7. Różniczkowanie. x x. f (x 0 ) = df(x). dx x=x0 Pierwsze oznaczenie pochodzi od Lagrange a, a drugie od Leibniza.

Transkrypt

1 7 Różiczowaie Niech będzie daa fucja f oreśloa w pewym otoczeiu putu x 0 R Mówimy, że f jest różiczowala w x 0 (ma w x 0 pochodą), jeśli iloraz różicowy x f(x) f(x 0) x x 0 ma w pucie x 0 graicę Ozaczamy ją przez f (x 0 ) i azywamy pochodą fucji f w pucie x 0 Zatem z defiicji f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = x x 0 x x 0 Rówoważie, ozaczając h = x x 0, mamy f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = h 0 h Czasem też ozacza się pochodą iaczej: f (x 0 ) = df(x) dx x=x0 Pierwsze ozaczeie pochodzi od Lagrage a, a drugie od Leibiza Wiemy już, że d x=x0 a x a x0 dx ax = = a x0 log a x x 0 x x 0 dla a > 0 i x 0 R oraz d dx xα x=x0 x α x α 0 = = αx x x 0 α 1 0 x x 0 dla x 0 > 0 i α R Zatem zarówo fucja wyładicza o dowolej podstawie, ja i fucja potęgowa, są różiczowale w ażdym pucie swojej dziedziy W szczególości (e x ) = e x, (x) = 1 dla ażdego x R Łatwo rówież zauważyć, że fucja stała jest wszędzie różiczowala, a jej pochoda jest zawsze rówa 0 71 Przyład Obliczmy pochodą fucji logarytmiczej w pucie x 0 > 0 Mamy Jao że widzimy, że log(x 0 + h) log x 0 h Z defiicji pochodej atychmiast wyia, że log(1 + z) = 1, z 0 z (log) (x 0 ) = 1 x 0 = log(1 + h x 0 ) 1 h/x 0 x 0 7 Fucja f : (a, b) R jest różiczowala w pucie x 0 (a, b), wtedy i tylo wtedy gdy f(x) f(x 0 ) = ϕ(x)(x x 0 ), x (a, b), gdzie ϕ : (a, b) R jest pewą fucją ciągłą w x 0 Jeśli ta jest, to f (x 0 ) = ϕ(x 0 ) Tę rówoważość moża ująć subteliej

2 73 Fucja f : (a, b) R jest różiczowala w x 0, wtedy i tylo wtedy gdy istieją liczba m i fucja ω oreśloa w otoczeiu 0, taie że (74) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + m h + ω(h), gdzie h 0 ω(h) h = 0 Jeśli ta jest, to Dowód Warue (73) moża zapisać jao m = f (x 0 ) f(x + h) f(x 0 ) = ϕ(x + h)h = ϕ(x 0 )h + (ϕ(x + h) ϕ(x 0 )) h, dla dostateczie małych h i położyć m = ϕ(x 0 ), ω(h) = (ϕ(x + h) ϕ(x 0 )) h Teraz już widać, że teza wyia z (73) Zauważmy, że warue (74) moża wyrazić ta: f(x) = g(x) + ω(x x 0 ), gdzie g(x) = m(x x 0 ) + f(x 0 ) jest fucją liiową Zatem (74) mówi, że f posiada aprosymację liiową, gdyż różica f(x) g(x) = ω(x x 0 ) dąży do 0 szybciej iż czyi liiowy, gdy x x 0 Będziemy mówili, że prosta uośa y = m(x x 0 ) + f(x 0 ) jest stycza do wyresu fucji f oreśloej w otoczeiu putu x 0, jeśli odległość putu P x = (x, f(x)) leżącego a wyresie fucji od prostej jest mała w porówaiu z jego odległością od putu P x0 = (x 0, f(x 0 )), gdy x dąży do x 0, czyli jeśli x x 0 P x P x P x P x0 = 0, gdzie P x jest rzutem prostopadłym P x a prostą Mamy oraz P x P x = f(x) f(x 0) m(x x 0 ) 1 + m P x P x0 = (x x 0 ) + (f(x) f(x 0 )) Zatem prosta y = m(x x 0 ) + f(x 0 ) jest stycza do wyresu fucji f, wtedy i tylo wtedy gdy f(x) f(x 0 ) m(x x 0 ) (75) x x 0 (x x0 ) + (f(x) f(x 0 )) = 0 76 Prosta y = m(x x 0 ) + f(x 0 ) jest stycza do wyresu fucji f oreśloej w otoczeiu putu x 0 wtedy i tylo wtedy, gdy f jest różiczowala w x 0 i f (x 0 ) = m Dowód Dzieląc liczi i miaowi w (75) przez x x 0, widzimy, że styczość jest rówoważa waruowi (77) x x 0 f(x) f(x0) x x 0 m ( ) = f(x) f(x0) x x 0 Przypuśćmy, że dla pewego ciągu x x 0 ( f(x ) f(x 0 ) x x 0 )

3 3 Wtedy f(x) f(x0) x x 0 m ( ) = 1 + f(x) f(x 0) ( x x 0 m 1 f(x) f(x 0 ) x x 0 1 ) + 1 f(x) f(x 0 ) x x 0 1, więc ie ma mowy o styczości Widać stąd, że waruiem rówoważym (764) jest f(x) f(x 0 ) m = 0, x x 0 x x 0 a to jest asza teza 78 Jeżeli fucja f oreśloa w otoczeiu putu x 0 jest różiczowala w x 0, to jest też ciągła w tym pucie Dowód Dowód wyia atychmiast z istieia aprosymacji liiowej (74) 79 Przyład Niech f(x) = x i iech x 0 = 0 Iloraz różicowy f(x) f(x 0 ) x x 0 = x x ie ma graicy, gdy x 0, więc f ie jest różiczowala w tym pucie Wyres tej fucji ma w pucie (0, 0) ostrze i ie ma styczej Mówimy, że fucja f : (a, b) R ma w pucie x 0 (a, b) masimum loale, jeśli istieje h > 0, taie że (x 0 h, x 0 + h) (a, b) i f(x) f(x o ), x (x 0 h, x 0 + h) Czyteli łatwo domyśli się, ja defiiujemy ścisłe masimum loale, oraz miimum i ścisłe miimum loale Masimum i miimum loale ależy odróżiać od ajwięszej i ajmiejszej wartości fucji a jej całej dziedziie 710 Niech będzie daa fucja f oreśloa w otoczeiu x 0 i różiczowala w tym pucie Jeśli f ma estremum loale w x 0, to f (x 0 ) = 0 Dowód Przypuśćmy, że f ma w x 0 masimum loale Wtedy dla dostateczie małych h 0 f(x 0 h) f(x 0 ), sąd widać, że lewostroe ilorazy różicowe będą ieujeme, a prawostroe iedodatie Zatem f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = = 0 h 0 h W przypadu miimum loalego rozumujemy aalogiczie 711 (Arytmetya pochodych) Niech f, g będą fucjami oreśloymi w otoczeiu putu x 0 Jeżeli obie są różiczowale w x 0, to taże fucje f + g i f g są różiczowale w tym pucie i (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) Jeżeli poadto g(x 0 ) 0, to fucja f/g, tóra jest dobrze oreśloa w pewym (być może miejszym) otoczeiu x 0, jest różiczowala w x 0 i ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g(x 0 )

4 4 Dowód Mamy (f + g)(x 0 + h) (f + g)(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) + g(x 0 + h) g(x 0 ), h h h sąd po przejściu do graicy otrzymujemy pierwszą część tezy Mamy też (f g)(x 0 + h) (f g)(x 0 ) h + f(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) h = f(x 0 + h) f(x 0 ) h, g(x 0 + h) co pociąga drugą część tezy, czyli wzór Leibiza Trzecią część dotyczącą ilorazu udowodimy orzystając z drugiej Mamy ( ) ( f (x 0 ) = f 1 ) (x 0 ) = f ( ) (x 0 ) 1 g g g(x 0 ) + f(x 0) (x 0 ), g więc wystarczy poazać, że a to wyia atychmiast z tożsamości ( 1 1 h g (x 0 + h) 1 ) g (x 0) ciągłości g w x 0 i przejścia graiczego ( ) 1 (x 0 ) = g (x 0 ) g g(x 0 ), = 1 h g(x 0) g(x 0 + h) g(x 0 + h)g(x 0 ), 71 Przyład Niech f(x) = =0 a x będzie wielomiaem Z powyższych twierdzeń łatwo wyia, że f (x) = =1 a x Przyład Rozważmy fucję zadaą szeregiem potęgowym f(x) = a x, x ( r, r), =0 gdzie r > 0 jest promieiem zbieżości tego szeregu Ja pamiętamy, dla ażdego ustaloego x ( r, r) i h < r x, f(x + h) f(x) = α (x)h, gdzie Zatem i w osewecji α (x) = = f(x + h) f(x) h =1 ( ) a x = α (x)h 1 =1 f f(x + h) f(x) (x) = = α 1 (x), h 0 h

5 5 czyli f (x) = a x 1 =1 Oazuje się zatem, że fucja zadaa szeregiem potęgowym jest różiczowala w ażdym pucie otwartego przedziału zbieżości, a jej pochoda wyraża się taże szeregiem potęgowym, tóry, ja łatwo spostrzec, ma te sam promień zbieżości r Poadto jest o zbudoway z pochodych wyrazów szeregu Warto zapamiętać regułę, że szereg potęgowy różiczujemy wyraz po wyrazie O różiczowalości fucji f w pucie x 0 moża mówić tylo wtedy, gdy jest oa oreśloa w pewym otoczeiu (czyli przedziale otwartym) zawierającym te put Dlatego sformułowaie f jest różiczowala w x 0 będzie odtąd ozaczać, że f jest oreśloa w otoczeiu x 0 i różiczowala w x Twierdzeie Niech g będzie fucją różiczowalą w x 0, a f różiczowalą w y 0 = g(x 0 ) Wtedy fucja F = f g jest różiczowala w x 0 i F (x 0 ) = f (y 0 )g (x 0 ) Iymi słowy, (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ) Dowód Na mocy 1 (73) istieje fucja ϕ ciągła w x 0 i fucja ψ ciągła w y 0, taa że g(x) g(x 0 ) = ϕ(x)(x x 0 ), f(y) f(y 0 ) = ψ(y)(y y 0 ), a poadto wobec czego ϕ(x 0 ) = g (x 0 ), ψ(y ) ) = f (y 0 ), F (x) F (x 0 ) = f(g(x)) f(g(x 0 )) = = ψ(g(x))(g(x) g(x 0 )) = (ψ g)(x)ϕ(x)(x x 0 ), gdzie fucja χ(x) = (ϕ g)(x)ϕ(x) jest ciągła w x 0 Zatem zowu a mocy (73), f g jest różiczowala w x 0, a jej pochoda jest rówa (f g) (x 0 ) = χ(x 0 ) = ψ(g(x 0 ))ϕ(x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ) 715 Przyład Niech F (x) = x x dla x > 0 Mamy gdzie g(x) = x log x i f(y) = e y Stąd F (x) = e x log x = f(g(x)), (x x ) = f (x log x)(x log x) = e x log x (log x + 1) = x x (log x + 1) 716 Twierdzeie Niech fucja f : (a, b) (c, d) będzie wzajemie jedozacza i ma w pucie x 0 (a, b) iezerową pochodą, a fucja odwrota g : (c, d) (a, b) iech będzie ciągła w y 0 = f(x 0 ) Wtedy g jest różiczowala w y 0 i g (y 0 ) = 1/f (x 0 ) Iymi słowy, (f 1 ) (f(x 0 )) = 1 f (x 0 ), lub (f 1 ) 1 (y 0 ) = f (f 1 (y 0 )) 1 Na te prosty dowód zwrócił moją uwagę pa Remigiusz Suwalsi

6 6 Dowód Mamy g(y) g(y 0 ) g(y) g(y 0 ) = y y 0 y y 0 y y 0 f(g(y)) f(g(y 0 )) x x 0 = x x 0 f(x) f(x 0 ) = 1 f (x 0 ), co dowodzi aszej tezy, pod waruiem, że y y 0 pociąga x x 0 To jeda wyia z założoej ciągłości g w tym pucie Jeżeli fucja f : (a, b) R jest różiczowala w ażdym pucie x (a, b), to mówimy, że jest różiczowala w przedziale (a, b) W te sposób pojawia się owa fucja zwaa fucją pochodą (a, b) x f (x) R, 717 Twierdzeie Fucja pochoda a odciu otwartym I ma własość Darboux Dowód Niech f (a) < A < f (b) dla pewych a < b z odcia I Należy poazać, że istieje put a < c < b, tai że f (c) = A Przypuśćmy a razie, że A = 0 Soro f (a) < 0 i f (b) > 0, to dla pewych a < a 1 < b 1 < b jest f(a 1 ) < f(a), f(b 1 ) < f(b), a więc w żadym z putów a, b fucja ciągła f ie przyjmuje swojej ajmiejszej wartości a odciu [a, b] Istieje więc c (a, b), w tórym ta ajmiejsza wartość jest przyjęta i tam też f (c) = 0 Jeśli teraz A jest dowole, stosujemy powyższe rozumowaie do fucji g(x) = f(x) Ax, tóra spełia g (a) < 0 < g (b) Mamy więc g (c) = 0 dla pewego a < c < b, a stąd f (c) = A 718 Twierdzeie (Rolle) Niech f : [a, b] R, gdzie a < b, będzie fucją ciągłą i różiczowalą w (a, b) Jeżeli poadto f(a) = f(b), to istieje c (a, b), taie że f (c) = 0 Dowód Fucja f jao ciągła a przedziale domiętym przyjmuje ajwięszą i ajwięszą wartość Jeśli obie są przyjęte a ońcach przedziału, to wobec f(a) = f(b) fucja jest stała i asza teza jest oczywista W przeciwym wypadu f ma estremum loale (i globale) w c (a, b) i w tym pucie musi być f (c) = Twierdzeie (Lagrage) Niech f : [a, b] R, gdzie a < b, będzie fucją ciągłą i różiczowalą w (a, b) Wtedy istieje c (a, b), taie że f f(b) f(a) (c) = b a Dowód Niech f(b) f(a) g(x) = (x a) + f(a), x [a, b] b a Ja łatwo zauważyć, fucja F = f g spełia założeia twierdzeia Rolle a, więc F (c) = 0 dla pewego c (a, b), a stąd f (c) = g f(b) f(a) (c) = b a

7 7 Z twierdzeia Lagrage a łatwo otrzymać astępujące trzy wiosi 70 Wiose Jeśli f : (a, b) R jest różiczowala i f (x) = 0 dla x (a, b), to f jest fucją stałą 71 Wiose Fucja f różiczowala w przedziale (a, b) jest rosąca (malejąca) wtedy i tylo wtedy, gdy jej pochoda w tym przedziale jest ieujema (iedodatia) 7 Wiose Jeżeli fucja f oreśloa w przedziale (a, b) ma dodatią (ujemą) pochodą w tym przedziale, to jest ściśle rosąca (malejąca) Mówimy, że fucja g : (a, b) R zmieia za z ujemego a dodati w pucie c (a, b), jeśli istieje h > 0, taie że (c h, c + h) (a, b) oraz < 0, c h < x < c, g(x) = 0, x = c, > 0, c < x < x + h Aalogiczie defiiujemy zmiaę zau z dodatiego a ujemy A oto olejy wiose z twierdzeia Lagrage a 73 Wiose Niech f będzie różiczowala w (a, b) Jeśli pochoda f zmieia w pucie x 0 za z ujemego a dodati (z dodatiego a ujemy), to f ma w x 0 ścisłe miimum (masimum) loale Dowód Przypuśćmy, że pochoda zmieia za w x 0 z ujemego a dodati Wtedy dla x dostateczie blisich x 0 f(x) f(x 0 ) = f (c(x))(x x 0 > 0, ( ) gdzie c(x) leży w odciu otwartym mi{x, x 0 }, max{x, x 0 }, więc x 0 jest putem ścisłego miimum Podobie rozumujemy w przypadu, gdy pochoda zmieia za z dodatiego a ujemy Niech będzie daa fucja f : (a, b) R Fucję różiczowalą F : (a, b) R, taą że F (x) = f(x) dla x (a, b) azywamy fucją pierwotą fucji f Oczywiście, jeśli F jest pierwotą f, to i F c (x) = F (x) + c jest pierwotą f, więc fucja pierwota (o ile istieje) ie jest wyzaczoa jedozaczie Tym iemiej, dwie róże fucje pierwote a odciu mogą się różić tylo o stałą Rzeczywiście, jeśli F 1(x) = f(x) = F (x), x (a, b), to (F 1 F ) (x) = F 1(x) F (x) = 0, więc a mocy Wiosu 70, fucja F 1 F jest stała 74 Lemat Fucja f zadaa szeregiem potęgowym f(x) = a x, x ( r, r), =0 gdzie r > 0 jest promieiem zbieżości tego szeregu, ma zawsze fucję pierwotą Wyraża się oa szeregiem potęgowym a F (x) = + 1 x+1 o tym samym promieiu zbieżości =0 Dowód Najpierw sprawdzamy, że promień zbieżości owego szeregu jest taże rówy r, a potem różiczując wyraz po wyrazie przeoujemy się, że F = f

8 8 Nie ażda jeda fucja ma pierwotą Wystarczy przypomieć sobie, że fucja pochoda ma zawsze własość Darboux (por Twierdzeie 717) Zatem fucja ie mająca tej własości, a w szczególości fucja mająca ieciągłości pierwszego rodzaju, ie może mieć pierwotej Późiej zobaczymy jeda, że ażda fucja ciągła ma pierwotą 75 Przyład Korzystając z lematu rozwiiemy fucję logarytmiczą w szereg potęgowy Niech g(x) = log(1 + x), x < 1 Fucja pochoda rozwija się w szereg geometryczy o promieiu zbieżości r = 1, więc dla x < 1, bo g(0) = 0 g(x) = g (x) = x = ( 1) x =0 =0 ( 1) + 1 x+1 = ( 1) =1 +1 x 76 Przyład Pamiętamy, że ( < log ) < 1 Postaramy się teraz wzmocić te oszacowaia, zmiejszając ieco prawą stroę, a zwięszając lewą Dla 0 < x < 1 mamy ( 1) +1 x x log(1 + x) =, log(1 x) =, więc oraz =1 log 1 + x 1 x = x +1 x3 > x log 1 + x 1 x = x Podstawiając x = 1 +1, otrzymujemy ( ) 1 1 (77) ( + 1 ) =1 < x + 3 x3 x x 3 = x + 3(1 x ) ( < log ) < 1 ( ) 1 1( + 1) W tym miejscu pozwoy sobie a dygresję i poażemy, ja moża wyorzystać ta subtele ierówości 78 Twierdzeie (wzór Stirliga) Istieje stała A > 0, taa że dla ażdego N A <!e +1/ < Ae1/1

9 Dowód Niech s =!e Mamy +1/ log s s +1 = ( + 1/) log(1 + 1/) 1 > 0, więc ciąg {s } jest ściśle malejący Jao ciąg liczb dodatich ma graicę A 0 Tę samą graicę ma ciąg t = s e 1 1, tóry z olei jest ściśle rosący, bo log t = ( + 1/) log(1 + 1/) ( 1 t ) < 0, co poazuje, że dla ażdego N s e 1 1 < A < s Stała A w rzeczywistości jest rówa A = π, ale to ustay dopiero w rozdziale 9 Powracamy do główego tou wyładu Twierdzeie Lagrage a pozwala a astępujące waże uogólieie 79 Twierdzeie (Cauchy) Niech f, g : [a, b] R, gdzie a < b, będą fucjami ciągłymi i różiczowalymi w (a, b) Niech poadto g (x) 0, a < x < b Wtedy istieje c (a, b), taie że f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a) Dowód Bez straty ogólości możemy przyjąć, że g > 0 a [a, b] Niech g(a) = α, g(b) = β Wtedy więc a mocy twierdzeia Lagrage a f(b) f(a) g(b) g(a) = f g 1 (β) f g 1 (α), β α f(b) f(a) g(b) g(a) = (f g 1 ) (γ) = f (g 1 (γ)) g (g 1 (γ)) dla pewego α < γ < β Kładąc c = g 1 (γ), otrzymujemy tezę 730 Uwaga Często wygodie jest put pośredi czy to w twierdzeiu Lagrage a, czy Cauchy ego, zapisywać w postaci c = a + θ(b a), gdzie θ (0, 1) Zauważmy też, że oba wzory obowiązują taże dla b < a 731 Przyład Niech f(x) = si x Stosując twierdzeie Lagrage a z a = 0, b = x, otrzymujemy si x = x cos θx, x R, dla pewego 0 < θ < 1 Natomiast stosując twierdzeie Cauchy ego do fucji f(x) = si x i g(x) = x a tym samym przedziale, mamy sąd dla pewego 0 < ϑ < 1 si x x = si x = cos ϑx ϑx, x cos ϑx ϑ Jao wiose z twierdzeia Cauchy ego moża otrzymać ta bardzo lubiae reguły de l Hospitala 9

10 10 73 Wiose (Pierwsza reguła de l Hospitala) Niech będą dae fucje różiczowale f, g : (a, b) R, gdzie a R, b R Załóżmy, że g (x) 0 dla a < x < b Wtedy warui pociągają f(x) = g(x) = 0, x b x b f(x) x b g(x) = β f (x) x b g (x) = β Dowód Rozszerzamy asze fucje w sposób ciągły a przedział (a, b], ładąc f(b) = g(b) = 0 Wówczas dla dowolego x (a, b) a mocy twierdzeia Cauchy ego istieje ξ (x, b), taie że f(x) f(x) f(b) = g(x) g(x) g(b) = f (ξ) g (ξ) Gdy x b, to taże ξ b, sąd atychmiast wyia teza 733 Uwaga Warue f(x) = g(x) = 0 x b x b azywa się róto symbolem 0 0 lub ieozaczoością typu Wiose (Druga reguła de l Hospitala) Niech będą dae fucje różiczowale f, g : (a, b) R, gdzie a R, b R Załóżmy, że g (x) 0 dla a < x < b Wtedy warui pociągają f(x) = g(x) =, x b x b f(x) x b g(x) = β f (x) x b g (x) = β Dowód Możemy przyjąć, że g (x) > 0, a więc, że g jest ściśle rosąca Niech x b i a < x < x +1 < b Na mocy twierdzeia Cauchy ego dla ażdego N istieje x < ξ < x +1, taie że f(x +1 ) f(x ) g(x +1 ) g(x ) = f (ξ ) g (ξ ) β, sąd a mocy twierdzeia Stolza f(x ) g(x ) = β, co wobec dowolości ciągu x b ozacza, że f(x) x b g(x) = β 735 Uwaga Warue f(x) = g(x) = x b x b azywa się róto symbolem lub ieozaczoością typu 736 Uwaga Czyteli ie powiie mieć wątpliwości, że aalogicze reguły dotyczą też graic prawostroych w pucie a przy odpowiedio zmodyfiowaych założeiach Reguły de l Hospitala pozostają w mocy taże, gdy b = (a = ) lub β = ±, co pozostawiamy do sprawdzeia docieliwemu Czyteliowi

11 Przyład Rozważmy graicę Jest to graica typu 0 0, gdzie obie fucje si x x 1 si x x = x 0 x x 0 x f(x) = si x x, g(x) = x, są różiczowale a R \ {0} Badamy graicę ilorazu pochodych f (x) x 0 g (x) = cos x 1 = 1 x 0 x x=0 (cos x) = 0 i, stosując pierwszą regułę de l Hospitala, wosimy, że 738 Przyład Mamy taże (log x) (x a ) = x 1 ax si x x x 0 x = 0 a a 1 = x a 0, x, dla ażdego a > 0, sąd a mocy drugiej reguły de l Hospitala log x x x a = 0, a > Przyład Niech f(x) = x si 1/x i g(x) = log(1 + x) Wtedy atomiast f(x) x 0 g(x) = x si 1/x x 0 log(1 + x) = 0, f (x) g = x(1 + x) si 1/x (1 + x) cos 1/x (x) ie ma graicy, gdy x 0 Ta więc ieistieie graicy ilorazu pochodych ie świadczy o ieistieiu graicy ilorazu fucji Niech f : (a, b) R będzie fucją różiczowalą Może się oazać, że fucja pochoda f jest różiczowala w jaimś pucie x 0 (a, b) Mówimy wtedy, że fucja f jest dwurotie różiczowala w x 0, a pochodą (f ) (x 0 ) azywamy drugą pochodą f w x 0 i ozaczamy przez f (x 0 ) Piszemy taże f (x 0 ) = d dx f(x) x=x0 740 Niech będzie daa fucja f oreśloa w otoczeiu putu x 0 i dwurotie różiczowala w tym pucie Wtedy istieje fucja Ω oreśloa w otoczeiu 0, taa że (741) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 )h + 1 f (x 0 )h + Ω(h), gdzie Ω(h) h 0 h = 0

12 1 Dowód Mamy Ω(h) h = f(x 0 + h) f(x 0 ) f (x 0 )h 1 f (x 0 )h h, sąd a mocy twierdzeia Cauchy ego Ω(h) f (x 0 + θh) f (x 0 ) h 0 h = 1 h 0 θh f (x 0 ) = 0 74 Niech będzie daa fucja f oreśloa w otoczeiu putu x 0 i dwurotie różiczowala w tym pucie Jeśli istieją liczby a, b, c, taie że gdzie h 0 Ω(h) h = 0, to f(x 0 + h) = a + bh + ch + Ω(h), a = f(x 0 ), b = f (x 0 ), c = 1 f (x 0 ) Dowód Przechodząc z h do graicy w zerze, widzimy, że a = f(x 0 ) Podstawiając tę wartość do wzoru i dzieląc przez h, dostajemy f(x 0 + h) f(x 0 ) = b + ch + Ω(h) h h, sąd po przejściu z h do zera mamy b = f (x 0 ) Aby obliczyć c, apiszmy Stąd a mocy twierdzeia Cauchy ego 743 Przyład Niech Jao że mamy Dlatego c = f(x 0 + h) f(x 0 ) f (x 0 )h h c = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) f (x 0 )h h + Ω(h) h f (x 0 + θh) f (x 0 ) = = 1 h 0 θh f (x 0 ) f(x) = (si x + x) = si x + x si x + x si x = x + r 3 (x), f(x) = 4x + 4xr 3 (x) = 4x + R 3 (x), r 3 (x) x 0 x = 0, f(0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 8 R 3 (x) x 0 x = Przyład Oazuje się, że istieją jeda fucje różiczowale spełiające warue (74), lecz ie mające w x 0 drugiej pochodej Przyładem taiej fucji jest { x 3 cos 1 ϕ(x) = x, x 0, 0, x = 0 Rzeczywiście, ϕ(x) x 3 oraz ϕ (x) = { 3x cos 1 x + si 1 x, x 0, 0, x = 0,

13 13 ale iloraz różicowy ie ma graicy przy x 0 ϕ (x) ϕ (0) x = 3x cos 1 x + x 1 si 1 x 745 Wiose Jeżeli f jest fucją oreśloą w otoczeiu putu a i dwurotie różiczowalą w a, to warui f (a) = 0, f (a) 0 pociągają istieie w a ścisłego estremum loalego Jeśli f (a) > 0, jest to miimum Jeśli zaś f (a) < 0 masimum Dowód Rzeczywiście, a mocy (740) f(a + h) f(a) = ( 1 f (a) + Ω(h) ) h h dla małych h, gdzie za wyrażeia po prawej zależy tylo od f (a), gdyż Ω(h) h 0, h 0 Pochode wyższych rzędów defiiujemy iducyjie Aby moża było mówić o pochodej rzędu + 1 w pucie x 0, fucja f musi być -rotie różiczowala w pewym otoczeiu x 0 Jeśli fucja pochoda rzędu, tórą ozaczamy przez f (), jest różiczowala w x 0, to jej pochodą azywamy pochodą rzędu + 1 fucji f w x 0 Zatem f (+1) (x 0 ) = (f () ) (x 0 ) Pochodą rzędu azywamy też róto -tą pochodą Piszemy taże 746 Przyład Niech f () (x 0 ) = d dx f(x) x=x0 f(x) = a x, x < r, =0 gdzie r > 0 jest promieiem zbieżości szeregu Wiemy, że szereg potęgowy jest różiczowaly w otwartym przedziale zbieżości i jego pochoda wyraża się szeregiem potęgowym o tym samym promieiu zbieżości Stąd atychmiast wyia, że fucja f ma pochode wszystich rzędów Wiemy też, że dla ażdego a ( r, r) f(a + h) = α (a)h, h < r a, gdzie Zatem α (a) = f(a + h) = Co więcej, dla ażdego N N mamy =0 = =0 f(a + h) = ( ) a h = f () (a)! f () (a) h,! N =0 h < r a f () (a) h + r N+1 (h),!

14 14 gdzie r N+1 (h) = =N+1 f () (a) h C N+1 h N+1,! h r/ Czyteli powiie sojarzyć te przyład z pozaymi już wcześiej rozwiięciami fucji wyładiczej Przechodzimy do twierdzeia Taylora 747 Twierdzeie (Wzór Taylora) Niech f będzie fucją -rotie różiczowalą w pewym otoczeiu a R Wtedy dla dostateczie małych h f () (a) f(a + h) = h + r +1 (h),! gdzie (748) h 0 r +1 (h) h = 0 Dowód Przeprowadzimy rozumowaie iducyje Warue początowy dla = 0 to po prostu defiicja pochodej Zauważmy astępie, że 1 r +1(h) = f (a) (f ) () (a) h! Zatem pochoda r +1 jest resztą stopia fucji pochodej f Jeśli zatem założymy iducyjie, że wzór (748) jest spełioy dla pewego 1 1 w przypadu fucji pochodej, to stosując pierwszą regułę de l Hospitala, otrzymamy r +1 (f, h) h 0 h = 1 r (f, h) h 0 h 1 = 0 a o to właśie am chodziło Resztę r we wzorze Taylora moża zapisać precyzyjiej 749 Wiose Przy założeiach twierdzeia Taylora dla pewego θ (0, 1) Dowód Przypomijmy, że r (h) = f () (a + θh) h! 1 r (h) = r (f, h) = f(a + h) Zowu zastosujemy iducję Warue początowy f () (a) h! r 1 (h) = f(a + h) f(a) = f (a + θh)h to po prostu twierdzeie Lagrage a Założmy astępie podobie ja w dowodzie twierdzeia Taylora, że wzór a resztę obowiązuje w przypadu reszty r 1 (f, h) Wtedy a mocy twierdzeia Cauchy ego r (h) h = r (θh) (θh) 1 = f () (a + θ 1 θh)! sąd atychmiast wyia żądaa rówość = f () (a + θ h),!

15 Wiose Przy założeiach twierdzeia Taylora r (h) h 0 h = f () (a)! 751 Uwaga Przypuśćmy, że fucja f jest -rotie różiczowala w otocziu putu a o promieiu δ > 0 Wzór Taylora moża zapisać wtedy w ieco iej postaci Miaowicie, dla x (a δ, a + δ) f(x) = 1 gdzie oczywiście R (a, x) = r (a, x a) i f () (a) (x a) + R (a, x),! R (a, x) x a (x a) = 0 75 Wiose Przy założeiach twierdzeia Taylora dla pewego ϑ (0, 1) i 1 Iymi słowy, r (h) = (1 ϑ) 1 f () (a + ϑh) h ( 1)! R (a, x) = (1 ϑ) 1 f () (a + ϑ(x a)) (x a) ( 1)! Dowód Dla x, y leżących dostateczie bliso a zdefiiujmy pomociczą fucję 1 g(y) = f(x) gdzie x tratujemy jao ustaloy parametr Zauważmy, że f () (y) (x y),! (753) g(a) = R (a, x), g(x) = 0 Mamy 1 ( f g (y) = f (+1) (y) (y) (x y) f () ) (y) (x y) 1! ( 1)! =1 = f () (y) ( 1)! (x y) 1, więc, uwzględiając (753), a mocy twierdzeia Lagrage a wosimy, że istieje 0 < θ < 1, taa że R (a, x) = g(a) g(x) = g (x + θ(a x))(a x) = (1 ϑ) 1 f () (a + ϑ(x a) (x a), ( 1)! gdzie dooaliśmy podstawieia θ = 1 ϑ Oczywiście 0 < ϑ < 1 Przy ustaloym a wielomia ϕ (h) = f () (a) h,! azywamy wielomiaem Taylora, a resztę r +1 (h) resztą Peao rozwiięcia fucji f Ja widzieliśmy, reszta r może być zapisaa za pomocą -tej pochodej f w postaci Lagrage a (Wiose 749) lub postaci Cauchy ego (Wiose 75)

16 16 Czasem moża otrzymać rozwiięcie fucji w sumę częściową szeregu potęgowego, ie wiedząc doładie, ja wyglądają jej pochode Koleje twierdzeie umożliwia sprawdzeie, czy dae rozwiięcie jest rzeczywiście rozwiięciem Taylora 754 Twierdzeie Niech f będzie fucją -rotie różiczowalą w przedziale otwartym I Jeśli dla pewego x 0 I i dostateczie małych h f(x 0 + h) = c h + ρ +1 (h), gdzie to ρ +1 (h) h 0 h = 0, c = f () (x 0 ), 0! Zatem ρ +1 (h) = r +1 (h) jest resztą Peao Dowód Twierdzeie to udowodiliśmy już w przypadu 1 Założmy więc jego prawdziwość dla pewego Wtedy +1 f(x 0 + h) = c h + ρ + (h) = c h + ρ +1 (h), gdzie ρ +1 (h) = c +1 h +1 + ρ + (h) spełia warue rzędu maleia Zatem a mocy założeia iducyjego ρ +1 = r +1 jest resztą Peao i mamy c = f () (x 0 ), 0! Aby zaończyć dowód, wystarczy teraz zauważyć, że gdy h 0 c +1 = r +1 h +1 ρ +(h) h +1 f (+1) (x 0 ), ( + 1)! Rozwiięcie Taylora woół x 0 = 0 azywa się taże rozwiięciem Maclauria 755 Przyład Rozwińmy fucję sius we wzór Maclauria Jao że d dx si x x=0 = 0, d +1 dx +1 si x x=0 = ( 1) cos x x=0 = ( 1) dla N {0}, rozwiięcie przyjmuje postać si x = 1 ( 1) ( + 1)! x+1 + r +1 (x), gdzie r +1 (x) = ( 1) cos θ x ( + 1)! x+1, dla pewego θ (0, 1), a więc r +1 (x) x +1 ( + 1)!

17 17 To poazuje, że dla ażdego x R czyli Przypomijmy, że si x = r +1(x) = 0, ( 1) x +1 ( + 1)! sih x = x +1 ( + 1)! Podobieństwo tych rozwiięć tłumaczy częściowo podobieństwo azw obu tych a pierwszy rzut oa bardzo iepodobych fucji 756 Przyład Niech α R Rozwińmy fucję f(x) = x α we wzór Taylora woół putu x 0 = 1 Mamy d x α dx = α(α 1) (α + 1)xα Zatem 1! d x α dx = x=1 ( ) α i wzór Taylora przyjmuje postać 1 ( ) α (1 + h) α = h + r (h), h < 1, gdzie ( ) α r (h) = (1 ϑ ) 1 (1 + ϑ h) α h jest resztą w postaci Cauchy ego dla odpowiediego 0 < ϑ < 1 Prawa stroa wzoru Taylora, jeśli pomiąć resztę, przedstawia sumę częściową szeregu potęgowego Taylora ( ) α h, tórego promień zbieżości jest rówy 1, a więc zbieżego dla h < 1 Udowodimy, że w istocie ( ) α (1 + h) α = h, h < 1 W tym celu ależy wyazać, że dla ażdego ustaloego h ( 1, 1) r (h) = 0 Jeśli 0 < h < 1, to ( ) ( ) r (h) α 1 + ϑh) α h α h dla > α Jeśli zaś 1 < h < 0, to ) h ( α r (h) =(1 ϑ ) 1 (1 + ϑ h) α ( ) 1 ( 1 ϑ α = (1 + ϑ h) α ϑ h ) ( ) α h (1 h ) 1 h

18 18 Widzimy więc, że dla 1 < h < 1 ( ) r (h) α (1 h ) 1 h, a poieważ ( ) α jest szeregiem potęgowym o promieiu zbieżości r = 1, więc r (h) 0 =0 757 Przyład Zastosujmy wzór z poprzediego przyładu w przypadu α = 1 Mamy ( 1 ) 1 + h = h, h < 1, gdzie h ( 1 ) ( ) 1 4 = ( 1), 1 1 Biorąc α = 1 i h = x, otrzymujemy 1 = ( 1) ( 1) x, 1 x gdzie Wobec tego a stąd ( ( 1) 1) ( ) = 4 (arc si x) = arc si x = ( 4 ) x, ( ) x dla x < 1 W szczególości pamiętając, że si π 6 = 1, mamy π 3 = 16 ( ) + 1 I jeszcze jede przyład 758 Przyład Niech f(x) = { e 1/x, x 0, 0, x = 0 Nie ma wątpliwości, że asza fucja jest iesończeie wiele razy różiczowala poza zerem Aby zbadać jej różiczowalość w pucie x = 0, sprawdźmy ajpierw przez iducję, że dla ażdego N {0} i ażdego x 0 (759) f () (x) = p (x) x 3 e 1/x,

19 19 gdzie p jest pewym wielomiaem Rzeczywiście, dla = 0, p 0 (x) = 1 Natomiast ( p f (+1) (x) = (x)x 3 3x 3 1 p (x) x 6 p ) x 3 x 3 e 1/x gdzie Ze wzoru (759) i ierówości = p +1(x) e 1/x, x3(+1) prawdziwej dla ażdego N N wyia, że p +1 (x) = x 3 p (x) + (3x + )p (x) e 1/x N!x N f () (x) = 0 x 0 dla ażdego N, a stąd przez iducję, że f ma wszystie pochode w zerze i f () (0) = 0, N Wobec tego rozwiięcie Taylora fucji f woół zera przyjmuje dla dowolego postać f(h) = r (h) Widać też, że fucja f ie rozwija się w szereg Taylora, bo to ozaczałoby, że jest fucją zerową, a ta oczywiście ie jest Mówimy, że fucja f oreśloa a przedziale I R jest wypuła, jeśli dla ażdych x, y I i ażdego 0 < λ < 1 (760) f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y) Aby lepiej zrozumieć tę defiicję, zauważmy, że siecza wyresu fucji f przechodząca przez puty (x, f(x)) i (y, f(y)) jest wyresem fucji liiowej ( f(y) f(x) g x,y (t) = (t x) + f(x) = 1 t x ) f(x) + t x y x y x y x f(y), a ażdy put t (x, y) moża zapisać jao ( t = 1 t x ) x + t x y x y x y = (1 λ t)x + λ t y Wstawiając tę właśie wartość λ = λ t do (760), widzimy, że wypułość f jest rówoważa waruowi f(t) g x,y (t), t (x, y), x, y I Zatem fucja f jest wypuła, wtedy i tylo wtedy gdy dla ażdych x, y I wyres fucji a odciu [x, y] leży ie wyżej iż siecza wyresu w putach o odciętych x, y Mówimy, że fucja f oreśloa a przedziale I R jest ściśle wypuła, jeśli dla ażdych x y z przedziału I i ażdego 0 < λ < 1 (761) f((1 λ)x + λy) < (1 λ)f(x) + λf(y)

20 0 76 Uwaga Jeśli f : I R jest ciągła, to warue ( x + y ) f(x) + f(y) f, x, y I, pociąga wypułość Rzeczywiście, gdyby dla pewego c = (1 λ)x + λy zachodziła ierówość f(c) > g x,y (c), to ze względu a ciągłość f mielibyśmy f(z) > g x,y (z) dla z z pewego odcia woół c Niech teraz a = if{z < c : f(z) > g x,y (z)}, b = sup{z > c : f(z) > g x,y (z)} Wtedy x a < c < b y i g x,y (a) = f(a), g x,y (b) = f(b), więc g x,y = g a,b Mamy zatem co dla z = a+b daje sprzeczość z założeiem f(z) > g a,b (z), a < z < b, 763 Twierdzeie Fucja I R jest wypuła, wtedy i tylo wtedy gdy dla ażdych x, c, y I (764) x < c < y = f(x) f(c) x c f(y) f(c) y c Dowód Niech c = (1 λ)x + λy, λ = c x y x Warue wypułości f(c) (1 λ)f(x) + λf(y) przeształcamy, orzystając z f(c) = (1 λ)f(c) + λf(c) do rówoważej postaci (1 λ)(f(c) f(x)) λ(f(y) f(c)), sąd po podstawieiu wartości λ łatwo dostajemy warue (764) 765 Wiose Fucja f jest ściśle wypuła, wtedy i tylo wtedy gdy spełia warue (764) z ostrą ierówością 766 Wiose Jeśli f : I R jest (ściśle) wypuła, to dla ażdego c I fucja jest (ściśle) rosąca f c (x) = f(x) f(c), x I \ {c}, x c Dowód Niech f bedzie wypuła Jeśli x < c < y, to f c (x) f c (y a mocy waruu (764) Niech więc teraz x < y < c Mamy y = (1 λ)x + λc, λ = y x c x, i a mocy waruu wypułości f(y) (1 λ)f(x) + λf(c) (1 λ)(f(x) f(c)) + f(c), sąd po prostych przeształceiach otrzymujemy tezę Jeśli c < x < y, rozumujemy podobie W przypadu ścisłej wypułości ależy tylo pamiętać, że wszystie ierówości są ostre 767 Wiose Fucja różiczowala f : (a, b) R jest (ściśle) wypuła, wtedy i tylo wtedy gdy f jest (ściśle) rosąca Dowód Jeśli f jest (ściśle) rosąca, (ścisła) wypułość f wyia z oczywistego zastosowaia twierdzeia o wartości średiej Odwrota impliacja wyia z (764) oraz Wiosu Wiose Fucja dwurotie różiczowala f : (a, b) R jest wypuła, wtedy i tylo wtedy gdy f jest ieujema

21 1 769 Wiose Jeśli f : (a, b) R jest dwurotie różiczowala i f jest dodatia, to f jest ściśle wypuła Mówimy, że fucja f : I R jest (ściśle) wlęsła, jeżeli fucja f jest (ściśle) wypuła Niech f : (a, b) R będzie ciągła Jeśli put c (a, b) ma tę własośc, że dla pewego dostateczie małego ɛ > 0 fucja f jest ściśle wypuła a przedziale (c ɛ, c) i ściśle wlęsła a przedziale (c, c + ɛ) lub też a odwrót, to put c azywa się putem przegięcia fucji f 770 Uwaga Z defiicji wyia atychmiast, że jeśli druga pochoda dwurotie różiczowalej fucji f zmieia za w pucie c, to jest o putem przegięcia 771 Niech Niech będzie daa fucja f różiczowala razy w otoczeiu putu c Załóżmy, że f (c) = f (c) = = f 1 (c) = 0 oraz f () (c) 0 Jeżeli jest parzyste, to put c jest putem ścisłego estremum loalego, a jeśli ieparzyste putem przegięcia Dowód Przypuśćmy ajpierw, że jest parzyste i rozwińmy we wzór Taylora pochodą f woół putu c Mamy f (c + h) = f () ( (c) f () (c) ( 1)! h 1 + r (h) = ( 1)! + r ) (h) h 1 h 1, gdzie r (h) = 0 h 0 h 1 Widać więc, że wobec ieparzystości 1 pochoda f zmieia za w pucie c, co dowodzi, że c jest putem ścisłego estremum Jeśli atomiast jest ieparzyste, to rozwijamy drugą pochodą we wzór Taylora woół c i widzimy, że f (c + h) = f () ( (c) f () (c) ( )! h + r 1 (h) = ( )! + r ) 1(h) h h, gdzie r 1 (h) h 0 h = 0 więc teraz wobec ieparzystości druga pochoda zmieia za w c Zatem c jest putem przegięcia

22 Zadaia 1 Wyprowadź wzory (si) = cos, (cos) = si Wyaż, że fucje si : [ π, π ] [ 1, 1] i cos : [0, π] [ 1, 1] są wzajemie jedozacze 3 Poaż, że d dx tg x = 1 + tg x 4 Zróżiczuj fucje: x + x + 4 x 4, 1 x x, x, tg x, ctg x, log si x, log tg x, 1 + x 3 arc si(1 x), log sih x, cosh(sih x), e ex, tg 4 x, exp (exp (exp x)) 5 Zajdź pochode fucji arc cos : ( 1, 1) (0, π) i arc ta : R ( π, π ) 6 Udowodij, że jeśli fucja f jest różiczowala w pucie x, to f f(x + h) f(x h) (x) = h 0 h 7 Udowodij, że jeśli fucja ciągła ma masima loale w putach a < b, to ma też miimum loale w pewym pucie a < c < b 8 Sprawdź wzory (sih) = cosh, (cosh) = sih przez zróżiczowaie odpowiedich szeregów 9 Czy istieje fucja f : R R, taa że f (x) = m(x) dla x R? 10 Wyaż, że szereg ( 1) +1 cos =1 jest waruowo zbieży 11 Zajdź estrema loale fucji ϕ(x) = x x + x 1 i puty, w tórych fucja ta jest różiczowala 1 Dla jaich a R fucja ψ(x) = cos 1 x dla x 0 i ψ(0) = a ma własość Darboux? 13 Zajdź styczą do wyresu fucji y = x 3/ w pucie x = 0 14 Zbadaj różiczowalość fucji f(x) = m(x) m(x) 15 Daa jest ieziająca fucja ciągła f a [a, b], tóra jest poadto różiczowala w (a, b) Poaż, że istieje a < ξ < b, taie że f(b) f(a) b a = f(a)f(b)f (ξ) f(ξ) W tym celu zastosuj twierdzeie Lagrage a do fucji 1/f 16 Daa jest dodatia fucja ciągła f a [a, b], tóra jest poadto różiczowala w (a, b) Poaż, że istieje a < ξ < b, taie że f(b) { f f(a) = exp (ξ)(b a) } f(ξ) W tym celu zastosuj twierdzeie Lagrage a do fucji log f 17 Daa jest fucja f różiczowala w pewym otoczeiu putu a Nawet gdy f ie jest ciągła w a (podaj tai przyład), istieje ciąg 0 h 0, tai że f (a + h ) f (a) 18 Wiedząc, że f, g C([a, b] są różiczowale w (a, b) i igdzie ie ziają, poaż, że istieje c (a, b), taie że f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c)g(c) g (c)f(c) W tym celu zastosuj twierdzeie Cauchy ego do fucji 1/f i 1/g

23 3 19 Wiedząc, że fucje f i g są różiczowale w pucie a, oblicz graicę x a f(x)g(a) f(a)g(x) x a 0 Wiedząc, że fucja f jest różiczowala w pucie a, oblicz graicę ( f(a + 1 ) ) f(a) 1 Oblicz graicę ( si 4 ) + 1 si4 1 Udowodij, że fucja pochoda fucji ieparzystej (parzystej) jest parzysta (ieparzysta), a fucja pochoda fucji oresowej jest oresowa z tym samym oresem 3 Daa jest rosąca fucja różiczowala f : (a, b) R Poaż, że f jest ściśle rosąca wtedy i tylo wtedy, gdy zbiór tych putów x, w tórych f (x) > 0, jest gęsty w (a, b) 4 Czy fucja Heaviside a 1, x > 0, σ(x) = 0, x = 0, 1, x < 0, jest fucją pochodą? W tórych putach jest różiczowala? W tórych jest ciągła? 5 Wyaż, że fucje x x x, x x 3, x σ(x) si x x x si x x m(x) si πx x (si x + si x ) x si x 3/ są wszędzie różiczowale i oblicz ich pochode 6 Fucja f jest różiczowala w pucie a i f(a) > 0 Oblicz ( f(a + 1 ) ) f(a) 7 Oblicz graicę x 0 x xsi x 8 Dla jaich wartości a R fucja x ax si x jest rosąca a R? 9 Wyaż przez różiczowaie, że fucja f(x) = x log(1 + a x ) jest ściśle rosąca a (0, ) 30 Wyaż, że fucja g(x) = log x (x + 1) jest ściśle malejąca a (1, ) Wywiosuj stąd, że log 3 > log Poaż, że arc ta( π 4 + x) arc ta( π 4 x) x 0 tg( π 4 + x) tg( π 4 x) = 3 π + 16, π 4 arc cos x arc cos x = 3π x 0 arc si x 3 Sprawdź, że (e + x) e x > (e x) e+x dla 0 < x < e 33 Udowodij, że e x < (1 + x) 1+x dla x > 0 34 Udowodij, że ( x+1 )x+1 x x dla x > 0 35 Zajdź loale estrema fucji (0, ) x x x, R x x e x, R x e x, R x x 4 (1 x) 3

24 4 36 Dae są parami róże liczby a 1, a,, a Zajdź miima loale i ajmiejszą wartość fucji a) f(x) = =1 (x ), b) f(x) = =1 x a 37 Zajdź ajwięszą wartość fucji f(x) = 1 1+ x x 1 a R 38 Zajdź ajmiejszą wartość fucji R x x + x x x Zajdź loale estrema fucji: (0, ) x x 1/x, R x x e x, R x x+ si x ( ) α 40 Niech α > 1 Udowodij ierówość x+y < x a +y a dla x, y > 0, x y 41 Udowodij, że fucja różiczowala f : (a, b) R o ograiczoej pochodej spełia warue Lipschitza 4 Udowodij, że fucja dwurotie różiczowala f : (a, b) R spełia warue Lipschitza a ażdym przedziale [c, d] (a, b) 43 Fucja f : (a, b) R jest różiczowala Poadto f (x) > 0 dla wszystich x (a, b)\{c} Udowodij, że f jest ściśle rosąca w (a, b) 44 Dla jaich wartości a R fucja x ax si x jest ściśle rosąca a R? 45 Fucję x cos x przedstaw w postaci szeregu potęgowego 46 Rozwiń fucje sius i cosius w szeregi potęgowe woół putu x = π 47 Zajdź stycze do fucji 0 x log x w putach o odciętych x = 1 i x = 1 48 Niech f(x) = si x x dla x 0 i f(0) = 1 Udowodij, że fucja f jest iesończeie wiele razy różiczowala a R i oblicz wszystie jej pochode w 0 49 Rozwiń w szereg Taylora fucję 0 < x x woół putu x = 50 Wiadomo, że fucja f jest dwurotie różiczowala w pucie a R Oblicz f(a + h) f(a) + f(a + h) h 0 h 51 Fucję x log(1 + x 3 ) rozwiń we wzór Taylora z resztą w postaci Lagrage a woół putu x = 0 5 Fucję x si x cos x rozwiń we wzór Taylora z resztą w postaci Lagrage a woół putu x = 0 53 Rozwiń w szereg Taylora fucje f(x) = si x + sih x i g(x) = cos x + cosh x 54 Daa jest różiczowala fucja f : (0, ) R, taa że x f(x) + f (x) = 0 Poaż, że x f(x) = 0 [W tym celu zauważ, że f(x) = f(x)ex e i zastosuj regułę de l Hospitala] x 55 Zajdź ajwięszą wartość fucji x si m x cos x a R 56 Udowodij ierówość Beroulliego, stosując rachue różiczowy 57 Zajdź miima loale fucji h(x) = x a + x b, gdzie a, b R 58 Różiczując -rotie tożsamość (1 x) 1 = =0 x, wyprowadź rozwiięcie 1 (1 x) = ( ) + ( ) x = ( x) 59 Udowodij ierówość =0 log(1 + x) < x 1 + x, x > 0 60 Fucja f jest ciągła w otoczeiu putu x 0 i różiczowala poza x 0 Poaż, że jeśli istieje graica f (x), gdy x x 0, to f jest różiczowala w x 0 w sposób ciągły 61 Wyprowadź wzór Halphea: (x 1 e 1/x ) () = ( 1) x 1 e 1/x

25 5 6 Fucję f(x) = si(si x) rozwiń we zór Taylora woół x = π z resztą R 5 w postaci Peao 63 Oblicz -tą pochodą fucji log x x, ex cos x Rozwiń te fucje we wzór Taylora w dowolym pucie x z dziedziy Reszty zapisz w postaci Cauchy ego i Lagrage a 64 Fucje f(x) = log(1 + x 3 ) i g(x) = x si x + cos x rozwiń we wzór Taylora do wyrazów wadratowych doooła dowolego x z dziedziy, resztę R zapisując w postaci Cauchy ego i Lagrage a 65 Oblicz graice ( ) sh x x x 0 x si x, x si x 1 x 0 x, x 0 x si(x ) si x ctg x, x 0 x + 66 Udowodij, że jeśli a, c > 0, to if x R ( max{ ax + b, cx + d } ) = ad bc a + c 67 Niech f : (a, b) (c, d) będzie bijecją Poaż, że jeśli f jest dwurotie różiczowala w x 0 (a, b) i f (x 0 ) 0, to f 1 jest dwurotie różiczowala w y 0 = f(x 0 ) i (f 1 ) (y 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) 3 68 Dae są fucje f i g różiczowale razy w pucie a Udowodij, że ( ) (fg) () (a) = f () (a)g ( ) (a) 69 Oblicz (x e x ) (003) i (x 00 e 1/x ) (003) 70 Udowodij, że fucja f(x) = 1 β (1 + x)β x β 1 x jest ściśle rosąca (malejąca) dla x > 1, jeśli β > (1 < β < ) 71 Rozwiń podae fucje we wzór Maclauria z resztą R w postaci Peao: 1 + x + x 1 x + x ( = 5), e x x ( 1/ ( = 6), ) =, ( 1)( 1/ 7 Udowodij, że 73 Oszacuj błąd bezwzględy przybliżeń: e x 1 + x + x! + + x! tg x x + x Oblicz graice x 0 3 si x 3 ( = 13), log si x ( = 6) x ) ( = 0, 1/ ) = (0 x 1), si x x x3 6 ( x 1 10 ), x 1 + x 1 + x 8 cos x e x e x si x x(1 + x) x 4, x 0 x 3, sih(tg x) x 1 (cos x) si x x 0 x 3, x 0 x 3, x 0 x x3/ ( 1 x 1 si x 75 Rozwiń w szereg Maclauria fucje si x cos x, si x, cosh x 76 Rozwiń w szereg Maclauria fucje arshx i arc cos x 77 Poaż, że ) =0 = π ( 1) +1 ( 1/ (0 x 1) ( x 1 ), ( ) x x 1 x, )

26 6 78 Niech f : (a, b) R będzie fucją wypułą Udowodij przez iducję ierówość Jesea ( ) f λ x λ f(x ) =1 dla x j (a, b) i =1 λ = 1, λ j 0 79 Wyaż, że fucja si : [π, π] R jest wypuła, a fucja (0, ) x x jest wlęsła 80 Udowodij poowie ierówość ab 1 p ap + 1 q bq, gdzie 1 p + 1 q = 1 i p, q > 0, orzystając z tego, że logarytm jest fucją ściśle wlęsłą 81 Udowodij ierówość si a1 si a si a si{ 1 (a 1 + a + a )} =1 dla a j 0 8 Zajdź przedziały ścisłej wypułości i wlęsłości oraz puty przegięcia fucji f(x) = x α log x w zależości od α R 83 Udowodij ierówość x log x + y log y (x + y) log x+y, x > 0, y > 0 84 Wyaż, że fucja różiczowala f : (a, b) R jest wypuła wtedy i tylo wtedy, gdy f(x) f(y)+f (y)(x y) dla x, y (a, b) i podaj iterpretację geometryczą tego waruu 85 Wyaż, że fucja f : (a, b) R jest ściśle wypuła, wtedy i tylo wtedy gdy dla ażdych x < y < z z odcia (a, b) 1 x f(x) 1 y f(y) 1 z f(z) > 0 86 Fucja f : R R jest ściśle wypuła i ie jest mootoicza Udowodij, że x f(x) =, a astępie poaż, że f przyjmuje wartość miimalą Rozważ fucje e x, e x i cosh x 87 Niech f : I R będzie fucją wypułą Czy a) f, b) f, c) f, d) e f, e) log(1 + f ), jest fucją wypułą? f) 1 f 88 Zajdź puty przegięcia fucji: y = 3x x 3, y = x + si x, y = e x, y = log(1 + x ), y = 1 + x, y = x x 89 Poaż, że wyres fucji y = x+1 x +1 ma trzy puty przegięcia leżące a tej samej prostej 90 Fucja f : R R jest jedocześie wlęsła i wypuła Udowodij, że f jest fucją afiiczą, tj f(x) = ax + b dla pewych a, b R 91 Niech f : [a, b] R będzie fucją mootoiczą Poaż, że f ma wszędzie graice jedostroe 9 Wyaż, że fucja wypuła ma graice jedostroe (właściwe lub ie) a ońcach swojej dziedziy I 93 Fucja f : (a, b) R jest rosąca (wypuła), ale ie ściśle rosąca (wypuła) Poaż, że a pewym odciu [c, d] (a, b) jest stała (liiowa) 94 Poaż, że fucja tgh x = sih x cosh x jest odwracala a całej prostej Zajdź fucje pochode fucji tgh i jej odwrotej 95 Zajdź puty przegięcia fucji a) f(x) = [x] + si πx, b) g(x) = [x] si πx 96 Niech f : [a, b] R będzie fucją wypułą Poaż, że istieje c [a, b], taie że f jest malejąca a [a, c] i rosąca a [c, b] W szczególości, gdy c = a, f jest malejąca, a gdy c = b rosąca a całej swej dziedziie

27 97 Poaż, że fucja wypuła (wlęsła) a odciu domiętym osiąga swoją ajwięszą (ajmiejszą) wartość a jedym z ońców przedziału 98 Niech f : I R będzie fucją wypułą Dla a, b I iech g = g a,b ozacza fucj afiiczą, taą że g(a) = f(a) i g(b) = f(b) Poaż, że jeśli x I \ (a, b), to g(x) f(x) Ziterpretuj tę własość geometryczie 99 Niech f : [a, b] R będzie wypuła Niech c (a, b) Defiiujemy dwie owe fucje: G = g a,b i g = mi{g a,c, g c,b } Korzystając z poprzediego zadaia, wyaż, że g f G Wywiosuj stąd, że f jest ograiczoa 7