1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej"

Transkrypt

1 . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica skończona) f f 0 + h) f 0 ) 0 )..) h 0 h Jeśli f ma pochodną w punkcie 0, to mówimy również, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0. Wyrażenie.) nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie 0. Podstawiając 0 + h, pochodną funkcji f w punkcie 0 możemy wyrazić następująco f f) f 0 ) 0 ). 0 0 Uwaga Często pochodną f 0 ), głównie w literaturze fizycznej i technicznej, oznacza się również symbolem df d 0). Mówiąc nieprecyzyjnie, symbole df i d oznaczają odpowiednio nieskończenie mały przyrost wartości funkcji f i argumentu. Przykład Niech f : R R będzie funkcją postaci f) oraz niech 0 3. Pokażemy, że funkcja f ma pochodną f 3) 6. Istotnie, mamy f3 + h) f3) 3 + h) 9 6h + h 6 + h) 6, h 0 h h 0 h h 0 h h 0 tzn. f 3) 6. Przykład Zbadać czy istnieje pochodna f ), gdzie f) { dla, ) dla [, ).

2 Obliczymy granicę lewostronną i prawostronną ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie 0, gdyż w lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwie punktu 0 funkcja f jest określona różnymi wzorami. Mamy + h) ) + 5) f + h) f) h 0 h 3 + 3h + h ) 3 h 0 oraz 3h + 3h + h 3 f + h) f) 3 + h) + 3) 3 + 3) 3h h 0 + h h 0 + h h 0 + h 3 3. h 0 + Ponieważ istnieją granice jednostronne i są równe, więc istnieje granica tzn. f ) 3. f + h) f) 3, h 0 h W powyższym ćwiczeniu aby sprawdzić, czy istnieje pochodna w danym punkcie obliczyliśmy granicę lewostronną i prawostronną ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie 0. Każdą z tych granic o ile istnieje) nazywamy, odpowiednio, pochodna lewostronna oraz pochodna prawostronna funkcji f w punkcie 0 i oznaczamy, odpowiednio, przez f 0 ) i f + 0 ), tzn. f f 0 + h) f 0 ) 0 ), f + f 0 + h) f 0 ) 0 ). h 0 + h Każdą z powyższych pochodnych nazywamy pochodna jednostronna funkcji f w punkcie 0. Własność Pochodna f 0 ) funkcji f w punkcie 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodna lewostronna f 0 ) i pochodna prawostronna f + 0 ) i są równe. Pokazać, że funkcja f) nie posiada pochodnej w punkcie 0 0. Mamy oraz f0 + h) f0) h h h 0 h f0 + h) f0) h h 0 + h h 0 + h h h 0+ h.

3 Istnieje więc pochodna lewostronna i jest równa f 0) oraz istnieje pochodna prawostronna i jest równa f +0). Ponieważ pochodne jednostronne są różne, więc, na mocy własności, funkcja f) nie posiada pochodnej w punkcie 0 0. Własność Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tym punkcie ciągła. Jeśli funkcja f : a, b) R ma pochodną f ) w każdym punkcie a, b), to przyporządkowanie punktowi pochodnej f ) w tym punkcie definiuje funkcję f : a, b) R określoną również na przedziale a, b). Nazywamy ją pochodna funkcji f. Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna lub różniczkowalna na zbiorze a, b)). Własność 3 i) Funkcje elementarne są różniczkowalne na swoich dziedzinach. ii) Jeśli funkcja f jest różniczkowalna, to jest ciągła. Przykład 3 Pokazać, że pochodną funkcji f), R \ {0}, jest funkcja f ), 0. Dla dowolnego 0 mamy f + h) f) h 0 h h 0 A zatem f ) dla każdego 0. +h h h 0 + h). h 0 + h) + h)h Przykład 4 Wyznaczyć pochodną funkcji f) sin, R. Niech R. Korzystając ze wzoru dostajemy sin y sin z sin y z sin + h) sin h 0 h cos y + z h 0 sin +h sin h h 0 h cos cos +h+ h + h cos + 0) cos. ) 3

4 Ostatecznie pochodną funkcji f) sin jest funkcja f ) cos. Pochodne funkcji elementarnych: f) const f ) 0 f) α f) sin f ) α α f ) cos f) cos f ) sin f) tg f ) cos f) ctg f ) sin f) e f ) e f) a a > 0) f ) a ln a f) ln f ) f) log a a > 0, a ) f ) ln a f) arc sin f ) f) arc cos f ) f) arc tg f ) + f) arc ctg f ) + f) sinh f ) cosh f) cosh f ) sinh f) tgh f ) cosh f) ctgh f ) sinh Uwaga Często będziemy pisać nieformalnie f) zamiast f ) jeśli funkcja f jest dana konkretnym wzorem. Na przykład, będziemy pisać 3 ) 3 lub sin ) cos zamiast f ) 3, gdzie f) 3 lub sin ) cos. 4

5 .. Podstawowe własności pochodnej Własność 4 Niech funkcje f i g posiadają pochodne f ) i g ). Wówczas i) c f) ) c f ), c R, ii) f + g) ) f ) + g ), iii) f g) ) f ) g ), iv) f g) ) f )g) + f)g ), v) ) f ) f )g) f)g ) g g), o ile g) 0. Przykład 5 Wyznaczyć o ile istnieje) wartość parametru a tak, aby funkcja była różniczkowalna. { f) e dla 0 3 a + dla > 0 Funkcja f jest oczywiście różniczkowalna w przedziałach, 0) i 0, ). Należy sprawdzić różniczkowalność funkcji f w punkcie 0. Obliczymy pochodne jednostronne. Ponieważ, patrz wzór??), oraz więc fh) f0) e h fh) f0) h 3 ah + e 0 a h 0 + h h 0 + h f 0) oraz f +0) a. Pochodne jednostronne są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a. Wówczas istnieje pochodna f 0) i jest równa. Przykład 6 Wyznaczyć o ile istnieją) wartości parametrów a i b tak, aby funkcja była różniczkowalna. { f) a sin dla < π cos + b dla π 5

6 Funkcja f jest oczywiście różniczkowalna w przedziałach ), π i π, ). Należy sprawdzić różniczkowalność funkcji f w punkcie 0 π. Na mocy własności, jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tym punkcie ciągła. Ponieważ π ) f cos π + b b oraz f) a sin π π a, więc a b. Obliczmy pochodne jednostronne. Mamy f π + h) f ) π a sin π + h) cos π + b) a sin π + h) a sin π a + h) sin π a + h) sin π a cos π 0, gdyż ostatnia granica jest równa pochodnej funkcji sinus w punkcie 0 π. Ponadto f π + h) f ) π cos π + h) + b cos π + b) h 0 + h sin h h 0 + h Mamy więc f π ) π ) 0 oraz f +. Ponieważ pochodne jednostronne są różne, więc nie istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że f π ) istnieje...3 Pochodna złożenia funkcji Własność 5 Niech g : a, b) c, d) i f : c, d) R. Jeśli istnieją pochodna funkcji g w punkcie 0 a, b) i pochodna funkcji f w punkcie g 0 ) c, d), to istnieje pochodna funkcji f g w punkcie 0 i jest równa f g) 0 ) f g 0 ))g 0 )..) Zauważmy, że dla złożenia trzech funkcji, wzór.) przyjmuje postać f g h) 0 ) f gh 0 ))g h 0 ))h 0 )..3) Ogólnie, aby obliczyć pochodną złożenia kilku funkcji, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej przepisując argument tej funkcji, obliczoną pochodną mnożymy przez pochodną następnej funkcji ze złożenia przepisując jej argument, tak 6

7 długo, aż obliczymy pochodną funkcji ostatniej wewnętrznej ). Dokładniej obliczanie pochodnej złożenia funkcji jest zilustrowane w poniższych przykładach. Przykład 7 Obliczyć pochodną funkcji f w punkcie 0, gdzie ) f) 4 +, 0, ) f) ln + 3), 0, 3) f) sin 5, 0, 4) f) tg e 5, 0 0. W każdym z punktów wyznaczymy funkcje składowe funkcji f. ) Zauważmy, że funkcja f jest złożeniem funkcji g) i h) 4 +, gdyż g h)) gh)) g 4 + ) 4 + f). Ponieważ g ) oraz h ) 4 3, więc korzystając ze wzoru.) dostajemy f ) g h) ) g h))h ) h) A zatem f 0 ) f ) ) Zauważmy, że funkcja f jest złożeniem funkcji g) ln i h) +3, gdyż g h)) gh)) g + 3) ln + 3) f). Ponieważ g ) oraz h ), więc korzystając ze wzoru.) dostajemy f ) g h) ) g h))h ) h) + 3. A zatem f 0 ) f ) ) Funkcja f jest złożeniem funkcji g) 5, h) sin oraz k), gdyż g h k)) ghk))) gh )) gsin )) sin )) 5 f). 7

8 Ponieważ g ) 5 4, h ) cos oraz k ), więc korzystając ze wzoru.3) dostajemy A zatem f ) g h k) ) g hk)))h k))k ) 5hk))) 4 cosk)) 5sin ) 4 cos 0 sin 4 cos. f 0 ) f ) 0 sin 4 ) cos ) 0 sin 4 cos. 4) Funkcja f jest złożeniem funkcji g) tg, h) e oraz k) 5, gdyż g h k)) ghk))) gh 5 )) ge 5 ) tg e 5 f). Ponieważ g ) cos, h ) e oraz k ) 5 4 4, więc korzystając ze wzoru.3) dostajemy f ) g hk 0 ))h k 0 ))k 0 ) cos hk)) ek) 5 4 ) e ). cos e 5 A zatem f 0) e ) 0. cos e 05 0 Niech f : a, b) R będzie dowolną funkcją. Przypinamy, że funkcja f posiada funkcję odwrotną f wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest różnowartościowa. Podamy teraz zależność między pochodną funkcji f a pochodną funkcji odwrotnej f. Własność 6 Niech f : a, b) R będzie funkcją ciągłą i różnowartościową. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 a, b) oraz f 0 ) 0, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie y 0 f 0 ) oraz f ) y0 ) f 0 )..4) Równoważnie f ) y0 ) f f y 0 )). 8

9 Obliczyć pochodną f ) y0 ) o ile istnieje), gdzie ) f) 3 +, y 0 5, ) f) sin, y 0. ) Funkcja f jako różnowartościowa posiada funkcję odwrotną. Ponieważ f ) 3 dla każdego R, więc na mocy wzoru.4) dostajemy f ) y) 3 dla każdego y R. W szczególności f ) 5) 3. Zauważmy jeszcze, że funkcją odwrotną do funkcji f jest funkcja liniowa postaci f y) 3 y 3, skąd bezpośrednio dostajemy f ) 5) 3. ) Funkcją odwrotną do funkcji sinus na przedziale π, ) π jest funkcja arc sin. Ponieważ funkcja sinus przyjmuje wartość dla argumentu 0 π 6 π, ) π oraz f 0 ) cos 0 cos π 6 3, więc na mocy wzoru.4) dostajemy Przykład 8 Pokazać, że f ) ) f 0 ) 3. ) log a ) ln a wiedząc, że a ) a ln a, ) arc tg ) + wiedząc, że tg ) cos. ) Funkcja f ) log a jest funkcją odwrotną do funkcji f) a. Kładąc y f) a, na mocy wzoru.4) na pochodną funkcji odwrotnej, mamy log a y) a ) a ln a y ln a. Zastępując zmienną y przez zmienną otrzymujemy żądany wzór. ) Funkcja f ) tg jest funkcją odwrotną do funkcji f) arc tg. Przyjmując y f) arc tg, na mocy wzoru.4) na pochodną funkcji odwrotnej, mamy arc tg y) tg ) cos cos cos cos +sin cos cos + tg + y. cos cos + sin Zastępując zmienną y przez zmienną otrzymujemy żądany wzór. 9

10 . Zadania.. Na podstawie definicji znaleźć pochodną funkcji f) w punkcie 0... Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0. f) Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0. f) 3.4. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie 0, gdzie ) f) C, C R ) f) sin 3) f) cos 4) f) tg 5) f) 6) f) n, n N 7) f) a.5. Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0 0. f).6. Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0 0. f).7. Zbadać na podstawie definicji, czy podane funkcje są różniczkowalne we wskazanych punktach: ) ) f), 0 0 { 3 + dla, f) dla > Znaleźć pochodne funkcji podstawowe wzory): 0

11 ) f) ) f) sin + 4e 3) f) e 4) f) f) 3 3 ) 5) ) f) ) f) ) f) π 9) f) ) f) ) f) tg ctg ) f) 3 ln + 3) f) + ) 4) f) 5 + 6)4 3) + e 5) f) +.9. Znaleźć pochodne funkcji pochodna iloczynu): ) f) ln ) f) cos 3) f) sin 4) f) 3 5 5) f) e f) ln 6) 3 + ln 7) f) 6 ln 8) f) e cos 9) f) + 4)e + 3 0) f) e tg ) f) ln e ) f) sin ln + cos.0. Znaleźć pochodne funkcji pochodna ilorazu): f) + + ) 3 ) f) 3) f) 5 4) f) ) f) 6) f) cos ln 7) f) 4e 8) f) f) ) 9) 0) f) cos sin ) f) 3.. Znaleźć pochodne funkcji:

12 e ) f) 3 ) f) ln + 3) f) e 4) f) sin cos e f) 3 ln 5) e f) sin 6) sin ln f) + e 7) f) 3 e ln 8) 3 + sin sin.. Znaleźć pochodne funkcji: ) f) ln cos ) f) + 3) 5 3) f) sin5 4) f) + 3 5) f) ln 6) f) sin3 ) 7) f) ) f) 3 + 3) 3 9) f) sin 7 0) f) cos 3 ) f) sin 6 ) f) + 5) 4 3) f) ) 5 4) f) + 5) f) 3 + 6) f) ln + 5) 7) f) 3 ) 4 8) f) e 3 sin 3 9) f) ln ln 0) f) e 5 ) f) 5 cos 4 ) f) 3) f) ln ) 4) f) ln 5) f) sin 6) f) 7) f) ln ) sin.3. Znaleźć pochodne funkcji: +cos 4 5 ) f) + e f) sin ) π + π 4 + e ) 3) f) tg ) sin + e π 4) f) +sin e πe f) cos ) 5) π + π 8 + sin + 6) f) e sin + cos ) 4 ) 3 sin 4 cos 4 7) f) sin4 cos +e 4 )+sin 3 8) f) 9) f) tg ) cos + ln + 0) f) cosln ) ) f) sin 4 lnsin ) f) +sin3 ) cos 3) f) ln ) tg 3 cos ) 4) f) tglncos 3 + ))) 5) f) ln cos ) + cos3 sin ) 6) f) ln e sin +) + e πe4 7) f) sin 5 3 ) 4 + π 8) f) cos 5 lntg 3 ))+sin ) 3

13 f) +sinln )) cos ) 9) 3 + ln f) sin ln 4 cos + ) 0) e cos3 tg 4 +sin cos)))) )).3 Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej..4. Znaleźć równanie stycznej do krzywej f) cos w punkcie 0 π Obliczyć, jaki kąt z osią O tworzy styczna do paraboli w punkcie 0. f) Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej jest równoległa do osi O. f) Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej jest równoległa do prostej y. f) e.8. Znaleźć równanie stycznej do krzywej y f) w punkcie o odciętej 0, jeżeli: ) f) , 0, ) f) sin, 0 0 3) f) ln, 0 e.9. Stosując twierdzenie de l Hospitala wyznaczyć następujące granice: e ) e ) ln cos 3) 4) 0 cos ln 5) 6) 0 sin 0 ctg sin ln + ) 7) 8) 0 tg 0 9) ln cos 0) 0 ln 0 + 3

14 0 ) ) ln ) ).0. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: ) f) ) f) 9 3) f) ) f) + ) 5) f) e 6) f) , ) f) ) f) sin, [0, π] 9) f) e 0) f) 3 f) ) ) f) ln.. Znaleźć ekstrema następujących funkcji: ) f) e ) f) e 3) f) 3 ) 4) f) + 4 5) f) cos, [0, π] 6) f) + 7) f) + f) 3 8) 4 + 9) f) ln 0) f) ln + ) ) f) e + e.. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości następujących funkcji: ) f) ) f) e 3) f) e 4) f) + 5) f) ln 6) f) ln 7) f) + 8) f) 9) f) f) ) +.3. Wyznaczyć punkty przegięcia następujących funkcji: 4 ) f) + 6 ) f) ) f) ) f) ) f) ) f) sin, [0, π] 7) f) 8) f) ln 9) f) e 0) f) e

15 .4. Wyznaczyć asymptoty następujących funkcji: ) f) e ) f) 3) f) 4) f) ) f) 4 3 f) + 6) 7) 3 f) 8) f) 3 9) f) 4 0) f) + ) f) e ) f) e.5. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ) f) ) f) 3 3) f) ) f) ) 5) f) ) f) 3 7) f) + 8) f) + 9) f) f) + 0) ) f) e Niektóre odpowiedzi:.8. ) f ) 5 8 ) f ) 4 cos + 4e 3) f ) 3 3 4) f ) 3 5) f ) ) f ) 6 7) f ) ) f ) + 9) f ) ) f ) ) f ) cos + sin ) f ) 3 3) f ) ) f ) ) f ) +.9. ) f ) ln + ) f ) cos sin ) 3) f ) sin + cos ) 4) f ) ln 5) 5) f ) e + ) 6) f ) 3+ln ln + ) 7) f ) 6 ln +) 8) f ) e cos sin ) 9) f ) e +)+ 3 0) f ) e tg + e cos + ) f ) ln + ) + e ) ) f ) cos ln + 3 )+sin 3 ).0. ) f ) ) ) f ) ) 3) f ) 3 3 ) 4) f ) +3) 5) f cos sin ) cos ) 6) f ) ln ln 7) f ) e 4 ++) 3+) 8) f ) ) 9) f ) ) ) 0) f ) sin ) f ) 3 +3 ).. ) f ) tg ) f ) 5 + 3) 4 3) f ) sin 4 cos 4) f ) ) 5) f ) 6 ) cos3 ) 6) f ) ) 3 7) f ) 36+3)3 +3) 5

16 8) f ) 7 6 cos 7 9) f ) 3 sin cos 0) f ) 6 cos 6 ) f ) 0 + 5) 3 ) f ) ) 4 3) f ) + ) 4) f ) 3 + ) 3 5) f ) +5 6) f ) 4 3 ) 3 7) f ) 3e 3 sin 3 + cos 3) 8) f ) ln 9) f ) 5e 5 0) f ) 0 sin 4 ) f ) e ln ln + ) ) f ) e ln ln ln ln + ln ) 3) f ) e ln ln 4) f ) e sin ln cos ln + sin ) 5) f ) e ln ln ) 6) f ) e sin ln ln cos ln ln + sin ln ) 6

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 5

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 5 Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 5 dr Mariusz Grządziel Rok akademicki 214/15, semestr zimowy Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu r. akad. 2016/2017 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)). MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo