeniu v jet wektorem prędkości unozenia punktu S, natomiat v jet wektorem prędkości względnej. Po rozwinięciu wyrażenia opiującego v otrzymuje ię zależność (8): v = v + β k SA + φ ȷ O A + ψ ȷ MA (8) Wprowadzając do równania (8) zależności (), (2) oraz (3), uzykuje ię wyrażenie (9): 6

3 ZENON HENDZEL, ŁUKASZ RYKAŁA v = v + β k ı + ȷ + φ ȷ (R + r)k +ψ ȷ rk (9) Po wykonaniu operacji mnożeń macierzowych w powyżzej zależności otrzymuje ię wyrażenie (): v = v + β ȷ ı + φ (R + r)ı +ψ rinδȷ coδı () Po zrzutowaniu powyżzej zależności na oie układu x p y p z p otrzymuje ię natępujący układ równań: v β φ (R + r) ψ rcoδ = () v + β + ψ rinδ = Z pierwzego równania wytępującego w układzie równań () można wyznaczyć ψ : ψ = v β φ (R + r) (2) Ry. 4. Prototyp mrk z kołami mecanum Z kolei wyrażenie (2) można wtawić do drugiego równania układu równań (2) i tym amym otrzymać natępującą końcową zależność: v tgδ + v + β tgδ = tgδφ (R + r) (3) Fakt, iż prędkość kątowa ψ nie wytępuję w równaniu (3), wynika z tego, iż rolka tanowi człon bierny i przy założeniu, iż wymieniony element może ię wobodnie obracać, to nie wpływa on na kinematykę koła mecanum. 3. Opi kinematyki obiektu Rozważany mrk kłada ię z platformy, czterech kół mecanum oraz tej amej liczby ilników prądu tałego. Kola mecanum ą z kolei przymocowane do wałów pozczególnych ilników. Prototyp wpomnianego mrk zotał pokazany na ry. 4. Kontrukcja obiektu wymaga zatoowania czterech niezależnie terowanych ilników. W przypadku omawianej kontrukcji duże znaczenie ma również właściwe rozmiezczenie kół mecanum. W bieżącej konfiguracji przyjęto, iż koła mecanum znajdujące ię po przeciwległej części robota mają identycznie zorientowany kąt δ, co również zotało przedtawione na ry. 5. Podcza ruchu koła mecanum obracają ię z prędkością kątową φ, gdzie i oznacza nr kola (i =, 2, 3, 4). Średnica koła mecanum R oraz rolki r jet wartością tałą i równą dla wzytkich czterech kół. Dodatkowo założono, że mrk obraca ię wokół punktu charakterytycznego S o kąt β. Szerokość platformy opiywanego obiektu to 2 y, natomiat odległości pomiędzy punktem S, a środkami przedniej i tylnej oi: P, P 2 wynozą w obu przypadkach x. Ry. 5. Model mrk z kołami mecanum przedtawiony w ruchomym układzie wpółrzędnych Przyjmując zgodnie z wcześniejzym opiem, iż mrk poiada cztery koła mecanum o konfiguracji widocznej na ry. 5., to równanie (3) można uogólnić do opiu wymienionych kół (i =, 2, 3, 4) w potaci zależności (4): v tgδ + v + β tgδ = tgδ φ (R + r) (i =, 2, 3, 4) (4) W rezultacie otrzymuje ię końcowo zależności (5), (6), (7), (8), które opiują kinematykę mrk w ruchomym układzie wpółrzędnych x p y p z p. v v β + = φ (R + r) (5) v + v + β + = φ (R + r) (6) v + v β + = φ (R + r) (7) v v + β + = φ (R + r) (8) Natępnie rozważony zotanie czterokołowy mrk z kołami mecanum opiany w nieruchomym układzie wpółrzędnych (ry. 6). Oie xyz ą oiami nieruchomego układu odnieienia, z kolei oie x p y p z p ą oiami układu wpółrzędnych ztywno powiązanego z platformą robota. Punkt S zgodnie z wcześniejzym opiem jet punktem charakterytycznym mrk. 7

4 OPIS KINEMATYKI MOBILNEGO ROBOTA KOŁOWEGO Z KOŁAMI TYPU MECANUM x ( coβ + inβ) + y ( coβ inβ) + (R + r)φ = (26) x ( coβ inβ) + y ( coβ + inβ) (R + r)φ = (27) x ( coβ inβ) + y ( coβ + inβ) (R + r)φ = (28) x ( coβ + inβ) + y ( coβ inβ) + (R + r)φ = (29) Z równań (26)-(29) można znaleźć rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki, które przedtawiają poniżze równania: φ = [ x () ( coβ + inβ) + y ( coβ + inβ)] (3) φ = φ = φ = () [ x ( coβ inβ) + y ( coβ + inβ)] (3) () [ x ( coβ inβ) + y ( coβ + inβ)] (32) () [ x ( coβ + inβ) + y ( coβ + inβ)] (33) Ry. 6. Model mrk z kołami mecanum przedtawiony w nieruchomym układzie wpółrzędnych Związek pomiędzy układem x p y p z p a nieruchomym układem odnieienia xyz (ry. 6) jet natępujący: x x y = R, T, y (9) z z Z kolei po wykonaniu operacji iloczynu macierzowego macierzy rotacji R, oraz macierzy tranlacji T, wytępujących w zależności (9) otrzymuje ię poniżzą zależność: x coβ inβ x coβ + y inβ x y = inβ coβ x coβ + y inβ y (2) z z W przypadku, gdy punkt S pokrywa ię z początkiem układu wpółrzędnych, zależność (2) można uprościć do potaci (2): [6, 7, 8] x coβ inβ x y = inβ coβ y (2) z z Ponadto, toując zależność macierzową (22) do równań (5)-(8), otrzymuje ię opi kinematyki mrk w nieruchomym układzie wpółrzędnych w potaci poniżzych równań: x (coβ + inβ) + y (coβ inβ) + β + + (R + r)φ = (22) x (coβ inβ)+ y (coβ + inβ) + β + (R + r)φ = (23) x (coβ inβ)+ y (coβ + inβ) β + (R + r)φ = (24) x (coβ + inβ) + y (coβ inβ) β + + (R + r)φ = (25) Zaletą omawianej kontrukcji jet możliwość wykonywania dowolnie zorientowanych ruchów tranlacyjnych pkt. char. robota na płakim podłożu. W związku z tym faktem w dalzej analizie przyjęto, iż platforma. mrk poruza ię ze tałą konfigurację, więc kąt β przyjmuję wartość tałą, niezmienną w czaie. Takie podejście znacznie uprazcza równania (22)-(26) do natępującej potaci: Zależności (3)-(33) umożliwiają obliczenie prędkości kątowych kół -4 potrzebnych do realizacji dowolnej trajektorii ruchu pkt. char. mrk ze tałą konfiguracją na płakim podłożu. 4. Wyniki badań numerycznych Przedtawiona w poprzednim rozdziale analiza kinematyki omawianego obiektu zotała użyta do przeprowadzenia ymulacji numerycznych rozwiązania zadania odwrotnego mrk z kołami mecanum. Badania przeprowadzono w środowiku Matlab/Simulink. W ymulacjach przyjęto natępujące wymiary geometryczne platformy robota: R =.37[m], r =.3[m], y =.58[m], x =.95[m]. W ymulacjach przyjęto również aprokymację założonego profilu prędkości pkt. char. mrk w potaci natępującej zależności: v = v ( ) ( ) (34) gdzie: v ut [m/] to prędkość pkt. char. robota w tanie utalonym, c [/] to wp. wpływający na zybkość zmiany prędkości podcza fazy rozpędzania oraz hamowania, natomiat t r [] oraz t h [] to parametry opiujące średni cza kolejno rozpędzania i hamowania. Zależność (34) jet ciągłą funkcją wybraną w celu uzykania gładkości pochodnej [6, 7]. W badaniach przeprowadzono zereg ymulacji przedtawiających wybrane trategie ruchowe mrk z kołami mecanum. Początkowe trzy ymulacje przedtawiają ruch pkt. char. mrk ze tałą konfiguracją (β(t) = ): w kierunku dodatniego zwrotu oi x (ym. nr ), y (ym. nr 2) oraz trajektorię protoliniową pkt. char. mrk nachyloną pod kątem α = [rad] do oi x układu wpółrzędnych. Z kolei dwie otatnie ymulacje przedtawiają ruch pkt. char. robota po trajektorii protoliniowej nachylonej pod kątem α do oi x: ze tałą, lecz tym razem niezerową wartością kąta β(t) = [rad] (ym. nr 4) oraz ze zmienną w czaie wartością kąta β (ym. nr 5). Wyniki badań numerycznych zotały zaprezentowane na ry. 7, 8, 9, oraz. 8

5 ZENON HENDZEL, ŁUKASZ RYKAŁA ry. 7 przedtawia tronę obiektu znajdującą ię pomiędzy kołami nr i 2 i dotyczy również analogicznych wykreów porządzonych podcza ymulacji nr 2, 3, 4 oraz 5. Niejednotajne przebiegi kinematyczne w tym przypadku dotyczą zmiany parametrów związanych z oią x (ry. 7b, ry. 7. Rozwiązaniem zadania odwrotnego kinematyki jet w tym przypadku przebieg prędkości kątowej widocznej na ry. 7d, identycznej dla wzytkich czterech kół. Przebiegi x (t), y (t) oraz (t).4.2 x [m], y [m], [rad] [m/], `[rad/] [m/], ` [rad/],2` [rad/],3` [rad/],4` [rad/] y, t[] (t), (t) oraz `(t), ` t[] Ry. 7. Przebiegi parametrów kinematycznych ymulacji nr : trajektoria pkt. char. mrk z graficznym odzwierciedleniem konfiguracji platformy mrk w trakcie ymulacji, wpółrzędne pkt. char. mrk oraz kąt obrotu ramy, rzuty prędkości pkt. char. mrk oraz prędkość kątowa platformy ramy, prędkości kątowe kół i = (, 2, 3, 4) Symulacja nr przedtawia jeden z elementarnych ruchów robota omnikierunkowego: ruch wzdłuż oi x ( jazda do przodu ). Trajektoria ruchu pkt. char. mrk wraz z graficznym zaznaczeniem konfiguracji platformy mrk) na początku i końcu ymulacji ą widoczne na ry. 7a. Znacznik "przedniej" części mrk (legenda Przebiegi prędkośći kątowych kół nr,2,3,4 `, 2`, 3`, 4` t[] x x [m], y [m], [rad] [m/], `[rad/] [m/], ` [rad/],2` [rad/], 3` [rad/],4` [rad/] Przebiegi x (t), y (t) oraz (t) t[] (t), (t) oraz `(t) x, , ` t[] Przebiegi prędkośći kątowych kół nr,2,3,4 2`, 3` `, 4` t[] Ry. 8. Przebiegi parametrów kinematycznych ymulacji nr 2: trajektoria pkt. char. mrk z graficznym odzwierciedleniem konfiguracji platformy mrk w trakcie ymulacji, wpółrzędne pkt. char. mrk oraz kąt obrotu ramy, rzuty prędkości pkt. char. mrk oraz prędkość kątowa platformy ramy, prędkości kątowe kół i = (, 2, 3, 4) y 9

6 OPIS KINEMATYKI MOBILNEGO ROBOTA KOŁOWEGO Z KOŁAMI TYPU MECANUM Symulacja nr 2 przedtawia drugi z podtawowych ruchów robota omnikierunkowego: ruch wzdłuż oi y ( jazda w bok ). Trajektoria ruchu pkt. char. mrk, zgodna z wcześniejzym opiem, jet widoczna na ry. 8a. Ponadto na ry. 8a zaznaczono graficznie konfigurację platformy mrk na początku i końcu ymulacji. Z kolei niejednotajne przebiegi kinematyczne w tym przypadku dotyczą zmiany parametrów związanych z oią y (ry. 8b, ry. 8. Charakterytyczne dla tego przypadku jet to, iż pary przebiegi prędkości kątowych kół znajdujących ię po przeciwległych tronach platformy robota muzą być obie równe, tj. pary przebiegów prędkości kół:,4 oraz 2,3 (ry. 8. x [m], y [m], [rad] Przebiegi x (t), y (t) oraz (t) t[] (t), (t) oraz `(t) y x ` [rad/],2` [rad/],3` [rad/],4` [rad/] Przebiegi prędkośći kątowych kół nr,2,3,4 2`, 3` `, 4` Ry. 9. Przebiegi parametrów kinematycznych ymulacji nr 3: trajektoria pkt. char. mrk z graficznym odzwierciedleniem konfiguracji platformy mrk w trakcie ymulacji, wpółrzędne pkt. char. mrk oraz kąt obrotu ramy, rzuty prędkości pkt. char. mrk oraz prędkość kątowa platformy ramy, prędkości kątowe kół i = (, 2, 3, 4) Z kolei ymulacja nr 3 przedtawia kolejne możliwości omnikierunkowego: ruchu ( jazda na uko ). Trajektoria ruchu pkt. char. mrk jet zgodna z zależnością (35) oraz widoczna na ry. 9a. Ponadto na ry. 9a zaznaczono graficznie konfigurację platformy mrk na początku i końcu ymulacji. = (35) Przedtawione przebiegi kinematyczne w tym przypadku dotyczą zmiany parametrów zarówno związanych z oią x jak również z oią y (ry. 9b, ry. 9. Rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki w potaci przebiegów prędkości kątowych pozczególnych kół jet widoczne na ry. 9d. Na podtawie otatniego wymienionego ryunku można twierdzić, iż ruch po ukoie jet możliwy, gdy pary prędkości kątowych przeciwległych kół:,4 oraz 2,3 będą miały różne wartości prędkości kątowych w tanie utalonym. t[] [m/], [m/], `[rad/] ` -.2 t[]

7 ZENON HENDZEL, ŁUKASZ RYKAŁA Przebiegi x (t), y (t) oraz (t).5 x x [m], y [m], [rad].5 y -.5 [m/], `[rad/] [m/], ` [rad/],2` [rad/],3` [rad/],4` [rad/] Ry.. Przebiegi parametrów kinematycznych ymulacji nr 4: trajektoria pkt. char. mrk z graficznym odzwierciedleniem konfiguracji platformy mrk w trakcie ymulacji, wpółrzędne pkt. char. mrk oraz kąt obrotu ramy, rzuty prędkości pkt. char. mrk oraz prędkość kątowa platformy ramy, prędkości kątowe kół i = (, 2, 3, 4) Kolejną ymulacją przedtawiającą ruch protoliniowy punktu charakterytycznego robota jet ymulacja nr 4. W omawianej ymulacji opiywany jet analogiczny przypadek ruchu (ry. jak w ymulacji nr 3 (ry. 9, z tą różnicą, iż zmieniona zotała wartość kąta obrotu ramy robota: β(t) = [rad] (ry.. Można to również zauważyć na graficznie zaznaczonej konfiguracji platformy mrk na początku i końcu ymulacji (ry.. W związku z założoną wartością kąta obrotu ramy robota, pochodna wpomnianego parametru wynoi zero (ry.. Z kolei prędkości kątowe pozczególnych kół niezbędne do realizacji założonej trajektorii zotały przedtawione na ry. d. t[] (t), (t) oraz `(t) t[] ` Przebiegi prędkośći kątowych kół nr,2,3,4 2`, 3` `, 4` t[] x [m], y [m], [rad] [m/], `[rad/] [m/], Przebiegi x (t), y (t) oraz (t) y -. ` [rad/],2` [rad/],3` [rad/],4` [rad/] t[] (t), (t) oraz `(t) t[] Ry.. Przebiegi parametrów kinematycznych ymulacji nr 5: trajektoria pkt. char. mrk z graficznym odzwierciedleniem konfiguracji platformy mrk w trakcie ymulacji, wpółrzędne pkt. char. mrk oraz kąt obrotu ramy, rzuty prędkości pkt. char. mrk oraz prędkość kątowa platformy ramy, prędkości kątowe kół i = (, 2, 3, 4) ` Przebiegi prędkośći kątowych kół nr,2,3,4 3` 2` 4` t[] ` x

8 OPIS KINEMATYKI MOBILNEGO ROBOTA KOŁOWEGO Z KOŁAMI TYPU MECANUM Otatnią ymulacją, przedtawiającą również ruch protoliniowy punktu charakterytycznego mrk, jet ymulacja nr 5. W omawianym przypadku dokonano zmiany parametru β. W rozpatrywanym przypadku omawiany parametr zmienia ię w czaie zgodnie z opiywanym wcześniej założonym profilem prędkości (zależność (35)). Trajektoria punktu charakterytycznego pozotaje bez zmian w odnieieniu do ymulacji 4 (ry., zmienia ię jedynie graficznie zaznaczona konfiguracja platformy mrk w trakcie trwania ymulacji (ry.. Z kolei parametry kinematyczne pokazane na ry. b mają ciągłe, niezerowe pochodne (ry.. Kolejną charakterytyczną cechą tego rozwiązania jet to, iż pary prędkości kątowych kół znajdujących ię po przeciwległych tronach platformy mają podobne przebiegi (ry,. Jak widać na podtawie załączonych ymulacji, zaletą mrk z kołami mecanum jet to, iż kąt obrotu jego platformy jet trzecim topniem wobody ruchu mrk i tym amym jet niezależny od dwóch pozotałych topni wobody. W ymulacjach -4 kupiono ię na analizie ruchu protoliniowego punktu charakterytycznego mrk, natomiat w ymulacji 5 założono, iż mrk poruza ię ruchem płakim, tzn. punkt charakterytyczny mrk poruza ię po trajektorii protoliniowej, natomiat jednocześnie platforma mrk wykonuje ruch obrotowy względem wpomnianego punktu charakterytycznego. 5. Wnioki W niniejzym artykule przeanalizowano kinematykę czterokołowego mrk z kołami mecanum. Poczynione rozważania teoretyczne umożliwiły przeprowadzenie numerycznych ymulacji przedtawiających rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki dla ruchu omawianego obiektu badań po zadanej trajektorii z utaloną konfiguracją platformy mrk. Rozważany w bieżącym artykule mrk wyróżnia ię możliwością tzw. omnikierunkowego ruchu. Dzięki zatoowaniu kół mecanum, omawiany obiekt poiada trzy topnie wobody ruchu na płakim podłożu, co prawia, iż kontrukcja wyróżnia ię pośród innych mobilnych robotów kołowych z konwencjonalnymi kołami poiadającymi dwa topnie wobody. [2, 3, 5, 9, ] W artykule za pomocą dołączonych wyników ymulacji wykazano ogromny zakre możliwych do uzykania elementarnych ruchów robota, tzn. dowolnie kierowanego na płakiej powierzchni protoliniowego ruchu punktu charakterytycznego mrk z dowolną konfiguracją jego platformy. Literatura. Abdelrahman M., Zeidi I., Bondarev O., Adamov B., Becker F., Zimmermann K.: A decription of the dynamic of a four-wheel mecanum mobile ytem a a bai for a platform concept for pecial purpoe vehicle for diabled peron. Shaping the Future by Engineering: 58th Ilmenau Scientific Colloquium, Techniche Univerität Ilmenau Abdelrahman M., Zeidi I., Bondarev O., Adamov B., Becker F., Zimmermann K.: An approach to the kinematic and dynamic of a four-wheeled mecanum vehicle. Scientific Journal of IFToMM. Problem of Mechanic - pecial iue 24, 2, Vol. 55, p Adacalitei F., Doroftei I.: Practical application for mobile robot baed on mecanum wheel - a ytematic urvey. In Proceeding of International Conference on Innovation, Recent Trend and Challenge in Mechatronic, Mechanical Engineering and New High-Tech Product Development MECAHITECH 2, 3, Vol., p Boriov, Alexey V., Alexander A. Kilin, Ivan S. Mamaev.: Dynamic and control of an omniwheel vehicle. Regular and Chaotic Dynamic 25, 2, Vol. 2, p Spyro G. Tzafeta: Introduction to mobile robot control. Elevier, 23,. 6. Giergiel J. M., Hendzel Z., Żylki W.: Modelowanie i terowanie mobilnych robotów kołowych, Warzawa: PWN, Hendzel Z., Gierlak P.: Sterowanie robotów kołowych i manipulacyjnych. Rzezów: Ofic. Wyd. Pol. Rzez., Hendzel Z.: Sterowanie ruchem nadążnym mobilnych robotów kołowych. Rzezów: Ofic. Wyd. Pol. Rzez., Wampfler G., Salecker M., Wittenburg J.: Kinematic, dynamic, and control of omnidirectional vehicle with mecanum wheel. Mechanic Baed Deign of Structure and Machine 989, 2, Vol.7, p Yunan Z., Shuanghuang W., Jian Z., Jie, S.: Reearch on motion characteritic of omnidirectional device baed on mecanum wheel. International Conference on Electric Information and Control Engineering 2, p