PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Transkrypt

1 PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory, w której przedstawił algebraiczną metodę rozwiązywania problemów elektrodynamiki. Heaviside nie podał przekonującej argumentacji dla swojej metody. Wielu matematyków wyrażało zastrzeżenia dotyczące poprawności teorii Heavisidea, o czym świadczy niżej przedstawiony list. Anonymous Fellow of the Royal Society to Sir Edmund T. Whittaker: There was a sort of tradition that a Fellow to the Royal Society could print almost anything in the Proceedings untroubled by referees: but then Heaviside had published two papers on his symbolic methods, we felt the line had to be drawn somewhere, so we put a stop to it. Celem tej notatki jest przedstawienie pojęć i twierdzeń teorii równań różniczkowych, na powstanie których miały wpływ idee Heavisidea. Istnieją trzy istotnie różne sposoby uzasadniania poprawności rachunku operatorowego O. Heaviside a: 1) Teoria transformacji Laplace a, 2) Teoria dystrybucji Schwartza, 3) Rachunek operatorów Mikusińskiego. 1. Rachunek operatorów Mikusińskiego W zbiorze C [, ) wprowadzamy działania: (1.1) (f + g)(t) = f(t) + g(t), (1.2) (f g)(t) = (f g)(t) = f(t τ)g(τ)dτ. Twierdzenie 1.1. C [, ) jest przemiennym pierścieniem bez jedności względem działań (1.1) i (1.2). Twierdzenie 1.2 (Titchmarsh). Jeśli f, g C [, ) i (f g)(t) = dla t [, T ], T >, to istnieją liczby T 1, T 2, T 1 + T 2 T, takie że f(t) = dla t [, T 1 ] i g(t) = dla t [, T 2 ]. Wniosek 1.1. Jeśli (f g)(t) = dla t, to f(t) = dla t lub g(t) = dla t. Twierdzenie 1.3. C [, ) jest przemiennym pierścieniem bez jedności i bez dzielników zera. Niech M będzie ciałem ułamków dla pierścienia C [, ). Definicja 1.1. Elementy ciała M nazywamy operatorami Mikusińskiego. 1

2 2 WŁADYSŁAW KIERAT Funkcje f C [, ) będziemy również oznaczać symbolem {f(t)}. Symbol f(t) oznacza wartość funkcji f w punkcie t. Twierdzenie 1.4. a) C [, ) M, f {1}f {1}, b) C(R) M, α {α} {1}. Przyjmijmy l =: {1}, wtedy (lf)(t) = f(τ)dτ. Operator l nazywamy operatorem całkowym. Operator s := 1 l nazywamy operatorem różniczkowym. Twierdzenie 1.5. Dla f C (n) [, ) zachodzi następująca równość: (1.3) f (n) = s n f f (n 1) () sf (n 2) () s n 1 f(). Wniosek 1.2. Jeśli f() = f (1) = = f (n 1) () =, to f (n) = s n f. 2. Zastosowanie rachunku operatorów do liniowych równań różniczkowych o współczynnikach stałych (2.1) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 x (1) + a x =, a i C, R (2.2) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 x (1) + a x = f, f C [, ) Niech γ = (γ,..., γ n 1 ), γ i = x(i) (), i =,..., n 1, (2.3) x (i) () = γ i, i =,..., n 1, p(s) = s n + a n 1 s n a 1 s + a, n N. Twierdzenie 2.1. Rozwiązanie x C (n) [, ) równania (2.2) spełniające warunki (2.3) ma postać: (2.4) x = β n 1s n β 1 s + β p(s) gdzie + f p(s), (2.5) β n 1 s n β 1 s + β = γ =. Przyjmijmy (2.6) x = β n 1s n β 1 s + β, x f = f p(s) p(s). Zauważmy, że x jest ogólnym rozwiązaniem równania (2.1) i x f jest szczególnym rozwiązaniem równania (2.2) spełniającym warunek γ =. 1 Funkcja p(s) = {w (t)} jest szczególnym rozwiązaniem równania (2.1) spełniającym (2.7) w () =,..., (w ) (n 2) () =, (w ) (n 1) () = 1.

3 PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI Funkcja impulsu dla liniowego równania różniczkowego (3.1) x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)x (1) (t) + a (t)x(t) =, (3.2) x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)x (1) (t) + a (t)x(t) = f(t) Definicja 3.1. K : (a, b) (a, b) R a) Funkcje K(, ) są rozwiązaniami równania (3.1) dla (a, b) spełniającymi K(, ) =, (1,) K(, ) =,..., (n 2,) K(, ) =, (n 1,) K(, ) = 1. b) Funkcje K, (1,) K,..., (n,) K C (a,b) (a,b). Funkcję K nazywamy funkcją impulsu dla równania (3.1). Niech v = [v 1,..., v n ] będzie fundamentalnym układem rozwiązań dla równania (3.1) i niech W będzie macierzą Wrońskiego. Twierdzenie 3.1. (3.3) K(t, ) = [v 1 (t),..., v n (t)] [W1n 1 1 (),..., Wnn ()] T, gdzie [W1n 1 1 (),..., Wnn ()] T jest ostatnią kolumną macierzy W 1 () odwrotnej do macierzy Wrońskiego W (). Wtedy (3.4) x(t) = v(t)w 1 ()γ + gdzie x() = γ, x(1) () = γ 1,... x(n 1) () = γ n 1. K(t, τ)f(τ)dτ, Zauważmy, że x (t) = v(t)w 1 ()γ jest rozwiązaniem równania (3.1) spełniającym natomiast x f () = x () = γ, x(1) () = γ 1,..., x(n 1) () = γ n 1, K(t, τ)f(τ)dτ jest rozwiązaniem równania (3.2) spełniającym x f () = x (1) f () = = x(n 1) f () =. Załóżmy, że współczynniki równań (3.1) nie zależą od zmiennej t. Twierdzenie 3.2. K(t, τ) = W (t τ) dla (t, τ) D = {(t, τ) : τ t}, x(t) = v(t)w 1 ()γ + W (t τ)f(τ)dτ dla t, gdzie W 1 jest macierzą odwrotną do macierzy Wrońskiego wyznaczoną przez układ fundamentalny v.

4 4 WŁADYSŁAW KIERAT 4. Zastosowanie rachunku operatorów do układów równań o stałych współczynnikach Rozważmy układ: (4.1) x = Ax + f, A = [a ij ] n n, x = [x 1,..., x n ] T, x = [x 1,..., x n] T, f = [f 1,..., f n ] T, (4.2) (A si)x = x() f. Wtedy mamy (4.3) x = (A si) 1 x() (A si) 1 f, (4.4) R(s, A) := (A si) 1 = [W ij (t)] n n. Twierdzenie 4.1. a )R(s, A) = {W (t)} jest macierzą Wrońskiego, W () = I. b) Funkcja x(t) = W (t)x() W (t τ)f(τ)dτ jest rozwiązaniem równania (4.1). 5. Funkcja impulsu dla układu równań różniczkowych (5.1) x = Ax, A(t) = [a ij (t)] n n (5.2) x = Ax + f Definicja 5.1. K(, ) : (a, b) (a, b) R n2 a) Dla ustalonego (a, b) każda kolumna macierzy K(, ) jest rozwiązaniem układu (5.1) i K(, ) = I. b) Funkcje K, i (1,) K, C (a,b) (a,b). Funkcję K nazywamy funkcją impulsu dla układu (5.1). Twierdzenie 5.1. a) K(t, ) = W (t)w 1 (), gdzie W jest macierzą Wrońskiego dla równania (5.1). b) Funkcja x(t) = K(t, )x() + K(t, τ)f(τ)dτ jest rozwiązaniem równania (5.2). c) Jeśli współczynniki a ij nie zależą od zmiennej t, wtedy x(t) = W (t )x() gdzie {W (t)} = R(s, A). W (t τ)f(τ)dτ dla t,

5 PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI... 5 więc Zauważmy, że R(s, A) = (A si) 1 = l(i la) 1, R(s, A) = l + l 2 A + l 3 A l n+1 A n +..., R(s, A) = {I + t 1! A + t2 2! A2 + + tn n! An +... } = {e At }, x(t) = e A(t ) x() + e A(t τ) f(τ)dτ (postać wykładnicza). 6. Funkcje impulsu i rozwiązania podstawowe (6.1) x (n) (t) + a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)x (1) (t) + a (t)x(t) =, a i C ( ) (a, b), i =,..., n 1, (6.2) x (t) = A(t)x(t), A(t) = [a ij ] n n a ij C ( ) (a, b) E(t, τ) := E(, ) { K(t, τ) dla a < τ t < b dla a < t < τ < b - rozwiązanie podstawowe Twierdzenie 6.1. a) Jeśli K(, ) jest funkcją impulsu dla równania (6.1), to (D n + a n 1 D n a 1 D + a )E(, ) = δ. b) Jeśli K(, ) jest funkcją impulsu dla równania (6.2), to (DI A)E(, ) = δ I. c) Jeśli współczynniki a i równań (6.1) i (6.2) nie zależą od zmiennej t, wtedy { W E(t, ) = (t) dla t dla t < dla równania (6.1) oraz E(t, ) = { W (t) dla t dla t < dla równania (6.2). (Symbol D oznacza różniczkowanie w sensie teorii dystrybucji, a δ oznacza miarę Diraca skupioną w punkcie.) J. L. B. Cooper: Heaviside and the operational calculus, Math. Gaz. 36 (1952) p L. Schwartz: Theorie des Distributions - Introduction, Herman, Paris (1966) J. Mikusiński: Operational calculus, PWN-Pergamon Press, London Warszawa New York (1966)