Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013

Transkrypt

1 Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych a X z orm a fukcjoa low a). Defiicja 1. Powiemy, że ci ag (x ) 1 elemetów X zbiega s labo do elemetu x X, jeśli dla każdego fukcjoa lu f X zachodzi zbieżość f(x ) f(x). Podobie, powiemy, że ci ag fukcjoa lów (f ) (czyli elemetów X ) zbiega *-s labo do fukcjoa lu f X jeśli dla dowolego x X zachodzi zbieżość f (x) f(x). Twierdzeie 1. Jeśli x x w ormie X, to x x s labo. Jeśli f f w ormie X, to f f s labo (to zaczy po a lożeiu dowolego fukcjoa lu F X ). Jeśli f f s labo, to f f *-s labo. Dowód: Pierwszy fakt wyika wporst z ci ag lości każdego f X wzglȩdem ormy w X. Drugi fakt jest zastosowaiem pierwszego do przestrzei X. Trzeci fakt wyika z tego, że przy ustaloym x przyporz adkowaie f f(x) jest fukcjoa lem ograiczoym a X (a wiȩc elemetem X ). Twierdzeie 2. Graica s laba ci agu (x ) 1 elemetów X, o ile istieje, to jest jedya. Podobie graica *-s laba ci agu (f ) 1 elemetów X, o ile istieje, to jest jedya. Dowód a ćwiczeiach. Uwaga. Jeśli X jest przestrzei a refleksyw a (tz. X X ), to w X moża rozważać zarówo zbieżość s lab a jak i *-s lab a (taktuj ac X jako sprzȩżo a do X ). Wtedy zbieżości te s a tożsame, gdzyż w obu przypadkach w defiicji zbieżości ci agu (x ) odwo lujemy siȩ do ci agów liczbowych f(x ), gdzie f X. Twierdzeie 3. Ci ag elemetów X zbieży s labo jest ograiczoy w ormie. Podobie, ci ag fukcjoa lów zbieży *-s labo jest oraiczoy w ormie fukcjoa lowej. Dowód: Niech ci ag (x ) zbiega s labo (do jakiegoś x X, który jedak ie odegra żadej roli w dowodzie). Za lóżmy, że ci ag x jest ieograiczoy. Wtedy, przechodz ac do podci agu możemy za lożyć, że x 4. Napiszmy x = C 4, gdzie C 1. Niech f ozacza fukcjoa l uormoway wyci agaj acy ormȩ x (tz. taki, że f = 1 oraz f (x ) = x = C 4 ; istieie takiego fukcjoa lu

2 wyika z Twierdzeia Haha Baacha). Zauważmy, że dla dowolego ci agu sk ladaj acego siȩ z zer i jedyek, szereg =1 f 4 jest bezwzglȩdie zbieży, zatem z zupe lości X zbieży do jakiegoś fukcjoa lu f X. Dobierzemy teraz idukcyjie ci ag, tak aby uzyskać sprzeczość. Najpierw k ladziemy 1 = 1. Za lóżmy, że dla pewego już ustaliliśmy wartości 1,..., 1. Patrzymy a modu l 1 f k (x ). Jeśli to jest wiȩksze b adź rówe C 2 to k ladziemy = 0. W przypadku przeciwym k ladziemy = 1. Zauważmy, że w pierwszym przypadku mamy oczywiście f k (x ) C W drugim zaś piszemy f k (x ) f (x ) 1 4 f k (x ) C C 2 = C i wysz la taka sama ierówość jak w przypadku pierwszym. W te sposób zdefiiowaliśmy liczby, tak że po pierwsze f = =1 f 4 jest fukcjoa lem ci ag lym, a po drugie, dla każdego zachodzi f k (x ) C Dalej zauważmy, że poieważ wszystkie fukcjoa ly f k maj a ormȩ 1, to mamy f k (x ) x 1 = x = x = C 3. k=+1 k=+1 Zatem f k (x ) f(x ) = f k (x ) k=+1 k=+1 f k (x ) C 2 C 3 = C 6 6. Poieważ uzyskaliśmy ci ag ieograiczoy, wiȩc ci ag f(x ) ie może zbiegać do f(x) (co jest liczb a skończo a). Ta sprzeczość dowodzi, że ci ag x a pocz atku dowodu musi być ograiczoy.

3 Dowód dla ci agu fukcjoa lów zbieżego *-s labo jest symetryczy (to zaczy zamieiamy rolami pukty i fukcjoa ly). Jedya różica, to taka, że ie musi istieć elemet x o ormie 1,,wyci agaj acy ormȩ fukcjoa lu f (to zaczy elemetu, a którym fukcjoa l te osi aga ormȩ). Ale istieje elemet x, a którym f,,prawie osi aga ormȩ, a przyk lad taki, że f (x ) = 0,9 f = 0,9 C 4. Na kończu wyjdzie pukt x, taki że f (x) 0,9 C 6 0,9 6. To też jest ci ag ieograiczoy. Reszta dowodu bez istotych zmia. Twierdzeie 4. 1) Niech {f l : l 1} bȩdzie zbiorem liiowo gȩstym w X. Ci ag (x ) elemetów przestrzei X zbiega s labo do x X wtedy i tylko wtedy, gdy jest o ograiczoy w ormie oraz f l (x ) f l (x) dla każdego l 1. 2) Niech {x l : l 1} bȩdzie zbiorem liiowo gȩstym w X. Ci ag f fukcjoa lów ci ag lych a X zbiega *-s labo (do pewego f X ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest o ograiczoy (w ormie fukcjoa lowej) oraz dla każdego l 1 ci ag liczbowy (f (x l )) 1 jestzbieży. (Uwaga,wtymsformu lowaiuiewskazujemygraiczego fukcjoa lu f. W dowodzie trzeba go bȩdzie dopiero,,stworzyć ). s labo Dowód: Jeśli x x, to już wiemy, że ci ag (x ) jest ograiczoy i zachodzi zbieżośćf(x ) f(x)dladowolegofukcjoa luf, wszczególościdlaf l (l 1). Podoby argumet za latwia jed a implikacjȩ dla ci agu *-s labej zbieżości fukcjoa lów. W drug a stroȩ (dla zbieżości s labej jak w pukcie 1)). Ustalmy dowoly f X i ǫ > 0. Istieje kombiacja liiowa f ǫ = k l=1 a lf l bliska f o ǫ M w ormie fukcjoa lowej, gdzie M jest wspólym ograiczeiem orm wszystkich elemetów x i x. Wtedy, dla każdego mamy f(x ) f ǫ (x ) ǫ oraz f(x) f ǫ (x) ǫ. Poadto mamy zbieżość f ǫ (x ) f ǫ (x), zatem dla dostateczie dużego, f ǫ (x ) f ǫ (x) < ǫ. Z waruku trójk ata, mamy wiȩc (dla dostateczie dużego ), f(x ) f(x) < 3ǫ, co dowodzi zbieżości f(x ) do f(x), czyli s labej zbieżości x do x. Dowiedziemy teraz drugiej implikacji w pukcie 2). Po pierwsze pokażemy, że dla dowolego x X ci ag liczbowy (f (x)) 1 jest zbieży. Do tego wystarczy jego podstawowość. Ustalmy ǫ > 0. Przybliżamy x kombiacj a liiow a x ǫ = k l=1 c lx l z dok ladości a do ǫ M, gdzie M jest ograiczeiem a ormy fukcjoa lów f. Poieważ dla każdego l ci ag f (x l ) jest podstawowy, przeto istieje,,wspóle (dla l = 1,...,k) progowe 0, że dla dowolych m, 0 zachodzi f (x l ) f m (x l ) < ǫ kc l (l = 1,...,k). Wtedy f (x ǫ ) f m (x ǫ ) < ǫ. Ostateczie, dla takich m, mamy f (x) f m (x) f (x) f (x ǫ ) + f (x ǫ ) f m (x ǫ ) + f m (x ǫ ) f m (x) 3ǫ, co kończy dowód podstawowości. Możemy teraz zdefiiować fukcjȩ f (za chwilȩ pokażemy, że jest to fukcjoa l ograiczoy) a ca lej przestrzei X jako graicȩ puktow a f(x) = lim f (x).

4 Liiowść f jest oczywista, gdyż każdy f jest liiowy, co zostaje zachowae przy przejściu do graicy. Ograiczoość f jest rówież oczywista, gdyż dla x o ormie ie przekraczaj acej 1 wszytskie liczby f (x) ie przekraczaj a co do modu lu M, zatem i f(x) ie przekracza M, iymi s lowy f jest fukcjoa lem ograiczoym o ormie co ajwyżej M. W te sposób pokazaliśmy, że f X i ci ag (f ) 1 zbiega *-s labo do f. Uwaga: W dowodzie tej trudiejszej implikacji za lożeie ograiczoości jest istote. Za chwilȩ podamy a to przyk lad. Przyk lad. Niech H bȩdzie ośrodkow a przestrzei a Hilberta. Jako że jest to przestrzeń refleksywa, zbieżości s laba i *-s laba s a tożsame. Niech {e k : k 1} ozaczabazȩortoormal awh. Oczywiścieodpowiadaj aceimfukcjoa lyf k (x) = x,e k staowi a bazȩ ortoormal a (a wiȩc zbiór liiowo gȩsty) w H, zatem zgodie z Twierdzeiem 4, zbieżość s laba ci agu (x ) do x jest rówoważa z koiugcj a dwóch waruków: ograiczoości w ormie, oraz tego, by dla każdego k zachodzi la zbieżość x,e k x,e k. Te ostati waruek, to ic iego, jak wymóg, aby k-ty wspó lczyik Fouriera elemetu x zbiega l po do k-tego wspó lczyika Fouriera elemetu x (czyli aby ci agi wspó lczyików Fouriera elemetów x zbiega ly po wspó lrzȩdych do ci agu wspó lczyików Fouriera elemetu x). Teraz pokażemy, że jest to zbieżość istotie s labsza od zbieżości ormowej. Miaowicie sama baza traktowaa jako ci ag (e ) 1 oczywiście ie jest zbieża w ormie (a już a pewo ie do zera s a to elemety o ormie 1). Z drugiej stroy jest to ci ag ograiczoy w ormie i dla każdego k k te wspó lczyiki Fouriera elemetów e d aż a po do zera (s a oe zerami dla > k), a wiȩc do k-tego wspó lczyika Fouriera elemetu zerowego przestrzei H. Zatem ci ag (e ) d aży s labo do zera. Przy okazji, jeśli teraz weźmiemy ci ag x = e, to tu rówież dla każdego k k te wspó lczyiki Fouriera elemetów x d aż a po do zera (s a zerami dla > k). Jedak ci ag (x ) ie jest ograiczoy w ormie, a wiȩc ie może być zbieży s labo! Fukcjoa lu przecz acego zbieżości s labej trzeba jedak szukać poza baz a (czyli poza zbiorem fukcjoa lów,e k ), zgodie z przepisem z dowodu Twierdzeia 3. Twierdzeie 5 (Baach Alaoglu). Niech X bȩdzie ośrodkow a przestrzei a Baacha. Wtedy kula jedostkowa w przestrzei X jest *-s labo zwarta. Dowód: Niech (f )bȩdziedowolym ci agiem fukcjoa lów oormieieprzekraczaj acej 1 a X. Naszym celem jest wybór podci agu zbieżego *-s labo. Poieważ ci ag (f ) jest ograiczoy, wiȩc a mocy Twierdzeia 4, do *-s labej zbieżości podci agu wystarczy jego zbieżość a zbiorze liiowo gȩstym w X. Poieważ X jest ośrodkowa, istiejegȩsty(tymbardziejliiowogȩsty)zbiórprzeliczaly{x l : l 1}. Kostrukja podci agu zbieżego fukcjoa lów bȩdzie przebiegać zgodie ze stadardow a procedur a przek atiow a: Patrzymy a ci ag (f (x 1 )) 1. Jest to ci ag liczbowy ograiczoy (modu ly ie przekraczaj a x 1 ), wiȩc istieje podci ag zbieży (f k (x 1 )) k 1. A wiȩc,,pierwszy podci ag fukcjoa lów (f k ) k 1 jest zbieży w pukcie x 1. Fukcjoa l f 1,,odk ladamy a bok to bȩdzie pierwszy elemet aszego ostateczego przek atiowego podci agu zbieżego *-s labo. Teraz patrzymy a ci ag liczbowy (f k (x 2 )) k Zów istieje jego podci ag zbieży (f kj (x 2 )) j 1. A wiȩc,,drugi podci ag fukcjoa lów (f kj ) j 1 jest zbieży w pukcie x Jest o

5 rówieżzbieżywpukciex 1, gdyżjesttopodci ag,,pierwszegopodci agu (f k ) k 1. Fukcjoa l f k1,,odk ladamy a bok jako drugi elemet aszego przek atiowego podci agu i patrzymy a ci ag liczbowy (f kj (x 3 )) j I tak dalej, idukcyjie. W te sposób dla każdego l wybierzemy,,l-ty podci ag fukcjoa lów zbieży we wszystkich puktach x 1,x 2,...,x l oraz,,od lożoy zostaie podci ag przek atiowy fukcjoa lów f 1,f k1,f kj1,... Ma o astȩpuj ace w lasości: Po pierwsze, ideksy tworz a ci ag ros acy, a wiȩc jest to rzeczywiście podci ag ci agu (f ). Od teraz ozaczać go bȩdziemy jako (f s ) s 1. Po drugie, dla dowolej liczby aturalej l, od miejsca s = l asz podci ag (f s ) jest zawarty w l-tym podci agu zbieżym w puktach x 1,x 2,...,x l. W efekcie asz podci ag przek atiowy jest zbieży w każdym pukcie x l (l 1). To, a mocy Twierdzeia 4 (pukt 2)) wystarcza do jego *-s labej zbieżości do pewego fukcjoa lu ograiczoego. Tomasz Dowarowicz