Podróże po Imperium Liczb
|
|
- Eleonora Komorowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, Spis treści 12 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Podzbiory gęste Podzbiory brzegowe Podzbiory igdziegęste Podzbiory gęste w przestrzeiach metryczych Gęstość podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych Lematy Twierdzeie Kroeckera Naturala gęstość Gęste zbiory ułamków Ułamkowa gęstość zbioru liczb pierwszych Zbiory gęste i ciągi liczb aturalych Ie przykłady zbiorów gęstych Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb apisao w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewe wybrae rozdziały moża zaleźć a iteretowej stroie autora:
2
3 12 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Zbiór liczb wymierych jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Podzbiór te ma szczególą własość. Jest to podzbiór gęsty, tz. każda liczba rzeczywista jest graicą ciągu składającego się z samych liczb wymierych. To jest rówoważe z tym, że dla dowolych liczb rzeczywistych x < y istieje liczba wymiera a taka, że x < a < y. Podobą własość posiada zbiór wszystkich liczb iewymierych; to też jest podzbiór gęsty zbioru liczb rzeczywistych. Oprócz wspomiaych podzbiorów istieją jeszcze ie ciekawe podzbiory gęste. Dla przykładu zbiór wszystkich ułamków postaci p q, gdzie p i q są liczbami pierwszymi, jest gęstym podzbiorem zbioru dodatich liczb rzeczywistych. Takiej własości ie posiada podoby zbiór wszystkich ułamków postaci a b, gdzie a i b są liczbami Fiboacciego. Te i podobe fakty wyjaśimy dokładiej w tym rozdziale. Zajmować się będziemy różymi podzbiorami gęstymi pewych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. Najpierw, w początkowych podrozdziałach, pojawią się przestrzeie metrycze oraz przestrzeie topologicze. Podstawowe pojęcia dotyczące tych przestrzei zajdziemy w polskich książkach; a przkład: [Kur], [Eg], [Eg],[ES1], [Dud1] Podzbiory gęste Załóżmy, że X jest ustaloą przestrzeią topologiczą i A jest jej podzbiorem. Mówimy, że podzbiór A jest gęsty w X, jeśli jego domkięcie jest całą przestrzeią X. Przypomijmy, że domkięcie zbioru A, ozaczae przez A, jest ajmiejszym zbiorem domkiętym w X zawierającym zbiór A. Iymi słowy, domkięcie A jest przekrojem mogościowym wszystkich zbiorów domkiętych w X, zawierających zbiór A Elemet p przestrzei X ależy do zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym zbiorze otwartym zawierającym p istieje elemet ależący do A D. Załóżmy, że p A i U jest zbiorem otwartym zawierającym p. Przypuśćmy, że w zbiorze U ie ma żadego elemetu ze zbioru A. Wtedy A U =, a więc zbiór A zawarty jest w zbiorze domkiętym X U. Wtedy A X U. Poieważ p A, więc p X U. Zatem p U, wbrew założeiu, że p U. Załóżmy teraz, że każdy zbiór otwarty zawierający p zawiera elemet ależący do A i przypuśćmy, że p A. Wtedy p ależy do zbioru otwartego X A i mamy sprzeczość: = (X A) A. Stąd wyika: Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, każdy iepusty zbiór otwarty zawiera elemet zbioru A Jeśli A jest gęstym podzbiorem przestrzei topologiczej X, to dla każdego zbioru otwartego U zachodzi rówość U = U A. 175
4 176Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Oczywista jest ikluzja U A U. Załóżmy, że p U i iech V pędzie zbiorem otwartym zawierającym p. Wtedy (patrz ) V U ; więc U V jest iepustym zbiorem otwartym. Z gęstości zbioru A wyika, że (U V ) A. Ale (U V ) A = V (U A). Każdy więc iepusty zbiór otwarty zawierający p posiada elemet ależący do U A. Ozacza to (zowu a mocy ), że p U A. Zatem U U A Jeśli U i V są otwartymi zbiorami gęstymi, to U V rówież jest zbiorem gęstym. D. Wyika to wprost z : U V = U = X Podzbiory brzegowe W dalszym ciągu zakładamy, że A jest podzbiorem przestrzei topologiczej X. Przez It(A) ozaczamy wętrze zbioru A. Przypomijmy, że It(A) jest ajwiększym zbiorem otwartym w X zawartym w A. Iymi słowy, wętrze It(A) jest sumą mogościową wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A. Jeśli zbiór It(A) jest pusty, to mówimy, że A jest zbiorem brzegowym Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest brzegowy wtedy i tylko wtedy, każdy iepusty zbiór otwarty zawiera elemet ie ależący do A. D. Załóżmy, że zbiór A jest brzegowy i U jest dowolym iepustym zbiorem otwartym. Wtedy It(A) =, więc zbiór U ie jest zawarty w A. Istieje zatem elemet x ależący do U i ie ależący do A. Załóżmy teraz, że każdy iepusty zbiór otwarty zawiera elemet ie ależący do A. Przypuśćmy, że It(A). Niech x It(A). Istieje wtedy taki zbiór otwarty U, że x U oraz U A. Zbiór U jest iepusty i ie ma elemetów ie ależących do A; sprzeczość Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest brzegowy wtedy i tylko wtedy, gdy X A jest zbiorem gęstym w X. D. Załóżmy, że A jest zbiorem brzegowym i U jest dowolym iepustym zbiorem otwartym. Istieje wtedy (patrz ) w zbiorze U taki pukt x, który ie ależy do A, czyli który ależy do X A. Z wyika zatem, że X A jest zbiorem gęstym w X. W podoby sposób wykazujemy implikację w przeciwym kieruku Podzbiory igdziegęste Mówimy, że podzbiór A przestrzei topologiczej X jest zbiorem igdziegęstym, jeśli jego domkięcie jest zbiorem brzegowym, tz. jeśli It(A) =. Każdy więc zbiór igdziegęsty jest w szczególości zbiorem brzegowym. Każdy domkięty zbiór brzegowy jest zbiorem igdziegęstym. Jedyym otwartym zbiorem igdziegęstym jest zbiór pusty. Jeśli A jest zbiorem igdziegęstym, to jego domkięcie A rówież jest zbiorem igdziegęstym Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest igdziegęsty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy iepusty zbiór otwarty zawiera iepusty zbiór otwarty rozłączy ze zbiorem A.
5 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 177 D. Załóżmy, że A jest zbiorem igdziegęstym i U jest iepustym zbiorem otwartym. Wtedy It(A) =, więc zbiór U ie jest zawarty w zbiorze A. Istieje zatem takie x 0 U, że x 0 A. Elemet x 0 ależy do otwartego zbioru X A. Rozpatrzmy zbiór V = U (X A). Jest to iepusty zbiór (gdyż x 0 V ) otwarty, zawarty w U i rozłączy ze zbiorem A. Załóżmy teraz, że każdy iepusty zbiór otwarty zawiera iepusty zbiór otwarty rozłączy ze zbiorem A. Przypuśćmy, że It(A) ; iech x 0 It(A). Istieje wtedy taki zbiór otwarty U, że x 0 U oraz U A. Poieważ x 0 U, więc U ie jest zbiorem pustym Istieje zatem taki iepusty zbiór otwarty V, że V U i V A =. Zbiór A jest zawarty w domkiętym zbiorze X V. Stąd wyika, że A X V, czyli A V =. Ale V U A, więc mamy sprzeczość: V = V A = Jeśli U jest zbiorem otwartym, to zbiór U U jest igdziegęsty. D. Ozaczmy: A = U U. Niech V będzie dowolym iepustym zbiorem otwartym. Pokażemy, że istieje taki iepusty zbiór otwarty V 0, który jest zawarty w V i który jest rozłączy ze zbiorem A. W przypadku, gdy V A =, przyjmujemy V 0 = V. Załóżmy, że V A i iech x 0 V A. Wtedy x 0 U, więc (patrz ) zbiór U V jest iepusty. Jest to otwarty zbiór zawarty w V i rozłączy ze zbiorem A Załóżmy, że A, B, C są takimi podzbiorami przestrzei topologiczej X, że A = B C. Jeśli A jest zbiorem gęstym i C jest zbiorem igdziegęstym, to B jest zbiorem gęstym. D. Niech U będzie dowolym iepustym zbiorem otwartym w X. Udowodimy, że przekrój U B jest iepusty. Poieważ zbiór C jest igdziegęsty, więc (patrz ) istieje taki iepusty zbiór otwarty V, że V U i V C =. Poieważ zbiór A jest gęsty, więc A V. Mamy zatem: A V = (B C) V = (B V ) (C V ) = (B V ) = B V. Stąd wyika, że B U, gdyż B V B U. Teza wyika zatem z Podzbiory gęste w przestrzeiach metryczych Wiemy (patrz Podrozdział 1), że podzbiór A przestrzei topologiczej X jest gęsty, jeśli w każdym iepustym zbiorze otartym zajduje się elemet ależący do A. Załóżmy teraz, że X jest przestrzeią metryczą z metryką d. Każdy iepusty zbiór otwarty w X jest wtedy sumą mogościową kul. Mamy zatem: Podzbiór A przestrzei metryczej X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej kuli zajduje się się elemet ależący do A. Z tego faktu wyika astępujące stwierdzeie Podzbiór A przestrzei metryczej X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, gdy każdy elemet przestrzei X jest graicą ciągu o wyrazach ależących do A.
6 178Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Załóżmy, że zbiór A jest gęsty i p X jest dowolym elemetem. Wtedy każda kula o środku w pukcie p i promieiu 1, gdzie N, ma elemet a, ależący do A. Mamy zatem ciąg (a ) o wyrazach ależących do A i przy tym 0 d(p, a ) < 1 dla ( N, gdzie) d jest metryką przestrzei X. Z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że 0 jest graicą ciągu d(p, a ) i stąd wyika, że p jest graicą (w przestrzei X) ciągu (a ). Załóżmy teraz, że każdy elemet przestrzei X jest graicą ciągu o wyrazach ależących do A. Niech K(p, r) będzie dowolą kulą w X; pukt p ależy do X oraz r > 0 jest liczbą rzeczywistą. Istieje wtedy ciąg (a ), o wyrazach ależących do A, którego graicą jest pukt p. Niech ε będzie liczbą rzeczywistą taką, ze 0 < ε < r. Niech 0 będzie liczbą aturalą taką, że d(p, a ) < ε dla 0. Ustalmy jedo większe od 0. Wtedy d(p, a ) < ε < r, a zatem a K(p, r). Wykazaliśmy, że każda kula zawiera elemet ze zbioru A. Zatem (patrz ) zbiór A jest gęsty Gęstość podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych Zbiór R, wszystkich liczb rzeczywistych, jest przestrzeią metryczą z metryką d : R R R zdefiiowaą przy pomocy bezwzględej wartości; d(x, y) = x y. dla x, y R. Kulami w tej przestrzei są wszystkie przedziały otwarte (a, b) = x R; a < x < b, gdzie a < b są liczbami rzeczywistymi. Dowoly podzbiór X zbioru liczb rzeczywistych jest rówież przestrzeią metryczą, z metryką zdefiiowaą w powyższy sposób. Każdy zbiór otwarty takiej przestrzei X jest postaci U X, gdzie U jest zbiorem otwartym w R. Kulą o środku w pukcie p X i promieiu r > 0 jest zbiór (p r, p + r) X. Iteresować as będą takie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych, które posiadają co ajmiej dwa róże elemety i które są wypukłe. Przypomijmy, że podzbiór X R jest wypukły, jeśli z tego, że dwie róże liczby rzeczywiste a, b do iego ależą wyika, że cały przedział domkięty [a, b] jest w im zawarty. Wypukłymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych są, oprócz całego zbioru R, wszystkie przedziały: (a, b), (a, b], [a, b) [a, b], (, b), (, b], (a, ), [a, ), gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. W szczególości zbiór R +, wszystkich dodatich liczb rzeczywistych, jest takim podzbiorem wypukłym; R + = (0, + ) Niech X R będzie wypukłym podzbiorem posiadającym co ajmiej dwa elemety. Niech A będzie podzbiorem zbioru X. Następujące waruki są rówoważe. (1) Zbiór A jest gęstym podzbiorem przestrzei X, (2) Dla dowolych liczb rzeczywistych x < y, ależących do X, istieje liczba a taka, że
7 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 179 a A oraz x < a < y. (3) Każda liczba rzeczywista ależąca do X jest graicą ciągu o wyrazach ze zbioru A. (4) Dla każdej liczby rzeczywistej x X i dla każdej liczby rzeczywistej ε > 0 istieje takie a A, że a x < ε. (5) Dla każdej liczby wymierej q X i dla każdej liczby rzeczywistej ε > 0 istieje takie a A, że a q < ε. D. Rówoważość (1) (3) już udowodiliśmy (patrz ). Rówoważość (1) (2) wyika z Wykażemy rówoważości (2) (4) (5). (2) (4). Niech x X i iech ε > 0 będzie liczbą rzeczywistą. Zbiór X ma co ajmiej dwa elemety. Istieje więc liczba y ależąca do X i róża od x. Załóżmy, że x < y. Poieważ X jest zbiorem wypukłym oraz x, y X, cały przedział [x, y] zawarty jest w X. Niech δ > 0 będzie liczbą rzeczywistą miejszą od miε, y x. Wtedy x + δ X, gdyż x + δ [x, y] X. Liczby x i x + δ ależą do zbioru X, z waruku (2) wyika więc, że istieje takie a A, że x < a < x + δ. Wtedy x ε < x < a < x + δ < x + ε i mamy: a x < ε. Podobie postępujemy, gdy x > y. (4) (5). Ta implikacja jest oczywista. (5) (2). Niech x, y X, x < y. Poieważ X jest zbiorem wypukłym, więc cały przedział domkięty [x, y] zawarty jest w X. Istieje więc liczba wymiera q ależąca do X i taka, że x < q < y. Niech ε = miq x, y q. Z waruku (4) wiemy, że istieje takie a A, że q ε < a < q + ε. Wtedy Istieje więc takie a A, że x < a < y. x q ε < a < q + ε y. W dowodzie implikacji (5) (2) wykorzystaliśmy dobrze zay fakt, że zbiór liczb wymierych jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Przedstawmy dowód tego faktu. W tym celu ajpierw wykazujemy astępujący lemat Jeśli a > 0 jest liczbą rzeczywistą, to istieje liczba aturala taka, że 0 < 1 < a. D. Przypuśćmy, że to ie jest prawdą. Wtedy dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość 1 a, z której wyika ierówość 1 a. Zbiór liczb aturalych jest więc wtedy ograiczoy z góry (przez liczbę 1 a ), a to jest oczywiście sprzeczością. Teraz możemy udowodić: Zbiór liczb wymierych jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Ozaczmy przez a dodatią liczbę y x i iech będzie liczbą aturalą taką, że 0 < 1 < a. Taka liczba istieje a mocy Rozpatrzmy liczbę wymierą q = [x] + 1. Mamy wtedy: x = x < [x] + 1 = q x + 1 = x + 1 < x + a = x + (y x) = y. Zatem q jest liczbą wymierą spełiającą ierówości x < q < y.
8 180Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych W jedym z astępych podrozdziałów wykorzystamy astępujące stwierdzeie Niech r > 0 będzie liczbą rzeczywistą i iech A będzie gęstym podzbiorem zbioru R +. Wtedy zbiór A r = a r ; a A rówież jest gęsty w R +. D. Niech 0 < x < y będą liczbami rzeczywistymi. Poieważ zbiór A jest gęsty, więc istieje takie a A, że x 1 1 r < a < y r. Mamy wtedy: x < a r < y i a r A r Lematy W tym podrozdziale udowodimy kilka lematów, z których będziemy korzystać w astępych podrozdziałach. Pierwsze dwa lematy dotyczą graic ciągów Niech (x ) będzie ciągiem dodatich liczb rzeczywistych. Załóżmy, że ciąg te jest zbieży i jego graica jest liczbą większą od zera. Wtedy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba aturala N ε taka, że x 1 x < ε, m dla wszystkich, m > N ε. D. Niech lim x = a > 0. Wtedy lim 1 x = 1 a, więc ciąg (1/x ) jest zbieży; jest więc ograiczoy. Istieje zatem takie M > 0, że 1 x M dla wszystkich N. Niech ε > 0. Poieważ (x ) jest ciągiem Cauchy ego, istieje takie N ε N, że x x m < ε/m dla, m > N ε. Mamy zatem x 1 x m = x x m = x x m 1 < ε M M = ε, dla wszystkich, m > N ε. x m x m Jeśli a, b są dodatimi liczbami rzeczywistymi, to [a] lim [b] = a b. D. Istieje takie 0, że b > 1 dla 0 i wtedy Poieważ lim a 1 b a 1 b < [a] [b] < a b 1. = lim a b 1 = a, więc teza wyika z twierdzeia o trzech ciągach. b
9 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 181 W astępych lematach mowa będzie o fukcjach wielomiaowych Niech f(x) będzie wielomiaem stopia d 1, o współczyikach rzeczywistych i dodatim współczyiku wiodącym rówym c. Istieje wtedy dodatia liczba u taka, że dla wszystkich N. f() c( + u) d, D. Niech f(x) = cx d + a d 1 x d a 1 x + a 0, gdzie a 0,..., a d 1 R. Niech r i = i c 1 ( d i) 1 a d i, dla i = 1, 2,..., d ( ) d i iech u = max(r 1, r 2,..., r d ). Wtedy u > 0 oraz a d i c u i dla wszystkich i = 1,..., d. Mamy i zatem: f() = c d + a p 1 d a 1 + a 0 c d + a p 1 d a 1 + a 0 ( ) ( ) ( ) d d d c d + c u d 1 + c u 2 d c u d 1 + cu d 1 2 d 1 = c( + u) d, dla wszystkich N Niech f(x) będzie wielomiaem stopia d 1, o współczyikach rzeczywistych i dodatim współczyiku wiodącym rówym c. Istieją wtedy takie dodatie liczby rzeczywiste v i M, że c( v) d f(), dla wszystkich liczb aturalych większych od M. D. Dla d = 1 jest to oczywiste. Rozważmy przypadek d = 2. Niech f(x) = cx 2 +ax+b, a, b, c R, c > 0 i rozważmy liczby v = c 1 max(1, a, b ), M = 2v. Wtedy v > 0, M > 0 i dla > M mamy: c( v) 2 = c 2 2cv + cv 2 = c 2 cv cv + cv 2 c 2 cv 2cv 2 + cv 2 = c 2 cv cv 2 c 2 a b c 2 + a + b = f(). Dalej załóżmy, że d 3 i iech f(x) = cx d + a d 1 x d a 1 x + a 0. Niech v = c 1 max(1, a d 1, a d 2,..., a 1, a 0 ), M = vr, gdzie r = max (( ) ( ) ( )) d d d,,...,. 1 2 d 1
10 182Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Przy tych założeiach, jeśli d 2 k N oraz > M, to ( ) ( ) d d c v 2k 1 d (2k 1) + c v 2k d 2k 2k 1 2k ( ) d 2cv 2k 1 d (2k 1) cv 2k 1 d (2k 1) + c v 2k d 2k 2k ( ) d 2cv 2k 1 d (2k 1) crv 2k d 2k) + c v 2k d 2k 2k 2cv 2k 1 d (2k 1) = cv 2k 1 d (2k 1) cv 2k 1 d (2k 1) a d (2k 1) d (2k 1) a d 2k d 2k a d (2k 1) d (2k 1) + a d 2k d 2k. Stąd dla > M otrzymujemy: ( c( v) d = c d + c ( ) d 1 v 1 d 1 + c ( ) ) d 2 v 2 d 2 ( + c ( d 3 ) v 3 d 3 + c ( ) ) d v 2 d c d + ( a d 1 d 1 + a d 2 d 2) + ( a d 3 d 3 + a d 4 d 4) +... = f(). Zatem c( v) d f(), dla > M. Wykorzystamy rówież astępujący oczywisty lemat Niech λ R, a Z. Istieje wtedy liczba całkowita b taka, że 0 aλ + b < 1. D. Przyjmujemy b = [aλ]. Wtedy aλ + b = aλ [aλ] = aλ jest częścią ułamkową liczby ax i oczywiście 0 aλ + b < Twierdzeie Kroeckera (Twierdzeie Kroeckera). Jeśli λ jest liczbą iewymierą, to zbiór aλ + b; a, b Z jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Ozaczmy δ = y x > 0 i iech będzie taką liczbą aturalą (istiejącą a mocy ), że 0 < 1 < δ. Podzielmy przedział [0, 1) a części: [ 1 = 0, 1 ) [ 1, 2 =, 2 ) [ ) 1,..., =, 1. Wiemy (patrz lemat ), że dla każdej liczby całkowitej a istieje liczba całkowita b a taka, że 0 < aλ + b a < 1. Każda liczba postaci aλ + b a ależy do jedego z przedziałów 1,...,. Poieważ tych przedziałów jest tylko skończeie wiele, a liczb całkowitych jest ieskończeie wiele, więc istieją dwie róże liczby całkowite a i a 1 takie, że liczby u = aλ + b a oraz u 1 = a 1 λ + b a1 ależą do tego samego przedziału i. Wtedy a a 1 oraz u u 1 < 1. Z iewymierości liczby λ wyika, że u u 1. 4
11 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 183 Możemy założyć, że u > u 1. Wtedy u u 1 = u u 1. Poadto, u u 1 = (a a 1 )λ+(b a b a1 ) = cλ+d, gdzie c, d Z. Wykazaliśmy zatem, że istieją dwie takie liczby całkowite c i d, że 0 < cλ + d < 1 < δ = y x. Niech p = cλ + d i rozpatrzmy zbiór U = u Z; pu > x = u Z; u > x. p Jest to iepusty i ograiczoy z dołu (przez liczbę x p ) podzbiór zbioru liczb całkowitych. Ma zatem elemet ajmiejszy; ozaczmy te ajmiejszy elemet przez z. Wtedy z Z oraz x < zp. Pokażemy, że zp < y. Przypuśćmy, że zp y. Wtedy zp y = x + (y x) = x + δ > x + 1 > x + p i stąd (z 1)p > x. To ozacza, że z 1 ależy do zbioru U i mamy sprzeczość z tym, że z jest ajmiejszym elemetem w zbiorze U. Zatem x < zp < y. Ale zp = z(cλ + d) = (zc)λ + (zd) i liczby zc, zd są całkowite. Istieją więc takie liczby całkowite a i b, że x < aλ + b < y i to kończy dowód. Wykażemy teraz, że w powyższym twierdzeiu Kroeckera moża dodatkowo założyć, że wystpujące w im liczby a są aturale i to jeszcze większe od dowolie ustaloej liczby aturalej M. W tym celu ajpierw wykażemy, że moża dodatkowo założyć, że liczby a są iezerowe Jeśli λ jest liczbą iewymierą, to zbiór aλ + b; a, b Z, a 0 jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Wykażemy, że istieją takie liczby całkowite a, b, że a 0 oraz x < aλ + b < y. Istieją (a mocy twierdzeia ) takie liczby całkowite a i b, że x < aλ + b < y. Jeśli a 0, to ie ma czego dowodzić. Załóżmy, że a = 0. Wtedy x < b < y. W przedziale (x, y) zajduje się więc co ajmiej jeda liczba całkowita. Załóżmy, że b jest ajmiejszą liczbą całkowitą w tym przedziale. Wtedy x < b < y i (zowu a mocy twierdzeia ) istieją liczby całkowite a 1, b 1 spełiające ierówości x < a 1 λ + b 1 < b. Jeśli teraz a 1 = 0, to x < b 1 < b < y i mamy sprzeczość z tym, że b jest ajmiejszą liczbą całkowitą w przedziale (x, y). Zatem a 1 i b 1 są liczbami całkowitymi, a 1 0 oraz x < a 1 λ + b 1 < y. Teraz możemy wykazać astępującą wzmocioą wersję twierdzeia Jeśli λ jest liczbą iewymierą i M jest liczbą aturalą, to zbiór aλ + b; a, b Z, a > M jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.
12 184Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Część I. Niech ε będzie liczbą rzeczywistą z przedziału (0, 1). Wykażemy ajpierw, że istieją takie liczby całkowite u i v, że 0 < uλ + v < ε oraz u 1. Przypuśćmy, że to ie jest prawdą. Na mocy twierdzeia , istieją takie liczby całkowite a 0, b 0, że a 0 0 oraz 0 < a 0 λ + b 0 < ε. Z aszego przypuszczeia wyika, że a 0 jest liczbą ujemą. Niech a 0 = 0, gdzie 0 N. Liczba 0 ależy do zbioru tych wszystkich liczb aturalych, dla których istieje liczba całkowita b taka, że 0 < λ + b < ε. Załóżmy, że 0 jest ajmiejszym elemetem w tym zbiorze. Niech 0 < 0 λ + b 0 < ε dla pewego b 0 Z; ozaczmy p = 0 λ + b 0. Poieważ 0 < p, więc (zowu a mocy ) istieją takie liczby całkowite a 1, b 1, że 0 < a 1 λ + b 1 < p < ε oraz a 1 0; ozaczmy q = a 1 λ + b 1. Z ierówości 0 < q < ε wyika, że a 1 = 1 dla pewego 1 N i poadto, 1 0. Gdyby zachodziła rówość 1 = 0, wówczas różica p q byłaby liczbą całkowitą (rówą b 0 b 1 ) ależącą do przedziału (0, 1); sprzeczość. Zatem 1 > 0. Zauważmy, że 0 < p q = ( 0 λ + b 0 ) ( 1 λ + b 1 ) = ( 1 0 )λ + (b 0 b 1 ) < ε. Mamy więc 0 < sλ + t < ε, gdzie s = 1 0 oraz t = b 0 b 1 są liczbami całkowitymi i przy tym s > 0. To jest jedak sprzecze z tym co założyliśmy a początku tej części dowodu. Dla każdej więc liczby rzeczywistej ε, spełiającej ierówości 0 < ε < 1, istieją takie liczby całkowite u, v, że 0 < uλ + v < ε oraz v 1. Część II. Niech ε będzie liczbą rzeczywistą z przedziału (0, 1). Wykażemy, że istieją takie liczby całkowite u i v, że 0 < uλ + v < ε oraz u > M. Liczba (M + 1)λ jest iewymiera. Z części pierwszej tego dowodu wyika więc, że istieją takie liczby całkowite a i b, że 0 < a(m + 1)λ + b < ε oraz a 1. Niech u = a(m + 1), v = b. Wtedy 0 < uλ + v < ε, u, v Z, u > M. Część III. Niech x, y R, x < y. Niech ε = mi1, (y x)/2 i rozważmy przedział (x, x + ε). Niech c, d będą liczbami całkowitymi takimi, że x < cλ + d < x + ε. Takie liczby całkowite istieją a mocy twierdzeia Ozaczmy przez M 1 liczbę aturalą większą iż M c. Z drugiej części tego dowodu wiemy, że istieją takie liczby całkowite u, v, że 0 < uλ + v < ε oraz u > M 1. Przyjmijmy: a = u + c, b = v + d. Mamy wtedy a = u + c > M 1 + c > (M c) + c = M oraz x = x + 0 < (cλ + d) + (uλ + v) = aλ + b < x + ε + ε = x + 2ε x + 2 y x 2 Zatem x < aλ + b < y i przy tym a > M. To ozacza, że baday zbiór jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzeie Kroeckera moża rówież wysłowić w astępującej wersji Jeśli λ jest dodatią liczbą iewymierą, to zbiór mλ ;, m N jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. = y.
13 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 185 D. Niech x, y R, x < y. Niech M będzie liczbą aturalą taką, że Mλ > y. Istieją takie liczby całkowite a, b, że x < aλ + b < y oraz a > M (wyika to z twierdzeia ). Poieważ a > M, więc m = a jest liczbą aturalą. Przypuśćmy, że b 0. Wtedy mamy sprzeczość: y < Mλ < aλ aλ + b < y. Zatem b jest ujemą łiczbą całkowitą; iech b =, gdzie N. Wtedy x < mλ < y, gdzie m, N i to kończy dowód. Założyliśmy, że liczba iewymiera λ jest dodatia. Dla ujemych liczb iewymierych mamy podobe twierdzeie Jeśli λ jest ujemą liczbą iewymierą, to zbiór mλ + ;, m N jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Stosujemy twierdzeie dla dodatiej liczby wymierej λ i ierówości y < x. Istieją takie liczby aturale m,, że y < m( λ) < x. Mamy wtedy (po pomożeiu przez 1) ierówości x < mλ + < y. W powyższych dwóch twierdzeiach moża jeszcze dodatkowo założyć, że liczby aturale m i są większe od dowolie ustaloych liczb aturalych Jeśli λ jest dodatią liczbą iewymierą oraz A, B są liczbami aturalymi, to zbiór mλ ;, m N, m > A, > B jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Niech C będzie taką liczbą aturalą, że (A + 1)Cλ y > B. Z twierdzeia , zastosowaego ( dla ) dodatiej liczby iewymierej (A + 1)Cλ, istieją takie liczby aturale u, v, że x < u (A + 1)Cλ v < y. Przyjmujemy m = u(a + 1)C, = v. Wtedy x < mλ < y oraz m > A i > B. Istotie: m = u(a + 1)C A + 1 > A oraz > mλ y = u(a + 1)Cλ y (A + 1)Cλ y > B. Podobie wykazujemy astępe twierdzeie Jeśli λ jest ujemą liczbą iewymierą oraz A, B są liczbami aturalymi, to zbiór mλ + ;, m N, m > A, > B jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.
14 186Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Pewe zastosowaia twierdzeia Kroeckera przedstawimy w astępych podrozdziałach. Teraz podamy dwa ie zastosowaia. Dotyczyć oe będą początkowych cyfr liczb specjalego typu. Dokładiejsze iformacje a te temat zajdują się w [N-2]. Tam rówież są wzmiaki o pewych wersjach twierdzeia Kroeckera Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c k istieje potęga dwójki, której k początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c k. D. Niech c 1,..., c k będą daymi cyframi. Ozaczmy: M = c 1 10 k 1 + c 2 10 k c k c k. Poieważ log 10 2 jest dodatią liczbą iewymierą oraz log 10 M < log 10 (M + 1), więc (a mocy twierdzeia ) istieją takie liczby aturale m,, że Mamy wtedy kolejo: log 10 M < m log 10 2 < log 10 (M + 1). + log 10 M < m log 10 2 < + log 10 (M + 1), log 10 (10 M) < log 10 (2 m ) < log 10 (10 (M + 1)), M10 < 2 m < (M + 1)10. Początkowymi cyframi liczby 2 m są więc kolejo c 1,..., c k Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c k istieje liczba kwadratowa, której k początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c k. D. Niech c 1,..., c k będą daymi cyframi. Ozaczmy: M = c 1 10 k 1 + c 2 10 k c k c k. Poieważ log 10 4 jest dodatią liczbą iewymierą oraz log 10 M < log 10 (M + 1), więc (a mocy twierdzeia ) istieją liczby aturale m, takie, że Mamy wtedy kolejo: log 10 M < m log 10 4 < log 10 (M + 1). + log 10 M < m log 10 4 < + log 10 (M + 1), log 10 (10 M) < log 10 (4 m ) < log 10 (10 (M + 1)), M10 < 4 m < (M + 1)10. Początkowymi cyframi liczby kwadratowej (2 m ) 2 = 4 m są więc kolejo c 1,..., c k. K. G. Bakow, O pewym twierdzeiu Kroeckera, [Kw] 7/ G. H. Hardy, E. M. Wright, Kroecker s theorem, [HW4] K. Pióro, Twierdzeie Kroeckera, [Dlt] 6/2001, D. Wiśiewski, Twierdzeie Kroeckera o gęstych podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych, [Pmgr] 1991.
15 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Naturala gęstość W tym podrozdziale zajmować się będziemy podzbiorami zbioru liczb aturalych. Jeśli A jest podzbiorem zbioru N, to dla każdej liczby aturalej przez A() ozaczać będziemy liczbę wszystkich elemetów zbioru A 1, 2,...,, tz. A() = a A; a. Dla przykładu, jeśli A jest zbiorem wszystkich liczb parzystych, to A(1) = 0, A(2) = 1, A(3) = 1, A(4) = 2 i ogólie A() = [/2] dla N. Niech A N. Jeśli ciąg (A()/) jest zbieży, to jego graicę ozacza się przez δ(a) i azywa aturalą gęstością (ag. atural desity ) zbioru A. Zapamiętajmy: A() δ(a) = lim. Iteresować as teraz będzie aturala gęstość zbioru A. Patrzeć a ią będziemy jak a pewą miarę zbioru A w stosuku do całego zbioru liczb aturalych. Każdy podzbiór skończoy ma oczywiście aturalą gęstość rówą 0. Zbiór wszystkich liczb aturalych ma aturalą gęstość rówą 1. Załóżmy, że A jest zbiorem wszystkich aturalych liczb parzystych. Co druga liczba aturala jest parzysta. Wspomieliśmy już, że A() = [/2] dla N. Mamy zatem: [/2] δ(a) = lim = 1 2. Naturala gęstość zbioru liczb parzystych istieje i jest rówa 1 2. Podobie jest dla dowolych ciągów arytmetyczych o wyrazach aturalych Niech a, r będą liczbami aturalymi i iech A = a, a + r, a + 2r, a + 3r,.... Zbiór A posiada aturalą gęstość i jest oa rówa 1 r. D. Niech N. Niech k = A(). Wtedy a + (k 1)r, a + kr >, więc k 1 a r stąd wyika, że [ ] a A() = 1 + r dla wszystkich N. Zatem: a a r = r i wobec tego a r < A() i teza wyika z twierdzeia o trzech ciągach. 1 + [( a)/r] < = A() + r a r a 1 + r = + r a r < k i
16 188Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Istieją takie podzbiory zbioru liczb aturalych, które ie posiadają aturalej gęstości. Spójrzmy a przykłady takich zbiorów Zbiór A = s=0 ie posiada aturalej gęstości. 2 2s, 2 2s + 1, 2 2s + 2,..., 2 2s+1 1 ( ) A() D. Przypuśćmy, że graica ciągu istieje i jest oa rówa x. Wtedy każdy podciąg tego ciągu rówież ma graicę rówą x. Łatwo sprawdzić, że A ( 2 2+1) = ( A(2 2+1 ) ( ) A(2 2 ) Rozpatrzmy podciągi i , A ( 2 2) = ). Z powyższych rówości wyika, że podciągi te są ciągami zbieżymi, graica pierwszego ciągu jest rówa ( 2 3, a ) graicą drugiego ciągu jest 1 3. Istieją A() więc dwa zbieże podciągi o różych graicach. Ciąg ie ma więc graicy Zbiór A = s=0 3 2s, 3 2s + 1,..., 3 2s+1 1 ie posiada aturalej gęstości. D. W tym przypadku A ( 3 2+1) = oraz A ( 3 2) = 9 + 3, dla wszystkich N. ( 4 4 A(3 2+1 ) ( ) A(3 2 ) ) Podciągi i 3 2 są więc ciągami zbieżymi i ich graice są odpowiedio rówe 3 ( ) 4 1 A() i. Istieją zatem dwa zbieże podciągi o różych graicach. Ciąg ie ma więc graicy. 4 W podoby sposób wykazujemy: Zbiór A = Zbiór s=0 ie ma aturalej gęstości. ([NiZM] 475). 2 3s 1, 2 3s 1 + 1,..., 2 3s ie ma aturalej gęstości. ([HedR] 640). A = (2s)!, (2s)! + 1,..., (2s + 1)! 1 s=0 Przedstawimy teraz pewe własości aturalej gęstości Niech A będzie ieskończoym podzbiorem zbioru liczb aturalych. Ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. Jeśli zbiór A posiada aturalą gęstość, to ([NiZM] 473). δ(a) = lim a.
17 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 189 ( ) A(). ( ) A(a) a ma graicę D. Załóżmy, że aturala gęstość zbioru A jest rówa u. Wtedy u jest graicą ciągu Każdy podciąg tego ciągu rówież ma graicę rówą u. W szczególości podciąg rówą u. Ale A(a ) =, więc lim = u = δ(a). a Niech A będzie ieskończoym podzbiorem zbioru liczb aturalych. Ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. Jeśli zbiór A posiada aturalą gęstość i gęstość ta jest większa od zera, to lim a a +1 = 1. ([NiZM]). ( ) D. Ciąg jest (a mocy ) zbieży i jego graica jest większa od zera. Z wyika a więc, że dla każdego ε > 0 istieje takie N ε N, że ( + 1)a 1 a +1 < ε, ( ) ( + 1)a dla > N ε. Ciąg jest więc zbieży do 1. Mamy zatem: lim a +1 a ( ( + 1)a = lim a +1 a +1 ) ( = lim ( + 1)a ) ( lim + 1 a +1 ) = 1 1 = (E. Szemerédi 1975). Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb aturalych. Jeśli lim sup A() jest liczbą większą od zera, w szczególości jeśli zbiór A ma dodatią aturalą gęstość, to dla każdej liczby aturalej istieją takie liczby aturale a, r, że wszystkie liczby a, a + r, a + 2r,..., a + ( 1)r są elemetami zbioru A, tz. zbiór A zawiera skończoe postępy arytmetycze dowolej długości. U. Twierdzeie to było ajpierw hipotezą Erdösa. Udowodił to E. Szemerédi w 1975 roku. Iy dowód, stosując teorię ergodyczą, podał w 1977 roku H. Fursteberg. Jeszcze iy dowód, stosując aalizę Fouriera, podał w 1998 roku W.T. Gowers Niech A N. Jeśli zbiór A ma aturalą gęstość, to zbiór N A rówież ma aturalą gęstość oraz δ(a) + δ(n A) = 1. ([NiZM] 475 z.2) Niech A N, b N i iech A + b = a + b; a A. Jeśli zbiór A posiada aturalą gęstość, to zbiór A + b rówież ją posiada i te gęstości są rówe. ([NiZM] 475 z.8).
18 190Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Jeśli A i B są takimi rozlączymi podzbiorami zbioru liczb aturalych, że zbiory A, B oraz A B mają aturalą gęstość, to ([NiZM] 475 z.10). δ(a B) δ(a) + δ(b) Rozpatrzmy astępujące podzbiory zbioru liczb aturalych: A = zbiór wszystkich liczb parzystych, B 1 = zbiór liczb parzystych o parzystej liczbie cyfr, B 2 = zbiór liczb ieparzystych o ieparzystej liczbie cyfr, B = B 1 B 2. Zbiory A i B posiadają aturalą gęstość. Natomiast zbiory A B i A B ie posiadają aturalej gęstości. ([NiZM] 475 z.9). Zajmiemy się teraz zaymi przykładami podzbiorów zbioru liczb aturalych posiadających aturalą gęstość Zbiór wszystkich liczb kwadratowych ma aturalą gęstość rówą 0. D. Niech A = Mamy zatem 2 ; N. Dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość A(). 0 A() 1/ i teza wyika z twierdzeia o trzech ciągach, W podoby sposób wykazujemy: Niech 2 s N. Zbiór Zbiór s ; N ma aturalą gęstość rówą zero. A = s ; N = a s ; a N, 2 s N s=2 ma aturalą gęstość rówą zero. ([NiZM] 475 z.1(j)). D. ([SavA] ). Jeśli a s, to oraz s log 2 (). Zatem a [ s ] A() [ ] + [ 3 ] + [ 4 ] + log 2 (), a zatem 0 A() log2 () = log 2(). Poieważ lim log 2() = 0, więc (a mocy twierdzeia o trzech ciągach) gęstość δ(a) istieje i jest rówa zero Zbiór wszystkich liczb pierwszych ma aturalą gęstość rówą zero.
19 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 191 D. Ze zaej rówości π() wyika, że lim = 0. π(x) l x lim = 1 x x Zbiór wszystkich liczb aturalych względie pierwszych z 6 ma aturalą gęstość rówą Zbiór wszystkich liczb aturalych względie pierwszych z 30 ma aturalą gęstość rówą Niech a 1,..., a s będą liczbami aturalymi i iech A będzie zbiorem tych wszystkich liczb aturalych, które ie są podziele przez żadą z liczb a 1,..., a s. Zbiór A ma aturalą gęstość δ(a) i zachodzi rówość ([NiZM] 476 z.11). s δ(a) = 1 + ( 1) r 1 ww(a r=1 1 i 1 <i 2 <...<i i1, a i2,..., a ir ). r s Mówimy, że liczba aturala jest bezkwadratowa (ag. squarefree) jeśli ie jest podziela przez żade kwadrat liczby aturalej większej od 1, tz. jeśli jest jest rówa 1 lub jest iloczyem parami różych liczb pierwszych. W [N-3] jest oddziely podrozdział o liczbach bezkwadratowych Zbiór wszystkich liczb bezkwadratowych ma dodatią aturalą gęstość rówą 6 π 2. ([NiZM]) Jeśli A jest zbiorem wszystkich liczb bezkwadratowych, to dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość A() > /2. ([NiZM] 474) Każda liczba aturala większa od jedyki jest sumą dwóch liczb bezkwadratowych. ([NiZM] 474). D. Ozaczmy przez A zbiór wszystkich liczb aturalych bezkwadratowych. Niech 2 N. Rozpatrzmy dwa zbiory: U = a N; 1 a 1, a A, V = b N; 1 b 1, b A. Suma U V ma co ajwyżej 1 elemetów. Z wyika, że U + V > ( 1)/2 + ( 1)/2 = 1. Zbiory U i V ie mogą więc być rozłącze. Istieje zatem liczba x ależąca do części wspólej tych zbiorów. Wtedy x = a A oraz x = b i b A. Zatem = a + b, gdzie a, b A.
20 192Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Mówimy, że liczba aturala jest liczbą Nivea, jeśli jest podziela przez sumę swoich cyfr. W [N-2] jest oddziely rozdział o liczbach Nivea (R.E. Keedy, C.N. Cooper 1984). Zbiór wszystkich liczb Nivea ma aturalą gęstość rówą zero (D. N. Lehmer 1900). Niech a() i b() będą liczbami pierwotych trójkątów pitagorejskich, których odpowiedio przeciwprostokąte i obwody ie przewyższają. Wtedy ([S59] 59). a() lim = 1 2π, lim b() = l 2 π (J. Lambek, L. Moser 1955). Niech c() będzie liczbą pierwotych trójkątów pitagorejskich, których pola ie przewyższają. Wtedy c() lim = u, gdzie u jest pewą stałą rówą 0, ([S59] 59). R. E. Keedy, C. N. Cooper, O the atural desity of the Nive umbers, [Cmj] 15(4)(1984) R. E. Keedy, C. N. Cooper, Chebyshev s iequality ad atural desity, [Mo] 96(2)(1989) I. Nive, H. S. Zuckerma, H. L. Motgomery, The desity of sequeces of itegers, [NiZM] Gęste zbiory ułamków Dla daego podzbioru A zbioru liczb aturalych, przez Q(A) ozaczać będziemy zbiór wszystkich dodatich liczb wymierych dających się przedstawić w postaci a b, gdzie a, b A, tz. a Q(A) = b ; a, b A. Mówić będziemy, że taki podzbiór A jest ułamkowo gęsty, jeśli zbiór Q(A) jest gęsty w zbiorze R + = (0, ). W tym podrozdziale przedstawimy pewe przykłady ułamkowo gęstych podzbiorów zbioru liczb aturalych. Najprostszym takim przykładem jest cały zbiór liczb aturalych. W tym przypadku Q(N) = Q + = q Q; q > 0 i oczywiście zbiór Q + jest gęsty w R +. Zbiór wszystkich liczb parzystych jest rówież ułamkowo gęsty; jego zbiór ułamków jest całym zbiorem Q +.
21 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Zbiór wszystkich liczb kwadratowych jest ułamkowo gęsty. D. Niech x, y będą dodatimi liczbami rzeczywistymi takimi, że x < y. Mamy wtedy dwie dodatie liczby rzeczywiste x i y spełiające ierówość x < y. Poieważ zbiór Q + jest gęsty w R +, więc istieje dodatia liczba wymiera a b (gdzie a, b N) leżąca pomiędzy liczbami x i y. Wtedy i to kończy dowód. x < a2 b 2 < y W te sam sposób dowodzimy, że podobą właość mają zbiory wszystkich sześciaów, wszystkich bikwadratów i ogóliej: Niech 2 s N. Zbiór s ; N jest ułamkowo gęsty. Każdy podzbiór ułamkowo gęsty jest zbiorem ieskończoym. Istieją ieskończoe podzbiory zbioru liczb aturalych, które ie są ułamkowo gęste. Kilka przykładów: Zbiór 2 0, 2 1, 2 2,..., wszystkich potęg dwójki, ie jest ułamkowo gęsty. Ogóliej, dla każdej liczby aturalej a, zbiór a 0, a 1, a 2,... ie jest ułamkowo gęsty. D. Zbiorem wszystkich ułamków o liczikach i miaowikach ależących do A = 2 0, 2 1, 2 2,... jest Q(A) = 2 s ; s Z. Zbiór Q(A) ie jest gęsty w R +, gdyż a przykład ie ma takiej liczby, która ależy do Q(A) i jest pomiędzy liczbami 5 i 7. Podobie uzasadiamy w przypadku ogólym, gdy A = a 0, a 1,..., Zbiór wszystkich liczb Fiboacciego ie jest ułamkowo gęsty. D. Przypomijmy, że liczbą Fiboacciego azywamy każdy wyraz cięgu (u ), określoego rówościami u 1 = u 2 = 1, u +2 = u +1 +u dla N. Pokażemy, że ie ma takich dwóch liczb Fiboacciego u, u m, że 1 < u u m < 5 4. Przypuśćmy, że są. Wtedy u m < u, więc m + 1. Jeśli m + 2, to u u m 2. Istotie, u u m+2 = u m+1 + u m = u m = 2. u m u m u m u m Możliwy więc jest tylko przypadek: = m + 1. Ale wtedy > 1 (gdyż u u m > 1) i mamy sprzeczość: u = u m+1 = u m + u m 1 = 1 + u m u m u m u m u m 2 = 3 2 > 5 4. Wykorzystaliśmy ierówość um 1 u m 1 2, którą wykazujemy w astępujący sposób: 2u m 1 = u m 1 + u m 1 u m 1 + u m 2 = u m. Przed podaiem astępych przykładów zaotujmy trzy stwierdzeia. Pierwsze stwierdzeie jest oczywiste Niech A B będą podzbiorami zbioru liczb aturalych. Jeśli zbiór A jest ułamkowo gęsty, to zbiór B rówież jest ułamkowo gęsty.
22 194Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Następe dwa stwierdzeia już ie są takie oczywiste Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb aturalych i iech B będzie skończoym podzbiorem zbioru A. Jeśli zbiór A jest ułamkowo gęsty, to zbiór A B rówież jest ułamkowo gęsty. ([HedR]). D. Jest jase, że wystarczy to udowodić tylko w przypadku, gdy zbiór B jest jedoelemetowy. Załóżmy, że B = b 0, ozaczmy przez A 0 zbiór A b 0 i rozważmy zbiór D = b0 a a ; a A ; a A. b 0 Zauważmy, że każdy iepusty zbiór otwarty w R + zawiera iepusty podzbiór otwarty rozłączy z D. Zatem (patrz ), D jest podzbiorem igdziegęstym. Mamy poadto rówość Q(A) = Q(A 0 ) D. Z twierdzeia wyika, że jeśli Q(A) jest zbiorem gęstym w R +, to Q(A 0 ) rówież jest zbiorem gęstym w R +. Zatem, jeśli zbiór A jest ułamkowo gęsty, to takim jest rówież zbiór A Jeśli podzbiór A N posiada aturalą gęstość i ta gęstość jest liczbą większą od zera, to zbiór A jest ułamkowo gęsty. ([HedR]). D. ([HedR]). Załóżmy, że δ(a) = lim A() = u > 0. Ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. Z twierdzeia wiemy, że wtedy u = lim a. Niech 0 < q Q, 0 < ε R. Istieje wtedy (patrz lemat ) liczba aturala N 0 taka, że a m 1 a m/ 1 = /a 1 m/a m < ε q, dla wszystkich, m > N 0. Istieją oczywiście liczby aturale, m, które są większe od N 0 i takie, że q = m. Mamy wtedy a m 1 a q 1 < ε q i stąd, po pomożeiu przez q, a m q a < ε. Ułamek a m ależy do Q(A). Z twierdzeia wyika więc, że zbiór Q(A) jest gęsty w R +, a zatem a zbiór A jest ułamkowo gęsty. Zbiór liczb ieparzystych ma aturalą gęstość rówą 1 2. Zatem, ze stwierdzeia wyika: Zbiór wszystkich ieparzystych liczb aturalych jest ułamkowo gęsty.
23 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 195 Zbiór wszystkich liczb aturalych postaci 4k + 3 ma aturalą gęstość rówą 1 4. Zatem: Zbiór wszystkich liczb aturalych postaci 4k + 3 jest ułamkowo gęsty. Z faktów i wyika astępujące ogóliejsze stwierdzeie Każdy postęp arytmetyczy a, a + r, a + 2r, a + 3r,..., gdzie a, r N, jest ułamkowo gęsty. Droba modyfikacja dowodu stwierdzeia pozwala am wysłowić astępe ogóliejsze stwierdzeie. Przypomijmy, że jeśli A jest podzbiorem zbioru liczb aturalych, to przez A() ozaczamy liczbę tych wszystkich liczb a ze zbioru A, które spełiają ierówość a Niech r > 0 będzie ustaloą liczbą rzeczywistą i iech A będzie podzbiorem zbioru liczb aturalych takim, że ciąg A() r ma graicę i graica ta jest większa od zera. Wtedy zbiór A jest ułamkowo gęsty. D. (I). Załóżmy, że lim A() r = u > 0 i ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. ( ) A(a ) Wtedy podciąg rówież ma graicę i ta graica jest rówa u. Ale A(a ) =. Mamy zatem: a r lim a r = u > 0. Niech 0 < q Q, 0 < ε R. Istieje wtedy (patrz lemat ) liczba aturala N 0 taka, że a r m 1 a r m/ 1 = /a r m/a r 1 < ε m q, dla wszystkich, m > N 0. Istieją oczywiście liczby aturale, m, które są większe od N 0 i takie, że q = m. Mamy wtedy a r m a r 1 q 1 < ε i stąd, po pomożeiu przez q, q a r m q < ε. a r Ułamek a m ależy do Q(A). Z twierdzeia wyika więc, że zbiór Q(A) r = b r ; b Q(A) jest a gęsty w R +. Spójrzmy a stwierdzeie Wyika z iego, że zbiór Q(A) = (Q(A) r ) 1 r rówież jest gęsty. Zatem, zbiór A jest ułamkowo gęsty. D. (II). Dla daej liczby rzeczywistej x > 0 ozaczmy przez A(x) liczbę tych wszystkich elemetów a ze zbioru A, które spełiają ierówość a x. Jest jase, że A(x) = A([x]).
24 196Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Załóżmy, że lim A() r = u > 0 i iech 0 < x < y będą liczbami rzeczywistymi. Istieje liczba aturala 0 taka, że [x] > 0, [y] > 0, A(x) > 0, A(y) > 0, ( dla wszystkich 0. Podciągi A([x])/[x] r) ( i A[y]/[y] r), rozpatrywae dla 0, mają więc dodatie wyrazy i są zbieże do u. Iloraz tych podciągów jest zatem ciągiem zbieżym i jego graica jest rówa 1. Poieważ ( lim [y]r y ) r [x] r = x (patrz ), więc A(y) ( y ) r lim A(x) = > 1. x Istieje zatem takie 1, że A(y) > A(x) dla 1. Stąd wyika, że dla każdego 1 istieje liczba a, ależąca do zbioru A i taka, że x < a < y. Niech b będzie dowolą taką liczbą ze zbioru A, która jest większa od 1. Wtedy bx < a b < by oraz b, a b A. Zatem x < a b b < y i a b b Q(A). Zbiór Q(A) jest więc gęsty w R Niech f(x) będzie wielomiaem stopia d 1 o dodatim współczyiku wiodącym rówym c. Załóżmy, że f(n) N oraz, że f() < f(m), gdy < m,, m N. Niech A = f(n) = f(); N. Wtedy A() lim d = 1 d c. D. Wiemy (patrz lematy i ), że istieją takie dodatie liczby u, v, M, że c(k v) d < f(k) < c(k + u) d dla wszystkich k większych od M. Niech 0 będzie liczbą aturalą taką, że A() > M dla wszystkich 0. Rozpatrzmy dowolą liczbę aturalą, większą od 0. Niech A() = k. Wtedy k > M oraz f(k) < f(k + 1), a zatem c(k v) d < f(k) < f(k + 1) < c(k u) d i stąd d c(k v) < d < d c(k u), czyli d c(a() v) < d < d c(a() +1+u). Po podzieleiu przez A() otrzymujemy ierówości d c A() v A() d < A() < d c A() u, A() zachodzące dla wszystkich 0. Poieważ lim A() =, więc ciągi skraje są zbieże do tej d samej graicy, rówej d c. Z twierdzeia o trzech ciągach wyika zatem, że lim A() = d c i stąd otrzymujemy tezę: lim A() d = 1 d c.
25 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Jeśli f(x) jest wielomiaem dodatiego stopia, o dodatim współczyiku wiodącym i takim, że f(n) N, to zbiór f(n) jest ułamkowo gęsty. D. Niech A = f(n) = f(); N. Fukcja wielomiaowa f(x) jest od pewego miejsca rosąca. Istieje zatem liczba aturala p taka, że f( + p) < f(m + p), gdy < m,, m N. Rozpatrzmy wielomia g(x) = f(x + p) i iech B = g(); N. Z twierdzeń i wyika, że zbiór B jest ułamkowo gęsty. Ale B A. Zatem zbiór A rówież jest ułamkowo gęsty. Z twierdzeia otrzymujemy licze przykłady zbiorów ułamkowo gęstych. Stosując to twierdzeie dla wielomiau f(x) = rx + a (gdzie a, r N), otrzymujemy owy dowód a to, że postępy arytmetycze są ułamkowo gęste (patrz ). Zaotujmy ie przykłady Zbiór 2 + 1; N jest ułamkowo gęsty. D. Twierdzeie dla wielomiau f(x) = x Zbiór wszystkich liczb trójkątych jest ułamkowo gęsty. D. Przypomijmy, że liczbą trójkątą azywamy każdą liczbę aturalą postaci 1 ( + 1). 2 Teza wyika z twierdzeia zastosowaego dla wielomiau f(x) = 1 2 x x Zbiór wszystkich liczb tetraedralych jest ułamkowo gęsty. D. Liczbą tetraedralą jest każda liczba aturala postaci 1 ( + 1)( + 2) 6 (patrz a przykład [N-8]). Teza wyika z twierdzeia , zastosowaego dla wielomiau f(x) = 1 x(x + 1)(x + 2). 6 Liczby trójkąte i liczby tetraedrale moża zapisać za pomocą symboli Newtoa. Liczba trójkąta 1 2 (+1) jest rówa ( +1) 2. Liczba tetraedrala 1 6(+1)(+2) jest atomiast rówa ( +2) 3. Powyższe przykłady i są szczególymi przypadkami astępującego ogóliejszego przykładu Przy ustaloym k N, zbiór wszystkich liczb aturalych postaci ( ) + k 1, k gdzie N, jest ułamkowo gęsty.
26 198Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Stosujemy twierdzeie dla wielomiau f(x) = 1 x(x + 1)(x + 2) (x + k 1). k! Wiemy już (patrz ), że jeśli a jest liczbą aturalą, to zbiór B(a) = a ; N ie jest ułamkowo gęsty. Dla daych liczb aturalych a i b rozpatrzmy zbiór B(a, b) = B(a) B(b) = a ; N b ; N. Moża udowodić (patrz ): Jeśli a 2 i b 2 są względie pierwszymi liczbami aturalymi, to zbiór B(a, b) jest ułamkowo gęsty. ([HedR]). Stąd w szczególości wyika: Zbiór 2 3 m ;, m N 0 jest ułamkowo gęsty. D. Zbiór te zwiera ułamkowo gęsty zbiór B(2, 3). Wystarczy więc wykorzystać (Ramauja). Jeżeli N(x) ozacza liczbę liczb aturalych postaci 2 3 m ie większych od x (gdzie, m N 0 ), to ([S59] ). lim N(x) l 2 (x) = lim N(x) l(2x) l(3x) = 1 2 l 2 l 3. S. R. Garcia, V. Selhorst-Joes, D. E. Poore, N. Simo, Quotiet sets ad diophatie equatios, [Mo] 118(8)(2011) Ułamkowa gęstość zbioru liczb pierwszych W tym podrozdziale przedstawimy dowód astępującego twierdzeia Adrzeja Schizla (A. Schizel 1959). Zbiór wszystkich liczb pierwszych jest ułamkowo gęsty. Iymi słowy, zbiór wszystkich liczb p/q, gdzie p i q są to liczby pierwsze, jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych dodatich. ([S59] 411, [S88] 165). Przypomijmy, że jeśli x jest dodatią liczbą rzeczywistą, to przez π(x) ozacza się liczbę liczb pierwszych ie większych od x. W dowodzie twierdzeia wykorzystuje się zae klasycze twierdzeie (prime umber theorem): ( ) π() l() lim = 1. Wspomialiśmy o tym twierdzeiu w [N-4]. Z tego twierdzeia wyikają astępujące wioski Dla dowolych dodatich liczb rzeczywistych spełiających ierówość x < y, istieje liczba aturala 0 taka, że π(x) < π(y) dla wszystkich 0. ([S59], [S88]).
27 Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 199 D. ([S59] 410, [S88] 164). Niech 0 < x < y. Z rówości ( ) otrzymujemy rówości π([x]) l([x]) π([y]) l([y]) lim = 1, lim = 1. [x] [y] [y] Mamy poadto, π(x) = π([x]), π(y) = π([y]), lim [x] = y x Stąd wyika, że ciąg (patrz ) i łatwo wykazać, że l([y]) lim l([x]) = 1. ( ) π(y) π(x) jest zbieży i jego graica jest rówa y x. Mamy zatem: π(y) lim π(x) = y x > 1. Istieje więc taka liczba aturala 0, że dla wszystkich liczb aturalych 0 zachodzi ierówość Mamy więc: π(x) < π(y) dla 0. π(y) π(x) > Niech x < y będą dodatimi liczbami rzeczywistymi. Istieje wtedy taka liczba aturala 0, że dla każdej liczby aturalej 0 istieje liczba pierwsza q spełiająca ierówości x < q < y. ([S59], [S88]). D. Niech z będzie liczbą rzeczywistą taką, że x < z < y. Istieją wtedy (a mocy ) takie liczby aturale 1 i 2, że π(x) < π(z) dla 1 oraz π(z) < π(y) dla 2. Liczbę max( 1, 2 ) ozaczmy przez 0. Dla wszystkich 0 zachodzą więc dwie ierówości a zatem istieją liczby pierwsze p, q takie, że π(x) < π(z) i π(z) < π(y), x < p z, z < q y. Przyjmujemy q = p i mamy x < q < y. Teraz możemy już udowodić twierdzeie Dowód twierdzeia ([S59] 410, [S88] 164). Niech x, y będą liczbami rzeczywistymi takimi, że 0 < x < y. Istieje wtedy (patrz ) liczba aturala 0 taka, że dla każdej liczby aturalej 0 w przedziale (x, y) zajduje się co ajmiej jeda liczba pierwsza. Poieważ liczb pierwszych jest ieskończeie wiele, istieje liczba pierwsza p, która jest większa od 0. W przedziale (px, py) zajduje się więc jakaś liczba pierwsza q. Wtedy px < q < py i mamy: x < q y. Zbiór wszystkich liczb pierwszych jest więc ułamkowo gęsty. p
28 200Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych W przedstawioym dowodzie istotą rolę odegrała rówość ( ). Zaotujmy jeszcze jede wiosek wyikający z tej rówości, o którym wspomialiśmy w [N-2] (W. Sierpiński 1951). Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c m istieje liczba pierwsza, której m początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c m. ([S59], [Trost] 51, [S88]). D. ([S59] 412). Niech a będzie m-cyfrową liczbą aturalą, której cyframi są kolejo c 1, c 2,..., c m. Niech x = a, y = a + 1. Wtedy 0 < x < y, a więc (patrz ) istieje liczba aturala 0 taka, że dla każdej liczby aturalej 0 w przedziale (x, y) zajduje się co ajmiej jeda liczba pierwsza. Niech s będzie taką liczbą aturalą, że 10 s 0. Wtedy w przedziale (x10 s, y10 s ) zajduje się jakaś liczba pierwsza p. Poieważ 10 s a < p < 10 s (a + 1), więc początkowymi cyframi liczby pierwszej p są kolejo c 1, c 2,..., c m. Stąd otrzymujemy atychmiast: Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c m istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych, których m początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c m. ([S59], [Trost] 51, [S88]). D. Hobby, D. M. Silberger, Quotiets of primes, [Mo] 100(1993) Zbiory gęste i ciągi liczb aturalych W tym podrozdziale podamy pewe przykłady gęstych podzbiorów w R + postaci a ;, m N, b m gdzie (a ) i (b ) są ieskończoymi ciągami liczb aturalych. W poprzedim podrozdziale zajmowałiśmy się zbiorami tego typu przy dodatkowym założeiu, że ciągi (a ) i (b ) są takie same. Teraz ie będziemy tego zakładać. Zaotujmy ajpierw dwa proste stwierdzeia Niech (a ) i (b ) będą ciągami dodatich liczb rzeczywistych i iech a b A = ;, m N, B = ;, m N. b m a m Jeśli zbiór A jest gęsty w R +, to zbiór B rówież jest gęsty w R +. D. Załóżmy, że A jest gęste w R + i iech x, y będą liczbami rzeczywistymi takimi, że 0 < x < y. Mamy wtedy ierówość 1 y < 1 x. Istieje więc liczba u = a, ależąca do A taka, że 1 b m y < u < 1. Stąd mamy: x x < 1 u < y i 1 u = b m a B.
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 04. Liczby Pierwsze Rozdział 1 1. Cyfry liczb pierwszych Adrzej Nowicki 19 marca 2012, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis treści 1 Cyfry liczb pierwszych 5 1.1 Początkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze o szczególnym. rozmieszczeniu cyfr:
Liczby pierwsze o szczególym rozmieszczeiu cyfr Adrzej Nowicki Wydział Matematyki i Iformatyki, Uiwersytetu M. Koperika w Toruiu. (aow @ mat.ui.toru.pl) 30 paździerika 1999 M. Szurek w książce [4] podaje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013
Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoI Wielkopolska Liga Matematyczna
Wielkopolska Liga Matematycza Z A D A N I A I Wielkopolska Liga Matematycza A1. Ciąg (a) liczb całkowitych dodatich spełia dla każdego całkowitego dodatiego waruki Wykazać, że ciąg te jest ściśle rosący.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część. Silie i Symbole Newtoa Rozdział 8 8. Trójkąt Pascala modulo m Adrzej Nowicki 2 maja 202 http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis treści 8 Trójkąt Pascala modulo m 2 8. Trójkąt
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoI Wielkopolska Liga Matematyczna. a n + b n = c m
Wielkopolska Liga Matematycza Z A D A N I A I Wielkopolska Liga Matematycza A1. Ciąg (a) liczb całkowitych dodatich spełia dla każdego całkowitego dodatiego waruki Wykazać, że ciąg te jest ściśle rosący.
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoArytmetyka pierścienia liczb całkowitych (w tym podzielność)
Arytmetyka pierścieia liczb całkowitych (w tym podzielość). Pojęcie pierścieia. Defiicja. Zbiór A z dwoma operacjami wewętrzymi o symbolach + i azywa się pierścieiem, jeżeli spełioe są waruki: ) A z operacją
Bardziej szczegółowo