1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

Transkrypt

1 WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R sprawdź, że lim n n ( 1 + iϕ n ) n = cos ϕ + i sin ϕ. a k k 2 n a k ( a = 1, a 1). W tym celu znajdź najpierw moduł i argument podanego ciągu. Jakie skojarzenie przywołuje ta granica? 4. Znajdź promienie zbieżności szeregów potęgowych i zbadaj ich zbieżność na brzegu koła zbieżności: z n, z 5n, n 5 z n, n 5 z 4n. 5. Znajdź promienie zbieżności szeregów potęgowych n k z n z n, n, e n z n n n, k n! zn 6. Dany jest szereg potęgowy c n z n o promieniu zbieżności R. Oblicz promienie zbieżności szeregow potęgowych c M n z n, c n z Mn. 7. Rozwiń funkcję f(z) = z w szereg potęgowy wokół punktu a = i i oblicz promień zbieżności otrzymanego szeregu. W tym celu rozwiń najpierw funkcję 1, a 1+z 1 z następnie pomnóż ją przez z = i + (z i). 8. Niech z > 1. Pokaż, że n lim z k =. n 9. Zbadaj, dla jakich z C liczba u = z 1 jest a) rzeczywista, b) czysto urojona. z Oblicz iloczyn i sumę wszystkich pierwiastków z jedności stopnia n. 11. Ustal promień zbieżności szeregu potęgowego: z n n (2n)!, ( 1) n n 3n zn, n! n n n zn, z 2n, (1 + 1/n) n2 z n, ( ) 2n z n. n n n n 12. Oblicz cos i, sin i, e iπ. 13. Oblicz części rzeczywiste i urojone liczb cos z, sin z, e z.

2 WRAiT 2 #2 14. Wiadomo, że szereg potęgowy a n z n ma promień zbieżności równy 0 < R <. Oblicz promień zbieżności szeregu a 2 nz 3n. 15. Wykaż, że jeśli szereg a n jest zbieżny (ewentualnie rozbieżny), to promień zbiezności szeregu potęgowego a n z n jest większy lub równy (ewentualnie mniejszy lub równy) Niech log x 2 + y 2 + i arc ctg x, y > 0, y F (z) = log x 2 + y 2, y = 0, x > 0, log x 2 + y 2 i arc ctg x, y < 0, y gie z = x + iy. Sprawdź, że F = log π : Ω π P π. Pamiętaj, że arc ctg jest funkcją odwrotną do ctg : (0, π) R. 17. Rozwiń funkcję Żukowskiego f(z) = z + 1/z w szereg potęgowy wokół a = i. 18. Sprawdź bezpośrednim rachunkiem, że z 2 = 0, z 1 = 2πi. x + y =1 19. Sprawdź bezpośrednim rachunkiem, że z 2 = 0, x 2 +y 2 =1 x + y =1 x 2 +y 2 =1 z 1 = 2πi. 20. Oblicz (z + 1 z+2 =1 z ), (z + 1 z 1 i =1 z ), (z + 1 [1,i] z ). 21. Oblicz całki z sin z, [0,i] [1,i, 1, i,1] z z =r, z n.

3 WRAiT 2 #3 22. Zbadaj spójność i jednospójność zbioru C \ {a}, gie a C. 23. Zbadaj spójność i jednospójność zbioru U = {z C : 1 < Rz < 2}. 24. Przypomnij definicję zbioru wypukłego. Wykaż, że wypukły pobiór otwarty płaszczyzny jest gwiaźisty, a więc jednospójny. 25. Połącz łamaną punkty 1 i 1 w zbiorze 3/4 < z < 5/4. Czy zbiór ten jest spójny (jednospójny)? 26. Zbadaj spójność i jednospójność płaszczyzny, z której wyrzucono a) prostą, b) półprostą domkniętą, c) okrąg. 27. Naszkicuj krzywą z(t) = t(cos t + i sin t), t 0, i rozstrzygnij inuicyjnie, czy zbiór C \ {z(t) : t R} jest spójny (jednospójny). 28. Pokaż, że zbiór U = {x + iy : x 2 y 2 < 1} jest otwarty i gwiaźisty. 29. Pokaż, że otwarty zbiór gwiaźisty jest spójny i jednospójny, a następnie podaj przykłady zbioru spójnego, ale niejednospójnego oraz jednospójnego, ale niespójnego.

4 WRAiT 2 #4 30. Dany jest szereg potęgowy a n z n o promieniu zbieżności r. Pokaż, że promień zbieżności szeregu na n z n jest taki sam. 31. W których punktach funkcje Re z, z Re z, x 2 y 2, z 2, x 2 + iy 2, 2xy i(x 2 y 2 ) są holomorficzne? 32. Znajdź pochodne funkcji sh z, ch z, e sh z. 33. Niech f bęie holomorficzna w obszarze Ω. Pokaż, że jeśli Re f(z) jest funkcją stałą w Ω, to f jest funkcją stałą w Ω. 34. Niech f bęie holomorficzna w obszarze Ω. Pokaż, że jeśli f(z) jest funkcją stałą w Ω, to f jest funkcją stałą w Ω. 35. Wszystkie wartości funkcji holomorficznej f na obszarze Ω leżą na ustalonej prostej. Udowodnij, że f jest stała. 36. Zbadaj, czy funkcja f(z) = u(z) + iv(z), gie a) u(x, y) = x 3 3xy 2, v(x, y) = x, v(x, y) = x 2 +y 2 y x 2 +y 2, spełnia równania Cauchy ego- 3x 2 y y 3, b) u(x, y) = Riemanna. 37. Dana jest funkcja u(x, y) = xy. Znajdź funkcję v, taką by funkcja była holomorficzna i f(0) = 0. f(z) = u(z) + iv(z)

5 WRAiT 2 #5 38. Znajdź miejsca zerowe funkcji Żukowskiego f(z) = 1 (z + 1/z), jej pochodnej i jej 2 drugiej pochodnej. 39. Pokaż, że funkcja Żukowskiego nie ma pierwotnej w C \ {0}, ale ma ją w każdym ze zbiorów Ω α. 40. Oblicz całki 41. Oblicz całki 42. Oblicz całki z =2 z =2 x 2 +4y 2 =1 1 + z 2, z 2 i = z 2, z 1/2 =1 e z 1 + z 2, z 1/2 =1 e z cos z (1 + z 2 ) sin z. 1 + z 2, z+1/2 =1 e z (1 + z 2 ), z+1/2 =1 1 + z 2. z(1 + z 2 ). 43. Dana jest funkcja holomorficzna w obszarze Ω. Niech K(a, r) Ω. Pokaż, że dla każdego b K(a, r) f(z) z a =r (z b) = f z a =r (z) 3 (z b) = f z a =r (z) 2 z b. 44. Dana jest liczba r > 1. Wyznacz całkę z z r =r z Sprawdź bezpośrednim rachunkiem, że z 2 = 0, z 1 = 2πi. x 2 + y =1 46. Sprawdź bezpośrednim rachunkiem, że z 2 = 0, x 2 +y 2 =1 x + y =1 x 2 +y 2 =1 z 1 = 2πi.

6 WRAiT 2 #6 47. Oblicz residua e z res z=1 (z 1), res cos z 2 z=π/4 z π/4, 48. Dany jest wielomian P (z) = n a k z k. Pokaż, że res e z2 z=1ze (z 1) 1, res z=0 z. 2n+1 res z=0 P (1/z) = a 1, res z=0 z 2 P (1/z) = a Opisz punkty osobliwe i znajdź odpowiednie residua funkcji 1 z + z, z z, z 3 4 (1 + z), z 2n 3 (z 1). n 50. Opisz punkty osobliwe i znajdź odpowiednie residua funkcji 1 sin πz, ctg πz, tgh z, ctgh2 z, 51. Stosując metodę residuów, oblicz całki x x dx, x x dx, 52. Stosując metodę residuów, oblicz całki (x 1)e ix x 2 2x + 2 dx, cos z (z 1) 2, 1 e z + 1. dx (x 2 + 1) 3. cos x dx x 2 + i. e ix dx x 2 2ix 2,

7 WRAiT 2 #7 53. Niech bęie normą w przestrzeni wektorowej X. Sprawdź, że metryka d wyznaczona przez tę normę jest niezmiennicza na translacje, tzn. 54. Sprawdź, że nie jest normą, ale d(x + a, y + a) = d(x, y), x, y, z X. n m(x) = x j 1/2, x C n, j=1 d(x, y) = m(x y), x, y C n, jest metryką niezmienniczą na translacje. 55. Znajdź najlepsze stałe C 1, C 2 > 0, takie że C 1 x 2 x C 2 x 2, x C n. 56. Pokaż, że l 1 l 2, ale l 1 l 2. Ponadto normy 1 i 2 nie są równoważne w l Udowodnij, że przestrzeń l 2 z normą 2 jest zupełna. Dana jest przestrzeń V nad C z iloczynem skalarnym. <, > i normą. 58. Udowodnij tożsamość x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2), x, y V, zwaną równością równoległoboku. Podaj jej interpretację geometryczną. 59. Sprawdź, że 4 Re < x, y >= x + y 2 x y 2, oraz 4 Im < x, y >= x + iy 2 x iy 2 Wywnioskuj, że dla danej normy istnieje co najwyżej jeden iloczyn skalarny, taki że x 2 =< x, x >. 60. Sprawdź, że dla normy w C 2 zadanej wzorem (x, y) 1 = x + y nie istnieje iloczyn skalarny, taki że x 2 =< x, x >. W tym celu pokaż, że podana norma nie spełnia warunku równoległoboku. 61. Wieąc, że Im < x, y >= 0, pokaż, że x + iy 2 = x 2 + y Pokaż, że w przestrzeni wszystkich wielomianów nad C wzór < P, Q >= 1 0 P (x)q(x) dx definiuje iloczyn skalarny. Oblicz długość wektora P (z) = i + z Pokaż, że w przestrzeni wszystkich wielomianów nad C wzór < P, Q >= P (n) (0)Q (n) (0) definiuje iloczyn skalarny. Oblicz długość wektora P (z) = i + z 2.

8 WRAiT 2 #8 64. Udowodnij, że przestrzeń L 1 ([0, 1]) jest zupełna. 65. Udowodnij, że norma w przestrzeni L 1 ([0, 1]) nie pochoi od iloczynu skalarnego. 66. Dane są wektory x, y w przestrzeni Hilberta a) nad R, b) nad C, takie że x+y 2 = x 2 + y 2. Czy są one prostopadłe? Odpowiedź zilustruj przykładem. 67. Czy forma dwuliniowa < x, y >= x n y n + x n y n+1 + x n+1 y n + x n+1 y n+1 n=1 jest iloczynem skalarnym w l 2? 68. Dla wektorów x, y, z przestrzeni unitarnej H związek x z = x y + y z zachoi, wtedy i tylko wtedy gdy y [x, z]. 69. Dla wektorów x, y przestrzeni unitarnej H związek x y = x y zachoi, wtedy i tylko wtedy gdy x i y są liniowo zależne i jednakowo skierowane. 70. W przestrzeni unitarnej z warunków x n = y n = 1 i lim x n + y n = 2 wynika, że lim x n y n = 0. Udowodnij to i zilustruj przykładem, że tak być nie musi w przestrzeni unormowanej. 71. Udowodnij, sfera w przestrzeni Hilberta X jest ściśle wypukła, tzn. dla różnych x, y X x = y = 1 = x + y < 1. 2

9 WRAiT 2 #9 72. Niech H bęie przestrzenią Hilberta, a H 1 jej podprzestrzenią. Wówczas dla dowolnego x H i dowolnych y 1, y 2 H 1 y 1 y 2 x y 1 2 d 2 + x y 2 2 d 2, gie d = dist (x, H 1 ) (nierówność Beppo-Levi ego). 73. Niech H = L 2 ([0, 1]). Oblicz odległość 1 od X n = lin (t, t 2,..., t n ). 74. Niech H = L 2 ([ π, π)). Niech H n = lin ({e ikt } n k= n). Znajdź odległość funkcji f C([ π, π]) od H n oraz jej rzut na tę podprzestrzeń. 75. Znajdź wektor o najmniejszej normie w zbiorze S = {x C n : n j=1 x j = 1}, jeśli normą jest Znajdź rzut ortogonalny wektora x l 2 na podprzestrzeń afiniczną H = {x l 2 : n=1 x n n = 1} i najkrótszy wektor w tej podprzestrzeni. 77. Odwzorowanie przestrzeni unitarnych U : H 1 H 2 nazywamy unitarnym, jeśli spełnia < Ux, Uy >=< x, y > dla x, y H 1. Pokaż, że odwzorowanie unitarne jest izometrią. 78. Dla pobioru M przestrzeni Hilberta zachoi M = lin M. 79. W przestrzeni unitarnej dane są wektory x i y. Pokaż, że jeśli a 0, a 1,..., a n 1 są wszystkimi pierwiastkami z jedności stopnia n, to n 1 x + a k y 2 = n( x 2 + y 2 ). Co otrzymamy w przypadku, gdy n = 2.

10 WRAiT 2 # Rozwiń funkcję f(x) = 1 x, π x < π w szereg Fouriera i znajdź konkretną postać tożsamości Parsevala dla tej funkcji. Znajdź rzut ortogonalny tej funkcji na podprzestrzeń lin {e ik( ) } k= Pokaż, że jeśli f L 2 ( π, π) jest nieujemna, to f(n) f(0), n Z. 82. Znajdź szereg Fouriera funkcji charakterystycznej odcinka [ π, π] Wyznacz szereg Fouriera funkcji a) f(x) = e x, b) g(x) = e x zadanych na [ π, π). 84. Dana jest funkcja klasy C 1 ([ π, π], taka że f(π) = f( π). Pokaż, że dla każdego n Z mamy f (n) = in f(n). 85. Dana jest funkcja f C2π(R), 1 taka że f(0) = 0. Udowodnij, że π π f(x) 2 dx π π f (x) 2 dx, a równość zachoi tylko dla f postaci f(x) = αe ix + βe ix. 86. Korzystając z tożsamości Parsevala dla funkcji { 1, dla x a, f(x) = 0, dla a < x < π, gie 0 < a < π, rozszerzonej okresowo na R, znajdź sumy szeregów sin 2 na cos 2 na,. n 2 n 2 n=1 87. Udowodnij, że jeśli f, g L 2 2π, to 1 2π π π f(x)g(x) dx = n=1 n= f(n)ĝ(n). Zauważ, że dla f = g jest to tożsamość Parsevala. Skorzystaj z niej w dowoie.