1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania"

Transkrypt

1 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym lub nieskończonym), jeśli F () = f() dla każdego P. Przykłady. Funkcja sin jest funkcją pierwotną funkcji cos, bo (sin ) = cos. Również funkcja sin + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną funkcji cos. Funkcją pierwotną dla e jest ta sama funkcja e. Jeśli funkcja f jest określona w przedziale domkniętym a b, to funkcję F nazywamy jej funkcją pierwotną, jeśli F () = f() dla a < < b oraz zachodzi: F +(a) = f(a) i F (b) = f(b). Tw. Jeśli dwie funkcje F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f w przedziale P (otwartym lub domkniętym), to te dwie funkcje różnią się między sobą o stałą. Dow. Ponieważ zachodzi: F () = G (), to na mocy twierdzenia które było przy pochodnych (wniosek z wz. Lagrange a o wart. średniej) funkcje te różnią się o stałą: F () = G() + C. I odwrotnie, funkcja, która powstaje przez dodanie stałej do funkcji pierwotnej funkcji f, jest też funkcją pierwotną funkcji f. Tak więc wyrażenie: F () + C jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji f. CBDO To ostatnie wyrażenie oznaczamy symbolem f(), czytamy: "całka f() po " i nazywamy je całką nieoznaczoną funkcji f. Mamy więc: f() = F () + C, gdzie F () = f(), (1) d f() = f(), () df () = F () + c. (3) Znajdowanie całki nieoznaczonej danej funkcji f lub innymi słowy znajdowanie funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy całkowaniem funkcji f. Całkowanie jest więc procesem (prawie) odwrotnym 1 do różniczkowania. 1. Funkcje pierwotne funkcji elementarnych Jak wynika z samej definicji całki nieoznaczonej, każdy wzór na pochodną jakiejś funkcji daje automatycznie wzór na całkę funkcji otrzymanej po zróżniczkowaniu. Mamy np.: Z wzoru (sin ) = cos 1 Dlaczego prawie? Otóż jeśli weźmiemy jakąś funkcję f, scałkujemy ją, a następnie zróżniczkujemy to otrzymamy tę samą funkcję f. Natomiast jeśli najpierw funkcję f zróżniczkujemy, a potem scałkujemy, to otrzymamy funkcję f plus dowolna stała więc coś bardzo podobnego, ale jednak nie to samo. 1

2 otrzymujemy cos = sin + C. Ze znanych wzorów na pochodne otrzymujemy następujące wzory na funkcje pierwotne: 0 = C, (4) a = a + C, (5) n = 1 n + 1 n+1 + C, n N, (6) cos = sin + C, (7) sin = cos + C, (8) 1 = tg + C; cos (9) 1 sin = ctg + C, (10) e = e + C (11) = ln + C, (1) = arcsin + C, (13) 1 = arctg + C, 1 + (14) a = 1 a + 1 a+1 + C, a R, a 1 (15) 1.3 Ogólne wzory na całkowanie Załóżmy, że funkcje f i g są ciągłe. Zachodzą wówczas następujące wzory. Tw. (f() + g()) = f() + g(). Dow. Mamy bowiem ( d f() + ) g() = f() + g(). Tw. af() = a f(), gdzie a stała. CBDO Dow. ( d a ) f() = a d f() = af().

3 Tw. : (Wzór na całkowanie przez części:) Dla f, g takich, że f, g są ciągłe zachodzi f()g () = f()g() f ()g() Dow. Zrózńiczkujmy obie strony powyższej równości. Mamy: f()g () = f ()g() + f()g () f ()g(). Przykł. e = (e ) = e e = e e = e e. CBDO Przykł. ln = ln = ln (ln ) = ln 1 = ln + C. Tw. (wzór na całkowanie przez podstawienie, lub na zamianę zmiennych w całce): g(f()) df() = g(y)dy y=f() Uwaga. Krócej ten wzór możemy zapisać, oznaczając y = f() i z = g(y). Wtedy mamy: z dy = Dow. Dowód opiera się na odwróceniu wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej. Oznaczmy G(y) = g(y)dy. Mamy: zdy. [G(f())] = G (f()) f () = g(f()) f (); biorąc teraz funkcję pierwotną od obu stron, mamy g(f()) f () = [G(f())] = G(f()) = G(y) y=f() = g(y)dy y=f() Przykł. g(a) = 1 a g(y)dy, gdzie y = a. CBDO Przykł. f( + a) = f(y)dy, gdzie y = + a. Przykł. Obliczmy całkę: 1 +. Zrobimy to za pomocą podstawienia y =. Mamy: 1 + = y =, = 1dy = 1 3 dy 1 + y = 1 ln(1 + y) = 1 ln(1 + ).

4 Przykł. W następującej całce podstawimy = sin t, zakładając, że t [ π, π]: 1 = = sin t, = cos tdt = cos tdt; tę całkę liczymy całkując przez części: cos tdt = (sin t) cos tdt = sin t cos t sin t(cos t) dt = sin t cos t + sin tdt skąd mamy 1 = = sin t cos t + dt cos tdt, cos tdt = 1 (sin t cos t + t) = 1 ( 1 + arcsin ). Uwaga. Poprawność całkowania możemy sprawdzić, różniczkując wynik; po zrobieniu tego powinniśmy otrzymać funkcję podcałkową. Uwaga. Funkcją elementarną nazywamy funkcję wymierną, trygonometryczną, wykładniczą, lub jedną z odwrotności tychże. Rozpatrzmy teraz zbiór funkcji, powstałych z elementarnych przez branie ich sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia albo kombinacji tychże. Pochodną każdej z tych funkcji można znaleźć, posługując się wzorami na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu bądź złożenia funkcji. Z całkami jest inaczej: Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka pochodna może się już nie dać wyrazić przez funkcje elementarne. Tak jest np. z całkami: e czy 1 + k sin, k 1. Podkreślmy, że obie te funkcje pierwotne istnieją zgodnie z powyższym twierdzeniem, że każda funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Powyższe funkcje pierwotne istnieją, tyle że się nie wyrażają przez funkcje elementarne: Pierwsza całka to tzw. funkcja błędu, a druga to całka eliptyczna. Tak więc nie dla każdej funkcji da się funkcję pierwotną wyrazić przez funkcje elementarne. W pozostałej części tego rozdziału będziemy rozważać te klasy funkcji, dla których da się to zrobić. 1.4 Rekurencyjne metody obliczania całek Załóżmy, że mamy jakiś ciąg funkcji {f n ()} i że chcemy obliczyć całki I n = f n () Metoda rekurencyjna polega na obliczeniu całki dla n = 1 (lub n = 0) i na umiejętności sprowadzenia liczenia n tej całki do całki o numerze n 1 (lub wcześniejszej). To był ogólny (tak ogólny, że ogólnikowy) przepis; przyjrzyjmy się, jak to się przekłada na praktykę. Przykł. Obliczyć całkę I n = e n. We wzorze na I n wykonajmy całkowanie przez części w następujący sposób: I n = e n = ( )(e ) n = e n ( ) e n n 1 = e n + ni n 1 ; aby sfinalizować liczenie całki, potrzebujemy jeszcze wyrażenia na I 0 : I 0 = e = e. 4

5 Ostatecznie więc I n = e n + ni n 1 = e n ne n 1 n(n 1)I n =... ( ) = e [ n +n n 1 +n(n 1) n + +n!]+i 0 = n!e 1 + +! + + n +C. n! Przykł. Weźmy teraz: Mamy: Teraz policzmy: I n = (1 + ) = n (1 + ) n I n = I 1 = (1 + ) n. = arctg. 1 + ( ) 1 = (1 + ) n (1 + ) ( n) n (1 + ) n+1 skąd mamy = (1 + ) + n n (1 + ) = n+1 (1 + ) + ni n n ni n+1, I n+1 = n 1 n I n + 1 n (1 + ). (16) n 1.5 Całki z funkcji wymiernych Nazywamy w ten sposób całkę, gdzie funkcją podcałkową jest funkcja wymierna: f() = P () Q() gdzie P (), Q() wielomiany. Liczenie całki wykonujemy w kilku krokach. Będziemy zakładać, że stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika. Gdyby tak nie było, to I. wykonujemy dzielenie wielomianów (z resztą) i możemy zapisać: P () = w() Q() + r(), gdzie w() wynik dzielenia, a r() reszta, przy czym deg r < deg Q. Mamy w ten sposób: P () Q() = w() + r() Q(), gdzie w() jest wielomianem, który umiemy scałkować, zaś w r() stopień licznika Q() jest mniejszy od stopnia mianownika tak jak dalej potrzeba. 5

6 II. Rozkładamy mianownik na czynniki. Niedługo poznamy twierdzenie z algebry, które mówi, że: Tw. Dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, tzn. postaci: a (czynniki liniowe) oraz + b + c (kwadratowe), dla których < 0. Uwaga. Liczba a z czynnika liniowego jest pierwiastkiem wielomianu; z tw. Bézout mamy, że jeżeli a jest pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez a bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a), gdzie Q() jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż Q(). Oraz dokładniej: Jeśli a jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez ( a) k bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a) k, gdzie Q() jest wielomianem stopnia o k niższego niż Q(). Dla trójmianów kwadratowych nierozkładalnych jest podobnie, ale zagłębienie się w temat wymaga znajomości liczb zespolonych, więc odkładamy to do czasu, gdy się z nimi zaznajomimy. III. Trzecim krokiem jest rozkład na ułamki proste. Def. Ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie postaci gdzie A, a; C, D, α, β R. A ( a) k lub C + D (( α) + β ) m, Uwaga: W mianowniku ostatniego wyrażenia występuje postać kanoniczna trójmian kwadratowego, który nie ma pierwiastków rzeczywistych. I teraz!! IV. Tw. Funkcja wymierna P ()/Q() jest sumą ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Tw. (o rozkładzie na ułamki proste): Każda funkcja wymierna: P (), gdzie deg P < Q() deg Q, daje się zapisać jako suma ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Dokładniej: Jeżeli w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się wyrażenie ( a) k, to wśród ułamków prostych znajdują się wyrazy: A 1 a, A ( a),..., A k ( a) k ; jeżeli zaś w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się (( α) + β ) m, to wśród ułamków prostych znajdą się wyrazy: C 1 + D 1 ( α) + β, C + D (( α) + β ),... C m + D m (( α) + β ) m. Wyznaczenie konkretnych wartości współczynników stojących przy ułamkach prostych odbywa się przez porównanie obu postaci funkcji wymiernej: Postaci wyjściowej: f() =, oraz otrzymanej z rozkładu na ułamki proste. P () Q() Gdy wszystkie ułamki proste są odwrotnościami wielomianów pierwszego stopnia, to współczynniki można wyznaczyć znacznie prościej. 6

7 "Jak to działa", zobaczmy na przykładach. Przykł. Rozłóżmy na ułamki proste funkcję wymierną f() = 1 ( ) ( 3) (17) Zgodnie z powyższym twierdzeniem, rozkład na ułamki proste będzie miał postać: 1 ( ) ( 3) = A + B ( ) + C 3. Współczynniki A, B, C wyznaczamy, sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika. Mamy: 1 A( )( 3) + B( 3) + C( ) ( ) = ( 3) ( ) ( 3) = (A + C) + ( 5A + B 4C) + (6A 3B + 4C) ( ), ( 3) co daje równania: A + C = 0; 5A + B 4C = 1; 6A 3B + 4C = 1. Rozwiązanie tego układu równań daje: Przykł. Weźmy teraz: f() = A =, B = 1, C = ( )( +1). Rozkład na ułamki proste ma postać: f() = ( )( + 1) = A + B + C D + E ( + 1). (18) Współczynniki A, B, C, D, E wyznaczamy z porównania obu stron po sprowadzeniu prawej do wspólnego mianownika, co daje: = A( + 1) + (B + C)( )( + 1) + (D + E)( ) skąd otrzymujemy układ równań na współczynniki: Rozwiązując ten układ równań, dostajemy: co daje rozkład na ułamki proste: wsp. przy 4 : A + B = 0 wsp. przy 3 : B + C = 0 wsp. przy : A + B C + D = wsp. przy 1 : B + C D + E = wsp. przy 0 : A C E = 13. A = 1, B = 1, C =, D = 3, E = 4 f() = ( )( + 1) = ( + 1). (19) Twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste sprowadza całkowanie funkcji wymiernej do całkowania ułamków prostych. Zobaczymy zaraz, jak obliczać funkcje pierwotne z takich ułamków prostych. 1. Zacznijmy od ułamków prostych postaci A ( a) k. Podstawiając y = a, mamy { A dy A ln( a) dla k = 1, ( a) = A k y = k A 1 dla k > 1. 1 k ( a) k 1 7

8 . Gdy mamy ułamek prosty: C+D (( α) +β ) m, to całka nieoznaczona z tego wyrażenia sprowadza się do obliczenia dwóch całek: (( α) + β ) oraz m ( α) (( α) + β ) m..1. Przy pierwszej całce podstawiamy y = α i otrzymujemy całkę dy, (y +β ) m w której z kolei podstawiamy y = βz i po tym podstawieniu dostajemy całkę dz. Dla m = 1 funkcją pierwotną jest arctg z, zaś dla m > 1 wyprowadziliśmy już na tę całkę wzór rekurencyjny (z +1) m (16)... Przy całce drugiego typu, podstawiamy: y = ( α). Mamy: dy = ( α), skąd otrzymujemy: ( α) (( α) + β ) = 1 m { dy 1 (y + β ) = ln(( α) + β ) dla m = 1, m 1 1 dla k > 1. (k 1) (( α) +β ) k 1 Tymi to sposobami zawsze możemy obliczyć całkę z funkcji wymiernej. (Oczywiście, jeśli znamy pierwiastki mianownika Q()). Obliczmy teraz dla naprzykładu całki z f. wymiernych (17) i (18). Przykł. (17), cd: Przykł. (18), cd: = 1 ( ) ( 3) = ( ) + = ln + ln C ( )( + 1) = + 1 ( + ) = ln 1 ln( + 1) arctg + 3 ( + 1) (3 + 4) ( + 1) ( + 1) ( + 1). Ostatnią całkę liczymy wykorzystując wzór rekurencyjny (16); dla n = mamy: I = (1 + ) = I 1 = arctg. Ostatecznie ( )( + 1) = ( ) ln 4arctg + C. + 1 Uwaga. Analizując metodę całkowania funkcji wymiernych widzimy, że całka z funkcji wymiernej jest postaci: R() + A ln U() + Barctg V (), gdzie A, B stałe, zaś R(), U(), V () są funkcjami wymiernymi. 8

9 1.6 Całki z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych Niech R(u, v) oznacza funkcję trygonometryczną dwóch zmiennych u, v. Rozważmy całkę: R(sin, cos ). Okazuje się, że całkę tego typu można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej poprzez podstawienie trygonometryczne. Podstawieniem, które działa zawsze (aczkolwiek często nie jest sposobem optymalnym ze względu na ilość rachunków) jest podstawienie uniwersalne: t = tg. Musimy wyrazić sin, cos, przez t. Mamy: Mamy dalej Ponadto: co daje sin + cos = 1, skąd tg + 1 = 1 cos cos = cos 1 = 1 + t 1 = 1 t 1 + t. sin = 1 cos = sin = sin cos =, co daje cos = t t 1 + t, t 1 + t. Wreszcie, z równości: = arctg t mamy dt = 1 + t. Ostatecznie mamy wszystko co jest potrzebne do podstawienia: sin = t 1 t, cos = 1 + t 1 + t, = 1 + t dt. Przykł. 1 + t I = sin = dt t 1 + t dt = t = ln t = ln tg. Uwaga. Powyższe podstawienie uniwersalne działa zawsze. Prowadzi jednak często do funkcji wymiernej o dużych stopniach licznika i mianownika. Z tego względu należy je stosować tylko w ostateczności, jeśli inne podstawienia trygonometryczne nie dadzą się zastosować. Te inne podstawienia to: t = sin, t = cos t = tg. Istnieją przepisy, kiedy takie podstawienia stosować. Nie będziemy ich tu wypisywać (zainteresowany Czytelnik znajdzie je np. w książce Fichtenholza, t. II). 1.7 Całki z wyrażeń typu R(, n α+β γ+δ ) Rozpatrzmy teraz całki postaci R(, n α + β γ + δ ), 9

10 (zakładamy tu, że α+β const, bo inaczej problem byłby trywialny), gdzie R(u, v) jest γ+δ funkcją wymierną swoich argumentów. Okazuje się, że takie całki można sprowadzić do całek z funkcji wymiernych. Realizuje się to za pomocą następującego podstawienia: t = n α + β γ + δ. tzn. tn = α + β γ + δ, co znaczy, że wyraża się wymiernie przez t i w ten sposób otrzymujemy w zmiennej t całkę z funkcji wymiernej, którą liczymy znanymi nam już metodami. Konkretnie, mamy tutaj: = β δtn γt n α, = n(αδ βγ) t n 1 (γt n α) dt Przykł. I = ( 1)( + 1) = Zgodnie z powyższym przepisem, podstawiamy: i nasza całka przyjmuje postać t = , = t3 + 1 t 3 1, = 6t dt (t 3 1) I = 3dt t 3 1. Powyższe podstawienie sprowadziło więc całkę do całki wymiernej. Zachęcam Czytelnika, aby powyższą całkę policzył dalej. Wynik jest następujący: I = 1 ln t + t + 1 (t 1) + 3 arctg t C. 1.8 Całki z wyrażeń typu R(, a + b + c); podstawienia Eulera Ostatnią z omawianych teraz klas całek będą całki R(, a + b + c), (0) gdzie R(u, v) jest funkcją wymierną. Całki powyższego rodzaju także wyrażają się przez funkcje elementarne. Istnieje kilka sposobów obliczania całek (0); my omówimy tu podstawienia Eulera. Odnośnie trójmianu kwadratowego a + b + c zakładamy, iż nie jest on pełnym kwadratem, gdyż w tym przypadu moglibyśmy wyciągnąć zeń pierwiastek i mieć całkę wymierną. 1. Pierwsze podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy a > 0. Podstawiamy wówczas: a + b + c = t a (1) 10

11 (lub, aby t występowało tylko po jednej stronie równości: t = a + b + c + a. Po podniesieniu do kwadratu równości (1) wyraz a skasuje się po obu stronach i zostanie b + c = t at skąd mamy = t c b + at, at + bt + c a a + b + c =, at + b at + bt + c a = (b + dt. at) Widać, że przy tym podstawieniu zarówno (oraz oczywiście, jak i a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej.. Drugie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy c > 0. Wówczas bierzemy: a + b + c = t + c. () Jeśli podniesiemy obie strony równości () do kwadratu, odejmiemy po obu stronach c i podzielimy przez, to otrzymamy: i mamy: a + b = t + ct = ct b ct bt + ca, a + b + c =, a t a t ct bt + ca = dt. (a t ) Znów więc, oraz a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób znowu doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej. 3. Wreszcie, trzecie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy trójmian kwadratowy a + b + c ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste; oznaczmy je λ oraz µ. Wiemy, że w takim przypadku trójmian ten rozkłada się na czynniki liniowe: a + b + c = a( λ)( µ). (3) Wtedy podstawiamy: a + b + c = t( λ). (4) Podnosząc równość (4) do kwadratu i korzystając z (3), skracamy przez wspólny czynnik ( λ) i otrzymujemy znów równanie pierwszego stopnia na : a( µ) = t ( λ) skąd dostajemy: = λt aµ t a, = a + b + c = ta(µ λ) (t a) dt a(λ µ)t t a, 11

12 Uwaga. Może się zdarzyć, że do jakiejś całki można zastosować więcej niż jedno podstawienie Eulera! Pokażemy teraz, w dowolnej całce postaci (0) można zastosować któreś z podstawień Eulera (konkretnie, pierwsze lub trzecie). Otóż jeśli trójmian kwadratowy a + b + c ma pierwiastki rzeczywiste, to można zawsze zastosować podstawienie trzecie. Jeśli natomiast trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, tzn. b 4ac < 0, to Przykł. I. Obliczmy całkę I I = za pomocą pierwszego podstawienia Eulera. Zgodnie z (1) mamy = t, skąd wyliczamy = t + 4 t + 4, = t + 8t 8 (t + 4) dt, i wstawiając do całki wyjściowej, mamy I I = = t = t + 4t 4 t + 4 dt t + 4. Tę całkę już łatwo policzyć, dostając (zachęcam Czytelnika, aby uzupełnił te rachunki) I I = arctg [( )] + C. Przykł. II. Obliczmy całkę I II = + 1 za pomocą drugiego podstawienia Eulera. Zgodnie z () mamy + 1 = t + 1; skąd i w zmiennej t całka przybiera postać = t t, = (t + t + 1) (t 1) dt, (t + t + 1) I II = t t dt + 1 = t + t t, a więc otrzymaliśmy jak trzeba całkę z wyrażenia wymiernego. Czytelnika zachęcam do dokończenia i sprawdzenia rachunku. Przykł. III. Przetestujmy wreszcie trzecie podstawienie Eulera na całce Zgodnie z (4) bierzemy skąd wyliczamy I III = ( 3) 4. 4 = t, = 4 t + 1, = 8 tdt (t + 1), 4 = t = 4t t + 1, i w zmiennej t całka przyjmuje postać I III = dt 3t 5 5 3t 3 = t + 1 więc znów w postaci wymiernej, tak jak powinno być. Znów wykładowca zachęca Czytelnika do dokończenia i sprawdzenia rachunków. 1

13 Całka Riemanna 13

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski Publikacja współfinansowana

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania http://www./86.htm Analiza matematyczna w zadaniach, t., W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 5. 5. 5. 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym Całka nieoznaczona E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Konrad Nosek 05 Spis treści Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Całkowanie przez podstawianie całek nieoznaczonych

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić. Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.

lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej. Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Symboliczne

Obliczenia Symboliczne Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą. 5 Funkcjewymierne. Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x)= P(x) Q(x), () gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykłady z matematyki - Granica funkcji Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo