Analiza Matematyczna I.1

Transkrypt

1 Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby a k maj te sam zak i a k > jest potrzebe? Zadaie prawdziwa jest ierówo± (Nierówo± Beroulliego) Udowodij,»e dla x > i k Z ( + x) k + kx Udowodij rówie»,»e dla < x < ( + x) i N prawdziwe jest oszacowaie x Zadaie 3 (Nierówo± Schwarza) Udowodij,»e dla dowolych liczb rzeczywistych a,, a, b,, b prawdziwa jest ierówo± ) ( ) k= a k b k ( k= Kiedy w tej ierówo±ci mamy rówo±? a k k= Zadaie 4 (Nierówo± mi dzy ±redimi) Niech a, a,, a b d dodatimi liczbami rzeczywistymi Udowodij ierówo±ci a + + a a + + a a a b k a + + a Zadaie 5 (Nierówo± Czebyszewa) Udowodij,»e je±li ci gi a, a, a i b, b,, b s iemalej ce lub ieros ce, to ( ) b k a k b k k= a k) ( k= Co mo»a powiedzie, je±li jede z tych ci gów jest ieros cy, a drugi iemalej cy? k=

2 Zadaie 6 Ustalmy liczby dodatie x, x,, x k Niech a = x + x + + x k a) Udowodij,»e ci g (a ) 0 jest log-wypukªy, tz a i a i a i+ b) Udowodij,»e je±li ci g (b ) 0 jest log-wypukªy i b 0 =, to ci g ( b ) 0 jest ros cy c) Udowodij,»e ci g ( a k ) 0 jest ros cy, czyli p x p + x p + + x p k k q x q + x q + + x q k k dla 0 < p q, p, q N d) Udowodij,»e dla 0 < α β prawdziwa jest ierówo± β x β + x β + + x β k α x α + x α + + x α k Zadaie 7 Udowodij,»e dla dowolych liczb zespoloych z,, z prawdziwa jest ierówo± z + + z z + + z

3 Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech x b dzie liczb rzeczywist Deiujemy ci g liczb x, x, rekurecyjie wzorem x 0 = x, x + = x [x ] gdy x / Z, 0 Je±li dla pewego 0 mamy x Z, to rozwa»amy jedyie sko«czoy ci g x,, x Udowodij,»e x jest liczb wymier wtedy i tylko wtedy, gdy istieje, dla którego x Z Zadaie Niech a 0 b dzie dowol liczb rzeczywist i iech a, a,, a b d liczbami rzeczywistymi dodatimi Niech R = R [a 0,, a ] = a 0 + a + + a + a Deiujemy rekurecyjie ci gi (p k ) k=0 i (q k) k=0 wzorami Udowodij,»e p 0 = a 0 q 0 = p = a 0 a + q = a p k = p k a k + p k q k = q k a k + q k, k =,, a) R k [a 0,, a k ] = p k q k, k = 0,,, b) p k q k q k p k = ( ) k, k =,,, c) R k+ R k = ( )k q k q k+, k = 0,, Wywioskuj,»e je±li liczby p k i q k s caªkowite, to s wzgl die pierwsze Zadaie 3 Niech x b dzie liczb iewymier Deiujemy ci g liczb x 0, x, rekurecyjie wzorem x 0 = x, x + = x [x ], 0

4 Niech poadto a = [x ] dla 0 i iech R = R [a 0,, a ] = p q Zadaie ) Udowodij,»e oraz x R = Wywioskuj st d,»e ( ) (q x + + q )q, =,, x R + < x R, = 0,, R 0 < R < R 4 < x < R 5 < R 3 < R (patrz Zadaie 4 Niech x b dzie liczb iewymier i iech liczby R = p q b d zdeiowae tak, jak w Zadaiu 3 Przypu± my,»e liczby p, q Z, q speªiaj ierówo± x p p < x q q Udowodij,»e q > q

5 Aaliza Matematycza I Seria 3, P Nayar, 0/ Zadaie Zajd¹ kresy zbiorów { } m A =, m 0,, m Z, + m { } m B =, m > 0,, m N, + m + 4 m C = { > 0, N }, D = { k [ k ] > 0, N }, k > 0, k N Zadaie Niech T b dzie zbiorem trójk tów o obwodzie a pªaszczy¹ie R Niech R t, r t b d odpowiedio promieiem okr gu opisaego a trójk cie t i promieiem okr gu wpisaego w trójk t t Wyzacz kresy zbiorów A = {pole trójk ta t t T }, B = {r t t T }, C = {R t t T }, Zadaie 3 Niech >, N Wyzacz kresy zbioru { } A = a i a j a i =, a i 0, i =,, i<j Zadaie 4 Niech r > 0 Wyzacz kresy zbioru { } A = a i =, a i 0, i =,, i a r i i= i= Zadaie 5 Wyzacz kresy zbioru { a A = + a + + a + a } a,, a > 0 a a 3 a a

6 Aaliza Matematycza I Seria 4, P Nayar, 0/ Zadaie Okre±lamy ci gi (a ) 0 i (b ) 0 rekurecyjie, a 0 = a, b 0 = b, a + = a+b, b + = a b Udowodij,»e ci gi te s zbie»e do tej samej graicy (azywaej ±redi arytmetyczo-geometrycz liczb a, b) Zadaie Ci g liczb (a ) 0 speªia ierówo± a +m a + a m (takie ci gi azywamy ci gami podaddytywymi) Udowodij,»e istieje graica lim a [, 0) Zadaie 3 Udowodij,»e dla prawdziwa jest ierówo± ( ) + i wywioskuj,»e lim = Zadaie 4 Niech (a ) 0 b dzie ci giem liczb dodatich Udowodij,»e a je±li lim + a = g, to rówie» lim a = g Czy ze zbie»o±ci ci gu ( a ) wyika zbie»o± ci gu ( a + )? a Zadaie 5 Oblicz graice a) lim!, b) lim k ( k + k ), k N, k, c) lim ( ), d) lim k + k ++ k k+, k N, k 0, + e) lim , l f) lim a + a + + a k = max{a, a,, a k }, a,, a k > 0

7 Aaliza Matematycza I Seria 5, P Nayar, 0/ Zadaie Niech (a ) 0 b dzie ci giem liczb rzeczywistych zbie»ym do i a dla 0 Zajd¹ graic lim a + a + + a k k a Zadaie Niech (a ) 0 b dzie ci giem liczb rzeczywistych o wyrazach iezerowych i iech lim a = + Udowodij,»e ( + ) a = e a lim Zadaie 3 Deiujemy ci gi (a ) i (b ) wzorami a = ( + ) (, b = + ) + Udowodij,»e ci g (a ) jest ros cy, a ci g (b ) malej cy Wywioskuj st d,»e ci gi te s zbie»e do tej samej graicy (ozaczaej e) Zadaie 4 Niech k N, k Oblicz graic ci gu Zadaie 5 Zbadaj zbie»o± ci gu a = k a = l, Zadaie 6 Niech f : [0, ] [0, ] b dzie fukcj iemalej c i iech a 0 [0, ] Deiujemy ci g (a ) 0 rekurecyjie, a + = f(a ) Udowodij,»e ci g (a ) 0 jest zbie»y Zadaie 7 Niech (a ) b dzie ograiczoym ci giem liczb rzeczywistych Przypu± my,»e a + a >

8 Udowodij,»e ci g (a ) jest zbie»y Zadaie 8 Oblicz graic ci gu a = ( + ) ( + ) ( + ) Zadaie 9 Oblicz graic ci gu ( ) a = + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Zadaie 0 Zbadaj zbie»o± ci gu a = Zadaie Zbadaj zbie»o± ci gu Zadaie Niech a > 0 Oblicz ()!! ( + )!!, a = si (π + ) lim ( a ) Zadaie 3 Niech a, b > 0 Udowodij,»e ( ) a + b lim = ab Zadaie 4 Niech k Oblicz lim (k )

9 Aaliza Matematycza I Seria 6, P Nayar, 0/ Zadaie Zbadaj zbie»o± szeregu i= Zadaie Zbadaj zbie»o± szeregu = Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± szeregu = Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± szeregu ( + ) ( ) = w zale»o±ci o parametru p > 0 ( ()!! ( + )!! ) p Zadaie 5 Zbadaj zbie»o± szeregu w zale»o±ci o parametru α R = (l ) α Zadaie 6 Dla a > 0 zadaj zbie»o± szeregu a = Zadaie 7 Dla a > 0 zbadaj zbie»o± szeregu =! (a + )(a + ) (a + )

10 Aaliza Matematycza I Seria 7, P Nayar, 0/ Zadaie Udowodij,»e dla a/(π) / Z prawdziwe s wzory si ( ) ( ) a cos (+)a cos(ka) = si ( ) a k= si ( ) ( ) a si (+)a si(ka) = si ( ), a k= W szczególo±ci si(ka) si ( ), a k= cos(ka) si ( ) a k= Zadaie Niech a R i N Udowodij,»e si ka k < 3 π k= Zadaie 3 Niech a R Zbadaj zbie»o± szeregu = Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± szeregu = si(a) ( ) si Zadaie 5 Przypu± my,»e = b b + <, lim b = 0 i sumy cz ±ciowe szeregu = a s ograiczoe Udowodij,»e dla wszystkich k N zbie»y jest szereg = a b k

11 Aaliza Matematycza I Seria 8, P Nayar, 0/ Zadaie Przypu± my,»e szereg = a jest zbie»y i ci g liczb dodatich (b ) jest iemalej cy, a poadto lim b = + Udowodij,»e szereg jest zbie»y i b ( k= k= a k b k a k b k ) 0 Zadaie Niech (a ) b dzie ci giem zbie»ym Przypu± my,»e liczby (c,k ),k speªiaj waruki i) k= c,k =, ii) k= c,k C, iii) c,k 0, gdzie C > 0 jest pew staª Udowodij,»e ci g b = c,k a k k= jest zbie»y i lim b = lim a Zadaie 3 Przypu± my,»e szereg = a jest zbie»y i ci g liczb dodatich (b ) jest iemalej cy, a poadto lim b = + Udowodij,»e b k= Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± szeregu a k b k 0 ( ) [ k] k k=

12 Zadaie 5 Udowodij,»e je±li szereg = jest zbie»y dla pewej liczby x 0 R, to jest zbie»y dla wszystkich x > x 0 a x Zadaie 6 Udowodij,»e = ε! / Q dla dowolego wyboru zaków ε {, +} Deicja Iloczyem Cauchy'ego szeregów =0 a i =0 b azywamy szereg =0, gdzie c = i=0 a ib i Zadaie 7 Zajd¹ iloczy Cauchy'ego szeregu =0 x z samym sob dla x < Zadaie 8 Zbadaj iloczy Cauchy'ego szeregu = ( ) przez siebie Zadaie 9 Udowodij,»e iloczy Cauchy'ego szeregów o wyrazach dodatich jest rozbie»y je±li który± z tych szeregów jest rozbie»y Deicja Niech (b ) 0 b dzie ci giem liczb ró»ych od 0 Powiemy,»e iloczy jest zbie»y, je±li istieje sko«czoa i ró»a od 0 graica lim N N b i i=0 Zadaie 0 Niech a 0 dla 0 Udowodij,»e iloczy =0 ( + a ) jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy szereg =0 a jest zbie»y Zadaie Oblicz iloczy iesko«czoy = ( x ) cos Zadaie Dla x < oblicz iloczy iesko«czoy ( ) + x =0

13 Zadaie 3 Zbadaj zbie»o± iloczyu iesko«czoego ( ) cos = Zadaie 4 Zbadaj zbie»o± iloczyu = Zadaie 5 Zbadaj zbie»o± iloczyu = 3

14 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Niech 3 W±ród -k tów wpisaych w okr g o promieiu zajd¹ te o ajwi kszym polu powierzchi Zadaie (4 pkt) Niech (a ) b dzie ci giem liczb rzeczywistych Rozstrzygij, które z ast puj cych wªaso±ci s rówowa»e (W) Ci g (a ) jest ograiczoy (W) Dla wszystkich λ > ci g (a λ ) jest ograiczoy (W3) Dla wszystkich λ > ci g (a λ ) jest ograiczoy Zadaie 3 ( pkt) Niech x,, x b d liczbami rzeczywistymi dodatimi Zaªó»my,»e istiej liczby rzeczywiste s, t o tej wªaso±ci,»e 0 < s x i s + t dla i =,, Udowodij,»e ( ) t p i + p i x i p i x i i= i= dla dowolych liczb dodatich p,, p, speªiaj cych waruek i= p i = Zadaie 4 ( pkt) a) Udowodij,»e dla dowolej liczby iewymierej α istieje ci g liczb caªkowitych (p ) i ci g liczb caªkowitych dodatich (q ), dla których α p < q q q b) Przypu± my,»e liczba α jest liczb algebraicz stopia d Udowodij,»e istieje staªa C α > 0 o tej wªaso±ci,»e dla wszystkich p, q Z, q > 0 mamy α p C α q q d Zadaie 5 ( pkt) Niech S m (k) = m + + k m dla liczb caªkowitych m 0 i k Udowodij,»e ( ) + S j (k) = (k + ) + j j=0 Wyzacz S i (k) dla i =,, 3, 4, 5 x i i=

15 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria, P Nayar, 0/ Zadaie (4 pkt) a) Udowodij,»e dla liczba ( π ) ( 3π cos + cos 7 7 ) ( 5π + cos 7 ) jest wymiera b) Udowodij,»e dla liczba + 3 jest iewymiera Zadaie ( pkt) Niech ABC b dzie trójk tem wpisaym w okr g o promieiu i iech P b dzie puktem wew trzym tego trójk ta Udowodij,»e P A P B P C < 3 7 Zadaie 3 ( pkt) Niech ε, ε,, ε {, 0, } Udowodij,»e ( ) π ε ε ε k ε + ε + + ε = si, 4 k k= Zadaie 4 ( pkt) Niech f : [0, ] [0, ] b dzie fukcj ros c Rozstrzygij, czy musi istie x [0, ] o tej wªaso±ci,»e f(x) = x Zadaie 5 ( pkt) Dla przyjmujemy kowecj ( i) = 0 dla i < 0 i i > Udowodij,»e dla i k Z prawdziwe s to»samo±ci a) ( ) = k j Z ( )( ), j k j b) ( ) = ( )( ) j k j + k j j + k j Z

16 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 3, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Niech Wyzacz kresy zbioru { a A = + a + + a + a } a,, a > 0 a + a a + a 3 a + a a + a Czy kresy ale» do zbioru A? Zadaie ( pkt) Oblicz ( a) lim a ( ) b) lim k + k ++ k, k N k+ k+ ), a > Zadaie 3 (4 pkt) Zbadaj zbie»o± ci gu zadaego rekurecyjie, a =, a =, a + = a + a Zadaie 4 ( pkt) Niech c > 0 Rozwa»my ci g Zbadaj zbie»o± ci gu ( a + a ) 0 a 0 =, a = c, a + = a + a Zadaie 5 ( pkt) Wyzacz kresy zbioru { B = + } m m, m,, m N

17 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 4, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Niech k N, k 0 Deiujemy ci g rekurecyjie x 0 > 0, x + = x + x k Zbadaj istieie graicy lim x k+ Zadaie ( pkt) Niech (a ) 0 b dzie ci giem liczb rzeczywistych speªiaj cym lim (a + a ) = 0, Czy z tego wyika,»e lim a = 0? lim (a a ) = 0 Zadaie 3 (4 pkt) Oblicz graic lim e k=0 k k! Zadaie 4 ( pkt) Niech (a ) 0 b dzie ograiczoym ci giem liczb rzeczywistych Niech m = lim if a, M = lim sup a Przypu± my,»e istieje ci g (ε ) 0 taki,»e ε > 0, a + > a ε, ε 0 Udowodij,»e ka»da liczba z przedziaªu [m, M] jest puktem skupieia ci gu (a ) 0 Zadaie 5 ( pkt) Niech c 0 Zbadaj zbie»o± ci gu a = c, a = c + c, a 3 = c + c + c,

18 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 5, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Zbadaj istieie graicy ci gu a = cos, > 0 Zadaie ( pkt) Niech α (0, ] i iech (a ) 0 b dzie ograiczoym ci giem liczb rzeczywistych speªiaj cym a + αa + ( α)a, Udowodij,»e ci g (a ) 0 jest zbie»y Zadaie 3 (4 pkt) Deiujemy ci g a = ( + )( + ) ( + ) ( )( ) ( ), a) Udowodij,»e lim a = e b) Udowodij,»e lim (a e) = e Zadaie 4 ( pkt) Niech c > 0 Deiujemy ci g (a ) 0 rekurecyjie, a 0 = c, a + = c a, 0 Zbadaj zbie»o± ci gu (a ) Zadaie 5 ( pkt) Rozwa»my ci g a 0 =, a + = si(a ), 0 Czy istieje liczba α > 0, dla której graica lim α a i sko«czoa? jest dodatia Uwaga: Nie ma zadaia pisemego

19 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 6, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Niech (a ) b dzie ci giem dodatim Czy ze zbie»- o±ci szeregu = a wyika zbie»o± szeregu = a 4? Zadaie ( pkt) Zbadaj zbie»o± szeregów a) = ( ) p, p > 0, (+ b) ) 3 = e Zadaie 3 (4 pkt) a) Czy dla ka»dej bijekcji f : N N szereg = b) Czy dla ka»dej bijekcji f : N N szereg = f() +f() jest zbie»y? jest rozbie»y? Zadaie 4 ( pkt) Zbadaj zbie»o± szeregu = (cos ) Zadaie 5 ( pkt) Niech (a ) b dzie dowolym ci giem a) Czy ze zbie»o±ci szeregu = a wyika zbie»o± szeregu = a? b) Czy ze zbie»o±ci szeregu = a wyika zbie»o± szeregu = a3?

20 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 7, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Udowodij,»e liczba = 0! jest przest pa Zadaie ( pkt) Zbadaj zbie»o± szeregów a) ( ) ( ) = 4, b) = ( ) (l ) (+) + Zadaie 3 (4 pkt) Zbadaj zbie»o± szeregu = ( ) [ ] Zadaie 4 ( pkt) Niech (a ) 0 b dzie malej cym ci giem zbie»ym do 0 Niech S = i= ( )i a i Udowodij,»e szeregi =0 S, =0 a S i =0 a s jedocze±ie zbie»e lub jedocze±ie rozbie»e Zadaie 5 ( pkt) Niech (a ) 0 b dzie ci giem liczb dodatich Udowodij,»e ast puj ce waruki s rówowa»e (W) lim if a > 0 (W) Dla ka»dego ieros cego ci gu (b ) 0 je±li b k a k dla iesko«czeie wielu k 0, to =0 b =

21 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 8, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Udowodij,»e ka»d fukcj lipschitzowsk f : R R mo»a przedstawi w postaci ró»icy fukcji iemalej cych Zadaie ( pkt) Zbadaj zbie»o± (okre±l, czy s zbie»e do 0, do, do graicy sko«czoej dodatiej lub ie maj graicy) ast puj cych iloczyów iesko«czoych a) = tg ( ), b) = 0 Zadaie 3 (4 pkt) Niech a,, a b d dowolymi liczbami rzeczywistymi Udowodij ierówo± a i i= ε,,ε {,+} a i ε i i= Zadaie 4 ( pkt) Dla udowodij ierówo±ci 4( + ) < i= ( ) i i + < 4 Zadaie 5 ( pkt) Czy istieje fukcja f : R R, która ma wªaso± Darboux, ale ie jest ci gªa w»adym pukcie?

22 Aaliza Matematycza I Mecz, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Dla jakich liczb α R ci g ({α}) jest g sty w odciku [0, ]? Zadaie (4 pkt) Niech 0 < x < x < < x i iech λ i 0 speªiaj waruek i= λ i = Udowodij,»e ( ) i= λ i x i ) ( i= λ i x i (x + x ) 4x x Zadaie 3 (3 pkt) Dla iech a = k=0 ( k) Udowodij,»e a = + a +, Udowodij,»e lim a = Zadaie 4 (5 pkt) Niech (a ) b dzie ci giem liczb dodatich Udowodij ierówo± = a a < e a Zadaie 5 ( pkt) Niech (a ) i (b ) b d ci gami dodatimi Rozstrzygij, czy ze zbie»o±ci szeregów = a i = b wyika zbie»o± szeregu = max{a, b }? = Zadaie 6 ( pkt) Dla a (0, ) zbadaj zbie»o± szeregu a + ++ = Zadaie 7 (3 pkt) Niech = a b dzie rozbie»ym szeregiem o wyrazach dodatich i iech S = i= a a i Udowodij,»e szereg = jest rówie» S rozbie»y Zadaie 8 (4 pkt) Rozwa»my ci g zaday rekurecyjie a + = 4a ( a ) Niech p N, p Udowodij,»e istieje a [0, ] takie,»e a p+ = a i a i a dla i =, 3,, p Iymi sªowy, ci g (a ) ma okres p Zadaie 9 (3 pkt) Niech (a ) b dzie ci giem liczb dodatich Przypu± my,»e ( ) lim l a = g a + Udowodij,»e je±li g >, to szereg = a jest zbie»y, a je±li g <, to szereg te jest rozbie»y Zadaie 0 ( pkt) Dla udowodij ierówo± > 3

23 Aaliza Matematycza I Mecz, P Nayar, 0/ Zadaie ( pkt) Poda przykªad fukcji f : R R której zbiorem puktów ieci gªo±ci jest zbiór liczb wymierych Zadaie (3 pkt) Udowodij,»e zbiór puktów ci gªo±ci fukcji f : R R jest zbiorem typu G δ Zadaie 3 (5 pkt) Wyzacz wszystkie fukcje ci gªe speªiaj ce rówaie fukcyje f(x + y) + f(y x) = f(x)f(y) Zadaie 4 (4 pkt) Powiemy,»e fukcja f : R R jest aiczie parzysta je±li istieje a R takie,»e f(a x) = f(a + x) dla wszystkich x R Rozstrzygij, czy ka»da fukcja ci gªa jest sum dwóch aiczie parzystych fukcji ci gªych Zadaie 5 ( pkt) Niech a a a b dzie ci giem liczb rzeczywistych Przyjmijmy a + = a i iech f : R R b dzie fukcj wypukª Udowodij ierówo± f(a k )a k+ k= f(a k+ )a k k= Zadaie 6 (3 pkt) Niech x, x,, x b d liczbami rzeczywistymi speªiaj cymi waruek i= x3 i = 0 Udowodij,»e i= x i 3 Zadaie 7 (5 pkt) Udowodij,»e dla x (0, π) i prawdziwa jest ierówo± si kx > 0 k k= Zadaie 8 ( pkt) Niech W : R R b dzie wielomiaem stopia d Zbadaj istieie graicy W ( x ) lim x + W (x) Zadaie 9 (3 pkt) Oblicz sum szeregu =0 ( ) ( + ) 3 ( + ) Zadaie 0 (4 pkt) Niech f : (0, ) R b dzie fukcj ci gª speªiaj c waruek ( x ) lim f = 0 dla ka»dego x > 0 Udowodij,»e lim x 0 + f(x) = 0

24 Aaliza Matematycza I Mecz 3, P Nayar, 0/ Zadaie (4 pkt) Udowodij ierówo± tg(si x) > si(tgx), x (0, π/) Zadaie (4 pkt) Niech a,, a, b,, b b d liczbami rzeczywistymi dodatimi Rozstrzygij, czy fukcja musi mie miejsce zerowe f(x) = a k cos(b k x) k= Zadaie 3 ( pkt) Fukcja klasy C ([0, ]) speªia ierówo± f (x) λ f(x) dla pewej staªej λ > 0 oraz f(0) = 0 Czy z tego wyika,»e f(x) = 0 dla wszystkich x [0, ]? Zadaie 4 ( pkt) Udowodij ierówo± cos x e x /, x [0, π] Zadaie 5 (5 pkt) Niech f : R R b dzie fukcj klasy C (R) Przypu± my,»e dla ka»dego x R istieje liczba aturala (x) o tej wªaso±ci,»e f ((x)) (x) = 0 Czy z tego wyika,»e f jest wielomiaem? Zadaie 6 (3 pkt) Udowodij,»e dla ka»dej liczby aturalej prawdziwa jest ierówo± e + < e ( + ) < e + Zadaie 7 (3 pkt) Niech m, b d dodatimi liczbami aturalymi i iech ( ) k m f(m, ) = k m + k= Udowodij,»e f(m, ) jest liczb atural Zadaie 8 (3 pkt) Niech (a ) b dzie ci giem liczb rzeczywistych Przypu± my,»e dla ka»dego t R istieje graica lim e ita wyika,»e ci g a jest zbie»y do graicy sko«czoej? Czy z tego Zadaie 9 (5 pkt) Udowodij,»e pªaszczyzy ie da si pokry koªami domki tymi o parami rozª czych w trzach Zadaie 0 (4 pkt) Dla ε > 0 iech S = k Z(k ε, k + ε) Czy dla dowolego ε > 0 prost R mo»a przedstawi jako sko«czo sum zbiorów postaci as = {ax x S}, a R?