MOŻLIWOŚĆ WYKORZYSTANIA INFORMACJI Z SYSTEMU AIS W MODELOWANIU EMISJI SKŁADNIKÓW SPALIN Z SILNIKÓW STATKÓW W REJONIE ZATOKI GDAŃSKIEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MOŻLIWOŚĆ WYKORZYSTANIA INFORMACJI Z SYSTEMU AIS W MODELOWANIU EMISJI SKŁADNIKÓW SPALIN Z SILNIKÓW STATKÓW W REJONIE ZATOKI GDAŃSKIEJ"

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUOWE AADEMII MARYNARI WOJENNEJ RO XLIX NR Lesze Paseczy, Tomasz azewcz Aadema Maryar Wojeej MOŻLIWOŚĆ WYORZYSTANIA INFORMACJI Z SYSTEMU AIS W MODELOWANIU EMISJI SŁADNIÓW SPALIN Z SILNIÓW STATÓW W REJONIE ZATOI GDAŃSIEJ STRESZCZENIE Rosąca presja proeologcza społeczeństwa spowodowała, że zaeczyszczee atmosfery przez spaly slów orętowych stało sę jedym z główych problemów ochroy środowsa morsego ostatch lat. Obszar Zato Gdańsej, podobe ja masta portowe czy rejoy admorse, arażoy jest a wpływ zaeczyszczeń zawartych w spalach załadów przemysłowych, eletrow pojazdów oraz zwązów szodlwych zawartych w spalach jedoste pływających. W celu oreślea udzału jedoste pływających w zaeczyszczau powetrza atmosferyczego oraz przecwdzałaa szodlwym wpływom zwązów tosyczych w spalach slów orętowych oecza jest zajomość wartośc emsj tych zwązów. Jest to możlwe przy zajomośc parametrów ruchu jedoste, wartośc stężeń poszczególych zwązów dla tych parametrów oraz waruów atmosferyczych. W pracy przedstawoo waru dotyczące modelowaa emsj sładów spal z slów statów pływających w rejoe Zato Gdańsej z wyorzystaem formacj pochodzących z systemu AIS. WSTĘP Problem zaeczyszczea powetrza w portach oraz w mejscach podejśca do portów jest o tyle waży, że porty zajdują sę zazwyczaj w poblżu lub a teree dużych mast, a ch ograczoy obszar powoduje dużą ocetrację jedoste a małym obszarze. Ne bez zaczea pozostają róweż szeroo pojęte uwaruowaa esploatacyje. Do tych ostatch zalczyć moża sposób użytowaa slów, częstość występowaa charater przebegu staów eustaloych, procesów przejścowych charateryzujących sę zacze węszą emsją zwązów tosyczych ż podczas pływaa a otwartych aweach ze stałym obcążeem 85

2 Lesze Paseczy, Tomasz azewcz slów. Na sposób użytowaa mają wpływ róweż waru zewętrze, czyl oddzaływae środowsa morsego a pracę sla. Oczywśce e mejszy wpływ a tosyczość spal mają stosowae rodzaje palwa oleju smarowego. Prowadzoe obece badaa dotyczące zaeczyszczaa atmosfery spowodowaej emsją zwązów szodlwych z slów tracyjych dotyczą przede wszystm slów pojazdów [, ] oraz slów lotczych []. Staową oe bardzo duży wład w rozwój modelowaa msj zwązów szodlwych emtowaych z slów spalowych, jeda ze względu a odmeość zarówo waruów topografczych, hydrometeorologczych, ja specyfę esploatacj jedoste pływających e mogą oe zostać zastosowae do ocey msj w obszarach admorsch. MODELOWANIE EMISJI SŁADNIÓW SPALIN Z SILNIÓW STATÓW Emsja E oraz stężee ajczęścej masowe zaeczyszczea rozproszoego w powetrzu atmosferyczym msja I w obszarach zurbazowaych jest przedmotem tesywych prac badawczych prowadzoych w welu ośrodach auowych w raju zagracą. Zależość pomędzy emsją zwązów szodlwych w spalach a ch msją moża zapsać astępująco []: gdze ℵ pewe operator matematyczy p. fucjoał. It ℵ[Et], Natężee emsj E będącej fucją czasu m t t z oreśloego źródła względem czasu t: gdze m t masa daego zwązu szodlwego. dmt t E t, dt Emsja drogowa jest defowaa jao pochoda emsj będącej fucją drog m s s ze źródła, jam jest jedosta pływająca, względem drog s przez ą przebywaej: dms s bs. 3 ds 86 Zeszyty Nauowe AMW

3 Możlwość wyorzystaa formacj z systemu AIS w modelowau emsj Na podstawe rówaa 3 moża zapsać, że emsja a drodze S wyese: a w czase T S s s m S b s ds, 4 T t t gdze vt prędość jedost pływającej. m T b t v t dt, 5 Modelowae emsj poszczególych sładów spal z uładów wylotowych slów orętowych w czase ruchu po oreśloym obszarze staow jede z luczowych problemów w zagadeach blasowaa sporządzaa daych wejścowych dla model dyspersj msj. Przedmotem blasowaa emsj zaeczyszczeń zawartych w spalach slów apędzających jedost pływające są procesy emsj globalej, uśredoe w dostatecze długm czase. Czas te oreślay jest przede wszystm suteczoścą uśredaa zmeych waruów esploatacj obetów. Czy, tóre determują emsję globalą substacj zawartych w spalach slów orętowych, moża slasyfować astępująco [7, 9]: strutura jedoste pływających ze względu a welość przezaczee jedoste pływających, welość rodzaj sla, lczba poszczególych rodzajów slów a jedostce pływającej slów główych pomocczych, sta techczy jedost pływającej uwzględający rozwązaa techcze, sta adłuba zużyce elemetów uładów apędowych jedost oraz ch lczość; tesywość esploatacj jedoste pływających; model ruchu jedoste pływających; waru otoczea: waru atmosferycze falowae, sle watry, oblodzee, awey pływaa porty, ceśy, aały e obszary ebezpecze trude awgacyje oraz wody otwarte, pływae w lodach; właścwośc eoomcze jedoste pływających ze względu a esploatacyje zużyce palwa; właścwośc eologcze slów stosowaych a jedostach pływających; właścwośc palw m.. ze względu a rodzaj palwa, sład zawartość zaeczyszczeń

4 Lesze Paseczy, Tomasz azewcz Schemat modelu msj zwązów tosyczych emtowaych w spalach slów orętowych przedstawoo a rysuu. Wya z ego, że proces modelowaa emsj ZT w spalach sla orętowego będący jedym z elemetów modelowaa msj zwązów tosyczych w spalach jest bardzo złożoy wymaga zajomośc czterech grup parametrów waruu ruchu statu: parametry jedost długość, szeroość, zaurzee jedost, sta techczy uładu apędowego, rodzaj apędu w tym rodzaj lczba slów, rodzaj lczba śrub apędowych tp.; parametry ruchu jedost prędość urs jedost; 3 waru zewętrze sła erue watru, temperatura powetrza wody, cśee atmosferycze, wlgotość powetrza, sta morza; 4 lczość jedoste z uwzględeem ategor jedoste. Modele matematycze Parametry ruchu jedost Pomary Charaterysty emsj ZT w spalach Parametry jedost Model emsj ZT w spalach jedost pływającej Waru zewętrze Rówaa sta płyu Model turbulecj Model pola prędośc powetrza Model ośroda Waru zewętrze Lczość jedoste ch parametry Model dyspersj Parametry topografcze obszaru Model przema chemczych w obłou Imsja zaeczyszczeń pochodzących z jedoste pływających Rys.. Schemat modelu msj zwązów tosyczych emtowaych w spalach slów orętowych 88 Zeszyty Nauowe AMW

5 Możlwość wyorzystaa formacj z systemu AIS w modelowau emsj Ilość emtowaych zwązów szodlwych w spalach sla orętowego zależy od tach welośc opsujących sta pracy sla, ja momet obrotowy M o, prędość obrotowa, sta ceply sla J, sta techczy sla Z parametry uładu wymay ładuu, sta uładu TPC, sta techczy poprawość regulacj aparatury wtrysowej,waru otoczea G p. temperatura otoczea, cśee, wlgotość powetrza zmee opory pływaa jedost O opór orętu a wodze płytej, opór orętu podczas ruchu w aale, opór powetrza wpływ falowaa. Moża węc zapsać, że emsja -tego zwązu szodlwego w spalach e będze mała postać: e f M o,, J, Z, G, O. 6 Emsję drogową moża zapsać jao fucjoał przebegów welośc oreślających sta pracy sla spalowego, tz. mometu obrotowego M o, prędośc obrotowej oraz wetorów opsujących sta ceply sla Jt, waru otoczea Gt zmee opory pływaa jedost Ot: b t [M o t, t, Jt, Gt, Ot], 7 gdze operator przeształcający momet obrotowy prędość obrotową oraz wetory stau ceplego sla, oporów ruchu waruów otoczea w średą emsję drogową z jedost pływającej. Przy ta dużej lczbe czyów oraz złożoym opse zjaws determujących proces emsj e moża uąć założeń upraszczających. Tworzoe w Europe modele emsj ze środów trasportu lądowego, tae ja HBEFA, COPERT, DVG czy DRIVE-MODEM [3, 6], starają sę uwzględć ja ajwęszą lczbę parametrów wpływających a emsję. W pracach prowadzoych w AMW [] przyjęto, że teoretyczy tor ruchu jedost pływającej moża opsać za pomocą fucj slejaych perwszego stopa. Rozpatrując trajetorę ruchu jedost pływającej jao realzację dwuwymarowego procesu stochastyczego { S t X t, Y t : t } załadając, że proces te jest procesem o welowymarowym rozładze typu cągłego cągłych realzacjach, moża stwerdzć, ż realzacją procesu jest dwuwymarowa trajetora zależa od czasu { s t x t, y t : t T}. Długość wetora prędośc moża zapsać: X t] v t [ v [ v t] Y

6 Lesze Paseczy, Tomasz azewcz Przyjmując długość wetora prędośc podaą wzorem 8 rozpatrując ruch jedost po { s t x t, y t : t T}, rówae opsujące masę wyemtowaych spal moża przedstawć jao: lub M f x t, y t [ v X t] [ vy t] dt 9 M f s t v t dt. Poeważ w rzeczywstośc droga od putu P do putu P, ze względu a myszowae statu, jest dłuższa ż Δ s vδt o pewą losową welość, moża zapsać, że całowta masa wyemtowaych spal przez pojedyczą jedostę pływającą w przedzale czasu [, ] jest zmeą losową W M ΔM o rozładze ormalym o wartośc oczewaej E W E ΔM M M γ d M ε γ Δs N N odchyleu stadardowym N σ W σ ΔM γ d ρ γ Δs N. 3 Masa wyemtowaych spal w oreśloym awee A w przedzale czasu [, ] jest sumą mas wyemtowaych przez wszyste jedost zajdujące sę w tym przedzale czasu w tym awee. Jeżel W,,, ozacza masę wyemtowaych spal przez -tą jedostę pływającą, to łącza masa wyemtowaych spal w awee A w przedzale czasu [, ] jest zmeą losową: W W. 4 9 Zeszyty Nauowe AMW

7 Możlwość wyorzystaa formacj z systemu AIS w modelowau emsj Zmea losowa W jao suma ezależych zmeych losowych o rozładze ormalym ma rozład ormaly o wartośc oczewaej: ] [ ] [ Δ Δ N s M M M E W E γ ε W. 5 Odchylee stadardowe tej zmeej losowej wyos Δ Δ N s M V ] [ ] [ γ ρ σ W. 6 W modelu tym lczba jedoste została przyjęta jao stała. W rzeczywstośc lczba jedoste pływających zmea sę losowo w czase, jest węc procesem stochastyczym. Przyjęto założee, że proces Marowa { } T t t X :, tórego wartość w chwl t ozacza lczbę jedoste pływających w oreśloym awee w chwl t, jest procesem pojedyczym, co ozacza, że w rótm przedzale czasu możlwa jest zmaa stau o jede. W zwązu z tym, że aaltycze rozwązae uładu rówań różczowych lowych ejedorodych S j j S j t t P t P, λ 7 w ogólej postac e jest pratycze możlwe, zalezoo rozwązae przyblżoe [5], załadając, że elemety macerzy tesywośc przejść są stałe w pewych przedzałach czasowych oraz przyjęto, że zbór staów procesu jest sończoy,, },, { S. Rozład asymptotyczy otrzymamy, rozwązując uład rówań: S j j j S P S j P,, λ, 8 w tórym dae współczy j λ są elemetam macerzy tesywośc przejść t Λ. 9

8 Lesze Paseczy, Tomasz azewcz Rozwązae tego uładu rówań, przy zastąpeu stałych współczyam fucyjym, ma postać: p t t t t t t t p t t t p,,,,. t t t t Jao lczbę przyjmujemy masymalą lczbę statów w awee. Jeżel w oreśloym przedzale czasu [, ] rozład lczby statów w awee jest stały, to jao lczbę możemy przyjąć część całowtą wartośc oczewaej: 9 Zeszyty Nauowe AMW E[ X t] p. W celu realzacj opsaego stochastyczego modelu ruchu emsj spal z jedoste pływających w rejoe Zato Gdańsej ezbęda jest zajomość lczby jedoste pływających w aalzowaym rejoe, ch rozładów pod względem rodzaju jedoste, welośc, prędośc, mocy rodzaju slów apędu główego tp. W tabel. przedstawoo typy jedoste oraz ch procetowy udzał w ruchu statów po Zatoce Gdańsej w przedzale czasu od.5.3 do [3]. Tabela. Typy jedoste pływających po Zatoce Gdańsej w oparcu o system VTS w orese od.5.3 do [3] Typ statu Lczba jedoste Udzał procetowy Chemalowce 4 Drobcowce chłodowce 98 7 Gazowce 349 oteerowce 634 Masowce 59 9 Promy pasażerso-samochodowe 636 Samochodowce 3 Stat pasażerse oteerowce typu ro-ro 96 6 Taowce 339 Jedost eowecjoale oręty wojee, jedost rybace, szole tp. 8 8 Jedost ezaego typu 84 8 Suma 3663

9 Możlwość wyorzystaa formacj z systemu AIS w modelowau emsj Do opracowaa statystyczego strume ruchu jedoste morsch przyjęto trasy torów podejścowych do portów Gdya Gdańs oraz toru wodego rozdzelającego sę a oba te tory. W tym celu a torach wodych ustaloo umowe, prostopadłe bram [], dla tórych dooao ocey statystyczej wejść wyjść jedoste w orese obejmującym mesęcy. W badaach wyorzystao dae archwale przesyłae w Systeme Automatyczej Idetyfacj Automatc Idetfcato System zarejestrowae brzegowym urządzeem AIS frmy SAAB typu R4 śledzącym ruch jedoste morsch a Zatoce Gdańsej [4]. W celu oszacowaa emsj zwązów tosyczych w spalach a podstawe daych uzysaych z systemu AIS opracowao modele statystycze opsujące wartość mocy chwlowej P e * dla prędośc chwlowej v* w zależośc od welośc jedost pływającej [8], czasu przebywaa jedoste w badaym obszarze oraz emsj zwązów tosyczych. Na rysuu. przedstawoo hstogram prędośc chwlowej v*, a a rysuu 3. hstogram wartośc mocy chwlowej P e * dla bram Gdya CD. Z wyresów wya, że ajwęsza lczba jedoste w tym rejoe płye z prędoścą 7 w rozwja moc chwlową P e * w zarese do MW. Wartośc te pozwalają a oszacowae wartośc atężea emsj E NOx w tym puce a pozome,6576 g/h rys. 4.. Zaczy udzał jedoste o wartośc atężea emsj E NOx powyżej 5 g/h wya z tego, że powyższy zares atężea emsj zwązay jest z slam rozwjającym moc chwlową P e * powyżej 8,3 MW.,4, 8, częstość,8,6,4, średa wartość prędośc jedoste v [w] Rys.. Hstogram prędośc chwlowej v* dla jedoste przepływających bramę Gdya CD

10 Lesze Paseczy, Tomasz azewcz,35 8,3,5 częstość,,5,,5 < >4 moc chwlowa Pe* [MW] Rys. 3. Hstogram wartośc mocy chwlowej P e * [MW] dla jedoste przepływających bramę Gdya CD,3,5 8, częstość,5,,5 < >5 atężee emsj NOx [g/h] Rys. 4. Rozład oszacowaej wartośc atężea emsj E NOx [g/h] dla jedoste przepływających bramę Gdya CD Należy tu jeda zauważyć, że czas przebywaa jedost w rejoe bram wyos zaledwe la mut, a całowty czas przebywaa jedost w rejoe podejśca Hel Gdya bram AB CD wyos, w zależośc od prędośc jedoste, od do 44 mut. W zwązu z tym bardzej celowym wydaje sę oreślee wartośc atężea emsj E NOx w logramach a mlę morsą [g/mm] rys Zeszyty Nauowe AMW

11 Możlwość wyorzystaa formacj z systemu AIS w modelowau emsj,8,6 8,4, częstość,,8,6,4, <,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5,5 >,5 wartość średego atężea emsj NOx [g/mm] Rys. 5. Rozład oszacowaej wartośc średego atężea emsj E NOx [g/mm] dla jedoste przebywających w rejoe podejśca Hel Gdya bram AB CD PODSUMOWANIE Modelowae emsj zwązów szodlwych jest zagadeem bardzo ważym, a jedocześe bardzo złożoym. Prowadzoe obece prace auowe badawcze pośwęcoe rozprzestrzeau sę zaeczyszczeń dotyczą zaeczyszczeń w powetrzu atmosferyczym pochodzea stacjoarego eletrowe, załady przemysłowe, motoryzacyjego oraz w ostatm czase róweż lotczego. Obece opracowaa, dotyczące przede wszystm motoryzacj, mędzy ym ze względu a welość slów orętowych e mogą meć zastosowaa do modelowaa emsj zwązów tosyczych z slów orętowych, poeważ strutura modelu zależy e tylo od jego przezaczea, ale róweż w dużej merze od lośc jaośc daych wejścowych. Możlwość pozysaa daych z systemu AIS, tach ja azwa statu, długość szeroość statu, typ statu, czas uwersaly zwązay z przejścem jedost przez bramę, ąt drog ad dem prędość ad dem COG, VTG oraz zaurzee statu pozwala a stworzee owatorsch model opsujących ruch jedoste po badaym obszarze emsję zwązów szodlwych w spalach zarówo dla jedej jedost, ja dla całego badaego obszaru. Należy tu dodać, że oprócz problemów, z tórym przy modelowau emsj zwązów tosyczych boryają sę specjalśc od motoryzacj, w przypadu jedoste pływających do parametrów załócających dołade wyzaczee emsj

12 Lesze Paseczy, Tomasz azewcz poszczególych zwązów ze względu a bra formacj lub ch zmeość moża zalczyć dodatowo sta techczy sla, a zwłaszcza aparatury palwowej oraz waru atmosferycze szczególe słę erue watru. BIBLIOGRAFIA [] Brzozowsa L., Brzozows., omputerowe modelowae emsj rozprzestrzeaa sę zaeczyszczeń samochodowych, Wydawctwo Nauowe Śląs, atowce Warszawa 3. [] Chłope Z., Modelowae procesów emsj spal w waruach esploatacj tracyjych slów spalowych, PN Poltech Warszawsej, Mechaa, z. 73, Warszawa 999. [3] Drąg Ł., Modelowae emsj rozprzestrzeaa sę zaeczyszczeń ze środów trasportu drogowego, Archwum Motoryzacj, 7, r. [4] Fels A., Paseczy L., Motorg of the movemet of the objects o the Gdas bay order to recogze the characterstcs of ther ma propulso systems, Sl Spalowe/Combusto Eges, No 7-SC, pp , Pozań 7. [5] Grabs F., Stochastycze modele ruchu jedoste pływających, fragmet sprawozdaa z realzacj projetu badawczego r 5 9 3/87, AMW, Gdya 8. [6] Joumard R., Methods of estmato of atmospherc emsso from trasport: Europea scetfc state of the art, Acto COST39 fal report, LTE 99 report, 999. [7] azewcz T., Paseczy L., Model of NO x emsso by sea-gog vessels avgatg I the gulf of Gdas rego, Sl Spalowe PTNSS-7-SC3, Pozań 7. [8] azewcz T., Paseczy L., Model symulacyjy emsj NO x w spalach jedoste pływających, materały XI Mędzyarodowej oferecj Nauowej Badaa symulacyje w techce samochodowej, Szczawca 8. [9] azewcz T., Problemy modelowaa msj szodlwych sładów spal z slów orętowych w rejoach mejsch aglomeracj admorsch, VII Mędzyarodowa oferecja Nauowa Sl gazowe, ZN Poltech Częstochowsej, 6, Mechaa, 6, Częstochowa 6. [] otlarz W., Turbowe zespoły apędowe źródłem sażeń powetrza a lotsach wojsowych, Wyższa Szoła Ofcersa Sł Powetrzych, atedra Płatowca Sla, Dębl Zeszyty Nauowe AMW

13 Możlwość wyorzystaa formacj z systemu AIS w modelowau emsj [] Naus., Opracowae statystycze strume obsług jedoste morsch a wytypowaym torze wodym, AMW, Gdya 8. [] Pawla M., Paseczy L., Modelowae ruchu jedoste morsch dla oreślaa emsj zwązów tosyczych spal, materały Mędzyarodowej oferecj Motoryzacyjej ONMOT-AUTOPROGRES 8, Szczawca 8. [3] Roje B., Wawruch R., Shps routes ad statstcs of traffc the Souther Baltc Sea, Zeszyty Nauowe AMW, 6, r 66. ABSTRACT The rsg pro-ecologcal pressure has made atmosphere polluto by exhaust gases of mare eges oe of the ma problems of evrometal protecto of recet years. The Gdas Bay area, just le sea ports or coastal regos, s vulerable to the effect of pollutats exhausts of dustral plats, power plats ad vehcles, as well as the toxc compouds vessels exhaust gases. I order to determe the share of vessels evrometal polluto ad to couteract the harmful effects of toxc compouds mare ege exhaust gases, t s ecessary to ow the emsso values of these compouds from partcular vessels. Ths s possble wth the owledge of ther movemet parameters, cocetrato values of partcular compouds for these parameters ad the atmospherc codtos the rego of the vessels operato. The report presets codtos of the emsso ad dsperso modelg of the pollutats preset exhausts of mare eges of the vessels operatg the Gdas Bay rego wth advatage of formato desceded from AIS system. Recezet prof. dr hab. ż. Adrzej Fels

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem

Bardziej szczegółowo

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2 Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Matematyczne metody opracowywania wyników

Matematyczne metody opracowywania wyników Matematycze metody opracowywaa wyów Statystya rachue epewośc Paweł Ża Wydzał Odlewctwa AGH Katedra Iżyer Procesów Odlewczych Kraów, gruda 00 Opracowae rzywej stygęca 3 4 5 6 7 Formuły a przyblżae pochodej

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu

Bardziej szczegółowo

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3 35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystyczne) MIARY POŁOśENIA

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystyczne) MIARY POŁOśENIA D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [] CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystycze) PARAMETRY STATYSTYCZNE - lczby słuŝące do sytetyczego opsu strutury

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów. Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer

Bardziej szczegółowo

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej --8 Wstęp do probablsty statysty Wyład. Zmee losowe ch rozłady dr hab.ż. Katarzya Zarzewsa, prof.agh, Katedra Eletro, WIET AGH Wstęp do probablsty statysty. wyład Pla: Pojęce zmeej losowej Iloścowy ops

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego). TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona: Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10) Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja i ocena ryzyka wykonania planu produkcji w przedsiębiorstwie górniczym

Identyfikacja i ocena ryzyka wykonania planu produkcji w przedsiębiorstwie górniczym Prof. dr hab. ż. HENRYK PRZYBYŁA, dr hab. ż. STANISŁAW KOWALIK Poltecha Śląsa, Glwce Idetyfacja ocea ryzya wyoaa plau producj w przedsęborstwe górczym Artyuł opował prof. dr hab. ż. Adrzej Karbow. Wprowadzee

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej Rachek prawdopodobeńswa saysyka maemaycza Esymacja przedzałowa paramerów srkralych zborowośc geeralej Częso zachodz syacja, że koecze jes zbadae ogół poplacj pod pewym kąem p. średa oce z pewego przedmo.

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

PROBLEMY MODELOWANIA EMISJI ZWIĄZKÓW TOKSYCZNYCH W SPALINACH SILNIKÓW OKRĘTOWYCH MODELING THE EMISSION OF TOXIC COMPOUNDS IN MARINE ENGINE EXHAUST GAS

PROBLEMY MODELOWANIA EMISJI ZWIĄZKÓW TOKSYCZNYCH W SPALINACH SILNIKÓW OKRĘTOWYCH MODELING THE EMISSION OF TOXIC COMPOUNDS IN MARINE ENGINE EXHAUST GAS TOMASZ KNIAZIEWICZ, LESZEK PIASECZNY PROBLEMY MODELOWANIA EMISJI ZWIĄZKÓW TOKSYCZNYCH W SPALINACH SILNIKÓW OKRĘTOWYCH MODELING THE EMISSION OF TOXIC COMPOUNDS IN MARINE ENGINE EXHAUST GAS Streszczenie

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84 Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE REGRESJI W NAUKACH EKONOMICZNYCH

ZAGADNIENIE REGRESJI W NAUKACH EKONOMICZNYCH METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/ str. 8 95 ZAGADNIENIE REGRESJI W NAUKACH EKONOMICZNYCH Beata Fałda Józef Zając Istytut Matematy Iformaty Państwowa Wyższa Szoła Zawodowa w Cełme Katedra

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki: Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

Bardziej szczegółowo

Zmiana bazy i macierz przejścia

Zmiana bazy i macierz przejścia Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe. INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015

Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015 Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI

ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław

Bardziej szczegółowo

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki Politechia Warszawsa Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Istytut Podstaw Budowy Maszy Załad Mechaii http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszy i podstawy automatyi semestr zimowy 206/207 dr iż. Sebastia

Bardziej szczegółowo

Wyższe momenty zmiennej losowej

Wyższe momenty zmiennej losowej Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla

Bardziej szczegółowo

Matematyczny opis ryzyka

Matematyczny opis ryzyka Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee

Bardziej szczegółowo

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu

Bardziej szczegółowo

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.

Bardziej szczegółowo

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ Ćwczee 56 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA γ 56.. Wadomośc ogóle Rozpatrzmy wąską skolmowaą wązkę prome γ o atężeu I 0, padającą a płytkę substacj o grubośc x (rys. 56.). Natężee promeowaa

Bardziej szczegółowo

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

Wykład II. ELEMENTY I PODSTAWOWE UKŁADY REZYSTANCYJNE

Wykład II. ELEMENTY I PODSTAWOWE UKŁADY REZYSTANCYJNE . Wprowadzee 7 Wyład. ELEMENTY PODTAWOWE KŁADY EZYTANCYJNE Poe eetrycze przepływowe Jeś zewętrze źródło poa eetryczego wymusza uporządoway ruch (przepływ) ładuów w cee przewodzącym, czy odpływ z ego jedych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym. Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych

Bardziej szczegółowo

MEZOSKALOWE MODELE RUCHU STATKÓW MORSKICH DLA SZACOWANIA EMISJI SPALIN

MEZOSKALOWE MODELE RUCHU STATKÓW MORSKICH DLA SZACOWANIA EMISJI SPALIN Małgorzata Pawlak Akademia Morska w Gdyni Leszek Piaseczny Akademia Marynarki Wojennej MEZOSKALOWE MODELE RUCHU STATKÓW MORSKICH DLA SZACOWANIA EMISJI SPALIN Streszczenie: W pracy rozpatrzono aspekty stosowania

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version  WIII/1 Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki Politechia Warszawsa Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Istytut Podstaw Budowy Maszy Załad Mechaii http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszy i podstawy automatyi semestr zimowy 07/08 dr iż. Sebastia

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego

Bardziej szczegółowo