Rozmieszczenie liczb pierwszych

Transkrypt

1 Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i Suma po lewe stroie to fukca ζ Riemaa. Ze wzoru a sumę szeregu geometryczego mamy zatem ζ(s) = = s i=. p s i = Moża łatwo pokazać, że dla 0 < < Stąd dla 0 < < /2 mamy ( ) l <. ( ) l < 2. Zlogarytmumy teraz obie stroy rówości ( ): l ζ(s) = primes l ( ) < 2 p s Gdyby szereg /p był zbieży, to dla s + fukca ζ(s) byłaby zbieża, a więc ζ() też byłaby skończoa. primes p s.

2 2 Twierdzeie o rozmieszczeiu liczb pierwszych Istieą dwie waże werse twierdzeia o rozmieszczeiu liczb pierwszych: TWIERDZENIE O ROZMIESZCZENIU LICZB PIERWSZYCH (Hadamard, Valle- Poussi 896) Ozaczmy przez π() ilość liczb pierwszych mieszych bądź rówych. Zachodzi rówość π() l lim =. Iymi słowy π() l. Rówoważie moża π() przybliżać tzw. logarytmem całkowym: π() 2 l t dt. Lgarytm całkowy, ozaczay est przez Li() Pokażemy, że obie fukce są asymptotyczie rówe. W tym celu wystarczy skorzystać z reguły de l Hospitala. Obserwace empirycze pokazuą, że Li() przybliża fukcę π() z góry. Ale w roku 94 Littlewood wykazał, że fukca π() Li() zmieia zak ieskończeie wiele razy. Jego uczeń Staley Skewes wykazał, że pierwsza zmiaa zaku wystąpi uż przed Ale w 2000 roku pokazao, że leży oa poiże, Szacowaie p Korzystaąc z twierdzeia TRLP moża oszacować -tą liczbę pierwszą. Skoro wiemy, że π() l lim =, to lim [l π() + l l l ] = 0. Stąd [ ] l π() lim l l l + l l = 0. Poieważ l est ieograiczoe, więc suma w awiasie też dąży do zera. Stąd l π() lim l =.

3 3 Podstawmy w miesce liczbę p. Wówczas l π(p ) lim =, l p Poieważ z TRLP więc Ale π(p ) =, więc czyli p l. π(p ) l p lim =, p π(p ) l π(p ) lim =, p l lim =, p Współczyiki ewtoowskie Obliczmy w dość ietypowy sposób współczyik ( ) 0 = 0! 5 5!5!. Jase est, że w rozkładzie a czyiki pierwsze mogą tu występować tylko liczby pierwsze poiże 0. Spórzmy, w akie potędze występue każda z ich. W licziku est 5 = [0/2] liczb parzystych, co dae 5 dwóek. Spośród ich [0/2 2 ] = 2 to liczby podziele przez 4, co dae dwie dalsze dwóki, wreszcie [0/2 3 ] = co dae edą podzielą przez 8,. Z kolei w miaowiku est dwukrotość [5/2] = 2 i [5/4] =. Łączie 6 dwóek. Zatem po skróceiu będą dwie dwóki. Rachuki te moża zapisać w postaci ([0/2] 2[5/2])+(0/2 2 ] [5/2 2 ])+(0/2 3 ) 2[5/2 3 )] = (5 4)+(2 2)+( 0) = +0+ = 2. Podobie dla tróki: ([0/3] 2[5/3]) + ([0/3 2 ] [5/3 2 ]) = (3 2) + ( 0) = 2; dla piątki dla siódemki [0/5] 2[5/5] = 2 2 = 0; [0/7] 2[5/7] = 0 =. Zatem ( ) 0 = =

4 4 W ogólym przypadku liczba p występue w rozkładzie! dokładie [ ] k= p k razy. Oczywiście ta suma tylko z pozoru est ieskończoa. Zatem w rozkładzie współczyika ewtoowskiego ( ) 2 liczba pierwsza p występue ([ ] [ ]) 2 2 razy. k= p k p k Już poprzedio widzieliśmy, że składiki te są edykami bądź zerami. Rzeczywiście [2/p] 2[/p] < 2/p 2(/p ) = 2, a poieważ est to liczba całkowita, więc est rówa 0 lub. Zauważmy, że dla k > 2, składiki ostatie sumy są zerami. Zachodzi zatem astępuący: LEMAT Liczba pierwsza p występue w rozkładzie współczyika ( ) 2 co awyże w kp -te potędze, gdzie k p awiększa liczba aturala taka, że p kp 2. Pierwsze szacowaia dla π() Bezpośredio z lematu otrzymuemy ( ) 2 = Π p p kp (2) π(2). Z drugie stroy zauważmy, że liczby pierwsze z przedziału [ +, 2] występuą w rozkładzie współczyika ewtoowskiego w pierwsze potędze. Zatem Na ćwiczeiach pokażemy, że Łącząc te ierówości otrzymuemy: KLUCZOWY LEMAT ( ) 2 Π p [+,2 p π(2) π(). 2 ( ) (2) π(2), π(2) π() 2 2.

5 5 Dole szacowaie Zlogarytmumy obie stroy pierwsze ierówości: l 2 π(2) log 2 2 = π(2) l 2, skąd π(2) l 2 l 2 = l l 2. Uzyskamy teraz podobe, choć trochę słabsze szacowaia dla dowolego (w tym ieparzystego ). Niech [2, 2 + 2). Wówczas dla > π() π(2) l 2 2 Góre szacowaie 2 l 2 l l l 2 4 l > 0, 7 l. Zlogarytmumy obie stroy drugie ierówości: skąd (π(2) π()) log 2 2, π(2) π() 2 log 2 = 2 l 2 l, a więc 2 l 2 π(2) l + π(). Skorzystamy z ostatie ierówości k-krotie dla 2 = 2 k, k 3?: π(2 k ) 2k l 2 l 2 k +π(2k ) 2k l 2 l 2 k +2k l 2 l 2 k 2 +π(2k 2 ) 2k l 2 l 2 k +2k l 2 l 2 k l 2 l 2 2 +π(4) = = 2k l 2 (k ) l 2 + 2k l 2 (k 2) l 2 + l l < 2k k + 2k k Aby uprościć oszacowaie ostatie sumy rozważymy przypadek k = 2: π(2 2 ) < Oszacumy każdy ze składików: i=+ i= 2 i i= i = 2 i i= i < 2 i i < i=+ 2 i = 2 i i + 2 i < 2 + ; 2 i=+ i=+ 2 i i. 2 i < 22+.

6 6 Zauważmy, że te drugi składik szacowae sumy 2 2+ est tu składikiem domiuącym, więc = czyli π(2 2 ) < π(4 ) < 4+. = 4 22, Pozostae prześć do oszacowaia dla dowole zmiee. Niech 4 < < 4. Wówczas π() π(4 ) < 4+ = 6 4 Uogólieia i aalogie < 6 log 4 = 6 l 4 l = 32 l 2 l. Wiemy, że / l to liczby pierwsze. Z drugie stroy łatwo pokazać, że / spośród wszystkich permutaci a to cykle-czyli permutace ierozkładale. Wyglada a to, że liczbie w świecie permutaci odpowiada l w świecie liczb. I rzeczywiście: Hardy i Ramaua wykazali w roku 97, że ilość liczb mieszych od maących dokładie k dzielików pierwszych est asymptotyczie rówa l (l l )k. (k )! Z kolei liczba permutaci będąca iloczyem dokładie k cykli est asymptotyczie rówa (l )k (k )!. Jeśli zamiast w permutacach piszemy l otrzymuemy odpowiedi wzór dla teorii liczb. Podobie typowa permutaca rozkłada się a l cykli. Typowa liczba ma średio l l czyików. Itd. Więce: Adrew Graville s Home Page, public lectures: MSI- Aatomy of itegers... Cztery problemy Ladaua. Liczby bliźiacze 2. Liczby postaci Hipoteza Goldbacha (Wuek Piotr i hipoteza Goldbacha, ) 4.Hipoteza Legedre a: pomiędzy koleymi kwadratami est liczba pierwsza