Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 5. Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem gdzie n N, a i R, a n 0. W (x) = a 0 + a 1 x a n 1 x n 1 + a n x n, Równość wielomianów Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu Jeżeli W (x) i P (x) 0 są wielomianami, to istnieją takie wielomiany Q(x) i R(x), że W (x) = P (x) Q(x) + R(x), przy czym R(x) 0 lub stopień wielomianu R(x) jest silnie mniejszy od stopnia wielomianu P (x). Wielomian R(x) nazywamy resztą dzielenia W (x) przez P (x). Pierwiastek wielomianu Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0. Twierdzenie Bèzout a Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x a wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x). Wniosek: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x a jest równa W (a). Pierwiastek wielokrotny wielomianu Liczba a jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (x) dzieli się przez (x a) k i nie dzieli się przez (x a) k+1. Wtedy wielomian W (x) możemy zapisać w postaci W (x) = (x a) k Q(x), gdzie Q(x) jest wielomianem niepodzielnym przez x a. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych Jeżeli liczba wymierna p q 0 (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 o współczynnikach całkowitych, przy czym a 0, a n 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a 0, natomiast q jest podzielnikiem współczynnika a n. Wniosek: Jeśli a n = 1, to pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych należy szukać wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a 0. Rozwiązywanie nierówności wielomianowych rozkładamy wielomian na czynniki; odczytujemy pierwiastki wielomianu (miejsca zerowe wielomianu); odczytujemy krotności pierwiastków wielomianu; zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi liczbowej; 21

3 rysujemy schematyczny wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej strony: od góry, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest dodatni; od dołu, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest ujemny; wykres przecina oś dla pierwiastków o nieparzystej krotności; odbija się od osi dla pierwiastków o parzystej krotności; odczytujemy rozwiązanie. Przykładowe zadania 1. Wyznaczyć parametry A, B, C tak, aby wielomiany W (x) = (B + C)x 2 + (A B)x A oraz Q(x) = 2x 2 + x + 1 były równe. te mają takie same stopnie. Aby były równe, muszą mieć równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej, tzn. 2 = B + C, 1 = A B, 1 = A. Odpowiedź: A = 1, B = 2, C = Rozwiązać równanie x 4 5x = 0. Wprowadźmy podstawienie: x 2 = t, t 0. Otrzymujemy równanie kwadratowe: t 2 5t + 6 = 0. = 1, t 1 = 2, t 2 = 3 x 2 = 2, stąd x = 2 lub x = 2 x 2 = 3, stąd x = 3 lub x = 3 Odpowiedź: x { 2, 2, 3, 3}. 3. Rozwiązać równanie x 3 8 = 0. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). (x 2)(x 2 + 2x + 4) = 0 Zatem x 2 = 0, stąd x = 2 lub x 2 + 2x + 4 = 0, stąd = 12, czyli nie ma pierwiastków. Odpowiedź: x = Rozwiązać równanie x 3 + 2x 2 x 2 = 0. Grupujemy (x 3 + 2x 2 ) (x + 2) = 0 x 2 (x + 2) (x + 2) = 0 (x + 2)(x 2 1) = 0 Zatem x + 2 = 0, czyli x = 2 lub x 2 1 = 0, stąd ze wzoru skróconego mnożenia a 2 b 2 = (a + b)(a b) otrzymujemy (x + 1)(x 1) = 0, więc x = 1 lub x = 1. Odpowiedź: x { 2, 1, 1}. 22

4 5. Rozwiązać równanie x 3 5x x 10 = 0. Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Dzielnikami wyrazu wolnego (czyli liczby 10) są: 1, 1, 2, 2, 5, 5, 10, 10. Równanie spełnia liczba 2, bo W (2) = = 0. Ponieważ W (2) = 0, to wielomian x 3 5x x 10 dzieli się bez reszty przez dwumian x 2. x 2 3x + 5 x 3 5x x 10 : x 2 x 3 + 2x 2 3x x 3x 2 6x 5x 10 5x + 10 Równanie przyjmuje postać: (x 2)(x 2 3x + 5) = 0 Stąd x 2 = 0, czyli x = 2 lub x 2 3x + 5 = 0, = 11 < 0, więc nie ma pierwiastków. Odpowiedź: x = Rozwiązać nierówność (x 1)(x + 1)(x 2) x Odpowiedź: x [ 1, 1] [2, + ). 7. Rozwiązać nierówność x 2 (x + 2)(x 3) < x Odpowiedź: x ( 2, 3) \ {0}. 8. Rozwiązać nierówność (x 1)(2 x)(x + 4) x Odpowiedź: x [ 4, 1] [2, + ). Zadania Wykonać dzielenie wielomianów: 1. (x 3 + 2x 2 3x 10) : (x 2). 2. (2x 3 7x x 6) : (2x 3). 3. (x 4 + 3x 3 12x 2 13x 15) : (x 2 + x + 1). 4. (x 4 + 3x 3 + x 2 4x + 5) : (x 1). 5. (6x 4 7x 3 12x x 12) : (x 2 + 1). 6. (x 5 + 2x 3 3) : (x + 1). 23

5 Nie wykonując dzielenia obliczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez Q(x): 7. W (x) = 1, 5x 3 2, 2x 2 5, 6x 1, 02, Q(x) = x + 0, W (x) = 5x 3 + 6x 2 2x + 3, Q(x) = x W (x) = x 10 + x 4 + x 2 + x + 1, Q(x) = x W (x) = 2x 5 + 3x 4 x 3 + 3x 1, Q(x) = (x 1)(x + 2). Wyznaczyć wartości parametrów a, b i c wiedząc, że: 11. W (x) = x 3 + ax 2 + 6x + b, W (0) = 1, W (1) = W (x) = x 4 2x 3 + ax 2 b, W (0) = 1, W (1) = W (x) = 2x 4 + ax 3 + 2x 2 + bx + c, W ( 2) = 16, W (0) = 4, W (3) = Wyznaczyć parametry a oraz b tak, aby wielomiany W (x) = 3x 3 ( 1 2 a + b)x2 + 2x 2 i Q(x) = ( a b)x3 4x 2 + 2x 2 były równe. 15. Dla jakich wartości parametru m wielomian W (x) = x 3 + (m 2 1)x 3 jest podzielny przez dwumian x 1? 16. Dany jest wielomian W (x). Reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 1 jest równa 2, zaś przez x 8 jest równa 7. Podać wielomian, który jest resztą z dzielenia W (x) przez (x + 1)(x 8). 17. Dla jakich wartości parametrów a oraz b wielomian W (x) = 3x 3 + ax 2 + bx 4 jest podzielny przez wielomian Q(x) = x 2 1? 18. Dla jakich wartości parametrów a oraz b reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x 3 + 2x 2 + ax + b przez wielomian Q(x) = x 2 + x 2 jest równa R(x) = 4x 3? 19. Dla jakich wartości parametru m równanie mx 3 + (9m 3)x 2 + (2 m)x = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie? 20. Dla jakich wartości parametru m równanie mx 3 (2m + 1)x 2 + (2 3m)x = 0 ma rozwiązania, których suma jest dodatnia? 21. Liczba 1 jest pierwiastkiem równania 2x 3 (3m 5)x 2 2x + m + 1 = 0. Wyznaczyć wartość parametru m oraz pozostałe pierwiastki tego równania. 22. Dla jakiej wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu mx 3 + 3x 2 4x + 2 przez dwumian x 2 wynosi 6? Rozwiązać równanie: 23. x 6 = x 3 + 2x x 3 5x + 2 = x 5 + x 4 5x 3 5x 2 36x 36 = x 3 4x 2 17x + 60 = x 3 + 3x 2 7x 2 = (3x + 2)(x 3 8) = (x 4 16)(x 2 + 1) = x 3 + 3x 2 9x + 5 = x 3 + 6x x + 6 = (x 3)(x + 4)(3 + x) = 16x x 4 2x 2 15 = 0. 24

6 Rozwiązać nierówność: 34. (x 1)(x 2)(x + 3) x(x 3)(x + 1) (x 4) 2 (x 2 16) (x 2 9)(x + 3) < (1 x 2 )(x + 2)(2x 1) (x 2 1) 3 (x 4 + 2) > x 3 + x 2 8x 4 > x 3 2x 2 6x x 3 + 3x 2 + x x 3 1 3x. 44. x 4 + x 3 + 7x x 3 + 2x 2 3x 10 < 0. Rozwiązać równanie: 46. x 4 3x 2 x 2 3 = x + x 3 = x 1 + (x + 1)(x 2 + 4) = x + 2 = (x + 2)(x 2 1). 50. x = 13x 3 + x. 51. x 3 x 2 + x 1 = 0. Rozwiązać nierówność: 52. x 3 + 2x 2 < 9x x 3 2x 2 3x x 2 1 x 3 x x 20 x 3 4x x 3 + x 2 + 3x + 3 > x x 3 1 < x 2 + x x 3 2x 2 > 3x 6. Narysować wykres funkcji: 59. f(x) = (x + 1) f(x) = (x + 3) f(x) = x f(x) = (x 2) 3. 25