Bardzo lekkie wprowadzenie do metod zliczania
|
|
- Miłosz Leszczyński
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Bardzo leie wprowadzeie do metod zliczaia Ryszard Rębowsi 12 listopada Wstęp Zacziemy od przedstawieia podstawowe metodologii wspomagaące proces zliczaia (MPZ). Poieważ celem tego procesu est stwierdzeie z ilu elemetów słada się day zbiór, u podstaw MPZ musi zaleźć się wymóg potrzeby oreśleia tego zbioru. Przypuśćmy, że potrafimy to zrobić, i iech azywa się o A. Oczywiście możemy założyć, że A. Aby dooać procedury zliczeia musimy zacząć od ustaleia zbioru wartości miary te procedury, według poiże zasady X A A K, (1) gdzie X ozacza ustaloy zbiór, z elemetów tórego sładaą się zbiory typu A, symbol A ozacza wartość procedury MPZ odoszącą się do zbioru A, K ozacza zbiór wszystich możliwych wartości uzysaych w wyiu MPZ. Dale K będziemy azywali zbiorem liczb ardyalych, wyi MPZ A, mocą zbioru A. W taim razie MPZ est sposobem mierzeia zbioru oreślaącym ego moc. Przedźmy teraz do szczegółów. Zacziemy od przedstawieia ostruci liczby ardyale szczególego typu. 2 Poęcie sończoe liczby ardyale Przypuśćmy, że ze zbioru X wybraliśmy dwa iepuste zbiory C i D. Z defiici przymiemy, że są oe rówolicze, co zapiszemy C D, eśli istiee odwzorowaie f : C D, tóre est różowartościowe oraz ego zbiorem wartości est zbiór D. 1 Fat 1 (własości związu rówoliczości) Dla dowolych trzech podzbiorów C, D, E X mamy: 1 Dale o taim odwzorowaiu będziemy mówili, że est biecą. 1
2 2 POJĘCIE SKOŃCZONEJ LICZBY KARDYNALNEJ 1. C C, co ozacza, że ażdy zbiór est rówoliczy ze sobą (efet tzw. zwrotości); 2. C D D C, co ozacza, że eśli zbiór C est rówoliczy ze zbiorem D, tod musi być rówoliczy z C (efet tzw. symetrii); 3. C D i D E C E, co ozacza, że eśli zbiór C est rówoliczy ze zbiorem D i edocześie D est rówoliczy z E, toapewoc i E są rówolicze (efet tzw. przechodiości). Dowód. Zwrotość est osewecą stwierdzeia, że odwzorowaie idetyczościowe est biecą. Dla dowodu właściwości symetrii wystarczy zauważyć, że ażda bieca est odwracala oraz powstałe odwzorowaie est rówież biecą. Przechodiość z olei wyia z uwagi, że złożeiem bieci est bieca. 2 Ustalmy teraz C X oraz weźmy zbiór złożoy ze wszystich podzbiorów D X, tóre są rówolicze z C. Ozaczaąc te zbiór przez [C] możemy apisać Defiica 1 (lasy abstraci) Przez lasę abstraci zbioru C względem zależości rozumiemy zbiór [C], gdzie [C] {D X : D C}. Z Fatu 1 widzimy, że zachodzi astępuąca własość. 3 Wiose 1 1. C [C], co ozacza, że lasa abstraci dowolego zbioru est zbiorem iepustym. 2. Dla dowolych dwóch podzbiorów C, D X, albo [C] [D], albo [C] [D]. Zatem, eśli dwie lasy różią się chociażby edym elelmetem, to muszą być rozłącze. 2 Szczegóły pozostawiemy Czyteliowi. 3 Czyteli powiie umieć to uzasadić. 2
3 2 POJĘCIE SKOŃCZONEJ LICZBY KARDYNALNEJ Gotowi esteśmy do podaia ostruci zbioru liczb ardyalych K. Defiica 2 (sończoe liczby ardyale) 4 1. Niech C X będzie tai, że C [{1}], gdzie1 ozacza liczbę aturalą ede. Wtedy symbolem 1 ozaczymy moc zbioru C, czyli C 1 K. Jest to pierwsza ietrywiala liczba ardyala. Dale będziemy ą azywali róto ede. 5 Iogólie, 2. Dla C [{1, 2,...,}], gdzie ozacza liczbę aturalą więszą lub rówą ede, symbolem ozaczymy moc zbioru C, czyli C K. Defiica sończoe liczby ardyale pozwala zdefiiować am zbiór wszystich sończoych liczb ardyalych K, czyli K {0, 1,...,,...}. (2) Defiica 3 Powiemy, że zbiór C X est sończoy, eśli C K. Z defiici rówoliczości, własości związu oraz defiici sończoe liczby ardyale wyiaą astępuące pratycze stwierdzeia. Wiose 2 Niech C będzie dowolym sończoym podzbiorem X. Wtedy albo C est zbiorem pustym, albo istiee liczba aturala, że C {1, 2,...,}, co ozacza, że zbiór C est wartością ciągu dla pewe bieci f. (c 1,c 2,...,c ), gdzie f() c dla 1, 2,...,, Dowód. Wystarczy zauważyć, że C dla pewe sończoe liczby ardyale i sorzystać z wyiów (aich?) tego rozdziału. 4 Istieą tzw. iesończoe liczy ardyale. W tym sesie w matematyce mówi się o różych rodzaach iesończoości. Namiesza z ich reprezetowaa est przez zbiór liczb aturalych. Wtedy piszemy N ℵ o. Ale w przypadu zbioru liczb rzeczywistych mamy uż R N. Dlatego R ℵ o. Piszemy też wtedy R c. poieważ N R oraz zbiory te ie są rówolicze, piszemy też ℵ o < c. Mamy w te sposób uż dwie róże ieso czoości. A est ich o wiele więce! 5 Dla zbioru pustego mamy [ ] { } i z defiici przymuemy, że 0. 3
4 2 POJĘCIE SKOŃCZONEJ LICZBY KARDYNALNEJ Wiose 2 ilustrue istotę MPZ, czyli zawiso ustawieia wszystich elemetów zbioru w sończoy ciąg. Maąc taie ustawieie, możemy ieao a zasadzie odczytywaia listy obecości dooać listigu tego zbioru. Mówimy wtedy, że est o przeliczaly. Zbiór tai, powiedzmy C X reprezetoway wtedy est przez podzbiór zbioru liczb aturalych {1, 2,..., }, gdzie C. Jedocześie ależy pamiętać, że sończoa liczba ardyala, ao wyi pomiaru mocy zbioru to ie to samo, co odpowiadaąca e liczba aturala, co ilustrue poiższy przyład. Przyład 1 Weźmy astępuące zbiory: {1, 2, 3}, {a, b, c}, { czerwoy, zieloy, iebiesi }, {F, G, H}, gdzie a, b, c reprezetuą azwy abstracyych poęć, F, G, H są podzbiorami aiegoś zbioru. Jase est, że pochodzeie tych zbiorów est róże. Poieważ są rówolicze, pochodzą z te same lasy abstraci, tóra reprezetowaa est przez pierwszy ze zbiorów. Mamy zatem pewą ieedozaczość różym zbiorom odpowiada ich wspóly reprezetat. Ta wspólość staowi istotę defiici mocy zbioru, tóra oreśloa uż est edozaczie, co zapisuemy ao {1, 2, 3} {a, b, c} { czerwoy, zieloy, iebiesi } {F, G, H} 1. Niemie eda dale, o ile ie będzie to prowadziło do ieporozumień, będziemy pisali C, w miesce dotychczasowego sposobu C. Możemy teraz sformułować treść Metodologii Procesu Zliczaia dla zbiorów sończoych. Procedura MPZ polega a: 1. Idetyfiaci obietu, tóry e podlega, czego efetem est pewie zbiór C. 2. Wyazaiu, że C {1, 2,...,} dla pewe liczby aturale. 6 6 Odbywa się to przy zastosowaiu tzw. reguł zliczaia, tórymi zamiemy się dale. 4
5 3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ 3 Wybrae przyłady prowadzące do MPZ Podamy teraz szereg przyładów i sposoby ich rozwiązaia. Uogólieia tych sposobów de facto doprowadzą as do metod używaych w MPZ. Przyład 2 Niech dae będą trzy elemety: a, b, c pewego zbioru X. Należy wyzaczyć liczbę wszystich możliwych uporządowań tych elemetów. Rozwiązaie. Zgodie z MPZ sostruuemy mogość, powiedzmy P, tóre elemetami będą wszystie ciągi długości trzy o różych wyrazach ależących do zbioru {a, b, c}. Poieważ P {(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)}, gdzie ażdy elemet zbioru P reprezetue ie uporządowaie {a, b, c}, P 6. Przyład 3 Nailesposobówzezbioru{a, b, c, d} X moża wybrać trzy-elemetowe podzbiory? Rozwiązaie. Tym razem bierzemy zbiór, tórego elemetami są wspomiae w zagadieiu zbiory. Dale tai zbiór będziemy azywali rodzią zbiorów lub róto rodzią. Ozaczaąc tę rodzię przez C otrzymamy Dlatego C 4. C {{a, b, c}, {a, b, d}, {b, c, d}, {a, c, d}}. Przyład 4 Na ile sposobów ze zbioru {a, b, c} X moża wybrać par uporządowaych? Rozwiązaie. Bierzemy zbiór V, tórego elemetami są wszystie 2 wyrazowe ciągi o wartościach w zbiorze {a, b, c}, czyli V {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, a), (b, c), (c, c), (c, a), (c, b)}. Dlatego V Przyład 5 Ile powstaie taich par uporządowaych powstałych z różych elemetów zbioru {a, b, c}? Rozwiązaie. Jeśli W ozacza zbiór wszystich taich par, to dlatego W 6. W V\{(a, a), (b, b), (c, c)}, 5
6 3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ Przyład 6 Niech dla podzbioru sończoego A X, A A 1 A 2 A 1,A 2. Obliczyć moc zbioru A. dla pewych zbiorów Rozwiązaie. Zacziemy od aalizy sytuaci iedy zbiory A 1,A 2 są rozłącze. Ustawmy wszystie elemety obu zbiorów w dwa ciągi, powiedzmy (a 1,a 2,...,a ), gdzie a A 1, (b 1,b 2,...,b m ), gdzie b A 2. Scalamy teraz ta sostruowae ciągi do ciągu postaci (a 1,a 2,...,a,b 1,b 2,...,b m ). Z założeia powstały ciąg słada się z różych wyrazów oraz ze wszystich elemetów zbioru A. Dlatego istiee bieca pomiędzy zbiorami {1, 2,..., m+ } oraz A. Stąd A + m A 1 + A 2. Rozumowaia powyższego ie możemy powtórzyć w przypadu iedy zachodzi warue A 1 A 2. W taie sytuaci zauważmy, że A (A 1 \ A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 2 \ A 1 ). Wtedy A est sumą trzech parami rozłączych zbiorów, powiedzmy C 1,C 2,C 3, gdzie C 1 A 1 \ A 2,C 2 A 1 A 2,C 3 A 2 \ A 1. Powtarzaąc rozumowaie przedstawioe wyże, dla trzech parami rozłączych zbiorów możemy apisać A C 1 + C 2 + C 3. Obliczymy pierwszy i ostati sładi powyższe sumy. Zauważmy apierw, że z defiici różicy mogościowe możemy apisać Podobie C 1 A 1 \ (A 1 A 2 ). C 3 A 2 \ (A 1 A 2 ). Ale wtedy A 1 C 1 (A 1 A 2 ),A 2 C 2 (A 1 A 2 ) oraz poieważ występuące po prawych stroach ostatich rówości zbiory są rozłącze, z uzysaego a wstępie rozwiązaia wyiu dostaiemy A 1 C 1 + A 1 A 2, A 2 C 2 + A 1 A 2, 6
7 3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ co ozacza, że Dlatego dostaiemy C 1 A 1 A 1 A 2, C 2 A 2 A 1 A 2. A A 1 A 1 A 2 + A 1 A 2 + A 2 A 1 A 2. Prowadzi to do astępuące oluzi dla dowolych dwóch sończoych podzbiorów A 1,A 2 A 1 A 2 A 1 + A 2 A 1 A 2. Przyład 7 Uogólić ostati wzór a przypade trzech zbiorów. Rozwiązaie. Zastosuemy dwurotie otrzymay wyże wyi. W tym celu zauważmy, że A 1 A 2 A 3 (A 1 A 2 ) A 3. Dlatego A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 + A 3 (A 1 A 2 ) A 3. Ale z zasady rozdzielości iloczyu mogościowego względem sumy mamy sąd (A 1 A 2 ) A 3 (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 ), (A 1 A 2 ) A 3 A 1 A 3 + A 2 A 3 (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 ), czyli (A 1 A 2 ) A 3 A 1 A 3 + A 2 A 3 A 1 A 2 A 3. Dlatego A 1 A 2 A 3 A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 2 A 3 A 1 A 3 + A 1 A 2 A 3. Przyład 8 Wyzaczyć liczbę wszystich podzbiorów zbioru {a, b, c} X. Rozwiązaie. Ozaczmy przez P rodzię złożoą ze wszystich podzbiorów zbioru {a, b, c}. Zauważmy, że możemy apisać P P o P 1 P 2 P 3, gdzie z defiici P ozacza rodzię wszystich elemetowych podzbiorów zbioru {a, b, c}. Z defiici wyia wprost, że rodziy P są parami rozłącze. Korzystaąc z wyiu Przyładu 7 mamy P P o + P 1 + P 2 + P 3. Ale P o { } 1, P 3 {a, b, c} 1, oraz z Przyładu 3, P 1 3, P 2 3. Dlatego P
8 3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ Przyład 9 Wyzaczyć moc iloczyu artezańsiego dwóch sończoych iepustych zbiorów. Rozwiązaie. Z założeia A A 1 A 2 dla pewych sończoych iepustych podzbiorów zbioru X. Weźmy wszystie elemety zbioru A, czyli pary uporządowae (a i,b ), gdzie a i A 1 dla i 1, 2,..., A 1 oraz b A 2 dla 1, 2,..., A 2 m. Uporządumy te elemety w astępuący sposób: (a 1,b 1 ), (a 1,b 2 ),... (a 1,b m ) (a 2,b 1 ), (a 2,b 2 ),... (a 2,b m ) (a,b 1 ), (a,b 2 ),... (a,b m ). Dlatego A 1 A 2 m A 1 A 2. Przyład 10 Dla zbioru C {a, b, c} X defiiuemy fucę 1, x C 1 C (x) 0, x {a, b, c}\c. Ta zdefiiowaą fucę azwiemy fucą charaterystyczą zbioru C. Weźmy zbiór F wszystich fuci charaterystyczych. Należy zliczyć te zbiór. Rozwiązaie. Na wstępie zauważmy, że ażde fuci charaterystycze 1 C odpowiada doładie eda fuca f : {a, b, c} {0, 1} i a odwrót. Istotie, dla daego zbioru C, f 1 C ma powyższe własości. Jeśli teraz fuca f oreśloa a {a, b, c} przymue tylo dwie wartości: 0 i 1, to dla zbioru C, gdzie C {x {a, b, c}: f(x) 1} mamy f 1 C. Ozacza to, że zbiory F oraz rodzia P wszystich podzbiorów zbioru {a, b, c} są rówolicze. Z Przyładu 8 wyia, że F
9 4 WYBRANE METODY 4 Przegląd wybraych metod zliczaia Ja sygalizowaliśmy wcześie, poażemy teraz aważiesze uogólieia przyładów zaprezetowaych powyże. Więszość z ich moża zalasyfiować do grupy tzw. metod zliczaia. Poażemy też ie zastosowaia tych metod, o tórych do te pory ie wspomialiśmy. 4.1 Zasada addytywości oraz włączaia-wyłączaia Twierdzeie 1 (Zasada Addytywości) Niech X ozacza iepusty zbiór, A rodzię złożoą z sończoych podzbiorów X, taich, że są parami rozłacze, czyli A i A dla i, {1, 2,...,}, i, A i A. Wtedy A 1 A 2... A A i. (3) i1 Dowód. Przebiega podobie a dowód własości podae w Przyładzie 6 (szczegóły pozostawiamy Czyteliowi). Uogólieiem Przyładu 6 i 7 oraz ZA est astępuąca zasada włączaiawyłączaia. Twierdzeie 2 (Zasada Włączaia-Wyłączaia) Przypuśćmy, że A {A 1,A 2,...,A }, gdzie A X sończoe podzbiory. Dla 1, 2,..., iech A ozacza rodzię, tóre elemetami są wszystie - elemetowe podzbiory rodziy A. Zatem A 1 {{A 1 }, {A 2 },...,{A }}, {A 1,A 2 } A 2, {A 1,A 2,A 3 } A 3, itd. Aby wyzaczyć moc sumy wszystich elemetów rodziy A ależy: dodać do siebie moce wszystich iloczyów elemetów rodzi A dla ieparzystych wartości (efet włączaia), odąć od powyższe sumy moce wszystich iloczyów elemetów rodzi A dla parzystych wartości (efet wyłączaia). Na przyład, dla A {A, B, C} mamy: A 1 {{A}, {B}, {C}}, A 2 {{A, B}, {A, C}, {B,C}}, A 3 {{A, B, C}}. 9
10 4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY Wtedy dostaiemy (patrz wyi poday w Przyładzie 7) A B C A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C. }{{}}{{}}{{} efet włączaia efet wyłączaia efet włączaia Dowód tego twierdzeia przebiega podobie a dowód wzoru podaego w Przyładzie 7. Ze względu a ego uciążliwy charater pomiiemy go. W zamia propouemy Czyteliowi apisaie treści te zasady dla przypadu Zasada wielorotego wyboru Przypuśćmy, że mamy abstracyy obiet O, tórego strutura zdetermiowaa est przez uporządowaych staów s, gdzie ażdy z ich może przymować oreśloą ilość różych wartości s dla 1, 2,...,. Wartości te dla różych staów mogą być przymowae w sposób od siebie iezależy. Dla zadaych wartości staów obiet reprezetoway est przez ciąg (s 1,s 2,...,s ). Przymiemy, że różym taim ciągom odpowiadaą róże własości obietu. Wtedy, zgodie z zasadą wielorotego wyboru liczba wszystich możliwych wartości ta zdefiiowaego obietu daa est wzorem 7 O (4) Sformułowaa powyże zasada ma wiele zastosowań. Poażemy ila z ich. Ozaczmy przez P zbiór wszystich ciągów długości 1, o różych wyrazach ależących do daego zbioru A X, gdzie A. Dale ażdy elemet p P będziemy azywali -elemetową permutacą zbioru A. Twierdzeie 3 (o mocy zbioru wszystich permutaci) 8 P (5) Co więce wartość ta ie zależy od wyboru zbioru A, oileestomocy. Dowód. Zastosuemy zasadę wielorotego wyboru. W tym celu zdefiiuemy obiet O będzie im ciąg długości A, tórego olee wyrazy roboczo azwiemy staami tego obietu. Niech (s 1,s 2,...,s 1,s ) będzie tym obietem. Jego ofiguraca polegać będzie a tym, że będziemy oleo obsadzali stay dostępymi elemetami zbioru A. Ozacza to, że: sta s 1 obsadzimy a 1 sposobów, po obsadzeiu stau s 1 wybraym elemetem, powiedzmy a 1 A, doobsadzeia stau s 2 będziemy mieli do dyspozyci elemety ze zbioru A \{a 1 }, czyli 2 1, 7 Zasada ta est a tyle ituicya, że zrezygowaliśmy z e formalego dowodu, tóry est uogólieiem rozumowaia podaego w Przyładzie 9. 8 Jest to uogólieie wyiu podaego w Przyładzie 2. 10
11 4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY w przypadu stau s 3, po obsadzeiu stau s 2 elemetem a 2 A, pozostaie am A \{a 1,a 2 }, czyli 3 2, i ogólie, dla stau s i pozostaie am A \{a 1,a 2,...,a i 1 }, czyli i (i 1). W szczególości dla ostaiego stau s, 1. Dlatego liczba wszystich różych ofiguraci ta zdefiiowaego obietu, zgodie z zasadą wielorotego wyboru wyiesie ( 1)...1. Jaseest,żewpowyższym rozumowaiu zbiór A możemy zastąpić dowolym zbiorem rówoliczym, co ończy dowód. Dale potrzeba am będzie astępuąca defiica. Defiica 4 (poęcie sili) Dla ażde ieueme liczby całowite przymiemy 1, 0;! , 1. (6) Dlatego tezę Twierdzeia 3 możemy zapisać astępuąco. Wiose 3 P! (7) Rozumowaie wyorzystae w dowodzie Twierdzeia 3, bazuące a zasadzie wielorotego wyboru zastosuemy teraz do przypadu ogólieszego. Dla daego -elemetowego zbioru A X i dla liczby aturale rozważymy zbiór W, elemetami tórego są wszystie różowartościowe ciągi długości owyrazach ależących do zbioru A. Warue różowartościowości ozacza, że. Poadto, wprost z defiici wyia, że W P. Defiica 5 (poęcie wariaci bez powtórzeń) Każdy elelemet zbioru W,dla1 będziemy azywali -elemetową wariacą bez powtórzeń zbioru -elemetowego. Biorąc teraz obiet złożoy z staów i stosuąc zasadę wielorotego wyboru, ta a zrobioo to w dowodzie Twierdzeia 3, możemy sformułować astępuący wyi: W ( 1)... ( ( 1)). (8) Zauważmy, że wyi przedstawioy w (8) moża zapisać astępuąco ( 1)... ( ( 1)) ( ) ( ( 1))..., ( ) 11
12 4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY czyli z defiici operaci sili! ( 1)... ( ( 1)) ( )!. (9) Twierdzeie 4 (o mocy zbioru wariaci bez powtórzeń) Dla ażdego 1 mamy W! ( )!. (10) Co więce moc zbioru W ie zależy od wyboru zbioru A, o ile wybray zbiór est mu rówoliczy. W sytuaci iedy est dowole, ie możemy wymagać aby zachodziła własość różowartościowości. Należy w taim przypadu brać pod uwagę wszystie ciągi o wyrazach ze zbioru A i długości. Dale zbiór wszystich taich ciągów ozaczymy przez V. Defiica 6 (poęcie wariaci z powtórzeiami) Każdy elemet zbioru V będziemy azywali -elemetową wariacą z powtórzeiami zbioru -elemetowego. Uwaga 1 Dla ażdego 1, W V. Twierdzeie 5 (o mocy zbioru V ) Dla ażdego 1 zachodzi V. (11) Co więce, wyi te est iezależy od realizaci zbioru A, oileestoarówolicza z A. Dowód. Poowie zastosuemy zasadę wielorotego wyboru. Tym razem obiet słada się z staów i ażdy z ich moża obsadzać iezależie (ze względu a możliwość powtórzeń) wszystimi elemetami zbioru A, co ozacza, że zachodzi warue (11). Uwaga 2 Poieważ ażdy elemet zbioru V est fucą postaci f : B A, gdzie B, A, to ozaczaąc przez F(B,A) zbiór wszystich taich fuci, z Twierdzeia 5 mamy F(B,A). (12) 12
13 4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY Zobaczmy a wygląda sytuaca w przypadu, iedy ciąg przymue tylo dwie wartości. Dale założymy, że mamy wtedy do czyieia z astępuącą sytuacą (b 1,b 2,...,b ) F(B,{0, 1}), czyli b {0, 1}. Każdy tai ciąg azwiemy ciągiem biarym. Zatem Uwaga 2 prowadzi as do astępuącego wiosu. Wiose 4 Dla ażdego aturalego moc zbioru wszystich ciągów biarych długości wyosi 2, czyli F(B,{0, 1}) 2. (13) Możemy teraz wrócić do problematyi rozważae w Przyładzie 8 oraz 10. Z Przyładu 10 wiemy, że rodzia potęgowa P(A) oraz zbiór wszystich fuci f : A {0, 1}, czyli F(A, {0, 1}) są rówolicze. Korzystaąc z własości rówoliczości oraz wyiu (13) dostaemy Wiose 5 (o mocy rodziy potęgowe) Dla ażdego -elemetowego zbioru A X mamy P(A) 2 A. (14) W dalsze części poażemy a wyi (14) moża uzysać ią metodą. Napierw uogólimy wyi opisay w Przyładzie 3. Defiica 7 (poęcie ombiaci bez powtórzeń) Niech day będzie -elemetowy zbiór A X oraz liczba całowita ieuema spełiaąca warui 0. Każdy -elemetowy podzbiór zbioru A będziemy azywali -elemetową ombiacą bez powtórzeń -elemetowego zbioru A. Rodzię wszystich taich ombiaci ozaczymy przez C. Udowodimy astępuące twierdzeie. Twierdzeie 6 (o mocy rodziy C ) Dla dowolych liczb całowitych 0, zachodzi rówość W szczególości dla 0 C P W. (15) C!!( )!. (16) Dowód. zauważmy, że dla 0wzór (15) est prawdziwy wtedy z defiici P W 0. Prawdziwy est rówież wzór (16), bowiem C0 { }. Dlatego dale możemy założyć, że 1. Defiiuemy obiet O: 13
14 4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY słada się z dwóch staów, czyli O (s 1,s 2 ), sta s 1 odpowiada za wybór elemetu ze zbioru C, w ramach stau s 2 dochodzi do uporządowaia wybraych elemetów przechowywaych w staie s 1. Z zasady wielorotego wyboru zastosowae do zdefiiowaego ta obietu wyia, że O C P. (17) Ale ażda ofiguraca obietu O powstała w wyiu obsadzeia staów s 1,s 2 est -elemetową wariacą bez powtórzeń zbioru -elemetowego. I a odwrót, taa wariaca powstae w wyiu procesu wyboru podzbioru i ego uporządowaia. Ozacza to, że zbiory O i W są rówolicze, co ończy dowód wzoru (15). Wzór (16) est osewecą poprzediego i Twierdzeia 3 oraz 4. Dale będziemy potrzebowali astępuące defiici. Defiica 8 (Symbol Newtoa-Pascala) Dla ażdego 0 symbolem ( ) ozaczymy moc zbioru C, czyli ( )!!( )!. (18) Jest to tzw. symbol Newtoa-Pascala. Na momet wrócimy do Przyładu 8 i wyiu (14). Niech A X, gdzie A. Zliczymy rodzię P(A) wyorzystuą do tego celu zasadę addytywości. Podobie a w Przyładzie 8, zauważmy, że P(A) A 0 A 1... A, gdzie A ozacza rodzię złożoą ze wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru A. Z zasdy addytywości mamy P(A) A 0 + A A. Z Defiici 7 i Twierdzeia 6 wyia, że A C ( ) dla 0, 1, 2,...,. Dlatego z Wiosu 5 mamy zależość Twierdzeie 7 (o własości symbolu Newtoa-Pascala) Dla dowolego aturalego A ( ) ( ) ( ) P(A) (19)
15 4.3 Ie własości symbolu ( ) 4 WYBRANE METODY 4.3 Ie własości symbolu ( ) Fat 2 Dla dowolych 0 ( ) ( ). (20) Dowód. Wyia z uwagi, że zbiory C, C są rówolicze. 9 Zatem z Defiici 8 mamy (20). Fat 3 Weźmy 1 oraz ciąg symboli: ( ) ( ) ( ) ( ),,,...,, ( ). Zwięszmy wartość o ede i apiszmy odpowiadaący te wartości ciąg symboli: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,,,...,, Wtedy 1. ( ) ( ) Dla ażdego 1 ( ) +1 ( ) ( ) + 1 ( ) ( ) 3. 0 ( ) 2. Dowód. W świetle iterpretaci mogościowe symbolu Newtoa-Pascala, warue pierwszy est oczywisty. Warue trzeci est przepisaiem Twierdzeia 7. Pozostae udowodić warue drugi. Z defiici symbolu Newtoa-Pascala mamy ( ) + 1 ( ) co ończy dowód.! ( 1)!( +1)! +!!( )!!( +1)!( +1 )!,! +!( +1)!( +1)! 9 Czyteli powiie to udowodić. 15
16 4.3 Ie własości symbolu ( ) 4 WYBRANE METODY Uwaga 3 Powyższe trzy własości bardzo dobrze widocze są a przyładzie tzw. tróąta Pascala, tórego począte przedstawioo poiże. 0: 1: 2: 3: 4: ( 4 0 ( 0 0 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fat 4 Dla ażdego 1 1 mamy ( ) ( ) ( ) (21) 1 Dowód. Dowód metodą bezpośredią, czyli poprzez zastosowaie defiici symbolu Newtoa-Pascala pozostawimy Czyteliowi. Poażemy a to moża zrobić za pomocą MPZ. Weźmy zbiór A X, gdziea {a 1,a 2,...,a }. Defiiuemy trzy rodziy podzbiorów zbioru A: A C, A 1 {B A: a 1 B, B }, A 2 {B A: a 1 / B, B }, Weźmy dowoly zbiór B A.Wtedy B, oraz albo a 1 B, albo a 1 / B i a odwrót. Dlatego A A 1 A 2. Wprost z defiici wyia, że rodziy te są rozłącze. Dlatego zasada addytywości dae am rówość A A 1 + A 2. Dale zauważmy, że B A 1 B {a 1 } B, dla pewego B C 1 1, 16
17 4.3 Ie własości symbolu ( ) 4 WYBRANE METODY co ozacza, że rodziy A 1, C 1 1 są rówolicze. Podobie B A 2 B C 1, co ozacza, że rodziy A 2, C 1 są rówolicze. Ostatie dwa stwierdzeia ończą dowód. 10 Dale będziemy potrzebowali twierdzeia o tzw. dwumiaie Newtoa.Zewzględu a charaterystyę dowodu, twierdzeie to udowodimy w Dodatu. Twierdzeie 8 (o dwumiaie Newtoa) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b, oraz ażde liczby całowite ieueme zachodzi rówość ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) b + ab 1 + a 2 b a 1 b + a (22) lub w otaci srócoe (a + b) 0 ( ) a b. (23) Uwaga 4 Wzór dwumiaowy Newtoa est uogólieiem zaych ze szoły tzw. wzorów srócoego możeia. Podstawiaąc w (23) a b 1otrzymuemy zaą z Fatu 3 zależość 0 ( ) 2. Podstawiaąc z olei a 1, b 1 dostaemy oleą własość symbolu Newtoa-Pascala. Fat 5 Dla ażdego aturalego mamy ( ) 0 ( ) + 1 ( ) ( )...+( 1) 0. (24) 2 albo w postaci srócoe ) 0( 1) ( 0. (25) 10 Szczegóły pozostawiamy Czyteliowi. 17
18 5 DODATEK 5 Dodate Zacziemy od wyaśieia waże metody maące zastosowaie w MPZ zasady iduci matematycze (ZIM). Dale poażemy a za pomocą metody iduci moża udowodić prawdziwość wzoru dwumiaowego Newtoa. 5.1 ZIM Będziemy zamowali się formami zdaiowymi zależymi od argumetu aturalego. Z defiici przymiemy, że Defiica 9 (formy zdaiowe) Przez formę zdaiową argumetu aturalego będziemy rozumieli wypowiedź zależą od liczby aturale, tóra przy e ustaloe wartości podlega oceie w ategoriach prawdy lub fałszu. Doładie, ażde liczbie aturale N o N, gdzie N o { N: o, o N} będzie przyporządowaa wypowiedź ozaczaa przez T (), taa, że eśli weźmiemy m N o, to T (m) będzie prawdą albo fałszem. Wtedy zbiór N o będziemy azywali dziedzią formy zdaiowe i będziemy pisali T (), N o. Przyład 11 Następuące ostruce daą formy zdaiowe: T () : (a + b) 0 ( ) a b, 1, dla daych a, b R, T (): , 1, 2 T () : (1+a) 1+a, 1, gdzie a> 1 ustaloa. Dla zadae formy zdaiowe T (), N o bierzemy zdaie No T (). Pytaie brzmi: a udowodić prawdziwość tego zdaia? Jase est, że eśli dla pewego m N o, zdaie T (m) est fałszywe, to rówież zdaie No T () taie est. Z olei, eśli prawdziwe są wszystie zdaia T (m) dla ażdego m N o,to prawdziwe est No T (). Zatem odpowiedź a postawioe pytaie sprowadza się do astępuące westii: w ai sposób wyazać, że mamy iesończeie wiele zdań prawdziwych? Rozwiązaie tego problemu moża uzysać za pomocą oleego twierdzeia. Dale umówimy się, że zapis No T () będzie ozaczał, że zdaie est prawdziwe. Twierdzeie 9 (Zasada Iduci Matematycze) No T () ( ) T ( o ) ( o T () T ( +1). 18
19 5.1 ZIM 5 DODATEK Dowód. Wystarczy tylo poazać 11 prawdziwość impliaci. Przypuśćmy, że prawdziwe est zdaie T ( o ) ( o T () T ( +1))oraz dla pewego m N o zdaie T (m) est fałszywe. Z założeia musi być: m > o. Weźmy zbiór F {2,.3,...,m o 1}. Z założeia dla ażdego F, zdaie T () musi być fałszywe. W taim razie T ( o ) rówież, co prowadzi do sprzeczości i ończy dowód. Uwaga 5 Występuący w ZIM warue T ( o ) azyway est waruiem iicuącym. Impliacę T () T ( +1)azywamy roiem iducyym. Dowód prawdziwości tego rou sprowadza się do poazaia, że z prawdy wyia prawda. Wtedy poczyioe w taim dowodzie założeie, że zdaie T () est prawdziwe azywamy założeiem iducyym. Natomiast T ( +1) azywamy wtedy tezą iducyą. Wyorzystuąc azewictwo wprowadzoe w powyższe uwadze możemy powiedzieć, że Wiose 6 Przeprowadzeie dowodu metodą ZIM sprowadza się do: 1. wyazaia, że warue iicuący est spełioy, czyli, że est prawdziwy; 2. wyazaia prawdziwości roów iducyych, poprzez poazaie, że założeie iducye impliue prawdziwość tezy iducye. Przyład 12 (dowód metodą ZIM wzoru dwumiaowego) Niech forma zdaiowa T (), o będzie zadaa a iże T (): (a + b) 0 Zdaie T (1) est prawdziwe, bowiem ( ) a b, 1, dla ustaloych a, b R. (a + b) 1 ( ) 1 a + 0 ( ) 1 b. 1 Udowodimy prawdziwość rou iducyego. W tym celu weźmy dowole 1 i załóżmy prawdziwość zdaia T (): (a + b) 11 Czyteli powiie umieć to uzasadić. 0 ( ) a b. 19
20 5.1 ZIM 5 DODATEK Będzie to asze założeie idycye. Z tego wyprowadzimy prawdziwość zdaia ( ) +1 T ( +1): (a + b) a b +1. Miaowicie (a + b) +1 (a + b) (a + b) 0 zal. id. (a + b) 0 0 ( ) a b 0 ( ) (a + b)a b ( ) ( ) ( ) (a +1 b + a b +1 ) a +1 b + a b }{{}}{{} S 1 S 2 Każdą ze sum S 1,S 2 odpowiedio przeształcimy dla S 1 dooamy podstawieia +1i, codaam S 1 +1 i1 S 2 zapiszemy w postaci ( ) a i b (i 1) i 1 S 2 1 i1 ( ) a b +1 + ( ) a i b (i 1) + i 1 ( ) b ( ) a +1. Stąd S 1 + S 2 1 ( ( ) + 1 ( ) ) a b +1 + a +1 + b +1. Ale z Fatu 4 ( ) ( ) ( ) +1 +, 1 dlatego poieważ a +1 + b +1 ( ) a +1 + ( ) +1 0 b +1, otrzymamy ( ) ( ) ( ) (a + b) +1 S 1 + S 2 a b +1 + a +1 + b ( ) +1 a b +1, co ozacza, że zdaie 1 T () T ( +1) est prawdziwe. Zatem a mocy ZIM prawdziwe est zdaie 1 T (), co ończy dowód wzoru dwumiaowego. 20
21 5.2 Przyłady 5 DODATEK 5.2 Przyłady Przyład 13 Ile wszystich ciągów biarych długości 2 zawiera doładie 0 edye. Rozwiązie. Niech Bi {b (b 1,b 2,...,b ), b defiiuemy zbiór A Bi, {0, 1}}. Dla 0 b A b (b 1,b 2,...,b ) oraz { {1, 2,...,}: b 1. Aby zliczyć zbiór A ależy zauważyć, że est o rówoliczy z C.Istot- ie, ażdy ciąg b A wyzacza edozaczie -elemetowy podzbiór zbioru {1, 2,...,} postaci { 1, 2,..., }, gdzie b i 1, i 1, 2,...,. Na przyład, eśli b (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1), ( 8, 3), odpowiada mu podzbiór {1, 4, 8} są to umery wyrazów przymuących wartość ede. Dlatego A ( ). Przyład 14 Ile est wszystich ciągów biarych długości 2, w tórych symbol 1 poawia się co amie -razy. Rozwiązie. Niech A ma zaczeie a w przyładzie powyże. Defiiuemy zbiór A w ciągu biarym długości symbol 1 poawia się co amie -razy. Zauważmy, że A A A A, oraz zbiory A są parami rozłącze. Z zasady addytywości i wyiu poprzediego przyładu możemy apisać ( ) A A + A A. Przyład 15 Ile est liczb 6-cyfrowych, w tórych w zapisie dziesiętym cyfra 0 występue doładie 3 razy, cyfra 5 doładie raz? Rozwiązaie. Weźmy zbiór L 6,gdzie L 6 {l (c 5,c 4,c 3,c 2,c 1,c 0 )c 0 +10c c c c c 5, c 5 {1, 2,...,9}, c 0,c 1,c 2,c 3,c 4 {0, 1,...,9}. Dla A L 6 iech l A i1,i 2,i 3 {0,1,2,3,4,} i4 {0,1,2,3,4,5}\{i 1,i 2,i 3 } c i1 c i2 c i3 0,c i4 5 oraz c i / {0, 5} dla i {0, 1, 2, 3, 4, 5}\{i 1,i 2,i 3,i 4 }. Do zliczeia zbioru A posłużymy się zasadą wielorotego wyboru. W tym celu rozważymy obiet złożoy z trzech staów O (s 1,s 2,s 3 ), gdzie: 21
22 5.2 Przyłady 5 DODATEK 1. s 1 odpowiada za obsadzeie w liczbie l cyfry 0, 2. s 2 cyfry5, 3. s 3 pozostałych cyfr. Z defiici staów mamy: s 1 C5,s 3 2 C3,s 1 3 V7 2. Dlatego A ( ) 5 3 3)( Przyład 16 Ile est wszystich liczb 8-cyfrowych, w tórych iloczy cyfr w zapisie dziesiętym dae liczbę 12? Rozwiązaie. Niech L 8 ma podobe zaczeie a L 6 w Przyładzie 15. Mamy zliczyć zbiór Warue A {l (c 7,c 6,...,c 1,c o ) L 8 : c 0 c 1... c 7 12}. c 0 c 1... c 7 12, gdzie c 0,c 1,...,c 7 {1, 2,...,9} poprzez swoe rozwiązaie zadae struturę zbioru A. Istotie, ażde rozwiązaie powyższego waruu wyia z fatoryzaci liczby 12 za pomocą liczb ze zbioru {1, 2,...,9}. Mamy oleo: , , Dlatego możemy apisać A A 1 A 2 A 3, gdzie: A 1 ozacza, że w l A cyfry 2, 6 poawiaą się doładie raz, cyfra 1 6 razy, A 2 cyfry3, 4 doładie raz, cyfra 1 6 razy, A 3 cyfra3 doładie raz, cefra 2 dwa razy, cyfra 1 5 razy. Z zasady addytywości dostaemy A A 1 + A 2 + A 3. Pozostae wyzaczyć moce sładiów A 1,A 2,A 3, co możemy zrobić metodą opisaą w powyższym przyładzie. 22
23 6 ZAKOŃCZENIE 6 Zaończeie Na 22 stroach udało am się zamieścić podstawy metodologii zliczaia zbioru sończoego. Ważym poęciem oazue się być tuta ocepca liczby ardyale bazuąca a zawisu rówoliczości i e osewecach. Na ogół uważa się, że ta tematya est truda, bowiem sięga oa po wszelie dostępe arzędzia wywodzące się z wielu dziedzi matematyi. W azewictwie od iluastu lat przyęła się azwa matematya dysreta. Powszechie zaa Czyteliowi ombiatorya est tylo działem te teorii. Zapraszamy Czytelia do dalszego studiowaia polecaąc dwie podae poiże siążi oraz zamieszczoą w ich bibliografię. 1. Ryszard Rębowsi, Matematya dysreta dla iformatyów, Seria wydawicza PWSZ im. Witeloa w Legicy, Legica 2008, 2. Ryszard Rębowsi, Podstawy metod probabilistyczych i statystyi matematycze, Seria wydawicza PWSZ im. Witeloa w Legicy, Legica
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoWykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoINDUKCJA MATEMATYCZNA
MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
WYKŁAD INTERPOLACJA WIELOMIANOWA /6 Sformułowaie problemu iterpolaci. Metoda Lagrage a Rozważmy zaday uład putów {(, y ),,,..., }, zwaych dale węzłami iterpolacyymi. Poszuuemy wielomiau iterpolacyego zadaego
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoKombinatoryka - wyk lad z 28.XI (za notatkami prof.wojciecha Guzickiego)
Kombiatorya - wy lad z 28XI (za otatami profwojciecha Guziciego) Kombiatorya zajmuje sie sposobami zliczaia elemetów zbiorów sończoych Liczbe elemetów sończoego zbioru A be dziemy ozaczać symbolem A 1
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoIV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoKombinatorycznie o tożsamościach kombinatorycznych
Kombiatoryczie o tożsamościach ombiatoryczych Beata Bogdańsa, Szczeci Odczyt zawiera propozycję dydatyczą usystematyzowaej i samowystarczalej prezetacji tematu: Tożsamości dotyczace symbolu dwumieego.
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania
Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoTwierdzeie Closa Problem: Jak duże musi być m, aby trzysekcye pole Closa ν(m,, r) )było ieblokowale w wąskim sesie? Twierdzeie Closa: Dwustroe trzysek
Sieci i Systemy z Itegracą Usług Trzysekcye pole Closa m r r m Własości kombiatorycze pól komutacyych Prof. dr hab. iż. Wociech Kabaciński r m Pole Closa est edozaczie defiiowae przez trókę m,, r i ozaczae
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoDowody kombinatoryczne 1 DOWODY KOMBINATORYCZNE
Dowody ombiatorycze 1 DOWODY KOMBINATORYCZNE 1. Ozaczeia Przypuśćmy, że day est zbiór sończoy A. Wtedy A liczba elemetów zbioru A, P(A{B: B A}, P (A{B P(A: B }. W szczególości P 0 (A{ }, P 1 (A { {a}:
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoMetody pozyskiwania wiedzy
Metody pozysiwaia wiedzy bezpośredie zapisaie wiedzy pozysiwaie wiedzy a podstawie istruci pozysiwaie wiedzy a podstawie aaii pozysiwaie wiedzy a podstawie przyładów pozysiwaie wiedzy a podstawie obserwaci
Bardziej szczegółowoTeoria i metody optymalizacji
eoria i metody optymalizaci Programowaie liiowe całowitoliczbowe PCL Metodologia podziału i ograiczeń Brach ad Boud (B&B) ma c A Z echique Metodologia podziału i ograiczeń B&B { A b i Z } Podstawą metodologii
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoWykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k.
Wykład 2. Krzyś wiedział a pewo, Ŝe to miejsce jest zaczarowae, bo igdy ikt ie mógł się doliczyć, ile rosło tam drzew, sześćdziesiąt trzy czy sześćdziesiąt cztery, awet kiedy po przeliczeiu przywiązywało
Bardziej szczegółowoKrótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński
Krótie i dość swobode wprowadzeie do liczb Stirliga Jaub Kamińsi 9 styczia 27 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU Liczby Stirliga pierwszego rodzaju Liczby Stirliga zawdzięczają swoją azwę szociemu matematyowi
Bardziej szczegółowoModel Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...
Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Kombinatoryka
Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 2005. Wstęp do
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoSformułowanie zagadnienia aproksymacji w sensie najmniejszych kwadratów
WYKŁAD APROKSYMACJA WIELOMIANOWA I ZAGADNIENIE NAJMNIEJSZYCH KWADRAÓW Sforułowaie zagadieia aprosyaci w sesie aieszych wadratów Rozważy zbiór putów (węzłów) a płaszczyźie {( x y ), 0,.., }, W typowy zadaiu
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoSilnie i symbole Newtona
Podróże po Imperium Liczb Część Silie i symbole Newtoa Adrzej Nowici Wydaie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 202 SSN - 33(080-2.05.202 Spis treści Wstęp Silie 5. Iformacje o cyfrach................................
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoMetody podziału klasowego konspekt ćwiczeń. mgr Marcin Semczuk na podstawie materiałów mgr inż. Stanisława Szombary oraz dr inż.
Metody Badań w eografii Społeczo - Eoomicze Metody podziału lasowego ospet ćwiczeń. mgr Marci Semczu a podstawie materiałów mgr iż. Staisława Szombary oraz dr iż. Krystiaa Kozioła. W ćwiczeiu polami podstawowymi
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoWiadowmości wstępne z rachunku prawdopodobieństwa
Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 1 Wiadowmości wstępe z rachuu prawdopodobieństwa Zdecydowaa więszość procesów fizyczych, techiczych, społeczych, eoomiczych itp, przebiega w
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoi statystyka matematyczna Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 200. Wstęp do
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoKombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera
Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy
Bardziej szczegółowoZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH. 1. Wstęp
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 27 Staisław HEILPERN* ZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH Praca est poświęcoa zależemu rozładowi dwumiaowemu.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie,
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoArytmetyka pierścienia liczb całkowitych (w tym podzielność)
Arytmetyka pierścieia liczb całkowitych (w tym podzielość). Pojęcie pierścieia. Defiicja. Zbiór A z dwoma operacjami wewętrzymi o symbolach + i azywa się pierścieiem, jeżeli spełioe są waruki: ) A z operacją
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowo