Podstawowe cechy podzielności liczb.

Transkrypt

1 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się przez, 5 itd. Reguły te azywamy cechami podzielości. Wykorzystujemy je często gdy chcemy rozstrzygąć, czy daa liczba jest podziela przez ią liczbę. Oczywiście ie chodzi o zalezieie ilorazu tylko o potwierdzeie czy taki iloraz istieje czy ie. Weźmy liczbę 08675, jeżeli zechcemy sprawdzić czy ta liczba jest podziela przez dokoując dzieleia, to bez użycia kalkulatora, jest to bardzo uciążliwe. Zając cechę podzielości przez, o której dalej, stwierdzamy atychmiast, że taki iloraz istieje. Cech podzielości moża podać bardzo wiele, ajważiejsze z ich dotyczą podzielości przez liczby,,, 5, 6, 8,, 0. Omówimy je po kolei. Twierdzeie Liczba całkowita dzieli się bez reszty, przez jeżeli ostatia jej cyfra dzieli się przez. Dowód Poieważ zak liczby ie wpływa a podzielość ograiczymy się w dowodzie do liczb dodatich. Aby zrozumieć dowód tej cechy wyobraźmy sobie jakąkolwiek liczbę przyajmiej dwucyfrową (dla liczb jedocyfrowych ie ma czego uzasadiać) zakończoą iezaa cyfrą x. Niech to będzie przykładowo 76x. Zauważmy, że liczba ta może być rozdzieloa a sumę 6x 60 x60 x pierwszy składik otrzymaej sumy dzieli się przez, poieważ jest iloczyem liczby 0. O podzielości całej liczby przez zadecyduje drugi składik, który jest liczbą utworzoą z ostatiej cyfry badaej liczby. Te dowód zapisay w sposób ścisły wygląda astępująco. Liczbę całkowitą dodatią k (przypomijmy, że zak ie wpływa a podzielość) moża w systemie dziesiętym zapisać jako sumę potęg liczby 0: () k a 0 a 0 a 0 a0 gdzie a, a, a, a są cyframi liczby k. Na przykład liczba k może być zapisaa jako suma k Przekształćmy sumę () wyciągając 0 przed awias k 0 ( a 0 a 0 a) a0 Pierwszy składik tej sumy dzieli się zawsze, przez poieważ jest iloczyem liczby 0. Suma k będzie, zatem podziela, przez jeżeli będzie podziele przez tz. gdy ostatia cyfra a 0 liczby k będzie podziela przez. c..d. O liczbie podzielej przez mówimy, że jest liczba parzystą. Ogólie liczbę parzystą moża symboliczie ozaczyć jako, liczbę ieparzystą jako gdzie w obu wypadkach może przyjmować dowole wartości całkowite.

2 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Przykład a) Zając cechę atychmiast widać, że liczba 5678 jest parzysta (podziela przez ). b) Ustalmy czy podziela przez jest liczba Zauważmy, że potęgując liczbę 7 jako ostatią cyfrę wyiku możemy otrzymać wyłączie,,, 7. Jeżeli od liczby zakończoej którąkolwiek z tych cyfr odejmiemy otrzymamy liczbę parzystą c) W podoby sposób ustalimy, że 56 jest liczbą ieparzystą. Dowola potęga liczby zakończoej cyfrą 6, rówież zakończoa jest cyfrą 6. Dowola potęga liczby zakończoej cyfrą, rówież zakończoa jest cyfrą. Różica tych liczb zakończoa jest cyfrą 5, zatem jest liczba ieparzystą. Twierdzeie Liczba całkowita dzieli się bez reszty przez lub, jeżeli suma jej cyfr dzieli się przez lub. Dowód Aby zrozumieć dobrze ścisły dowód, pokażmy ajpierw uzasadieie tej cech a kokretym przykładzie. Weźmy liczbę 6. Zapisując tę liczbę jako sumę potęg 0 otrzymamy Teraz po każdym składiku odejmijmy i dodajmy (suma ie ulegie zmiaie) odpowiedią liczbę: =6(0 ) 6(0 ) (0 ) Dzięki temu zabiegowi moża był wyciągąć odpowiedią liczbę przed awias, zmieiając porządek sumowaia otrzymamy liczbę: 6(0 ) (0 ) (0 ) 6. Suma w pierwszym awiasie kwadratowym dzieli się przez i poieważ różice w awiasach okrągłych są liczbami złożoymi z samych dziewiątek. O podzielości całej liczby przez lub decyduje zatem suma w drugim awiasie kwadratowym. To jest cecha, która chcieliśmy uzasadić. Ścisły dowód matematyczy wygląda astępująco. Sumę () dla liczby k możemy rozpisać jako: k a (0 ) a a (0 ) a (0 ) a (0 ) a a a a a (0 ) a a (0 ) a W rówaiu wyciągięto przed awias odpowiedią liczbę, jeżeli wymożymy awiasy i dokoamy redukcji, otrzymamy Sumę (). Poieważ dla każdego liczba 0 składa się z samych cyfr, więc dzieli się przez oraz. Stąd pierwszy awias kwadratowy dzieli się, przez oraz. Wobec czego o podzielości liczby k decyduje drugi awias kwadratowy. Zatem, liczba dzieli się przez lub jeżeli suma jej cyfr dzieli się przez (lub ). c..d. Zauważmy, że twierdzeia i moża połączyć i podać cechę podzielości przez 6 (przecież 6 ). Mamy więc: Twierdzeie Liczba dzieli się, przez 6 jeżeli dzieli się przez i dzieli się przez. Iymi słowy liczba dzieli się, przez 6 jeżeli ostatia jej cyfra dzieli się przez i suma jej cyfr dzieli się przez. a 0 0

3 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Przykład 0 a) Mamy liczbę z iezaą jedą cyfrą 8*. Jakie cyfry moża wstawić w miejsce gwiazdki, aby otrzymać liczbę podzielą przez 6? Wypisaa liczba jest parzysta ależy więc zadbać o to aby suma jej cyfr była podziela przez. Suma cyfr widoczych rówa jest, zatem w miejsce gwiazdki moża wstawić cyfrę ze zbioru {0,, 6, }, tylko takie cyfry dadzą am sumę podziela przez. b) Czy istieje cyfry x taka, żeby liczba 5x była podziela przez 8?. Zauważmy, że 8 zatem liczba (i zarazem cyfra x) powia być parzysta oraz spełiać cechę podzielości przez. Suma widoczych cyfr wyosi 5. Jedyą cyfrą, która zapewia podzielość przez jest ale wtedy liczba ie będzie parzysta. Nie istieje cyfra spełiająca waruki zadaia. c) Zapytajmy czy istieje cyfra, dla której liczba z poprzediego przykładu będzie podziela przez 6? Zauważmy, że podzielość przez zapewiają cztery cyfry {0,,6,}, z których parzyste są {0, 6}. Liczba jest podziela przez 6 dla dwu cyfr {0, 6}. Twierdzeie 5 Liczba całkowita dzieli się bez reszty, przez jeżeli liczba złożoa z dwóch ostatich jej cyfr dzieli się przez. Dowód jest bardzo podoby do dowodu cechy podzielości przez. Należy tak przekształcić liczbę aby dała się zapisać jako suma liczby podzielej przez 00 (a ta dzieli się przez ) i liczby złożoej z dwóch ostatich cyfr p Dowód ścisły propoujemy wykoać samodzielie, jako ćwiczeie. Przykład a) Liczba 757 dzieli się, przez poieważ zakończoa jest cyframi, które tworzą liczbę podzielą przez. b) Wypisao w rzędzie liczby parzyste od do i otrzymao liczbę 6... Czy ta liczba dzieli się przez? Wypisaa liczba musiałaby być podziela przez i (gdyż ) a ie jest poieważ ostatie dwie jej cyfry tworzą liczbę iepodzielą przez. c) Czy istieje cyfra x, dla której liczba x jest podziela przez 6? Zauważmy, że 6, ależy więc sprawdzić podzielość przez i. Suma widoczych cyfr wyosi, ajbliższą liczbę podzielą przez otrzymamy dla x 8, wtedy też dwie ostatie cyfry 8 dadzą liczbę podziela przez. Waruki zadaia spełia x 8. Twierdzeie 6 Liczba całkowita dzieli się bez reszty, przez 5 jeżeli ostatia jej cyfra dzieli się przez 5. Co ozacza, że ostatią cyfrą liczby jest 0 lub 5. Dowód tej cech jest aalogiczy do dowodu twierdzeia. Poieważ 0 5 więc aby podzielić liczbę przez 0 ależy podzieli ją przez i 5 co prowadzi do kolejej cechy. Twierdzeie 7 Liczba całkowita dzieli się bez reszty, przez 0 jeżeli ostatią jej cyfrą jest 0.

4 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Przykład a) Weźmy liczbę 5678 jest oa podziela przez 0. Pierwszy składik, kwadrat liczby zakończoej cyfrą kończy się cyfrą. Drugi składik trzecia potęga liczby zakończoej cyfrą, kończy się cyfrą (poieważ druga potęga kończy się cyfrą ). Zatem suma kończy się , czyli liczba jest podziela przez 0. 5 b) Liczba 56 jest liczbą podziela przez 0 (pierwszy składik zakończoy jest cyfrą 6) 5 c) Liczba 78 jest podziela przez 0. Nieparzyste potęgi liczby zakończoej cyfrą są zakończoe cyfrą. Twierdzeie 8 Liczba całkowita dzieli się bez reszty, przez 8 jeżeli liczba złożoa z trzech ostatich jej cyfr dzieli się przez 8. Dowodząc postępujemy podobie jak przy dowodzie cechy podzielości przez. Tym razem przekształcamy liczbę tak aby pierwszy składik sumy był iloczyem liczby Przykładowo Przykład Weźmy liczbę 576x. Jaką cyfrę ależy postawić w miejsce x aby otrzymać liczbę podzielą przez? Cecha podzielości przez 8 ( 8 ) pozwala ustalić, że w miejsce x moża postawić jedą z cyfr ze zbioru {,5,}. Cecha podzielości przez elimiuje podzbiór {, }. Pozostaje jako rozwiązaie cyfra 5. Co ależy zapamiętać? Zbierzmy pozae cechy podzielości w tabeli. podzielość przez: cecha przykład liczba kończy się cyfra parzystą 56, suma cyfr liczby jest podziela przez lub 5 68 dwie ostatie cyfry liczby tworzą liczbę podzielą przez 88 5 ostatią cyfrą liczby jest 0 lub liczba dzieli się rówocześie przez i przez 66 8 trzy ostatie cyfry liczby tworzą liczbę podzielą przez ostatia cyfrą liczby jest 0 50 Tabela Co poadto warto wiedzieć? Wielkie zasługi w rozwoju teorii liczb ma Leoard Euler. Był to człowiek iezwykły. W roku 75 stracił jedo oko, w 766 drugie. Nie przerwał pracy aukowej i jako iewidomy dyktował swoje dzieła. Jako jede z pierwszych zajmował się po mistrzowsku popularyzacją wiedzy. Wydał hit ówczesych czasów, popularoaukową książeczkę Listy do księżiczki

5 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb iemieckiej, która zawierała populary wykład ajważiejszych wtedy problemów aukowych. Leohard Euler (707 78), matematyk i fizyk szwajcarski. Większość życia spędził w Petersburgu (tam też jest pochoway) i Berliie. Jede z ajbardziej płodych matematyków w historii. Autor wielu odkryć, prekursor współczesej otacji i termiologii matematyczej. Zadaia przezaczoe do samodzielego rozwiązaia.. Zakładając parzystość lub ieparzystość k, Ustal parzystość liczb: a) k, b) ( k ), c) k, d) k k, e) k k, f) kk k, g) k h) k i) k j) k. Pokaż, że każda liczba postaci: a) jest podziela przez 6, b) jest parzysta, c) jest ieparzysta, d) jest parzysta, e) jest parzysta, f) 7 jest parzysta, g) 6 jest podziela przez 5, h) jest podziela przez 5, i) 0 jest podziela przez, j) jest podziela przez 0.. Dla jakich wartości cyfry x zajdzie podzielość? a) 56x b) 5x 7 c) 65x d) 5 876x 0 e) x f) 8 x g) 85x 5

6 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb h) 0 5x x i) 56x j) 5 57x. Dla jakich cyfr x, y zajdzie podzielość? a) x56y b) 87x5y c) 56xy d) xy e) 6 xy f) 8 857xy g) 75x8y 7 h) 0 88xy i) 65xy j) 5 6xy 5. Zajdź ostatią cyfrę liczb: a) b) c) d) 765 e) 567 f) g) 5 h) i) 5 6 j) Pokazać, że jeżeli a dzieli się przez, to rówież 7a dzieli się przez. Dodatkowe cechy podzielości liczb. Oprócz cech pozaych w poprzedim rozdziale często wykorzystuje się trzy cechy dodatkowe. Podamy je w jedym twierdzeiu, gdyż metoda ich uzasadieia jest ta sama. Twierdzeie 8 Liczba całkowita jest podziela przez 7, lub, jeśli różica między liczbą wyrażoą trzema ostatimi jej cyframi a liczbą wyrażoą pozostałymi cyframi tej liczby jest podziela przez 7, lub. Przykład a) 7 70 gdyż 7 (7 0), różica w awiasie wyosi 50 i jest podziela przez 7. b) 7 86 gdyż 7 (8 6), różica w awiasie wyosi 5, bezpośredio ie 6

7 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb widać, że liczba ta jest podziela przez 7 dlatego raz jeszcze zastosujemy opisae wyżej kryterium. 5, liczba dzieli się przez, 7 wobec czego przez 7 dzieli się, 5 co z kolei dowodzi podzielości liczby 86. c) 575 gdyż (5 75), różica w awiasie wyosi 660 i jest podziela przez. d) gdyż ( ) ostatia różica wyosi 8. e) 888 gdyż (8 88), różica w awiasie wyosi 60 i jest podziela przez. f) 600, zauważmy, że różica 600 składa się z samych. Zaim ściśle udowodimy twierdzeie 7 przeprowadźmy uzasadieie przykładu (b), co pozwoli lepiej zrozumieć metodę dowodu. Liczbę 86 przekształcimy astępująco: (000 ) (8 6) 800 (8 6) Łatwo sprawdzić, że 00 dzieli się przez 7, zatem o podzielości aszej liczby decyduje podzielość różicy w awiasie. Dowód Aby ściśle udowodić twierdzeie ozaczmy przez cyfry liczby której podzielość chcemy sprawdzić. Powtarzając rozumowaie zaprezetowae dla liczby z przykładu (b) otrzymamy: aa aaaaaa 0 aa a aa 000 aaa 0 a a a a 000 a aa aaa aa aaa aaa 0 aa aa (000 a ) ( aa a aa aaa 0) aa aa 00 ( a ) a aa aa aaa 0 a i Liczba a a a aa 00 dzieli się przez 7,, poieważ 00 dzieli się przez 7,, zatem o podzielości badaej liczby zadecyduje podzielość różicy w awiasie a to jest cecha, która chcieliśmy uzasadić. c..d. Istieje wygodiejsza w stosowaiu cecha podzielości przez. w tym momecie podamy ją bez dowodu. Dowód oparty o teorię kogruecji jest zawarty w dodatku Co poadto warto wiedzieć?, dowód oparty o rozwiięcie dwumiau Newtoa zajduje się w kolejych rozdziałach. Twierdzeie Liczba dzieli się przez jeżeli różica liczby utworzoej z sumy cyfr a pozycjach parzystych i liczby utworzoej z sumy cyfr a pozycjach ieparzystych dzieli się przez. Przykład a) gdyż suma cyfr z pozycji parzystych , suma cyfr z pozycji ieparzystych 88 0, różica 0 jest oczywiście podziela przez. b) Liczba 567x8, w której a trzeciej pozycji występuje iewiadoma ma być podziela przez, jakie cyfry mogą wystąpić w miejscu iewiadomej? Suma cyfr z miejsc parzystych daje x 6x. Suma cyfr z miejsc ieparzystych wyosi 875. Różica tych wartości ( x) x jest podziela przez wyłączie dla x 8. 7

8 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb c) Dla jakiej cyfry x liczba 56x będzie podziela przez? Badaa liczba musi spełiać cechę podzielości przez oraz cechę podzielości przez. Suma cyfr z pozycji parzystych daje x, suma cyfr z pozycji ieparzystych wyosi. Różica tych sum to x. Ta różica jest podziela przez tylko dla x, wtedy jedak ie zachodzi podzielość przez. Badaa liczba dla żadej cyfry x ie jest podziela przez. Co ależy zapamiętać? Tabela zbiera dodatkowa cechy podzielości, które często wykorzystujemy. podzielość przez: 7,, cecha różica liczby powstałej z trzech ostatich cyfr i liczby powstałej po odcięciu trzech ostatich cyfr dzieli się odpowiedio przez 7,, różica sumy cyfr z miejsc parzystych i sumy cyfr z miejsc ieparzystych jest podziela przez Tabela przykład Co poadto warto wiedzieć? Jedym z ajbardziej twórczych matematyków w dziedziie teorii liczb był wspomiay w poprzedim rozdziale Carl Friedrich Gauss. Zawdzięczamy jemu, między iymi, opisaą tam metodę kogruecji. Warto wiedzieć, że był to człowiek iezwykły. Pochodzący z biedej rodziy samouk, który do każdego działu matematyki wiósł cząstkę swojego geiuszu. Carl Friedrich Gauss ( ), matematyk i fizyk iemiecki. Człowiek iezwykle wszechstroy i utaletoway zway księciem matematyków. Nie ma takiego działu matematyki, w którym Gauss ie osiągąłby zaczących wyików, wiele działów sam zapoczątkował. Od 807 r. aż do śmierci był profesorem uiwersytetu w Getydze. Poiżej podajemy ścisły dowód cechy podzielości przez (różica sumy cyfr z miejsc parzystych i sumy cyfr z miejsc ieparzystych jest podziela przez ) w oparciu o metodę kogruecji Gaussa. Rozważmy astępujące kogruecje: 0 () 0, 0, 0, 0, 0,... Widzimy, że parzyste potęgi liczby 0 tworzą z liczbą kogruecję, potęgi ieparzyste tworzą kogruecję. Jeżeli badaą liczbę będziemy rozpatrywać w postaci sumy potęg podstawy 0, to otrzymamy: aa a aaaaa ( a 0 a 0 a0 a) Biorąc pod uwagę przedstawioe własości kogruecji oraz kogruecje (), mamy 8

9 Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb ( a a a a ) 0, 0 ( a a ) ( a a ) 0 0 To jest cecha, którą ależało udowodić. Zadaia przezaczoe do samodzielego rozwiązaia.. Pokaż ie używając kalkulatora, że zachodzi podzielość: a) 7 ( ) b) ( ) c) (6 65 ) d) e) 66 f) 7808 g) h) 667 i) 085 j) Dla jakich cyfr x, y zachodzi podzielość? a) 7 858x b) 55x c) x d) xy e) 78x55y f) 56xy g) xy h) xy i) 656xy j) 00 0xy. Pokaż, że jeżeli a oraz 5 b dzielą się przez, to rówież a b dzieli się przez.. Wiadomo, że dla pewych x, y liczba x y dzieli się przez. Pokazać, że dla tych samych x, y przez dzieli się liczba 7x y. 5. Wiadomo, że dla pewych x, y liczba x y dzieli się przez. Pokazać, że dla tych samych x, y przez dzieli się liczba x y. 6. Zaleźć 0 różych liczb aturalych o tej własości, że ich suma dzieli się przez każdy ze składików.