1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania"

Transkrypt

1 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym lub nieskończonym), jeśli F () = f() dla każdego P. Przykłady. Funkcja sin jest funkcją pierwotną funkcji cos, bo (sin ) = cos. Również funkcja sin + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną funkcji cos. Funkcją pierwotną dla e jest ta sama funkcja e. Jeśli funkcja f jest określona w przedziale domkniętym a b, to funkcję F nazywamy jej funkcją pierwotną, jeśli F () = f() dla a < < b oraz zachodzi: F +(a) = f(a) i F (b) = f(b). Tw. Jeśli dwie funkcje F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f w przedziale P (otwartym lub domkniętym), to te dwie funkcje różnią się między sobą o stałą. Dow. Ponieważ zachodzi: F () = G (), to na mocy twierdzenia które było przy pochodnych (wniosek z wz. Lagrange a o wart. średniej) funkcje te różnią się o stałą: F () = G() + C. I odwrotnie, funkcja, która powstaje przez dodanie stałej do funkcji pierwotnej funkcji f, jest też funkcją pierwotną funkcji f. Tak więc wyrażenie: F () + C jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji f. CBDO To ostatnie wyrażenie oznaczamy symbolem f(), czytamy: "całka f() po " i nazywamy je całką nieoznaczoną funkcji f. Mamy więc: f() = F () + C, gdzie F () = f(), (1) d f() = f(), () df () = F () + c. (3) Znajdowanie całki nieoznaczonej danej funkcji f lub innymi słowy znajdowanie funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy całkowaniem funkcji f. Całkowanie jest więc procesem (prawie) odwrotnym 1 do różniczkowania. 1. Funkcje pierwotne funkcji elementarnych Jak wynika z samej definicji całki nieoznaczonej, każdy wzór na pochodną jakiejś funkcji daje automatycznie wzór na całkę funkcji otrzymanej po zróżniczkowaniu. Mamy np.: Z wzoru (sin ) = cos 1 Dlaczego prawie? Otóż jeśli weźmiemy jakąś funkcję f, scałkujemy ją, a następnie zróżniczkujemy to otrzymamy tę samą funkcję f. Natomiast jeśli najpierw funkcję f zróżniczkujemy, a potem scałkujemy, to otrzymamy funkcję f plus dowolna stała więc coś bardzo podobnego, ale jednak nie to samo. 1

2 otrzymujemy cos = sin + C. Ze znanych wzorów na pochodne otrzymujemy następujące wzory na funkcje pierwotne: 0 = C, (4) a = a + C, (5) n = 1 n + 1 n+1 + C, n N, (6) cos = sin + C, (7) sin = cos + C, (8) 1 = tg + C; cos (9) 1 sin = ctg + C, (10) e = e + C (11) = ln + C, (1) = arcsin + C, (13) 1 = arctg + C, 1 + (14) a = 1 a + 1 a+1 + C, a R, a 1 (15) 1.3 Ogólne wzory na całkowanie Załóżmy, że funkcje f i g są ciągłe. Zachodzą wówczas następujące wzory. Tw. (f() + g()) = f() + g(). Dow. Mamy bowiem ( d f() + ) g() = f() + g(). Tw. af() = a f(), gdzie a stała. CBDO Dow. ( d a ) f() = a d f() = af().

3 Tw. : (Wzór na całkowanie przez części:) Dla f, g takich, że f, g są ciągłe zachodzi f()g () = f()g() f ()g() Dow. Zrózńiczkujmy obie strony powyższej równości. Mamy: f()g () = f ()g() + f()g () f ()g(). Przykł. e = (e ) = e e = e e = e e. CBDO Przykł. ln = ln = ln (ln ) = ln 1 = ln + C. Tw. (wzór na całkowanie przez podstawienie, lub na zamianę zmiennych w całce): g(f()) df() = g(y)dy y=f() Uwaga. Krócej ten wzór możemy zapisać, oznaczając y = f() i z = g(y). Wtedy mamy: z dy = Dow. Dowód opiera się na odwróceniu wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej. Oznaczmy G(y) = g(y)dy. Mamy: zdy. [G(f())] = G (f()) f () = g(f()) f (); biorąc teraz funkcję pierwotną od obu stron, mamy g(f()) f () = [G(f())] = G(f()) = G(y) y=f() = g(y)dy y=f() Przykł. g(a) = 1 a g(y)dy, gdzie y = a. CBDO Przykł. f( + a) = f(y)dy, gdzie y = + a. Przykł. Obliczmy całkę: 1 +. Zrobimy to za pomocą podstawienia y =. Mamy: 1 + = y =, = 1dy = 1 3 dy 1 + y = 1 ln(1 + y) = 1 ln(1 + ).

4 Przykł. W następującej całce podstawimy = sin t, zakładając, że t [ π, π]: 1 = = sin t, = cos tdt = cos tdt; tę całkę liczymy całkując przez części: cos tdt = (sin t) cos tdt = sin t cos t sin t(cos t) dt = sin t cos t + sin tdt skąd mamy 1 = = sin t cos t + dt cos tdt, cos tdt = 1 (sin t cos t + t) = 1 ( 1 + arcsin ). Uwaga. Poprawność całkowania możemy sprawdzić, różniczkując wynik; po zrobieniu tego powinniśmy otrzymać funkcję podcałkową. Uwaga. Funkcją elementarną nazywamy funkcję wymierną, trygonometryczną, wykładniczą, lub jedną z odwrotności tychże. Rozpatrzmy teraz zbiór funkcji, powstałych z elementarnych przez branie ich sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia albo kombinacji tychże. Pochodną każdej z tych funkcji można znaleźć, posługując się wzorami na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu bądź złożenia funkcji. Z całkami jest inaczej: Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka pochodna może się już nie dać wyrazić przez funkcje elementarne. Tak jest np. z całkami: e czy 1 + k sin, k 1. Podkreślmy, że obie te funkcje pierwotne istnieją zgodnie z powyższym twierdzeniem, że każda funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Powyższe funkcje pierwotne istnieją, tyle że się nie wyrażają przez funkcje elementarne: Pierwsza całka to tzw. funkcja błędu, a druga to całka eliptyczna. Tak więc nie dla każdej funkcji da się funkcję pierwotną wyrazić przez funkcje elementarne. W pozostałej części tego rozdziału będziemy rozważać te klasy funkcji, dla których da się to zrobić. 1.4 Rekurencyjne metody obliczania całek Załóżmy, że mamy jakiś ciąg funkcji {f n ()} i że chcemy obliczyć całki I n = f n () Metoda rekurencyjna polega na obliczeniu całki dla n = 1 (lub n = 0) i na umiejętności sprowadzenia liczenia n tej całki do całki o numerze n 1 (lub wcześniejszej). To był ogólny (tak ogólny, że ogólnikowy) przepis; przyjrzyjmy się, jak to się przekłada na praktykę. Przykł. Obliczyć całkę I n = e n. We wzorze na I n wykonajmy całkowanie przez części w następujący sposób: I n = e n = ( )(e ) n = e n ( ) e n n 1 = e n + ni n 1 ; aby sfinalizować liczenie całki, potrzebujemy jeszcze wyrażenia na I 0 : I 0 = e = e. 4

5 Ostatecznie więc I n = e n + ni n 1 = e n ne n 1 n(n 1)I n =... ( ) = e [ n +n n 1 +n(n 1) n + +n!]+i 0 = n!e 1 + +! + + n +C. n! Przykł. Weźmy teraz: Mamy: Teraz policzmy: I n = (1 + ) = n (1 + ) n I n = I 1 = (1 + ) n. = arctg. 1 + ( ) 1 = (1 + ) n (1 + ) ( n) n (1 + ) n+1 skąd mamy = (1 + ) + n n (1 + ) = n+1 (1 + ) + ni n n ni n+1, I n+1 = n 1 n I n + 1 n (1 + ). (16) n 1.5 Całki z funkcji wymiernych Nazywamy w ten sposób całkę, gdzie funkcją podcałkową jest funkcja wymierna: f() = P () Q() gdzie P (), Q() wielomiany. Liczenie całki wykonujemy w kilku krokach. Będziemy zakładać, że stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika. Gdyby tak nie było, to I. wykonujemy dzielenie wielomianów (z resztą) i możemy zapisać: P () = w() Q() + r(), gdzie w() wynik dzielenia, a r() reszta, przy czym deg r < deg Q. Mamy w ten sposób: P () Q() = w() + r() Q(), gdzie w() jest wielomianem, który umiemy scałkować, zaś w r() stopień licznika Q() jest mniejszy od stopnia mianownika tak jak dalej potrzeba. 5

6 II. Rozkładamy mianownik na czynniki. Niedługo poznamy twierdzenie z algebry, które mówi, że: Tw. Dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, tzn. postaci: a (czynniki liniowe) oraz + b + c (kwadratowe), dla których < 0. Uwaga. Liczba a z czynnika liniowego jest pierwiastkiem wielomianu; z tw. Bézout mamy, że jeżeli a jest pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez a bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a), gdzie Q() jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż Q(). Oraz dokładniej: Jeśli a jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez ( a) k bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a) k, gdzie Q() jest wielomianem stopnia o k niższego niż Q(). Dla trójmianów kwadratowych nierozkładalnych jest podobnie, ale zagłębienie się w temat wymaga znajomości liczb zespolonych, więc odkładamy to do czasu, gdy się z nimi zaznajomimy. III. Trzecim krokiem jest rozkład na ułamki proste. Def. Ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie postaci gdzie A, a; C, D, α, β R. A ( a) k lub C + D (( α) + β ) m, Uwaga: W mianowniku ostatniego wyrażenia występuje postać kanoniczna trójmian kwadratowego, który nie ma pierwiastków rzeczywistych. I teraz!! IV. Tw. Funkcja wymierna P ()/Q() jest sumą ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Tw. (o rozkładzie na ułamki proste): Każda funkcja wymierna: P (), gdzie deg P < Q() deg Q, daje się zapisać jako suma ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Dokładniej: Jeżeli w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się wyrażenie ( a) k, to wśród ułamków prostych znajdują się wyrazy: A 1 a, A ( a),..., A k ( a) k ; jeżeli zaś w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się (( α) + β ) m, to wśród ułamków prostych znajdą się wyrazy: C 1 + D 1 ( α) + β, C + D (( α) + β ),... C m + D m (( α) + β ) m. Wyznaczenie konkretnych wartości współczynników stojących przy ułamkach prostych odbywa się przez porównanie obu postaci funkcji wymiernej: Postaci wyjściowej: f() =, oraz otrzymanej z rozkładu na ułamki proste. P () Q() Gdy wszystkie ułamki proste są odwrotnościami wielomianów pierwszego stopnia, to współczynniki można wyznaczyć znacznie prościej. 6

7 "Jak to działa", zobaczmy na przykładach. Przykł. Rozłóżmy na ułamki proste funkcję wymierną f() = 1 ( ) ( 3) (17) Zgodnie z powyższym twierdzeniem, rozkład na ułamki proste będzie miał postać: 1 ( ) ( 3) = A + B ( ) + C 3. Współczynniki A, B, C wyznaczamy, sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika. Mamy: 1 A( )( 3) + B( 3) + C( ) ( ) = ( 3) ( ) ( 3) = (A + C) + ( 5A + B 4C) + (6A 3B + 4C) ( ), ( 3) co daje równania: A + C = 0; 5A + B 4C = 1; 6A 3B + 4C = 1. Rozwiązanie tego układu równań daje: Przykł. Weźmy teraz: f() = A =, B = 1, C = ( )( +1). Rozkład na ułamki proste ma postać: f() = ( )( + 1) = A + B + C D + E ( + 1). (18) Współczynniki A, B, C, D, E wyznaczamy z porównania obu stron po sprowadzeniu prawej do wspólnego mianownika, co daje: = A( + 1) + (B + C)( )( + 1) + (D + E)( ) skąd otrzymujemy układ równań na współczynniki: Rozwiązując ten układ równań, dostajemy: co daje rozkład na ułamki proste: wsp. przy 4 : A + B = 0 wsp. przy 3 : B + C = 0 wsp. przy : A + B C + D = wsp. przy 1 : B + C D + E = wsp. przy 0 : A C E = 13. A = 1, B = 1, C =, D = 3, E = 4 f() = ( )( + 1) = ( + 1). (19) Twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste sprowadza całkowanie funkcji wymiernej do całkowania ułamków prostych. Zobaczymy zaraz, jak obliczać funkcje pierwotne z takich ułamków prostych. 1. Zacznijmy od ułamków prostych postaci A ( a) k. Podstawiając y = a, mamy { A dy A ln( a) dla k = 1, ( a) = A k y = k A 1 dla k > 1. 1 k ( a) k 1 7

8 . Gdy mamy ułamek prosty: C+D (( α) +β ) m, to całka nieoznaczona z tego wyrażenia sprowadza się do obliczenia dwóch całek: (( α) + β ) oraz m ( α) (( α) + β ) m..1. Przy pierwszej całce podstawiamy y = α i otrzymujemy całkę dy, (y +β ) m w której z kolei podstawiamy y = βz i po tym podstawieniu dostajemy całkę dz. Dla m = 1 funkcją pierwotną jest arctg z, zaś dla m > 1 wyprowadziliśmy już na tę całkę wzór rekurencyjny (z +1) m (16)... Przy całce drugiego typu, podstawiamy: y = ( α). Mamy: dy = ( α), skąd otrzymujemy: ( α) (( α) + β ) = 1 m { dy 1 (y + β ) = ln(( α) + β ) dla m = 1, m 1 1 dla k > 1. (k 1) (( α) +β ) k 1 Tymi to sposobami zawsze możemy obliczyć całkę z funkcji wymiernej. (Oczywiście, jeśli znamy pierwiastki mianownika Q()). Obliczmy teraz dla naprzykładu całki z f. wymiernych (17) i (18). Przykł. (17), cd: Przykł. (18), cd: = 1 ( ) ( 3) = ( ) + = ln + ln C ( )( + 1) = + 1 ( + ) = ln 1 ln( + 1) arctg + 3 ( + 1) (3 + 4) ( + 1) ( + 1) ( + 1). Ostatnią całkę liczymy wykorzystując wzór rekurencyjny (16); dla n = mamy: I = (1 + ) = I 1 = arctg. Ostatecznie ( )( + 1) = ( ) ln 4arctg + C. + 1 Uwaga. Analizując metodę całkowania funkcji wymiernych widzimy, że całka z funkcji wymiernej jest postaci: R() + A ln U() + Barctg V (), gdzie A, B stałe, zaś R(), U(), V () są funkcjami wymiernymi. 8

9 1.6 Całki z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych Niech R(u, v) oznacza funkcję trygonometryczną dwóch zmiennych u, v. Rozważmy całkę: R(sin, cos ). Okazuje się, że całkę tego typu można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej poprzez podstawienie trygonometryczne. Podstawieniem, które działa zawsze (aczkolwiek często nie jest sposobem optymalnym ze względu na ilość rachunków) jest podstawienie uniwersalne: t = tg. Musimy wyrazić sin, cos, przez t. Mamy: Mamy dalej Ponadto: co daje sin + cos = 1, skąd tg + 1 = 1 cos cos = cos 1 = 1 + t 1 = 1 t 1 + t. sin = 1 cos = sin = sin cos =, co daje cos = t t 1 + t, t 1 + t. Wreszcie, z równości: = arctg t mamy dt = 1 + t. Ostatecznie mamy wszystko co jest potrzebne do podstawienia: sin = t 1 t, cos = 1 + t 1 + t, = 1 + t dt. Przykł. 1 + t I = sin = dt t 1 + t dt = t = ln t = ln tg. Uwaga. Powyższe podstawienie uniwersalne działa zawsze. Prowadzi jednak często do funkcji wymiernej o dużych stopniach licznika i mianownika. Z tego względu należy je stosować tylko w ostateczności, jeśli inne podstawienia trygonometryczne nie dadzą się zastosować. Te inne podstawienia to: t = sin, t = cos t = tg. Istnieją przepisy, kiedy takie podstawienia stosować. Nie będziemy ich tu wypisywać (zainteresowany Czytelnik znajdzie je np. w książce Fichtenholza, t. II). 1.7 Całki z wyrażeń typu R(, n α+β γ+δ ) Rozpatrzmy teraz całki postaci R(, n α + β γ + δ ), 9

10 (zakładamy tu, że α+β const, bo inaczej problem byłby trywialny), gdzie R(u, v) jest γ+δ funkcją wymierną swoich argumentów. Okazuje się, że takie całki można sprowadzić do całek z funkcji wymiernych. Realizuje się to za pomocą następującego podstawienia: t = n α + β γ + δ. tzn. tn = α + β γ + δ, co znaczy, że wyraża się wymiernie przez t i w ten sposób otrzymujemy w zmiennej t całkę z funkcji wymiernej, którą liczymy znanymi nam już metodami. Konkretnie, mamy tutaj: = β δtn γt n α, = n(αδ βγ) t n 1 (γt n α) dt Przykł. I = ( 1)( + 1) = Zgodnie z powyższym przepisem, podstawiamy: i nasza całka przyjmuje postać t = , = t3 + 1 t 3 1, = 6t dt (t 3 1) I = 3dt t 3 1. Powyższe podstawienie sprowadziło więc całkę do całki wymiernej. Zachęcam Czytelnika, aby powyższą całkę policzył dalej. Wynik jest następujący: I = 1 ln t + t + 1 (t 1) + 3 arctg t C. 1.8 Całki z wyrażeń typu R(, a + b + c); podstawienia Eulera Ostatnią z omawianych teraz klas całek będą całki R(, a + b + c), (0) gdzie R(u, v) jest funkcją wymierną. Całki powyższego rodzaju także wyrażają się przez funkcje elementarne. Istnieje kilka sposobów obliczania całek (0); my omówimy tu podstawienia Eulera. Odnośnie trójmianu kwadratowego a + b + c zakładamy, iż nie jest on pełnym kwadratem, gdyż w tym przypadu moglibyśmy wyciągnąć zeń pierwiastek i mieć całkę wymierną. 1. Pierwsze podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy a > 0. Podstawiamy wówczas: a + b + c = t a (1) 10

11 (lub, aby t występowało tylko po jednej stronie równości: t = a + b + c + a. Po podniesieniu do kwadratu równości (1) wyraz a skasuje się po obu stronach i zostanie b + c = t at skąd mamy = t c b + at, at + bt + c a a + b + c =, at + b at + bt + c a = (b + dt. at) Widać, że przy tym podstawieniu zarówno (oraz oczywiście, jak i a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej.. Drugie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy c > 0. Wówczas bierzemy: a + b + c = t + c. () Jeśli podniesiemy obie strony równości () do kwadratu, odejmiemy po obu stronach c i podzielimy przez, to otrzymamy: i mamy: a + b = t + ct = ct b ct bt + ca, a + b + c =, a t a t ct bt + ca = dt. (a t ) Znów więc, oraz a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób znowu doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej. 3. Wreszcie, trzecie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy trójmian kwadratowy a + b + c ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste; oznaczmy je λ oraz µ. Wiemy, że w takim przypadku trójmian ten rozkłada się na czynniki liniowe: a + b + c = a( λ)( µ). (3) Wtedy podstawiamy: a + b + c = t( λ). (4) Podnosząc równość (4) do kwadratu i korzystając z (3), skracamy przez wspólny czynnik ( λ) i otrzymujemy znów równanie pierwszego stopnia na : a( µ) = t ( λ) skąd dostajemy: = λt aµ t a, = a + b + c = ta(µ λ) (t a) dt a(λ µ)t t a, 11

12 Uwaga. Może się zdarzyć, że do jakiejś całki można zastosować więcej niż jedno podstawienie Eulera! Pokażemy teraz, w dowolnej całce postaci (0) można zastosować któreś z podstawień Eulera (konkretnie, pierwsze lub trzecie). Otóż jeśli trójmian kwadratowy a + b + c ma pierwiastki rzeczywiste, to można zawsze zastosować podstawienie trzecie. Jeśli natomiast trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, tzn. b 4ac < 0, to Przykł. I. Obliczmy całkę I I = za pomocą pierwszego podstawienia Eulera. Zgodnie z (1) mamy = t, skąd wyliczamy = t + 4 t + 4, = t + 8t 8 (t + 4) dt, i wstawiając do całki wyjściowej, mamy I I = = t = t + 4t 4 t + 4 dt t + 4. Tę całkę już łatwo policzyć, dostając (zachęcam Czytelnika, aby uzupełnił te rachunki) I I = arctg [( )] + C. Przykł. II. Obliczmy całkę I II = + 1 za pomocą drugiego podstawienia Eulera. Zgodnie z () mamy + 1 = t + 1; skąd i w zmiennej t całka przybiera postać = t t, = (t + t + 1) (t 1) dt, (t + t + 1) I II = t t dt + 1 = t + t t, a więc otrzymaliśmy jak trzeba całkę z wyrażenia wymiernego. Czytelnika zachęcam do dokończenia i sprawdzenia rachunku. Przykł. III. Przetestujmy wreszcie trzecie podstawienie Eulera na całce Zgodnie z (4) bierzemy skąd wyliczamy I III = ( 3) 4. 4 = t, = 4 t + 1, = 8 tdt (t + 1), 4 = t = 4t t + 1, i w zmiennej t całka przyjmuje postać I III = dt 3t 5 5 3t 3 = t + 1 więc znów w postaci wymiernej, tak jak powinno być. Znów wykładowca zachęca Czytelnika do dokończenia i sprawdzenia rachunków. 1

13 Całka Riemanna 13

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski Publikacja współfinansowana

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania http://www./86.htm Analiza matematyczna w zadaniach, t., W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 5. 5. 5. 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym Całka nieoznaczona E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Konrad Nosek 05 Spis treści Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Całkowanie przez podstawianie całek nieoznaczonych

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.

Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem. Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Całki z funkcji trygonometrycznych. Autorzy: Tomasz Drwięga

Całki z funkcji trygonometrycznych. Autorzy: Tomasz Drwięga Całki z funkcji trygonometrycznych Autorzy: Tomasz Drwięga 08 Całki z funkcji trygonometrycznych Autor: Tomasz Drwięga TWIERDZENIE Twierdzenie : o całkowaniu funkcji postaci R(sin x, cos x) Do obliczania

Bardziej szczegółowo

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić. Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 1. Granice

Analiza matematyczna - 1. Granice Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej. Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Symboliczne

Obliczenia Symboliczne Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo