Podróże po Imperium Liczb

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 04. Liczby Pierwsze Rozdział 1 1. Cyfry liczb pierwszych Adrzej Nowicki 19 marca 2012, Spis treści 1 Cyfry liczb pierwszych Początkowe liczby pierwsze Liczby pierwsze postaci aa...ab Liczby pierwsze postaci abb...b Liczby pierwsze postaci abb...bc Liczby pierwsze postaci baa...ab Palidromicze liczby pierwsze Absolute liczby pierwsze Cyfry potęg liczb pierwszych Liczby pierwsze utworzoe z kolejych liczb aturalych Liczby pierwsze utworzoe z kolejych liczb ieparzystych Jedolite liczby pierwsze Początkowe i koṅcowe cyfry liczb pierwszych Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb apisao w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewe wybrae rozdziały moża zaleźć a iteretowej stroie autora:

2

3 1 Cyfry liczb pierwszych 1.1 Początkowe liczby pierwsze L. Caers, O tables of factors ad primes, [Mo] 63(7)(1956) Tablica liczb pierwszych do , [Dlt] 12/88, okładka. 5

4 6 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Tablica wszystkich liczb pierwszych miejszych od zajduje się a iteretowej stroie autora Mówi się (patrz [Yat4], [Yat5]), że liczba pierwsza jest tytaicza (ag. titaic prime) jeśli w zapisie dziesiętym ma co ajmiej tysiąc cyfr. Mówi się rówież liczba pierwsza jest gigatycza (ag. gigatic prime) jeśli w zapisie dziesiętym ma co ajmiej 10 tysięcy cyfr ([Yat2b], [Ca06], [Ca07], [Ca08]). Pewe fakty przedstawioe w tym rozdziale, pochodzą z artykułu autora [No-0]. 1.2 Liczby pierwsze postaci aa...ab Liczby 2221, , , mające odpowiedio 3, 17, 99 dwójek, są jedyymi liczbami pierwszymi, których wszystkie cyfry, oprócz ostatiej, są dwójkami, do 100 dwójek włączie, a ostatią cyfrą jest jedyka. (Maple) Liczby 31, 331, 3331, 33331, , , są pierwsze. Następa liczba już ie jest pierwsza, dzieli się przez 17. ([Ca06]) Wszystkimi liczbami pierwszymi postaci a = 33 {{ , dla 100, są liczby a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 17, a 39, a 49, a 59, a 77, a 100. (Maple) Liczby 41, 441, 44 {{ , 44 {{ , 44 {{ , 44 {{ są pierwsze. Są to wszystkie 10 liczby pierwsze tego rodzaju do 100 czwórek włączie. (Maple) Następująca tabelka przedstawia wszystkie liczby pierwsze postaci aa {{... a 1, gdzie a = 2, 3,..., 9, 100. a 2 3, 17, , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 39, 49, 59, 77, , 2, 10, 27, 54, , , 2, 3, 9, 17, 20, 21, 27, 42, , 12, 19, 22, 30, , 18, , 4, 6, 32, 44 Z tabelki tej odczytujemy, dla przykładu, że liczby 991, 99991, , 99 {{ , 99 {{ , są pierwsze. Są to jedye liczby pierwsze tego rodzaju do 60 dziewiątek włączie. (Maple) Tabelki dla liczb postaci xx {{... x 3, yy... y 7, zz {{... z 9, 101. (Maple) x 1 1, 2, 4, 8, 10, 23, , 2, 7, 10, 35, 94, , 2, 5, 8, 11, 29, , 7, 25, 65, , 2, 4, 8, 11, 14, , 2, 4, 7, 8, 14, 50, 70, 76 9 y 1 1, 3, 4, 7, 22, 28, , 8, 14, 27, , 2, 5, , 3, 9, 19, , 3, 5, 9, 14, 21, , 5, 7, 8, 10, 19, 22, 40, 62, , 3, 5, 8, 11, , 2, 16 z 1 1, 4, 5, 7, 16, , 2, 4, , 4, 5, , 7, 11, 17, 25, , 65, 85,, , 13, 16, 34 9

5 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych 7 Widzimy, w szczególości, że liczby 13, 113, 11113, 11 {{ , 11 {{ , 11 {{ , 11 {{ , są pierwsze. Są to jedye liczby pierwsze tego rodzaju do 101 jedyek włączie. Z tabelek tych odczytujemy podobą iformację o liczbach: 67, , 66 {{ , 66 {{ , 66 {{ , 66 {{ , 66 {{ , 66 {{ , 66 {{ , 66 {{ Liczby pierwsze postaci abb...b Liczby 211, , , , mające odpowiedio 2, 5, 10, 11 jedyek, są liczbami pierwszymi. (Maple) Następujące tabelki przedstawiają wszystkie liczby pierwsze postaci t 11 {{... 1, x 33 {{... 3, y 77 {{... 7, z 99 {{... 9, dla 100. t 1 1, 18, , 3, 12, 18, 23, , 5, 10, 11, 13, 34, 47, 52, 77, , 13, 25, , 12, 15, , 7, 25, , , 3, , 5, 20, 41, 47, 92 x 1 15, 41, 83, , 3, 4, 10, 16, 22, 53, 91, , 16, 31, 37, 55, , 13, 25, , 3, 5, 53, , 23, 29 9 y 1 3, 9, 13, 42, 51, 54, , 3, 9, 15, 18, 36, , , 13, 25, , 8, 14, 17, 18, 33, , 4, 10, 13, , 9, 15, 32, 38, , 4, 19, 28, 73 z 1 2, 3, 5, 7, 26, 27, , 6, 7, 19, 27, 43, , 3, 4, 6, 14, , 4, 5, 7, 10, 13, 22, 23, 28, 34, 40, 61, , 5, 8, 10, 25, 49, , 7, 19, 29, 37, Liczby pierwsze postaci abb...bc Liczby 3001, , , , mające odpowiedio 2, 6, 9, 27 zer, są liczbami pierwszymi. (Maple) Następujące tabelki przedstawiają wszystkie liczby pierwsze postaci a 00 {{... 0 b, dla 100.

6 8 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych (a, b) (1, 1) 0, 1 (2, 1) (3, 1) 2, 6, 9, 27, 35, 66, 80 (4, 1) 1, 2, 12 (5, 1) (6, 1) 1, 7, 8, 14, 19, 25, 37, 44, 64 (7, 1) 1, 2, 3, 4, 7, 8, 44 (8, 1) (9, 1) 2, 3, 4, 8, 21, 26, 35, 56, 61, 77 x (1, 3) 1, 4, 5, 10, 16, 17, 38, 55, 100 (2, 3) 2, 4, 5, 6, 11, 15, 16, 21, 23, 34 (3, 3) (4, 3) 2, 6, 9, 39 (5, 3) 2, 4, 5, 6, 11, 15, 16, 21, 23, 34 (6, 3) (7, 3) 3, 5, 15, 21, 38 (8, 3) 30 (9, 3) z (1, 9) 1, 2, 3, 8, 17, 21, 44, 48, 55, 68 (2, 9) 4, 24 (3, 9) (4, 9) 1, 3, 4, 7, 8, 27 (5, 9) 1, 2, 4, 7, 19, 28, 85 (6, 9) (7, 9) 1, 3, 5, 10, 11, 12, 34, 45, 56 (8, 9) 1, 2, 5, 11, 19, 20, 36, 41, 59, 97, 99 (9, 9) y (1, 7) 1, 3, 7, 8, 23, 59 (2, 7) (3, 7) 1, 4, 7, 23, 28, 83 (4, 7) 1, 8, 38 (5, 7) (6, 7) 1, 2, 7, 8, 18, 57 (7, 7) (8, 7) (9, 7) 1, 2, 3, 4, 14, 18, 19, 45, 51, Pewe liczby pierwsze postaci abb... bc , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (Maple)

7 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Liczby pierwsze postaci baa...ab Nie istieje żada liczba pierwsza postaci Każda bowiem taka liczba jest podziela przez Liczby 131, 13331, , , mające odpowiedio 1, 3, 5, 93 trójek, są jedyymi liczbami pierwszymi, których wszystkie cyfry, oprócz pierwszej i ostatiej, są trójkami, do 100 trójek włączie, a pierwszą i ostatią cyfrą jest jedyka. (Maple) Następujące tabelki przedstawiają wszystkie liczby pierwsze postaci 1 tt {{... t 1, 3 xx {{... x 3, 7 yy... y 7, 9 zz {{... z 9, dla 100. t 1 0, 17, , 3, 5, , , 3, 19, , 11, 15, 17, 35, 51, 71, , , 7, 13, 39, , 3, 7, 39, 85 x 1 1, 11, 13, , , , , 13, 53, 67, 83, , 11, 29, 59 9 y 1 2 1, 3, 7, 27, , , 3, 9, 19, 21, 57, 73, , 5, 53, , 3, , 3, 27 z , 5, , 71, Nie ma liczb pierwszych postaci i ie ma liczb pierwszych postaci D. Każda liczba takiej postaci jest podziela przez 11. W rozdziale o liczbach żłożoych (patrz i 4.2.2) udowodimy: Nie ma liczb pierwszych postaci oraz Niech d = 7 11.{{ Nie zam odpowiedzi a astępujące pytaie Czy istieją liczby pierwsze postaci d? Łatwo sprawdzić, że jeśli jest parzyste, to liczba d jest podziela przez 11. Jeśli 1 (mod 3), to 3 d. Jeśli 5 (mod 6), to 13 d. Kłopoty są w przypadku gdy jest ieparzystą liczbą podzielą przez 3. Przykłady: d 9 = , d 33 = Sprawdzoo, za pomocą Maple, że d ie jest liczbą pierwszą gdy 134. Tablica liczb pierwszych zbudowaych z dwóch cyfr zajduje się a iteretowej stroie autora

8 10 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych 1.6 Palidromicze liczby pierwsze Mówimy, że daa liczba aturala jest palidromicza (patrz [Ri97], [Rabc], [N-2]) jeśli pokrywa się z liczbą mającą cyfry liczby zapisae w odwrotym kieruku. Przykłady: 676, , W poprzedim rozdziale zajmowaliśmy się palidromiczymi liczbami pierwszymi postaci baa... aab. Teraz podamy ie przykłady palidromiczych liczb pierwszych. Do powstaia tych przykładów przyczyiły się komputery i Maple Każda liczba palidromicza o parzystej liczbie cyfr jest podziela przez 11. Palidromicze liczby pierwsze (oprócz 11) mają więc ieparzystą liczbę cyfr Wszystkie trzycyfrowe palidromicze liczby pierwsze (jest ich 15) : 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, Wszystkie pięciocyfrowe palidromicze liczby pierwsze (jest ich 93) : 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 191, 19991, 30103, 30203, 30403, 30703, 30803, 31013, 31513, 32323, 32423, 33533, 34543, 34843, 35053, 35153, 35353, 35753, 36263, 36563, 37273, 37573, 38083, 38183, 38783, 39293, 70207, 70507, 70607, 71317, 71917, 72227, 72727, 73037, 73237, 73637, 74047, 74747, 75557, 76367, 76667, 77377, 77477, 77977, 78487, 78787, 78887, 79397, 79697, 79997, 90709, 91019, 93139, 93239, 93739, 94049, 94349, 94649, 94849, 94949, 95959, 96269, 96469, 96769, 97379, 97579, 97879, 983, Przykłady czterech palidromiczych liczb pierwszych tworzących ciąg arytmetyczy: ([MM] 29(2)(1955) s.110) , 13331, 16361, 19391; 13931, 14741, 15551, 16361; 70607, 73637, 76667, 79697; 94049, 94349, 94649, Palidromicze liczby i są pierwsze Palidromicze liczby pierwsze: , , , , , , , , , Przykłady palidromiczych liczb pierwszych:

9 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Następe przykłady palidromiczych liczb pierwszych: Koleje przykłady palidromiczych liczb pierwszych: Wszystkie palidromicze liczby pierwsze, odpowiedio 7, 9 i 11-to cyfrowe, zbudowae tylko z cyfr 1 i Nie ma tego rodzaju liczb pierwszych 13-to cyfrowych. Jest atomiast 10 takich liczb 15-to cyfrowych i tyleż samo 17-to cyfrowych. Oto oe: Każda liczba ciągu 121, 11211, ,... jest złożoa. ([PaT2]).

10 12 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Palidromicze liczby pierwsze zbudowae z zer i jedyek Wśród liczb postaci tylko 101 jest liczbą pierwszą. ([Put] 1990). D. 101 jest oczywiście liczbą pierwszą. Jeśli jest ieparzyste, to liczba postaci jest podziela przez 101. Jeśli atomiast jest parzyste, to liczba taka jest podziela przez Każda liczba postaci 10001, , ,... jest złożoa. ([Mat] 1/51 42, 59). U = , = , = Każda liczba postaci , , ,... jest złożoa. ([Mat] 1/54 57, [Mat] 1/51 44) Przykłady palidromiczych liczb pierwszych zbudowaych z dwóch cyfr: , , , 131, , , 151, , , , , , , 181, 18181, , 191, , 19991, H. Gabai, D. Cooga, O palidromes ad palidromic primes, [MM] 42(5)(1969) Tablica palidromiczych liczb pierwszych (do 9-cyfrowych włączie) zajduje się a iteretowej stroie autora

11 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Absolute liczby pierwsze Mówimy, że liczba pierwsza jest absoluta jeśli pozostaje pierwsza przy każdej permutacji cyfr ([Sli]). Agielskie azwy: absolute primes lub permutable primes. Absolutymi liczbami pierwszymi są liczby pierwsze postaci e = ( jedyek). Zamy 5 takich liczb: e 2, e 19, e 23, e 317 i e Absolutymi liczbami pierwszymi są oczywiście wszystkie liczby pierwsze jedocyfrowe: 3, 5, Wszystkie absolute liczby pierwsze dwucyfrowe: 13, 31, 17, 71, 37, 73, 79, Wszystkie absolute liczby pierwsze trzycyfrowe: 113, 131, 311, 337, 373, 733, 199, 919, Jeśli p jest absolutą liczbą pierwszą większą od 10, to wszystkie cyfry liczby p ależą do zbioru {1, 3, 7, 9. D. Nie może pojawić się żada z cyfr 2, 4, 6, 8, 0, gdyż po przestawieiu takiej cyfry a koiec, otrzymujemy liczbę parzystą. Nie może też być żadej piątki. Po przestawieiu piątki a koiec otrzymujemy liczbę podzielą przez Nie ma takiej absolutej liczby pierwszej, w której zapisie dziesiętym występują cztery róże cyfry. ([MM] 47(4)(1974) 233, [OM] ZSRR 1984, [Sli]). D. Mogą być tylko cyfry 1, 3, 7, 9. Przypuśćmy, że te wszystkie cyfry występują. Przeieśmy je a koiec. Mamy wówczas liczbę pierwszą postaci a , gdzie a = 0 lub a > Wówczas każda z liczb a , a , a , a , a , a , a jest pierwsza. Mamy 7 liczb. Ich reszty z dzieleia przez 7 są róże (co łatwo sprawdzić). Jeda z ich musi się więc dzielić przez 7; sprzeczość Nie ma takiej absolutej liczby pierwszej, w której zapisie dziesiętym występują trzy róże cyfry. ([MM] 50(2)(1977) ). D. ([MM] 50(2)(1977))(Szkic). Przypuśćmy, że istieje taka absoluta liczba pierwsza p, w której występują trzy parami róże cyfry. Musi oa wtedy mieć co ajmiej cztery cyfry (bo zamy wszystkie trzycyfrowe absolute liczby pierwsze) i wszystkie jej cyfry ależą do zbioru {1, 3, 7, 9. Aalizujemy wszystkie przypadki. Przypadek {1, 3, 7. Załóżmy, że w liczbie p występują cyfry 1, 3, 7. Wtedy ie występuje cyfra 9 (a mocy 1.7.4). Musi więc występować jeszcze raz co ajmiej jeda z cyfr 1, 3, 7. Załóżmy, że jest to cyfra 1. Przeosimy rozważae cyfry a koiec. Czterocyfrowe liczby 3171, 1317, 1731, 1137, 1173, 1713, 1371 mają reszty z dzieleia przez 7 odpowiedio rówe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Po odpowiediej permutacji cyfr liczby p otrzymamy więc zawsze liczbę podzielą przez 7. To jest sprzecze z tym, że p jest absolutą liczbą pierwszą. Załóżmy, że oprócz cyfr 1, 3, 7 występuje drugi raz cyfra 3. W podoby sposób podzielość przez 7 prowadzi do sprzeczości. Załóżmy, że oprócz cyfr 1, 3, 7 występuje drugi raz cyfra 7. Tutaj rówież podzielość przez 7 prowadzi do sprzeczości. Przypadek {1, 3, 7 ie jest więc możliwy. W te sam sposób sprawdzamy przypadki {1, 3, 9, {1, 7, 9 oraz {3, 7, 9. Zawsze podzielość przez 7 doprowadzi as do sprzeczości.

12 14 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Nie istieje żada 4-cyfrowa absoluta liczba pierwsza. D. Przypuśćmy, że p jest czterocyfrową absolutą liczbą pierwszą. Poieważ liczba 1111 jest podziela przez 11, więc - a mocy w liczbie p występują dokładie dwie róże cyfry a i b, ależące oczywiście do zbioru {1, 3, 7, 9. Jeśli każda z tych cyfr występuje dokładie dwa razy, to mamy sprzeczość, gdyż liczba postaci aabb jest podziela przez 11. Zatem jeda z tych cyfr, powiedzmy cyfra b, występuje dokładie jede raz. Poieważ żada z liczb 1333, 7771, 9991 ie jest liczbą pierwszą, więc b 1. Poieważ żada z liczb 1113, 7773, 9993 ie jest liczbą pierwszą, więc b 3. Aalogiczie b 7, gdyż liczby 7111, 3337, 9997 są złożoe. Pozostaje jedyie przypadek b = 9, który też jest iemożliwy, gdyż wszystkie liczby 1119, 3339, 7779 są podziele przez Jeśli absoluta liczba pierwsza jest zbudowaa z dokładie dwóch różych cyfr (oczywiście ależących do zbioru {1, 3, 7, 9), to jeda z tych cyfr występuje dokładie jede raz. ([MM] 50(2)(1977) 102). D. ([MM] 50(2)(1977)).(Szkic). Z powyższych faktów wyika, że możemy założyć iż rozpatrywaa absoluta liczba pierwsza ma co ajmiej 5 cyfr. Przypuśćmy, że jest oa zbudowaa z cyfr a i b, gdzie a b i każda z tych dwóch cyfr występuje co ajmiej dwa razy. Rozpatrujemy wszystkie możliwe przypadki. Rozpatrzmy przykładowo przypadek (a, b) = (1, 3). W tym przypadku piąta istiejąca cyfra musi (a mocy 1.7.5) być rówa 1 lub 3. Załóżmy, że jest rówa 1. Permutując cyfry liczby moża otrzymać wszystkie reszty z podzielości przez 7. Dokładiej, reszty z dzieleia przez 7 liczb 31311, 11313, 13113, 11133, 13311, 11331, są odpowiedio rówe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Istieje więc taka permutacja cyfr rozpatrywaej liczby, że otrzymamy liczbę podzielą przez 7. Zatem rozpatrywaa liczba ie jest absolutą liczbą pierwszą. Podobie postępujemy w przypadku, gdy piąta istiejąca cyfra jest rówa 3. Tak samo postępujemy w przypadku (a, b) = (1, 7) i we wszystkich pozostałych przypadkach. Zawsze podzielość przez 7 prowadzi do sprzeczości Każda wielocyfrowa absoluta liczba pierwsza jest postaci e lub postaci B (a, b) = aa {{... a b, 1 gdzie a, b są różymi cyframi ze zbioru {1, 3, 7, 9. (Wyika z 1.7.7, [Sli]) Niech B (a, b) będzie takie, jak w Jeśli dla > 3 liczba B (a, b) jest absolutą liczbą pierwszą, to (a, b) (9, 7), (9, 1), (1, 7), (7, 1), (3, 9), (9, 3). ([Sli]) Jeśli p jest absolutą liczbą pierwszą -cyfrową, różą od e, to jest podziele przez ([Sli]). Oprócz pewych liczb postaci e, ie są zae żade absolute liczby pierwsze posiadające co ajmiej 4 cyfry Liczby pierwsze, które są liczbami pierwszymi przy każdym cykliczym przestawieiu cyfr: dwucyfrowe : 13, 37, 17, 79; trzycyf rowe : 113, 197, 199, 337; czterocyf rowe : 1193, 3779; pięciocyfrowe : 11939, 19937; sześciocyfrowe : , Nie ma 7-mio i 8-mio cyfrowych takich liczb. (K. Brow, Reflective ad cyclic sets of primes).

13 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych 15 T. N. Bhargava, P. H. Doyle, [MM] 47(4)(1974) 233. J. L. Boal, J. H. Bevis, Permutable primes, [MM] 55(1)(1982) A. Lada, Liczby aturale o szczególym rozmieszczeiu cyfr, [Pmgr] D. Mavlo, Absolute prime umbers, [MG] 79(485)(1995) Cyfry potęg liczb pierwszych Największą liczbą pierwszą p taką, że p 2 ie ma podwójych cyfr jet p = Wtedy p 2 = ([Mo] 47(4)(1940) E385) Niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Wiadomo, że liczba p jest 20-cyfrowa. Wykazać, że co ajmiej trzy cyfry są jedakowe. ([WyKM] 809). D. Gdyby tak ie było, to każda z cyfr 0, 1,..., 9 występowałaby dokładie dwa razy. Suma cyfr podziela byłaby przez 3, a więc liczba p byłaby podziela przez Liczby pierwsze utworzoe z kolejych liczb aturalych Wszystkie liczby aturale wypisao kolejo bez odstępów i otrzymao ieskończoy ciąg cyfr Niech a ozacza -cyfrową liczbę aturalą otrzymaą z początkowych cyfr tego ciągu. Przykłady: a 1 = 1, a 2 = 12, a 3 = 123,..., a 9 = , a 10 = , a 20 = Liczbami pierwszymi postaci a (dla 500) są: a 10 = , a 14 = , a 24 = , a 235 = (Maple) Wykazać, że istieje N takie, że 2003 a. ([Kw] 5/2003 s.25, patrz 1.9.4). O. (Maple). Najmiejszym takim jest 440. Liczba a 440 = jest podziela przez Liczby a 1437 = i a 1607 = rówież są podziele przez Są to jedye tego typu liczby dla Dla dowolych ieujemych liczb całkowitych a i b istieje liczba aturala taka, że liczba a jest podziela przez 2 a 5 b. D. Niech m = max(a, b). W ciągu (a ) występują oczywiście liczby zakończoe m zerami. Te liczby spełiają tezę Niech m będzie liczbą aturalą względie pierwszą z 10. Istieje wtedy ieskończeie wiele liczb aturalych takich, że m a.

14 16 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych D. Niech q = 10 ϕ(m). Wiemy (twierdzeie Eulera), że q 1 (mod m). Daa liczba aturala dzieli się zatem przez m wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr liczby w zapisie umeracji o podstawie q dzieli się przez m. Wybierzmy z ciągu (a ) liczbę b postaci b = {{ {{ {{ q q q przy czym układów 00. {{ jest m. q Część początkową tej liczby ozaczmy przez c, tz. c = Oczywiście c jest wyrazem ciągu (a ). Niech r będzie resztą z dzieleia liczby c przez m. Jeśli r = 0, to liczba c jest podziela przez m. Jeśli r 0, to dopisujemy do liczby c układy 00. {{ ; dopisujemy m r takich układów. q Otrzymaa liczba jest wyrazem ciągu (a ) i (a mocy wspomiaej cechy podzielości przez m) jest oa podziela przez m. W te sposób wykazujemy istieie liczby postaci a podzielej przez m. Poieważ liczb typu b jest ieskończeie wiele, więc istieje ieskończeie wiele liczb aturalych takich, że m a Dla daej liczby aturalej m (względie pierwszej z 10) ozaczmy przez A(m) ajmiejszą liczbę aturalą taką, że m a. Istieie liczby A(m) wyika z Przykłady: A(3) = 2, A(7) = 13, A(9) = 8, A(11) = 66, A(13) = 13, A(15) = 5, A(17) = 16, A(19) = 20, A(23) = 57, A(27) = 43, A(29) = 18, A(31) = 42, A(33) = 156, A(37) = 33, A(41) = 3, A(43) = 29, A(47) = 8, A(53) = 157, A(59) = 116, A(61) = 94, A(67) = 13, A(71) = 65, A(73) = 82, A(79) = 29, A(83) = 133, A() = 174, A(97) = 27, A(101) = 150. (Maple). Liczba 1901 jest pierwsza. Dwudziesty wiek rozpoczął się więc rokiem przedstawiającym liczbę pierwszą. W dwudziestym wieku mieliśmy jeszcze takie liczby pierwsze: 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997 oraz Najmiejszą tego rodzaju liczbą pierwszą w dwudziestym pierwszym wieku była liczba W tym wieku spotkamy się jeszcze z astępującymi liczbami pierwszymi: 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 20 oraz Przykłady liczb pierwszych powstałych przez sklejeie cyfr kolejych liczb aturalych z przedziału (1900, 2100). (Maple) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

15 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Przykłady liczb pierwszych utworzoych z kolejych liczb aturalych. (Maple) Przykłady liczb pierwszych utworzoych z kolejych liczb aturalych. (Maple) Wszystkie liczby aturale, począwszy od daej liczby aturalej s, wypisao kolejo bez odstępów i otrzymao ieskończoy ciąg cyfr. Niech x[s] ozacza -cyfrową liczbę aturalą otrzymaą z początkowych cyfr tego ciągu Niech m będzie liczbą aturalą względie pierwszą z 10. Istieje wtedy ieskończeie wiele liczb aturalych takich, że m dzieli x[s]. (Dowodzimy to tak samo jak 1.9.4) Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] dla s = 2, 3, 4, 5 oraz 500. (Maple). x[2] 2 = 23, x[2] 8 = , x[2] 44 = ; x[3] 27 = , x[3] 58 = ; x[4] 4 = 4567, x[4] 7 = 45671, x[4] 11 = , x[4] 14 = , x[4] 208 = , x[4] 427 = ; x[5] 8 = , x[5] 21 = , x[5] 129 = , x[5] 185 = x[5] 257 =

16 18 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] dla s = 6, 7, 8, 9 oraz 500. (Maple). x[6] 2 = 67, x[6] 5 = 671, x[6] 12 = ; x[7] 6 = 7101, x[7] 11 = , x[7] 267 = ; x[8] 2 =, x[8] 5 = 101, x[8] 51 = , x[8] 332 = ; x[9] 10 = , x[9] 14 = , x[9] 18 = , x[9] 410 = , x[9] 445 = Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] dla s = 10 i 11 oraz 500. (Maple). x[10] 3 = 101, x[10] 5 = 10111; x[11] 7 = , x[11] 57 = Czy liczba dzieli się przez 1980? Odp. Tak. ([WaJ] 284(80)) Wszystkie liczby pierwsze postaci x[s] dla s = 100, 101, i 1000 oraz 500. x[100] 52 = , x[100] 142 = , x[100] 145 = , x[100] 275 = ; x[101] 3 = 101, x[101] 53 = ; x[1000] 13 = , x[1000] 93 = , x[1000] 293 = (Maple). Spójrzmy a liczby aturale powstałe przez sklejeie wszystkich wyrazów ciągu, 1, 2,..., m + 2, m + 1, m, gdzie > m są liczbami aturalymi. Ozaczmy tego rodzaju liczby przez y(, m). Mamy a przykład: y(12, 3) = , y(100, 97) = , y(5, 1) = Liczby pierwsze postaci y(, 1): 43, 109, 2221, 2423, 3433, 4241, 5857.

17 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Pewe liczby pierwsze postaci y(, m). W awiasach kwadratowych podao liczby cyfr. (Maple). y(82, 1) = , [155]; y(7, 3) = 76543, [5]; y(46, 3) = , [81]; y(10, 7) = 10987, [5]; y(68, 11) = , [116]; y(25, 13) = , [26]; y(48, 17) = , [64]; y(22, 19) = , [8]; y(73, 21) = , [106]; y(79, 21) = , [118]; y(27, 23) = , [10]; y(140, 23) = , [277] Wszystkie liczby aturale począwszy od 32 do 75 wypisao w dowolej kolejości otrzymując liczbę 88-cyfrową. Czy tak otrzymaa liczba może być pierwsza? Odp. Nie. Taka liczba dzieli się przez Wszystkie liczby aturale począwszy od 111 do 999 wypisao w dowolej kolejości otrzymując liczbę 888-cyfrową. Czy tak otrzymaa liczba może być pierwsza? Odp. Nie. Taka liczba dzieli się przez 37. ([MaS] 5/1985 z.21). Ie iformacje o liczbach utworzoych z cyfr kolejych liczb aturalych zajdują się w [N-2] Liczby pierwsze utworzoe z kolejych liczb ieparzystych Przykłady liczb pierwszych powstałych z cyfr kolejych liczb ieparzystych od 1 do. W awiasach kwadratowych podao liczby cyfr. ( = 3) 13, [2]; ( = 19) , [15]; ( = 31) , [27]; ( = 67) , [63]; ( = 97) , [93]. (Maple) Przykłady liczb pierwszych powstałych z cyfr kolejych liczb ieparzystych. W awiasach kwadratowych podao liczby cyfr , [24]; , [72]; , [376]; , [11]; , [35]. (Maple).

18 20 Adrzej Nowicki, Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych 1.11 Jedolite liczby pierwsze Niech p będzie -cyfrową liczbą pierwszą. Załóżmy, że 2 i załóżmy, że wszystkie cyfry liczby p są iezerowe. Mówić będziemy, że ta liczba pierwsza p jest prawostroie jedolita, jeśli dla każdego k {1, 2,..., 1 liczba, powstała z liczby p przez skreśleie jej k końcowych cyfr, rówież jest liczbą pierwszą. Spójrzmy a liczbę Jest to liczba pierwsza posiadająca tylko iezerowe cyfry. Skreślając kolejo jej końcowe cyfry otrzymujemy liczby 311, 31 i 3. Wszystkie są liczbami pierwszymi. Powiemy więc, że 3119 jest prawostroie jedolitą liczbą pierwszą Istieje 9 dwucyfrowych liczb pierwszych prawostroie jedolitych. Są to liczby: 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79. Istieje 14 trzycyfrowych liczb pierwszych prawostroie jedolitych. Są to liczby: 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, Niech γ() ozacza liczbę wszystkich -cyfrowych liczb pierwszych prawostroie jedolitych. Z powyższych przykładów wiemy, że γ(2) = 9, γ(3) = 14. Mamy poadto: γ(4) = 16, γ(5) = 15, γ(6) = 12, γ(7) = 8, γ(8) = 5. (Maple) Istieją dokładie 83 prawostroie jedolite liczby pierwsze. Każda prawostroie jedolita liczba pierwsza ma co ajwyżej 8 cyfr. Istieje dokładie 5 ośmiocyfrowych takich liczb: , , , , (Maple). Niech p będzie -cyfrową liczbą pierwszą. Załóżmy, że 2 i załóżmy, że wszystkie cyfry liczby p są iezerowe. Mówić będziemy, że ta liczba pierwsza p jest lewostroie jedolita, jeśli dla każdego k {1, 2,..., 1 liczba, powstała z liczby p przez skreśleie jej k początkowych cyfr, rówież jest liczbą pierwszą. Rozważmy liczbę Jest to liczba pierwsza mająca tylko iezerowe cyfry. Skreślając kolejo jej początkowe cyfry otrzymujemy liczby 113, 13 i 3. Wszystkie są liczbami pierwszymi. Powiemy więc, że 2113 jest lewostroie jedolitą liczbą pierwszą Istieje 11 dwucyfrowych liczb pierwszych lewostroie jedolitych. Są to liczby: 13, 23, 43, 53, 73, 83, 17, 37, 47, 67, 97. Istieje 39 trzycyfrowych liczb pierwszych lewostroie jedolitych. Są to liczby: 113, 313, 613, 223, 523, 823, 443, 643, 743, 353, 653, 853, 953, 173, 373, 673, 773, 283, 383, 683, 883, 983, 317, 617, 137, 337, 937, 347, 547, 647, 947, 167, 367, 467, 967, 197, 397, 797, Niech δ() ozacza liczbę wszystkich -cyfrowych liczb pierwszych lewostroie jedolitych. Z powyższych przykładów wiemy, że δ(2) = 11, δ(3) = 39. Mamy poadto: δ(4) = 99, δ(5) = 192, δ(6) = 326, δ(7) = 429, δ(8) = 521, δ(9) = 545, δ(10) = 517, δ(11) = 448, δ(12) = 354, δ(13) = 276, δ(14) = 212, δ(15) = 117, δ(16) = 72, δ(17) = 42, δ(18) = 24, δ(19) = 13, δ(20) = 6, δ(21) = 5, δ(22) = 4, δ(23) = 3, δ(24) = 1. (Maple).

19 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych Istieje dokładie 4258 lewostroie jedolitych liczb pierwszych. Każda lewostroie jedolita liczba pierwsza jest co ajwyżej 24-cyfrowa. Istieje tylko jeda taka liczba pierwsza 24-cyfrowa. Jest ią Istieją dokładie 3 takie liczby 23-cyfrowe: , , Początkowe i koṅcowe cyfry liczb pierwszych Istieje liczba pierwsza, której początkowe cyfry tworzą liczba Istieje ieskończeie wiele takich liczb pierwszych, które a początku mają tysiąc siódemek. Wyika to z astępującego twierdzeia Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c m istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych, których m początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c m. ([S59], [Trost] 51, [S88]). Dowód tego twierdzeia będzie poday w astępym rozdziale (patrz ). Mówiliśmy o cyfrach początkowych. Podobie jest z cyframi końcowymi Istieje ieskończeie wiele takich liczb pierwszych, których ostatie cyfry tworzą liczbę D. Niech a = , b = 10 9 i rozpatrzmy ciąg arytmetyczy (a + b). Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą aturalą, której zapis dziesiąty jest postaci Poieważ liczby a, b są względie pierwsze, więc - a mocy twierdzeia Dirichleta (patrz twierdzeie 6.1.1) - w ciągu (a + b) istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych Istieje ieskończeie wiele takich liczb pierwszych, które a końcu mają tysiąc siódemek. D. Niech a = (tysiąc siódemek), b = i rozpatrzmy ciąg arytmetyczy (a + b). Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą aturalą mającą a końcu tysiąc siódemek. Poieważ liczby a, b są względie pierwsze, więc - a mocy twierdzeia Dirichleta (patrz twierdzeie 6.1.1) - w ciągu (a+b) istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych. W te sam sposób dowodzimy: Niech c 1, c 2,..., c będzie skończoym ciągiem cyfr układu dziesiętego i iech c będzie jedą z cyfr 1, 3, 7 lub 9. Istieje wtedy ieskończeie wiele liczb pierwszych, których ( + 1) ostatimi cyframi są cyfry c 1,..., c, c. ([S59] 346). Literatura [Ca06] Ch. K. Caldwell, Special types of primes, 1996, [Ca07] Ch. K. Caldwell, The largest kow prime by year; A brief histry, 1996, edu/research/primes/. [Ca08] Ch. K. Caldwell, The largest kow primes, 1996, largest.html.

20 22 Liczby pierwsze. 1. Cyfry liczb pierwszych [Dlt] [Kw] Delta, populary polski miesięczik matematyczo-fizyczo-astroomiczy. Kwat, populare czasopismo rosyjskie. [MaS] Matematyka w Szkole, populare czasopismo rosyjskie. [Mat] [MG] [MM] Matematyka, polskie czasopismo dla auczycieli. The Mathematical Gazette, agielskie populare czasopismo matematycze. Mathematics Magazie, populare czasopismo matematycze. [Mo] The America Mathematical Mothly, Mathematical Associatio of America. [N-2] A. Nowicki, Cyfry Liczb Naturalych, Podróże po Imperium Liczb, cz.2, Wydawictwo OWSIiZ, Toruń, Olszty, [No-0] A. Nowicki, Liczby pierwsze o szczególym rozmieszczeiu cyfr, Miiatury Matematycze 4, Aksjomat, Toruń, [OM] Olimpiada Matematycza. [PaT2] H. Pawłowski, W. Tomalczyk, Zadaia z Matematyki dla Olimpijczyków, Idex Books, Toruń, [Pmgr] Praca magisterska, Uiwersytet Mikołaja Koperika w Toruiu, Wydział Matematyki i Iformatyki. [Put] Putam (William Lowell) Mathematical Competitio. [Rabc] R. Rabczuk, O liczbach palidromiczych, Matematyka, 5(1994), [Ri97] P. Ribeboim, Mała Księga Wielkich Liczb Pierwszych, WNT, Warszawa, [S59] W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, [S88] W. Sierpiński, Elemetary Theory of Numbers, Editor: A. Schizel, North-Hollad Mathematical Library, Vol. 31, [Sli] A. Sliko, Absolute primes, Preprit, Iteret [Trost] E. Trost, Primzahle, Verlag Birkhauser, Basel - Stuttgard. Tłumaczeie rosyjskie, Moskwa [WaJ] N. B. Wasilev, A. A. Jegorow, Zadaia Olimpiad Matematyczych Związku Radzieckiego (po rosyjsku), , Moskwa, Nauka, [WyKM] W. A. Wyszeskij, I. W. Kartaszow, W. I. Michaiłowskij, M. I. Jadreko, Zbiór Zadań Kijowskich Olimpiad Matematyczych (po rosyjsku), , Kijów, [Yat2b] S. Yates, Collectig gigatic ad titaic primes, J. Rec. Math., 24(3)(1992) [Yat4] S. Yates, Titaic primes, J. Rec. Math., 16(4)( ) [Yat5] S. Yates, Sikers of the titaics, J. Rec. Math., 17(4)( )