Całkowanie metodą Monte Carlo

Transkrypt

1 Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu: 1. Podstwow metod Monte Crlo 2. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki

2 Przypomnienie widomości ze sttystyki: i) funkcj gęstości prwodpodobieństw ii) wrtość oczekiwn iii) wrincj (odchylenie stndrdowe) Przykłd. Rozkłd normlny (Guss) fgp: f(x) = 1 ¾ p 2¼ exp (x ¹)2 µ 2¾ 2 Funkcj gęstości prwdopodobieństw (fgp) t m nstępujące włsności b ^ f(x) 0 f(x)dx = 1 x2[;b] Przy jej pomocy możn określić prwdopodobieństwo zdrzeni że zmienn x przyjmie wrtość pomiędzy x x+dx: P fx x i x + dxg = f(x)dx Dl dnej funkcji gęstości prwdopodobieństw możn określić dystrybuntę rozkłdu x F (x) = 1 któr jest funkcją prwostronnie ciągłą i niemlejącą. b P fx 1 x x 2 g = f(x 0 )dx 0 f(x)dx = F (x 2 ) F (x 1 ) dystrybunt: F (x) = 1 2 µ 1 + erf µ x ¹ p 2¾

3 - wrtość oczekiwn zmiennej losowej x b hxi = E(x) = ¹(x) = xf(x)dx - wrincj zmiennej losowej x ¾ 2 (x) = h[x hxi] 2 i = = = b b b [x hxi] 2 f(x)dx x 2 2xhxi + hxi 2 f(x)dx x 2 f(x)dx 2hxi b + hxi 2 f(x)dx b xf(x)dx Wrtość oczekiwn µ orz odchylenie stndrdowe σ są prmetrmi funkcji gęstości prwdopodobieństw f(x). zwyczj chcemy określić wrtość oczekiwną zmiennej losowej z będącej funkcją np. innej zmiennej losowej x, czyli z=z(x): 1 zwyczj g(z) jest nieznn. Możn jendk skorzystć z prw przenoszeni prwdopodobieństw i powyższą cłkę przeksztłcić do postci A wrincję hzi = ¹(z) = hzi = ¹(z) = g(z)dz = f(x)dx zg(z)dz zg(z)dz = b ¾ 2 (z) = hz 2 i hzi 2 z(x)f(x)dx - odchylenie stndrdowe ¾ 2 (x) = hx 2 i hxi 2 i odchylenie stndrdowe ¾(x) = p hx 2 i hxi 2 ¾(z) = liczymy w znny już sposób. p hz2 i hzi 2

4 Jeśli ciąg liczb fx i g = fx i jn = 1; 2; : : : ; Ng stnowią zmienne losowe o funkcji gęstości prwdopodobieństw f(x) to estymtorem wrtości oczekiwnej µ(z) zmiennej losowej z(x i ) jest średni z próbki z wrincją ¹z = 1 N z(x i ) ¾ 2 (z) = 1 N 1 [z(x i ) ¹z] 2 Uwg: (N-1) w minowniku wynik z fktu że średnią wyliczmy z N wrtości z(x i ) znjąc jej wrtość możemy wyliczyć dowolną z(x i ) dysponując N-1 pozostłymi wrtościmi. Liczb stopni swobody zmniejsz się o 1. W prktyce, dl dużych N jedynkę możn pominąć. Mirą rozrzutu zmiennych losowych z i wokół wrtości średniej jest odchylenie stndrdowe ¹z ¾ 2 (z) = Ale też jest zmienną losową, poniewż konstruujemy ją ze zmiennych z i (kżd z nich m identyczną wrincję). Jkie jest odchylenie stndrdowe średniej? Ã ¾ 2 (¹z) = ¾ 2 1 N =! z i = 1 N 2 Do jego estymcji możemy użyć (z) 1 (z i ¹z) 2 N 1 µ 1 X N zi 2 N 1 1 µ X N 2 z i N ¾ = p ¾ 2 (z) ¾(¹z) = ¾(z) p N ¾ 2 (z) = 1 N ¾2 (z)

5 Podstwow metod Monte Crlo Interesuje ns wyznczenie ( rczej estymcj) wrtości oczekiwnej zmiennej losowej z = z(x) któr jest funkcją wektor zmiennych (losowych): x = [x 1 ; x 2 ; : : : ; x m ] Rozkłd prwdopodobieństw zmiennej losowej z opisuje funkcj gęstości g(z) 1 1 g(z(x))dz = 1 rozkłd prwdopodobieństw wektor x opisuje funkcj gęstości f(x) f(x)dx = 1 Przy tkich złożenich, zgodnie z CTG lim P N!1 metodę Monte Crlo szcowni wrtości cłek w wersji podstwowej definiują wzory: ) wrtość cłki I = 8 < j¹z hzij : ¾(z) p N Uwg: x jest wektorem, którego skłdowe są niezleżnymi zmiennymi losowymi o określonych funkcjch gęstości prwdopodobieństw b) błąd oszcowni 9 = ; = p 1 2¼ z(x)f(x)dx ¼ 1 N z(x) e u2 2 du hzi = 1 1 zg(z)dz = z(x)f(x)dx ¾(I) = ¼ s ¾(z) p N (z hzi) 2 f(x)dx 5

6 zwyczj obszrem cłkowni jest określony podzbiór przestrzeni R M. W tkim przypdku obliczną cłkę trzeb zpisć w nieco zmienionej postci: I = z(x)f(x)dx = 1 (x)z(x)f(x)dx Przykłd Wyznczyć pole powierzchni obiektu o nieregulrnym ksztłcie. gdzie: 1 (x) jest funkcją przynleżności do zbioru ½ 1 (x) = ½ 1 dl x 2 0 dl x =2 Kwdrtur Monte Crlo (metod orzeł-reszk) I = Uwgi: z(x)dx = 1 (x)z(x)dx ¼ N 1 (x)z(x) ) w powyższym przypdku zkłdmy, że funkcj gęstości prwdopodobieństw jest stł w obszrze Ω S = S = N 1d 2 r = 1 = n N 1 d 2 r b) wydjność metody zleży od stosunku wielkości obszru i obszru Ω. 6

7 Przykłd Nleży obliczyć numerycznie wrtość cłki I = 1 dx 1 1 dx 2 1 dx 3 1 dx 4 1 dx 5 g(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ) g = p x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) metod trpezów 1 0 f(y)dy = h I trp = h 5 X n w i i=0 " f(y 0 ) + f(y n ) 2 X n w j j=0 X n w k k=0 + n 1 X X n w l l=0 f(y i ) n X m=0 # y 0 = 0 y n = 1 w m g(x i ; x j ; x k ; x l ; x m ) h = 1 n w i;j;k;l;m = ½ 1 2 i; j; k; l; m = 0; n 1 i; j; k; l; m = 1; 2; : : : ; n 1 b) kwdrtur Monte Crlo I MC = N g(x) = 5 - objętość obszru obliczeniowego = 1 gdzie: X = [X 1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 ; X 5 ] jest wektorem, którego skłdowe są zmiennymi losowymi 7

8 Rys. Wykres błędu oszcowni wrtości cłki w zleżności od liczby węzłów (trpezy)/losowń (MC). C wrtość dokłdn cłki I wrtość cłki wyznczon numerycznie 8

9 Przykłd Dzielnik npięci powinien zpewnić tłumienie o wrtości 0.5 z dokłdnością 2%. Opory r 1 i r 2 mją rozrzuty produkcyjne które możn reprezentowć z pomocą niezleżnych zmiennych r 1 r 2 Tłumienie jest relizcją zmiennej losowej: k = r 1 r 1 + r 2 Rozkłd tej zmiennej opisuje fgp: f k (k) o funkcjch gęstości prwdopodobieństw f r1 (r 1 ) f r2 (r 2 ) zleżn od f r1 (r 1 ) f r2 (r 2 ) Wyznczyć estymtę uzysku produkcyjnego, czyli średniego odsetk ukłdów sprwnych. Tłumienie npięciowe dzielnik: Wrunkiem sprwności ukłdu (jednej z wielu relizownych możliwości) jest : k 2 = [0:49; 0:51] k = r 1 r 1 + r 2 Wykorzystujemy metodę MC do estymcji wrtości oczekiwnej: 1 = 1 1 (k)f k (k)dk k jest funkcją wektor losowego: r = [r 1 ; r 2 ] T 9

10 dltego uzysk produkcyjny możn wyrzić wzorem n średnią wrtość funkcji przynleżności: = R 2 1 (k(r))f r (r)dr Algorytm wyznczeni uzysku: 1) Wylosuj prę liczb: r 1 i r 2, zwiększ N o 1 2) Jeśli obliczone k mieści się w obszrze wówczs zwiększ N s o 1 3) Uzysk oblicz jko wrtość ułmk gdzie: f r = f r1 (r 1 )f r2 (r 2 ) = N s N Przykłd. jest iloczynem ze względu n niezleżność zmiennych losowych r 1 i r 2. Wyznczyć minimlną liczbę N próbek wystrczjącą do wyznczeni estymty uzysku z trzysigmowym błędem względnym: Estymtę uzysku możn obliczć jko średnią rytmetyczną gdzie: ^ = 1 N r 1 ; r 2 r 3 ; : : : 1 (k(r n )) n=1 są niezleżnymi relizcjimi wektor losowego r Dl ± =0.1%,1%,10%. ± = 3¾^ ^ Obliczmy wrincję estymtor: ¾ 2^ = µ 1 X N 1 (k(r n )) 2 N(N 1) n=1 1 µ X N 2 1 (k(r n )) N n=1 = ^ (1 ^ ) N 1 10

11 Błąd względny: ± = 3 s 1 ^ (N 1)^ Metody zwiększni efektywności metody Monte Crlo I = G(x)f(x)dx = R M 1 (x)g(x)f(x)dx Przeksztłcjąc go możn otrzymć wyrżenie n minimlną liczbę próbek potrzebną do uzyskni wymgnej dokłdności: 2 N = 1 ^ ^ µ 3 ± Dokłdność wyznczeni cłki metodą MC zleży od liczeby próbek N orz wrincji zmiennej losowej: z = 1 (x)g(x) Wydjność metody możn zwiększyć ustljąc N i dokonując tkiej trnsformcji funkcji podcłkowej by now zmienn losow (funkcj) mił mniejszą wrincję. Rys. leżność minimlnej liczby próbek od złożnego uzysku 11

12 ) Metod losowni wżonego Njmniejszą wrtość wrincj osiąg dl: kłdmy że dl g x (x) x 2 jest fgp dodtnio określoną g x (x) = 1 jg(x)jf x (x) R jg(x)jf x(x)dx I = E(z) = Cłkę estymujemy: y = 1 G(x)f x =g x I = 1 N ½ G(x) f ¾ x(x) g x (x) g x(x)dx y(x n ) n=1 Jeżeli G(x) jest funkcją nieujemną, wówczs minimln wrincj estymtor wżonego jest równ 0. Nleżłoby jednk w tkim przypdku znć wrtość cłki w minowniku. zwyczj nie jest to możliwe, dltego funkcję G(x) zstępuje się inną G 1 (x), której cłk może być łtwo obliczon. Minimlizcj wrincji w tkim przypdku zleży od jkości zstosownego przybliżeni. mienn losow z m tką smą wrtość oczekiwną jk zmienn losow y orz wrincję zleżną od fgp: g x (x) Wrincję etsymtor cłki możn zmniejszyć odpowiednio dobierjąc fgp. 12

13 b) Metod zmiennej kontrolnej. Metod poleg n dekompozycji cłki: I = Gdzie: ^G(x)f x dx + ^G(x) jest proksymcją funkcji G(x) umożliwijącą łtwe obliczenie pierwszego wyrzu po prwej stronie (nlitycznie lub numerycznie). Wrincj zmiennej losowej m zncznie mniejszą wrincję niż G(x). c) Losownie wrstwowe W metodzie tej obszr cłkowni dzieli się n K rozłącznych podobszrów: Cłkę I oblicz się jko sumę cłek w podobszrch. y = G(x) ^G(x) 1 ; 2 ; : : : ; k h i G(x) ^G(x) f x dx gdzie: k=1,2,3,...,k Cłki I k możn obliczć z pomocą podstwowej wersji metody MC Próbki I k = G(x)f x (x)dx k = ¹( k ) G(x)f x =¹( k )dx k ¹( k ) = ^I k = ¹( k) N k XN k n=1 fx (k) n jn = 1; 2; : : : ; N k g są relizcjmi wektor losowego x o fgp k f x (x)dx f x;k (x) = 1 k f x (x) ¹( k ) 1 k (x (k) n )G(x (k) n ) 13

14 d) Metod obniżni krotności cłki Obniżeni krotności cłki możn dokonć gdy jest możliw dekompozycj wektor oryginlnych zmiennych losowych: m zzwyczj mniejszą wrincję niż G(x) co pozwl dość łtwo obliczyć cłkę zewnętrzną. Metod jest skuteczn jeśli potrfimy dość dokłdnie i szybko obliczyć cłkę wewnętrzną (nlitycznie lub numerycznie). orz obszru x T = [u T v T ] = u v Metod MC wymg zstosowni genertor liczb pseudolosowych o zdnym rozkłdzie gęstości prwdopodobieństw. Genertory ( rczej ciągi generownych liczb) muszą spełnić określone wrunki (korelcj, okres, fgp itp.). że zchodzi I = u mienn losow z = f x (x) = f u (u)f v (v) ½ u 2 u v 2 v v G(x(u; v))f v (v)dv v G(x(u; v))f v (v)dv ¾ f u (u)du stosowni metody Monte Crlo ) sumulcj komputerow probbilistycznego modelu mtemtycznego/fizycznego (kwntow dyfuzyjn metod MC). b) Oblicznie wrtości cłek wielokrotnych (oblicznie objętości, momentów bezwłdności itp. obiektów o nieregulrnym ksztłcie) c) Optymlizcj (minimlizcj czsu oczekiwni pcjent w kolejce do lekrz) d) Rozwiązywnie równń różniczkowych (rów. Poisson metodą błądzeni przypdkowego ze stłym lub zmiennym krokiem) 14