Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe

Transkrypt

1 Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego rozwiązywania. Niektóre z nich mogą być nieco trudniejsze. 3. Zadania domowe. Te zadania należy rozwiązać w domu i umieć na kartkówkę Jest bardzo prawdopodobne, że w pliku tym pojawią się błędy i literówki. Za poprawki będę bardzo wdzięczny 3 luty 2 Zad. Wyraź ( + i) w postaci trygonometrycznej. Oblicz ( + i) 2 używając obu postaci i porównaj części rzeczywiste. Zad. 2 Udowodnij, że jeżeli Iz > to Iz <. Zad. 3 Opisz zbiory na płaszczyźnie zadane równaniami z + 2 = z z = + Rz Zad. 4 Oblicz całkę 2π cos 4 t dt. Zad, 5 Wyraź cos 3x jako wielomian od cos x. Zad. 6 Znajdż wszystkie pierwiastki czwartego stopnia liczby + 2i. Zad. 7. Udowodnij, że nie istnieje podzbiór P C mający następujące własności.. jeżeli z C i z to albo z albo z należy do P ale nie oba. 2. jeżeli z, v P to zv P oraz z + v P. Zadania ćwiczebne:. Niech z, z 2, z 3 to różne liczby zespolone i niech θ arg z3 z z 2 z. Udowodnij, że z 3 z 2 2 = z 3 z 2 + z 2 z 2 2 z 3 z z 2 z cos θ. 2. Wielomian z 4 + rozłóż na czynniki liniowe (o współczynnikach zespolonych).

2 . Rozwiąż równanie (z + ) 5 = z Niech z to rozwiązanie równania (z + ) = (z ). Udowodnij, że Rz = 3. Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że ( + z)( z) jest liczbą rzeczywistą. 4. Opisz geometrycznie zbiór { z C : < Arg z + i z i < π } luty 22 Zad.. Znajdź granicę z 2 + i lim z i z 4. Zad. 2. Określamy funkcję f(z) wzorem { 2z f(z) = z+ gdy z gdy z = Zbadaj dla jakich z C jest ona określona, ciągła i które nieciągłości są usuwalne. ( ) Zad. 3. Funkcja Żukowskiego to f(z) = 2 z + z. Udowodnij, że. f(z) = f( z ) 2. f({ z = }) = [, ] 3. dla < r f({ z = r}) to elipsa u 2 ( 2 (r + r )) 2 + v 2 ( 2 (r r )) 2 =. Zad. 4. Rozpatrzmy funkcję f(z) = z 2. Udowodnij, że przeprowadza ona zbiór. x = na parabolę (podaj jej równanie) 2. xy = na prostą (podaj jej równanie) 3. z = na krzywą (zwaną kardioida) opisaną równaniem parametrycznym w = 2( + cos θ)e iθ. Zad. 5. Rozpatrzmy funkcję f(z) = e z. Na co przeprowadza ona. Zbiór Rz = 2. Zbiór Iz = π 4 3. Pas Iz π 4. 2

3 Zadania ćwiczebne:. Zbadaj w jakich punktach różniczkowalna jest funkcja f(z) = z Udowodnij, że funkcja f(z) = z przeprowadza proste na proste lub okręgi. Zbadaj dokładnie kiedy na co i wylicz dokładne wzory. 3. Zbadaj zbieżność ciągu z n = n k= ( + i k ). (Wsk. Rozpatrz moduł i argument).. Udowodnij, że odwzorowanie f(z) = z przeprowadza parabolę y = x 2 na krzywą zadaną równaniem u 2 (v + ) + v 3 = 2. Udowodnij, że funkcja Żukowskiego f(z) = 2 (z + z ) przeprowadza półpłaszczyznę Iz > w sposób jednoznaczny na C \ ((, ] [, )) (płaszczyzna bez dwu półprostych). 3. Niech a b będą liczbami zespolonymi. Udowodnij, że równanie z a = 2 z b zadaje okrąg i znajdź jego promień luty 22 Zad.. Policz bezpośrednio, że funkcja e x cos y spełnia równanie Laplace a. Uwaga: w zadaniach poniżej funkcja harmoniczna to jak na wykładzie część rzeczywista funkcji analitycznej. Zad. 2. Dla jakich a, b, c R wielomian ax 2 + bxy + cy 2 jest harmoniczny w C. Zad. 3. Funkcja Φ(x, y) jest harmoniczna w obszarze Ω i ma wszystkie pochodne. Udowodnij, że Φ x iφ y jest analityczna. Zad. 4. Jeżeli u(x, y) jest harmoniczna w Ω to u x (o ile istnieje) też jest harmoniczna. Zad. 5. Znajdź funkcję harmoniczna w {z : Rz 3} która na prostej Rz = przyjmuje wartość a na prostej Rz = 3 przyjmuje wartość 4. Zad. 6. Znajdź funkcje φ harmoniczną w z 2 taką, że φ(z) = gdy z = oraz φ(2e iθ ) = 5 cos 3θ. Zad. 7. Znajdź funkcję φ(z) harmoniczną dla z taką, że φ(e it ) = cos 2 t oraz lim z φ(z) = 2.. Znajdź funkcję harmoniczną w kącie Arg z π 4 która nie jest tozsamościowo zerem ale jest równa zeru na półprostych Arg z = i Arg z = π Znajdź funkcję analityczną f(z) taką, że Rf(x + iy) = x 3 3xy 2 + y. 4 5 marzec 22 Zad.. Napisz jako a + ib liczby sin 2i, cos( i) oraz exp( + 3πi) exp( + iπ/2). 3

4 Zad. 2. Rozwiąż równanie cos z = i sin z. Zad. 3. Udowodnij, że funkcja e z jest na każdym pasie ai < Iz < ai + 2πi dla a R. Zad. 4. Udowodnij, że sin z sin w = 2 cos z+w 2 sin z w 2. Zad. 5. Udowodnij, że sin z jest różnowartościowy na zbiorze {x + iy : π < x < π oraz y > }. Znajdź obraz tego zbioru. Zad. 6. Niech λ,..., λ n C różne liczby zespolone. Udowodnij, że funkcje e λz,..., e λnz są liniowo niezależne. Zadania ćwiczebne:. f(z) = Log(4 + i z). W jakim obszarze f(z) jest analityczne. Znajdź f (z). 2. Gdzie jest analityczna funkcja Log(z 2 + )?. Rozwiąż równanie Log(z 2 ) = iπ/2 2. Niech Ω = C \ {x + iy : x, y = x} a l(z) niech będzie gałęzią logarytmu w Ω taką, że l(e) =. Policz l( + i/2) oraz l(e + ie). Uwaga Na następnych ćwiczeniach będzie kartkówka z tych i poprzednich zadań domowych. 5 2 marca 22 Policzyć całki. Γ (x 2xyi)dz gdzie Γ =: {z = t + it2 : t } 2. C z2 dz gdzie C to brzeg kwadratu o wierzchołkach,, + i, i 3. Γ ( z + i z)dz po półokręgu z = i + e it dla t [, π] 4. z = zn dz dla n =, ±, ±2,... Udowodnij, że. z =3 (z2 i) dz 3π 4 2. Γ Log z dz π γ esin z dz gdzie γ to odcinek od do i.. Γ z z dz gdzie Γ to brzeg zbioru {z : < z < 2 i Iz > } 2. z z dz gdzie Γ to brzeg zbioru {z : z < i Iz > } Γ 4

5 6 9 marca 22 Zad.. Udowodnij, że wielomian F (z) = a + nz + z n jest różnowartościowy na z < Zad. 2 Udowodnij, że funkcja F (z) = z + e z jest różnowartościowa na Rz <. Zad. 3. jaka jest wartość całki. Γ 2. C dz +z 2 gdzie Γ to elipsa x 2 + 4y 2 = e z cos z (+z 2 ) sin z dz gdzie C to z (2 + i) = 2. Zad. 4. Γ to kontur prosty i a nie leży na Γ. Policz Γ (z a)n dz dla n =, ±, ±2,.... Zad. 5. Policz dz φ(r) = z 2 (z ) 3 z =R dla R > 2. Zad. 6. Udowodnij, że jeżeli P (z) to wielomian stopnia 2 którego wszystkie zera leżą w kole z < r to z =r P (z) dz =. Zad. 7. Jeżeli u(z) harmoniczne w z < R oraz < r < R to 2π 2π u(re iθ ) dθ = u().. Policz całkę γ zdz gdzie γ to krzywa γ(t) = (5 cos t)eit dla t 3π. 2. Policz całkę γ z dz gdzie γ to krzywa γ(t) = (5 cos t)e it dla t 3π marca 22 Kartkówka Zad.. Policz całke cos z Γ z 2 (z 3) dz po konturze narysowanym na tablicy. Zad. 2. f(z) analityczna na z = oraz wewnątrz tej krzywej a ponadto f(z) M dla z =. Udowodnij, że f() M oraz f () M. Zad. 3. γ to kontur prosty, zamknięty a g to funkcja ciągła na γ. Dla z / γ określamy g(w) dw G(z) = w z.. Udowodnij, że G(z) jest analityczna i G (z) = γ γ g(w) dw (w z) Policz G(z) dla γ(t) = e it dla t 2π oraz g(w) = w. f(z) Zad. 4. Jeżeli f(z) jest całkowita i lim z z = to f(z) jest wielomianem n stopnia < n. Zad. 5. policz całke sin z z = z dz. 2 Zad.. Policz 2π log re iθ a dθ dla r < a. Zad. 2. Policz wszystkie możliwe wartości całki dz γ z(z 2 ) gdzie γ to kontur prosty, zamkniety nie przechodzący przez, ±, ±2. 5

6 8 2 kwietnia 22 Zad.. Rozwiń e z = n= a n(z ) n Zad. 2. Udowodnij, że promień zbieżności szeregu potęgowego n= a nz n równy jest (lim sup n n a n ). Udowodnij, że jezeli α n to ograniczony ciąg liczb rzeczywistych to szereg n= a nn αn z n ma ten sam promień zbieżności co n= a nz n. Zad. 3. Jaki jest promień zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f(z) = e z (z + i) 3 (2i z). Zad. 4. Szereg n a nz n ma promień zbieżności R a szereg n b nz n ma promień zbieżności R 2. Udowodnij, że szereg n= a nb n z n ma promień zbiezności R R 2. Zad. 5. Funkcja f(z) = n= a nz n jest rzeczywista dla z ( δ, δ) dla pewnego δ >. Udowodnij, że a n R dla n =,,.... Zad. 6. Szereg f(z) = n= a nz n ma promień zbiezności R >. Udowodnij, że dla < r < R mamy 2π f(re it ) 2 dt = 2π a n 2 r 2n. n= Zad. 7. Napisz szereg Maclaurina dla sinh z. Zad. 8. α C Udowodnij, że dla z < mamy ( + z) α = + α! α(α ) z + z 2 + 2! α(α )(α 2) z !. f(z) jest analityczne dla z <. Udowodnij, że f(z) jest parzyste (i.e. f(z) = f( z)) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie nieparzyste pochodne f w zerze są równe zeru. 2. Określamy F (z) = 2 e zt t 3 dt. Udowodnij, że F (z) jest całkowite i znajdź szereg Maclaurina f(z). 9 6 kwietnia 22 Kartkówka: Zad.. Jeżeli f(z) analityczne w obszarze Ω jest różna od stałej i inf z Ω f(z) jest osiągane to f ma zero w Ω. Zad. 2. Podaj przykład funkcji f(z) analitycznej w pewnym obszarze Ω takiej, że Rf(z) jest ograniczone w Ω a If(z) nie jest ograniczone. Zad. 3. Szereg f(z) = n= a nz n jest zbieżny dla z < r. Określamy Φ(z) = a nz n n= n!. Udowodnij, że Φ(z) jest funkcja całkowitą i udowodnij, że dla z < r zachodzi f(z) = 6 e t Φ(tz) dt

7 Zad. 4. Jaką funkcje przedstawia szereg k= k2 z k. Zad. 5. Znajdź sumę szeregu ( ) k k= 2k+ Zad. 6. Jaką funkcje przedstawia szereg z n n= n(n+) Zadanie ćwiczebne: Udowodnij, że dla θ < π mamy sin θ 2 sin 2θ + 3 sin 3θ = 2 θ. Jaką funkcję przedstawia szereg n= n2 + 2 n n! zn. 2. Jaką funkcję przedstawia szereg k= ( )k (3k + ). k= ( ) k 3k+ z3k+. Znajdź sumę szeregu 23 kwietnia 22 Zrobiliśmy wszystkie zadania z kolokwium należy je umieć. Robiliśmy też następującą serię zadań ale ponieważ nie robiliśmy jej zbyt dokładnie klasyfikuję ją jako Zadania ćwiczebne: Niech f(z) = π2 sin 2 (πz) a φ(z) = n Z (z n) 2.. Udowodnij, że f(z) jest analityczne w C \ Z. 2. Udowodnij, że szereg n Z (z n) 2 zbiega jednostajnie w każdym obszarze Iz > η dla η >. 3. Udowodnij, że n Z (z n) 2 zbiega jednostajnie w każdym obszarze n + η < Rz < n + η dla < η < Udowodnij, że φ(z) jest analityczne w C \ Z. 5. Udowodnij, że f(z) i φ(z) są okresowe z okresem π. 6. Oblicz współczynniki przy ujemnych potęgach z w rozwinięciu Laurenta funkcji f(z) w otoczeniu. 7. Oblicz współczynniki przy ujemnych potęgach z w rozwinięciu Laurenta funkcji φ(z) w otoczeniu. 8. Udowodnij, że funkcja f(z) φ(z) jest (rozszerza się do) funkcją całkowitą. 9. Udowodnij, że funkcja f(z) φ(z) jest ograniczona.. Udowodnij, że f(z) = φ(z) dla z C \ Z.. W jakim pierścieniu zbiega szereg n= ln( n + )2 n z n. 2. Znajdź współczynniki przy potęgach z mniejszych niż 3 w rozwinięciu Laurenta wokół zera funkcji f(z) = (e z ) 7

8 7 maja 22 Kartkówka Zad.. Opisz zera i bieguny funkcji f(z) = tan z z sin 3z Zad. 2. Opisz osobliwości izolowane funkcji z 3 z Zad. 3. Jeżeli f(z) ma w z osobliwość istotną to e f(z) też. Zad. 4. Jakiego rzędu biegun w z = ma funkcja (2 cos z 2 + z 2 ) 2 Zad. 5. f(z) ma w z osobliwość istotną a g(z) ma w z biegun. Udowodnij, że f(z)g(z) oraz f(z) + g(z) ma w z osobliwość istotną. Zad. 6. Wyznacz poziomice e z = s. Jak wyglądają one dla s =, 2,... i dla s =, 2, 3,.... Zadanie ćwiczebne:niech h(z) = sin z z + 2z z 2 π 2. Udowodnij, że dla z < 2π ma tylko osobliwości usuwalne. Znajdź cztery pierwsze współczynniki szeregu Mclaurina funkcji h(z). Jaki jest promień zbieżności tego szeregu.. Sprawdź (oczywiście bez tw. Picarda) że funkcja cos z w dowolnym otoczeniu < z < ɛ przyjmuje wszystkie wartości zespolone poza być może jedną. 2. Funkcja f(z) ma w z biegun rzędu m. Zbadaj osobliwość w z funkcji g(z) = f (z) f(z). Wyraź minus pierwszy współczynnik szeregu Laurenta funkcji g (czyli res(g, z )) przez współczynniki Laurenta funkcji f. 2 4 maja 22 Policz całki używając twierdzenia o residuach: tan z dz z =2π 2π sin 2 θ cos θ dθ z =3 π e z dz z(z 2) 3 dθ 2 cos θ e ax dx gdzie < a <. + ex Zadania do pomyslenia: Zadanie. Niech f(z) to funkcja wymierna f(z) = P (z)/q(z) gdzie deg Q 2+deg P i żadna liczba całkowita nie jest biegunem f. Udowodnij, że lim N N k= N f(k) jest równe minus suma residuów funkcji g(z) := πf(z) cot(πz) w biegunach f(z). Wskazówka:. Udowodnij, ze res(g; k) = f(k) dla k =, ±, ±2,... 8

9 2. Niech Γ N to brzeg kwadratu o wierzchołakach (N + 2 )(+i), (N + 2 )( i). (N + 2 )( + i), (N + 2 )( i). Udowodnij, że istnieje stała M taka, że cot(πz) M dla wszystkich N i z Γ N. oraz Zad. 2. Używając powyższego policz, że k 2 + = π coth(π) k= (k 2 )2 = π2. Policz całki 2π dt 2 cos t 3 2 maja 22 cos x dx ( + x 2 ) 3 Kartkówka Zad.. Policz całki Fresnela sin x 2 dx oraz cos x 2 dx całkując funkcje e z2 po odpowiednio dobranych konturach. Zad. 2. Policz całkę ln x dx log z x 2 całkując funkcję z 2. Zadania do pomyślenia:. Policz całkę e x2 cos 2λx dx gdzie λ > całkując funkcje e z2 po prostokącie o wierzchołkach, R, R + iλ, iλ. 2. Policz całkę, a > cos x dx x 2 + a 2 (to bardzo podobne do zadania domowego), oraz x sin x dx (x a 2 ) Policz całkę 2π exp(cos t) cos(nt sin t) dt całkując funkcje e z z n po okręgu. Zadań domowych nie ma; po następnych ćwiczeniach będzie więcej 4 28 maja 22 Zad.. f analityczne w z < i f(z) <. Udowodnij, że dla każdego ζ, ζ < równanie z ζf(z) = ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zad. 2. a >. Udowodnij, że równanie z + e z = a ma dokładnie jedno rozwiązanie o dodatniej części rzeczywistej. 9

10 Zad. 3. Wielomian z 8 + 4z 3 + 5z + 7 ma dokładnie dwa zera w pierwszej ćwiartce. Zad. 4. Wielomian z 5 + 5z 3 + 2z 2 + 4z + ma dokładnie dwa pierwiastki o dodatniej części rzeczywistej. Zadania do pomyślenia:. Udowodnij, że wielomian z 5 +5z + ma dokładnie cztery zera w obszarze 3/2 < z < Jeżeli f n zbiega niemal jednostajnie w obszarze D do f i każda funkcja f n jest różnowartościowa to f jest albo róznowartościowa albo stała. 3. Udowodnij, że wszystkie zera wielomianu z 7 2z leżą w pierścieniu < z < 2