WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między zbiorami I.3. Zbiory liczbowe (N,C,NW,R) I.4. Przedziały liczbowe I.5. Potęgowanie i pierwiastkowanie, działania I.6. Logarytmowanie, Pojęcie logarytmu, Własności logarytmów, Działania na logarytmach I.7. Wyrażenia algebraiczne(wzory skróconego mnożenia i działania na sumach algebraicznych) I.8. Wartość bezwzględna(definicja, równania i nierówności z wartością bezwzględną) II. FUNKCJE 1)Pojęcie funkcji 2)Równość funkcji 3)Różnowartościowość, monotoniczność, parzystość, nieparzystość, okresowość, funkcja odwrotna 4)Wykres funkcji 5)Miejsca zerowe 6)Przekształcenie wykresów funkcji: f(x), -f(x), f(-x), f(x), przesunięcie o wektor III. FUNKCJA LINIOWA 1)Własności, definicja funkcji: f(x)=ax + b 2)Równania liniowe ax + b = 0 3)Równanie i nierówność I stopnia z dwiema niewiadomymi 4)Układ równań I stopnia z dwiema niewiadomymi

2 5)Metoda wyznacznikowa - metoda rozwiązywania układu równań IV. FUNKCJA KWADRATOWA paraboli, miejsca zerowe, postać iloczynowi, ekstremum 2)Wzory Vieta 3)Wykres funkcji kwadratowej 4)Równania i nierówności kwadratowe( równanie z parametrem) V. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE 1)Pojęcie wielomianu 2)Stopień wielomianu 3)Równość wielomianów 4)Pierwiastek wielomianu 5)Twierdzenie Bezout 6)Pierwiastki k-krotne wielomianu 7)Pierwiastki całkowite i wymierne 8)Rozkład wielomianu na czynniki 9)Równanie stopnia n 10)Nierówność stopnia n 11)Wyrażenia wymierne 12)Funkcja wymierna 13)Równania wymierne i nierówności VI. FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA 1)Pojęcie funkcji potęgowej, dziedzina równania i nierówności potęgowe 2)Pojęcie funkcji wykładniczej, własności 3)Równania i nierówności wykładnicze 4)Funkcja logarytmiczna, własności 5)Równania i nierówności logarytmiczne 6)Działania na logarytmach

3 VII. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 2)Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º,60 º 3)Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta 4)Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego 5)Miara kąta. Stopień i radian. 6)Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej 7)Wykresy funkcji trygonometrycznych 8)Wzory: np. sin(ά+), sin(ά-), sin 2ά, sin ά /, sin ά + sin itp. 9)Równania i nierówności trygonometryczne VIII. CIĄGI 1)Pojęcie ciągu, monotoniczność 2)Ciąg trygonometryczny + wzory 3)Ciąg geometryczny + wzory 4)Szereg geometryczny, zbieżność szeregu IX. GEOMETRIA PŁASZCZYZNY 1)Kąty, okrąg, koło, trójkąt, czworokąt, wykresy 2)Przekształcenia: Przesunięcie równoległe(translacja), obrót Symetria względem punktu oraz prostej Pojęcie izomerii 3)Dwusieczna kąta, symetralna odcinka 4)Proste prostopadłe, równoległe 5)Twierdzenie Pitagorasa 6)Twierdzenie Talesa 7)Twierdzenie sinusów, cosinusów 8)Pola i obwody i inne związki miarowe figur płaskich 9)Stosunek pól figur podobnych

4 X. GEOMETRIA ANALITYCZNA 1)Odległość dwóch punktów 2)Odległość punktu od prostej 3)Wektory współrzędne wektora, równość, długość wektora, suma, różnica wektorów 4)Równanie kierunkowe i ogólne prostej 5)Warunek Równoległości i prostopadłości prostych 6)Równanie okręgu 7)Nierówność opisująca koło XI. STEREOMETRIA 1)Kąt prostej z płaszczyzną 2)Kąty nachylenia odcinków(prostych)do płaszczyzn w bryłach 3)Kąty między odcinkami 4)Graniastosłupy, pole, objętość 5)Ostrosłupy, pole, objętość 6)Bryły obrotowe, pola, objętości (stożek, walec, kula) XII. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1)Elementy kombinatoryki: permutacje, kombinacje, wariacje, n!, symbol Newtona 2)Częstość zdarzenia 3)Definicja klasyczna, aksjomatyczna prawdopodobieństwa 4)Własności prawdopodobieństwa 5)Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite 6)Niezależność zdarzeń 7)Schemat Bernoulliego XIII. GRANICA FUNKCJI 1)Granica funkcji w punkcie 2)Ciągłość funkcji

5 3)Granica niewłaściwa funkcji 4)Granica funkcji w nieskończoności XIV. POCHODNA FUNKCJI 1)Iloraz różnicowy funkcji w punkcie 2)Pochodna funkcji w punkcie 3)Pochodna jako funkcja, wzory, twierdzenia 4)Zastosowanie rachunku pochodnych: ekstremum, monotoniczność, najmniejsza i największa wartość funkcji, asymptoty

6 Przykłady - Wymagania Wstępne Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza Przekształcenia algebraiczne. 1. Znajdź rozwiązania nastepujących równań i nierówności, oraz uprość wyrażenia: (a) x 1 + 2x 5 < 9; (b) (x 1) x + 4 < 2 4x; (c) 4 x+ x x 1+ x 2 2 = 6; ( 1 (d) 2) x 6 2x 3 +1 ( ) 1 1 x < ; 2 (e) log (x 2) log (4 x) = 1 log (13 x); (f) 5 log x + 5 log x 1 = 3 log x log x 1 ; (g) log 2x+3 x 2 < 1; (h) 2 4 cos2 x sin2 x 3 = 20, 0 < x < π; (i) tan x + cos x < 1 + sin x, cos 2x + cos x 1 (j) > 2; ( cos 2x (k) log 3 tan π ) ; 6 (l) 7 log log 2 7. x (0, 2π); Analiza wykresów funkcji. 1. Niech będą dane dwie funkcje f i g, zdefiniowane odpowiednio jako f(x) = 3x 5 i g(x) = x 2. (a) znajdź funkcję odwrotną f 1. (b) Wiedząc, że g 1 (x) = x + 2, znajdź (g 1 f)(x). (c) Wiedząc, że (f 1 g)(x) = x + 3, wyznacz (f 1 g)(x) = (g 1 f)(x) Naszkicuj wykres (a) f(x) = sin 2x ; (b) f(x) = 2 x 2 x

7 3. Znajdź asymptoty poniższych funkcji (a) f(x) = sin x x ; (b) f(x) = ln(x 1). 4. Zbadaj czy następujące funkcje posiadają ekstrema (a) f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5; (b) f(x) = 2 sin(2x) + sin(4x). 5. (*) Wyznacz przedziały wklęsłości, wypukłości oraz punkty przegięcia następujących funkcji (a) f(x) = x 3 6x x + 4; (b) f(x) = arctan(x) x. 2