Podstawowe struktury algebraiczne

Transkrypt

1 Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje jedozaczie określoy elemet f(a, b) zbioru X, co możemy zaotować f:x X X. Na wstępie zauważmy, że defiicja ta wymaga aby wyik działaia a elemetach zbioru X ależał do X. Nazywamy to postulatem zamkiętości zbioru względem działaia. W tym sesie p. odejmowaie w zbiorze liczb aturalych, czy też dzieleie w zbiorze liczb całkowitych ie są działaiami, gdyż ich wyik może wychodzić odpowiedio poza zbiór N czy Z. Poadto, zauważmy, że istotym jest założeie aby działaie było określoe a zbiorze par uporzadkowaych. Wyikdziałaiafaelemetacha,b Xczasamizamiastf(a,b)zapisujemyafb.Naczęściejjedak działaiebiarewxozaczasięjakimśspecjalymsymbolemp.:,,,,,,,itp.piszemy więca bluba bluba b,itp.używasięrówieżdlaozaczeiadziałaiazwykłychsymbolimożeialubdodawaia:a b,ab,a+b.wtedyzwyczajowobędziemyelemeta bazwyaćiloczyem,a elemeta+bsumąelemetówa,b.wtymsamymzbiorzexmożebyćokreśloychkilkadziałań. Działaiamisą:dodawaiewN, Z, Q, R, C,jakrówieżmożeiewkażymztychzbiorów.Zkolei odejmowaie jest operacją algebraiczą w Z, Q, R, C. Natomiast dzieleie liczb ie jest operacją algebraicząwżadymztychzbiorów,jeżelijedakzezbiorów Q, R, Cusuąćzero,to,wtakskorygowaych zbiorach dzieleie będzie działaiem. W zbiorze wszystkich fukcji rzeczywistych zmiej rzeczywistej określoych p. a przedziale[0, 1] dodawaie, odejmowaie i możeie fukcji jest działaiem. Tak samo działaiem w zbiorze wszystkich macierzy rzeczywistych ustaloego stopia jest dodawaie, odejmowaie i możeie. Przykład1.Rozpatrzymyprzykładdziałaiawzbiorzeskończoymp.wzbiorzeX={0,1,2}. Działaie w tym zbiorze określimy w astępujący sposób. Każdej parze liczb tego zbioru przyporządkowujemy resztę z dzieleia ich zwykłej sumy przez liczbę 3(tzw. dodawaie modulo 3). Mamy wówczas 0 0=0, 0 1=1 0=1, 0 2=2 0=2, 1 1=1, 1 2=2 1=0, 2 2=1. Działaie to jak zresztą każde działaie w zbiorze skończoym moża przedstawić w postaci tzw. tabliczki działaia, zwaej także tabliczką Cayley a

2 Defiicja 2. Działaie określoe w zbiorze X azywa się przemieym(lub komutatywym), jeśli dladowolycha,b Xmamy a b=b a. Przykładami działań przemieych są dodawaie i możeie liczb(aturalych, całkowitych, wymierych, rzeczywistych i zespoloych), dodawaie wielomiaów, macierzy, wektorów, możeie wielomiaów, możeie skalare wektorów. Możeie wektorowe wektorów i możeie macierzy ie jest przemiee. Nie jest także przemiee odejmowaie w Z, Q, R, C. Defiicja 3. Działaie określoe w zbiorze X azywa się łączym(lub asocjatywym), jeśli dla dowolycha,b,c Xmamy (a b) c=a (b c). Przykładami działań łączych są dodawaie i możeie w zbiorze N, Z, Q, R, C, dodawaie i możeie wielomiaów, dodawaie i możeie macierzy, dodawaie(lecz ie możeie) wektorów. Natomiast iejestłączeodejmowaieliczbwzbiorzach Z, Q, R, C. Defiicja 4. Niech będzie działaiem wewętrzyym w zbiorze X. Elemet e X azywamy elemetem eutralym działaia, jeżeli dla każdego a X mamy e a=a e=a. Twierdzeie 1. W zbiorze z określoym działaiem wewętrzym istieje co ajwyżej jede elemet eutraly. Rzeczwiście.Załóżmyiewprost,żedziałaie posiadadwaróżeelemetyeutralee 1 e 2.Zatem z defiicji elemetu eutralego wyika, że co daje sprzeczość z przyjętym założeiem. e 1 =e 1 e 2 =e 2, Przykładem elemetu eutralego względem operacji dodawaia w zbiorach liczbowych jest 0, a elemetem eutralym względem możeia w tych zbiorach jest 1. Defiicja5.Niech będziedziałaiemwewętrzyymwzbiorzex.elemeta 1 Xazywamy elemetem odwrotym(symetryczym, przeciwym) do elemetu a X, jeżeli a a 1 =a 1 a=e. Twierdzeie 2. W zbiorze z określoym działaiem wewętrzym łączym i elemetem eutralym, elemet przeciwy do daego elemetu jest wyzaczoy jedozaczie. Rzeczwiście. Załóżmy iewprost, że działaie posiada elemet eutraly e oraz dwa róże elemety odwrotea 1 1 a 2 2 do daego elemetu a Zatem z defiicji elemetu eutralego i odwrotego wyika, że ( ) ( ) a 1 1 =a 1 1 e=a 1 1 a a 1 2 = a 1 1 a a 1 2 =e a 1 2 =a 1 2 co daje sprzeczość z przyjetym założeiem. Defiicja 6. Strukturą algebraiczą azywamy iepusty zbiór wraz z pewymi działaiami w tym zbiorze. Strukturę algebraiczą zapisujemy wymieiając zbiór oraz działaia, p.(n, +),(Q, +, ). Działań w strukturze algebraiczej może być skończeie lub ieskończeie wiele. 2

3 Defiicja 7. Niech G będzie iepustym zbiorem z działaiem wewętrzyym. Parę(G, ) azywamy grupą, jeżeli spełioe są astępujące waruki: 1. działaie jest łącze, 2. istieje elemet eutraly działaia, 3. dla każdego elemetu zbioru G istieje elemet do iego odwroty. Jeżelidodatkowodlakażdejparya,b Gspełioyjestwaruek a b=b a, czyli waruek przemieości działaia, to grupę(g, ) azywamy grupą przemieą lub abelową. Nazwa grupa abelowa pochodzi od azwiska orweskiego matematyka Nielsa Herika Abela( ). Grupę o skończoej liczbie elemetów azywamy grupą skończoą. Jeżeli G jest grupą skończoą mającąelemetów,tomówimy,żerządgrupygjestrówy,cozapisujemy G =.Jeżeligrupajest ieskończoa, to piszemy G =. Wobec poprzedio wykazaych twierdzeń w grupie istieje jede elemet eutraly. Poadto każdy elemet grupy ma jedozaczie określoy elemet odwroty do iego. Jeżeli działaie w grupie ma podobe własości do dodawaia liczb, to działaie takie azywamy addytywym i a jego ozaczeie używamy symbolu +. Poadto elemet eutraly e działaia addytywego azywamy zerem i ozaczamy e = 0. Natomiast elemet przeciwy do elemetu a ozaczamy symbolem aipiszemya bzamiasta+( b). Jeżeli działaie w grupie ma podobe własości do możeia liczb, to działaie takie azywamy multiplikatywym i a jego ozaczeie używamy symbolu. Poadto elemet eutraly e działaia multiplikatywego azywamy jedością i ozaczamy e = 1. Natomiast elemet przeciwy do elemetu aozaczamysymbolem 1 a ipiszemya b zamiasta b 1. Defiicja8.Niechpara(G, )będziegrupąiiechhbędziejegoiepustympodzbioremg.parę (H, )azywamypodgrupągrupy(g, ),jeżeli(h, )jestgrupą. Nietrudo zauważyć, że elemet eutraly grupy jest jedocześie elemetem eutralym dowolej jej podgrupy. Co z kolei ozacza, że podgrupy grupy ie są rozłącze. Oczywiste jest także że pary ({e}, )i(g, )sąpodgrupamigrupy(g, ).Podgrupęróżąod({e}, )iod(g, )będziemy azywaćpodgrupąwłaściwągrupy(g, ).ZapisH Gozaczaćbędzie,że(H, )jestpodgrupą grupy(g, ). Pojęcie podgrupy okazało się bardzo użytecze p. w teorii automatów. Przykład2.(addytwegrupyliczbowe).(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)sągrupamiabelowymi(+ ozacza tutaj zwykłe dodawaie). Rzeczywiście, dodawaie jest działaiem łączym i przemieym, a elemetem eutralym w każdym z wymieioych zbiorów względem + jest 0. a jest elemetem odwrotym do a względem dodawaia. Oczywistesązależości Z Q R C. Przykład3.(multiplikatywegrupyliczbowe).(Q\{0}, ),(Q +, ),(R\{0}, ),(R +, ),(C\{0}, ) są grupami abelowymi( ozacza tutaj zwykłe możeie). 3

4 Rzeczywiście, możeie jest działaiem łączym i przemieym. Elemetem eutralym w każdym zbiorzewzględem jestliczba1. 1 a jestelemetemodwrotymdoa 0względemmożeia.Natomiast żade ze zbiorów Q, R, C z możeiem jako działaiem wewętrzym ie staowi grupy, gdyż ie istieje elemet odwroty do 0 względem możeia. Przykład 4.(grupy macierzy). Zbiór ieosobliwych macierzy kwadratowych stopia o wyrazach rzeczywistychbędziemyozaczaćsymbolemgl (R).Para(GL (R), )tworzygrupę. Rzeczywiście, możeie macierzy jest działaiem łączym, a elemetem eutralym tej grupy jest macierzjedostkowa.elemetemodwrotymdodaejmacierzyajestmacierzdoiejodwrotaa 1. ZamkiętośćzbioruGL (R)względemmożeiamacierzywyikaztwierdzeiaCauchye goowyzacziku iloczyu macierzy. Zbiór macierzy kwadratowych stopia o wyrazach rzeczywistych i wyzacziku rówym 1 ozaczamysymbolemsl (R).Struktura(SL (R), )tworzygrupę.grupętęazywamyspecjalągrupą liiową. Przede wszystkim zauważmy, że wobec twierdzeia Cauchye go o wyzacziku iloczyu macierzy, działaie możeia macierzy w takim zbiorze jest działaiem wewętrzym. Poadto, co już zauważoo powyżej możeie macierzy jest działaiem łączym. Elemetem eutralym tej grupy jest macierz jedostkowa. Elemetem odwrotym do daej macierzy A jest macierz do iej odwrota A 1. Oczywiściegrupa(SL (R), )jestpodgrupągrupy(gl (R), ). Przykład5.(addytywagruparesztmodulo).Niech Z ={0,1,..., 1}iiech+ będzie działiem,którekażdejparzeliczbzbioru Z przyporządkowujeresztęzdzieleiaichzwykłejsumy przezliczbę(tzw.dodawaiemodulo).strukturaalgebraicza(z,+ )jestgrupąabelowązwaą addytywą grupą reszt modulo. Aby uzasadić prawdziwość tego stwierdzeia przede wszystkim zauważmy, że tak określoe działaie jestdziałaiemwewętrzym.wyikatozfaktu,żeresztawdodawaiu+ jestiewiększaiż 1, awięcależydo Z.Pokażemyteraz,żedziałaietojestłącze.Wtymceluzauważmy,żedziałaie dodawaia modulo moża zapisać wzorem a+b a+ b=a+b, gdziea,b Z. Mamypokazać,żea+ (b+ c)=(a+ b)+ c.rzeczywiście,zjedejstroymamy ) b+c a+ (b+ c)=a+ (b+c b+c b+c a+b+c b+c b+c a+b+c [ b+c a+b+c b+c a+b+c 4

5 Natomiast z drugiej stroy ( ) a+b (a+ b)+ c= a+b + c a+b a+b a+b+c a+b a+b a+b+c a+b a+b+c a+b a+b+c czylia+ (b+ c)=(a+ b)+ c.przemieośćdziałaiadodawaiamodulojestoczywista.elemetem eutralym tej grupy względem dodawaia modulo jest 0. Poadto elemetem odwrotym do0jest0.natomiastelemetemodwrotymdok Z \{0}względem+ jest k. Przykład6.(grupapierwiastkówzjedości).ZbiórC ={z C:z =1},czylizbiórpierwiastków -tego stopia z 1 jest grupą abelową względem możeia liczb zepoloych. Grupę tę azywa się grupą zepoloych pierwiastków z jedości stopia. Zbiór pierwiastków -tego stopia z 1 jest zbiorem - elemetowym postaci, C ={ε 0,ε 1,...,ε 1 },gdzieε k =cos 2kπ +isi2kπ,k=0,1,..., 1. Aby uzasadić prawdziwość stwierdzeia, że zbiór te jest grupą abelową względem możeia a wstępieależypokazać,żedziałaietojestdziałaiemwewętrzym.należywięcuzasadić,żeε k ε l, gdzie0 k,l 1jestpierwiastkiem-tegostopiaz1.Rzeczywiście,mamy (ε k ε l ) =(ε k ) (ε l ) =1 1=1, coozacza,żeε k ε l jestpierwiastkiem-tegostopiaz1.zkoleiłączośćiprzemieośćtegodziałaia jest oczywista, bo są to liczby zespoloe. Elemetem eutralym(jedością grupy) jest pierwiastek ε 0 =cos0+isi0=1.elemetemodwrotymdoε 0 jestε 0.Elemetemodwrotymdoε k,gdzie 1 k 1jestε k.wyika,toprostejdosprawdzeiarówości ε k ε k = ( cos 2kπ ) ( +isi2kπ cos 2( k)π +isi 2( k)π ) =cos 2π +isi2π =1. Przykład 7.(grupa kwaterioów). Niech I, E, J, K ozaczają macierze kwadratowe stopia drugiego określoe wzorami [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 i i I=, E=, J=, K= i 1 0 i 0 ZbiórQ 8 ={I, I,E, E,J, J,K, K}zdziałaiemmożeiamacierzystaowigrupę.Grupę tę azywamy grupą kwaterioów. Abywykazać,żeQ 8 zmożeiemjestgrupą,przedewszystkimzauważmy,żetabliczkacayley ama 5

6 postać I I E E J J K K I I I E E J J K K I I I E E J J K K E E E I I K K J J E E E I I K K J J J J J K K I I E E J J J K K I I E E K K K J J E E I I K K K J J E E I I coozacza,żeq 8 jestzamkiętazewzględuamożeie.łączośćmożeiamacierzyjestoczywista. Elemetem eutralym względem możeia jest macierz jedostkowa I. Elemetem odwrotym do macierzyi, Ijesttasamamacierz.ElemetemodwrotymdomacierzyA {E, E,J, J,K, K} jest A {E, E,J, J,K, K}. Kwaterioy są m.i. używae w grafice komputerowej do wykoywaia obrotów w przestrzei trójwymiarowej. Defiicja 9. Niech P będzie iepustym zbiorem z działaiami wewętrzyymi,. Trójkę(P,, ) azywamy pierścieiem, jeżeli spełioe są astępujące waruki: 1.para(P, )jestgrupąabelową, 2. działaie jest łącze, 3. działaie jest rozdziele względem, tj. a (b c)=(a b) (a c), (b c) a=(b a) (c a). Działaia i azywamy odpowiedio dodawaiem i możeiem w pierścieia. Przy czym, jeżeli ie prowadzitodoieporozumień,tobędziemypisali+wmiejsce oraz wmiejsce.poadto,jeżeli (P,+, )jestpierścieiem,togrupę(p,+)azywamygrupąaddytywą.elemeteutralytejgrupy azwyamyzerempierścieiaizwyczajowoozaczamyprzez0 P lubkrótko0.elemetodwrotydo awzględemdziałaia+azywamyprzeciwymdoaiozaczamyprzez a.zamiastpisaća+( b) będziemypisalia b.iloczya bzapisujemyzwyklekrótkoab. Pierścień, w którym działaie jest przemiee azywamy pierścieiem przemieym. Pierścień, w którym istieje elemet eutraly względem azywamy pierścieiem z jedością i elemet te ozaczamy1 P lubpoprostu1. Przykład 8. Zbiory liczbowe Z, Q, R ze zwykłymi działaiami dodawaiem i możeiem są pierścieiami przemieymi z jedyką. Zbiór liczb aturalych z takimi działaiami ie tworzy pierścieia. Przykład 9. Niech będzie dowolą liczbą aturalą większą od 1. Niech Z ozacza zbiór liczb podzielych przez, tj. Z={k:k Z} Zbiór te ze zwykłymi działaiami dodawaiem i możeiem jest pierścieiem przemieym bez jedości. Przykład10.Niech Z ={0,1,..., 1}.Przypomijmy,żesymbolem+ ozaczyliśmydziałie, którekażdejparzeliczbzbioru Z przyporządkowujeresztęzdzieleiaichzwykłejsumyprzezliczbę (tzw.dodawaiemodulo),asymbolem działie,którekażdejparzeliczbzbioru Z przyporządkowuje resztęz dzieleia ich zwykłego iloczyu przez liczbę(tzw. możeie modulo ). Struktura algebraicza(z,+, )jestprierścieiemprzemieymzjedością.dla=1jedościąjestliczba 0,atomiastdla>1liczba1.Pierścień(Z,+, )azywasiępierścieiemresztmodulo. 6

7 Przykład11.ZbiórGL (R)macierzykwadratowychstopiaowyrazachrzeczywistychzdziałaiami dodawaia i możeia macierzy staowi pierścień z jedością. Jedością w tym pierścieu jest macierzjedostkowa.przyczympierścieńteiejestprzemieydlamacierzystopia 2. Dotychczasowe pojęcie wielomiau jedej zmieej jest am zae z kursu aalizy matematyczej. Przypomijmy, że przez wielomia jedej zmieej o współczyikach rzeczywistych rozumiemy fukcjęf: R Rokreśloąwzorem f(x)=a 0 +a 1 x+...+a x, gdziea 0,a 1,...,a Roraz N.Walgebrzewygodiejszejestzdefiiowaiewielomiaujako pewego ieskończoego ciągu liczbowego. Niech(P,, ) będzie pierścieiem przemieym. Wielomiaem jedej zmieej ad pierścieiem Pazywamydowolyciągieskończoyf=<a 0,a 1,a 2,...>elemetówpierścieiaP,wktórymco ajwyżejskończoailośćwyrazówjestróżaod0 P. Wyrazyciąguf=<a 0,a 1,a 2, >azywamywspółczyikamiwielomiauf.przyczyzachowujemytutermiologięzwiązaądotychczaszdefiicjąwielomiau.miaowiciewyraza 0 azywamy wyrazemwolymwielomiauf.wielomia,któregowszystkiewspółczyikisąrówe0 P azwyamy wielomiaemzerowym.jeżelipjestpierścieiemzjedością,wktórym0 P 1 P,towielomiapostaci<1 P,0,0,...>azywamywielomiaemjedostkowym.Jeżeliatomiastf=<a 0,a 1,a 2,...> jestwielomiaemiezerowymoraza 0 P ia k =0 P dlawszystkichk>,toliczbęazywamy stopiem wielomiau f, a wielomia f wielomiaem stopia. Iaczej mówiąc stopień wielomiau, toostatiróżyodzerajegowspółczyik.niechf=<a 0,a 1,...>,g=<b 0,b 1,...>.Piszemy f=gwtedyitylkowtedya i =b i dlai=0,1,...zbiórwszystkichwielomiówjedejzmieejad pierścieiem P ozaczamy przez P[x]. W P[x] defiiujemy działaie dodawaia wielomiaów oraz ich możeie f+g=<a 0 b 0,a 1 b 1,...> f g=<c 0,c 1,...>, gdziec k =(a 0 b k ) (a 1 b k 1 )... (a k b 0 )dlak N. Bezpośredio z defiicji łatwo sprawdzić, że(p[x], +, ) jest pierścieiem przemieym, którego zerem jest wielomia zerowy. Własości działań w(p[x], +, ) wyikają z odpowiedich własości działań w(p,, ).Nietrudorówieżsprawdzić,żejeżeli(P,, )jestpierścieiemprzemieymz jedością, to rówież(p[x], +, ) jest pierścieiem przemieym z jedością. Przykład12.Rozpatrzmyzbiórwielomiaówzbudowaychapierścieiu(Z 6,+ 6, 6),czylipierścieńwielomiaów(Z 6 [x],+, ).Wtedysumaiiloczywielomiaówf=<2,3,2,0,...>,g=< 1,5,2,4,1,0,...>zpierścieia(Z 6,+, )sąrówe f+g=<3,2,4,4,1,0,...>, f g=<2,1,3,0,0,5,2,0,...>. Defiicja10.NiechCbędzieiepustymzbioremzdziałaiamiwewętrzyymi, Trójkę(C,, ) azywamy ciałem, jeżeli spełioe są astępujące waruki: 1.(C, )jestgrupąabelową, 2.(C\{0}, )jestgrupą(0elemeteutraly ), 3. działaie jest rozdziele względem. Jeżeli dodatkowo działaie jest przemiee, to ciało takie azywamy ciałem przemieym. 7

8 Iaczej mówiąc ciało jest pierścieiem, w którym: 1. istieje elemet eutraly działaia 2. dla każdego elemetu zbioru C\{0} istieje do iego elemet odwroty względem działaia. Bezpośredio z defiicji wyika, że elemety eutrale względem działań i są w ciele róże. Przykład 13. Zbiory liczbowe Q, R ze zwykłymi działaiami dodawaia i możeia są ciałami. Natomiast zbiór liczb całkowitych z tymi samymi działaiami ie jest już ciałem. Przykład14.Pierścieie(Z 2,+ 2, 2),(Z 3,+ 3, 3)sąprzykładamiciał,cołatwosprawdzić.Natomiastciałemiejestpierścień(Z 4,+ 4, 4),cowyikazfaktu,żestruktura(Z 4 \{0}, 4)iejest grupą,gdyż2 42=0/ Z 4 \{0}.Możajedakpokazać,żejeżelijestliczbąpierwszą,tostruktura algebraicza(z,+, )jestciałem. Przykład15.NiechC={0,1,a,b}.Działaia, zdefiujemyprzypomocytabliczekcayley a: 0 1 a b a b b a a a b 0 1 b b a a b a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a Bezpośredio z defiicji moża sprawdzić, że struktura algebraicza(c,, ) jest ciałem. Rozważmyrówaiex 2 +1=0.Oczywiścierówaietoiemarozwiązańwcieleliczbrzeczywistych. Zatem asuwa się aturale pytaie. Czy moża rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych tak, aby otrzymać owe ciało, w którym to rówaie ma rozwiązaie? Przy czym owa struktura algebraicza powia zawierać ciało liczb rzeczywistych oraz działaia w iej zdefiiowae powiy redukować się do zwykłych działań dodawaia i możeia przy ograiczeiu do zbioru R. Ozaczmyprzezijedozrozwiązańrówaiax 2 +1=0.Oczywiściei/ Rorazi 2 = 1.Ozaczmy terazprzez Czbiórelemetówpostacia+ib,gdziea,b R.Zatem { } C= a+ib:a,b R i 2 = 1. Zbiór Cbędziemyazywaćzbioremliczbzespoloych.Przyczymbędziemypisalia+ib=c+idwtedy itylkowtedy,gdya=cib=d.liczbypostacia+0iutożsamiamyzliczbamirzeczywistymi.mamy zatem R C. W zbiorze C wprowadzamy dwa działaia wewętrze. Dodawaie + oraz możeie. Działaia te defiiujemy wzorami (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d), (a+ib) (c+id)=(ac bd)+i(ac+bd). Łatwozauważyć,żeelemetemeutralymwzględem+jest0+i0,awzględemmożeia1+i0. Elemetemodwrotymdoa+ibwzgledemdodawaiajest a ib.zkoleielemetemodwrotymdo ( a+ib 0+i0jesta/ a 2 +b 2) ( +ib/ a 2 +b 2).Poadto,bezpośredimrachukiem,łatwosprawdzić, że tak zdefiiowae działaia są działaiami wewętrzymi, przemieymi, łączymi oraz możeie jest rozdziele względem dodawaia. Struktura algebraicza(c, +, ) jest zatem ciałem. Przy czym jest to ajmiejsze ciało(w sesie ikluzji) zawierające ciało liczb rzeczywistych(r, +, ) oraz liczbę urojoąi 2 =1.Iaczejmówiącajmiejszeciało,wktórymrówaiex 2 +1=0.marozwiązaie. 8