Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej

Transkrypt

1 --8 Wstęp do probablsty statysty Wyład. Zmee losowe ch rozłady dr hab.ż. Katarzya Zarzewsa, prof.agh, Katedra Eletro, WIET AGH Wstęp do probablsty statysty. wyład Pla: Pojęce zmeej losowej Iloścowy ops zmeych losowych Przyładowe rozłady zmeych losowych Wstęp do probablsty statysty. wyład Pojęce zmeej losowej Zmea losowa jest to fucja X, tóra przypsuje lczbę rzeczywstą x daemu wyow esperymetu losowego. Ω e, e, { K} X : Ω R X e ) x R Przyłady: ) Rzut moetą: zdarzeu orzeł przypsujemy ; zdarzeu resza przypsujemy. ) Aalog. losowae wyrobów: zdarzeu bra wadlwy) -, dobry ) Rzut ostą wyrzucee, td ) Odce [a, b] a os lczbowej wybór putu o współrzędej x przypsujemy p. wartość x ; wartość s x+7) tp. Wstęp do probablsty statysty. wyład

2 --8 Zmea losowa dysreta Gdy wartośc zmeej losowej X są zolowaym putam a os lczbowej obejmują sończoy przedzał wartośc) Rzut moetą Błędy przy trasmsj Wadlwe ułady z l producyjej. Ilość połączeń przychodzących w cągu mut cągła Gdy wartośc zmeej losowej staową wszyste puty odca obejmują przedzał lczb rzeczywstych) Natężee prądu w przewodu Temperatura Cśee Wstęp do probablsty statysty. wyład Iloścowy ops zmeych losowych Rozład zmeej losowej lub rozład prawdopodobeństwa tylo dla zmeych dysretych) Fucja gęstośc prawdopodobeństwa tylo dla zmeych cągłych) Dystrybuata fucja rozładu dla zmeych dysretych cągłych) Welośc charateryzujące wartość oczewaa, waracja, watyle, tp.) Wstęp do probablsty statysty. wyład Rozład zmeej losowej Rozładem zmeej losowej rozładem prawdopodobeństwa dla zmeych dysretych) azywamy zbór par x,p ) gdze x jest wartoścą zmeej losowej X a p jest prawdopodobeństwem, że zmea losowa X przyjmuje wartość x Przyład. Rozład prawdopodobeństwa dla jedorotego rzutu moetą. Zdarzeu polegającemu a wyrzuceu orła przypsujemy x ; zdarzeu polegającemu a wyrzuceu resz x. Zatem: x p X ) p x ) x p X ) p x) Wstęp do probablsty statysty. wyład

3 --8 Rozład zmeej losowej Przyład. cd Rozład prawdopodobeństwa dla jedorotego rzutu moetą jest astępującym zborem par: {, ),, )},,9,8,7, prawdopodob. zdarzea px),,,,,,,,, Zmea losowa jest w tym przypadu soowa dysreta) a jej rozład jest też soowy dysrety). X Wstęp do probablsty statysty. wyład 7 Fucja gęstośc prawdopodobeństwa Fucję gęstośc prawdopodobeństwa wprowadza sę dla zmeych cągłych; ma oa zwąze z prawdopodobeństwem: f x) dx P x X < x + dx) Własośc fucj gęstośc prawdopodobeństwa:. f x) + f. f x) jest uormowaa x) dx. fx) ma wymar /x Wstęp do probablsty statysty. wyład 8 Fucja gęstośc prawdopodobeństwa Z defcj fucj gęstośc prawdopodobeństwa fx) wya pratyczy sposób oblczaa prawdopodobeństwa, że wartość zmeej losowej zajduje sę w przedzale [a,b]: b P a < X < b) f x) dx a Ne ma sesu pytać, jae jest prawdopodobeństwo, że xa Wstęp do probablsty statysty. wyład 9

4 --8 Fucja gęstośc prawdopodobeństwa Przyład. Ozaczmy przez X zmeą losową cągłą, tóra opsuje atężee prądu w cem przewodze medzaym w jedostach ma). Załóżmy, że zares X wyos [, ma] fucja gęstośc prawdopodobeństwa jest daa jest jao fx), w tym przedzale. Oblcz prawdopodobeństwo, że zmerzoe atężee prądu jest mejsze ż ma.,,8 gestosc prawdop., fx), f x) dx, P X < ) dx X Wstęp do probablsty statysty. wyład,,, Iloścowy ops zmeych losowych Dystrybuatą fucja rozładu, ag. cumulatve dstrbuto fucto CDF) Fx) azywamy prawdopodobeństwo tego, że zmea losowa X przyjme wartość mejszą od x co ajwyżej daą wartość) F x) P X x) Przyład. cd Dystrybuata dla rzutu moetą: F x ) P X ) F x ) P X ) Wstęp do probablsty statysty. wyład Własośc dystrybuaty. F x). F ). F + ). x y F x) F y) Jest fucją emalejącą. Fx) e posada wymaru df x) Zwąze gęstośc prawdopodobeństwa. f x) z dystrybuatą dla zmeej cągłej) dx Wstęp do probablsty statysty. wyład

5 --8 Przyład. Dystrybuata dla zmeej dysretej F x) P X x) f x ) x x f x ) rozład prawdopodobeństwa Na podstawe astępujących wartośc dystrybuaty Fx) zajdź fucję rozładu prawdopodobeństwa fx) F x) dla x <, dla x <,7 dla x < dla x Na podstawe rysuu, jedyym putam dla tórych Fx) są -,,. f ),, f ),7,, f ),,7, Wstęp do probablsty statysty. wyład Dystrybuata dla zmeej cągłej t F t) P X t) f u) du Dystrybuata zmeej cągłej jest emalejącą fucją cągłą a oblcza sę ją jao pole pod wyresem fucj gęstośc prawdopodobeństwa. Wstęp do probablsty statysty. wyład Numerycze mary opsowe MIARY parametry) OPISOWE Położea Rozproszea Kwatyle p. Waracja Odchylee medaa) stadardowe) Moda Rozstęp Wartość oczewaa średa, adzeja matematycza) Wstęp do probablsty statysty. wyład

6 --8 Charaterysty rozładu prawdopodobeństwa Fratyl watyl) x q jest to wartość zmeej losowej, dla tórej dystrybuata przyjmuje wartość q. F xq ) P X xq ) f u) du q Najczęścej stosowaym watylem jest medaa czyl x.. W przyładze. atężee prądu ma jest medaą rozładu. Przyład. Dla dysretego rozładu esperymetalego o wyach: 9,,,,,,,,, 7 medaa wyos bo jest wartość środowa uporządowaego zboru wartośc albo średa arytmetycza dwóch środowych welośc). x q Wstęp do probablsty statysty. wyład Charaterysty rozładu prawdopodobeństwa Moda wartość modala) jest to taa wartość zmeej losowej, dla tórej rozład prawdopodobeństwa lub fucja gęstośc prawdopodobeństwa) osąga masmum. Rozłady jedomodale mają jedą modę welomodale węcej ż jedą) W przyładze. dla dysretego rozładu esperymetalego o wyach: 9,,,,,,,,, 7 moda wyos bo jest wartość, tóra pojawa sę ajczęścej w zborze wyów. Wstęp do probablsty statysty. wyład 7 Średa arytmetycza: Wartość średa x - elemety zboru elemetowego eoecze róże): x x W przyładze. dla dysretego rozładu esperymetalego o wyach: 9,,,,,,,,, 7 wartość średa wyos,7. Wstęp do probablsty statysty. wyład 8

7 --8 Przyład. x f,,7,,9,,7, 8,87,,9 7,,7 9,,7,,7,,7,,7 Razem 8 Średa arytmetycza Jeżel wele elemetów ma w zborze tę samą wartość, to dzelmy zbór a lasy zawerające detycze elemety o lczeboścach : x x x f + x f + + x f,, +,, + +,, x,77 Wstęp do probablsty statysty. wyład 9 p x p f x gdze: f, p lczba las p ) Warue ormalzacj Charaterysty rozładu prawdopodobeństwa Momet rozładu rzędu względem putu x m x) x x ) p x ) m x ) x x ) f x) dx dla zmeych dysretych dla zmeych cągłych Najważejszym mometam są te, tóre są lczoe względem początu uładu współrzędych czyl względem x m ) oraz momety lczoe względem X m tj. względem perwszego mometu względem początu uładu współrzędych m azywamy wartoścą oczewaą, wartoścą średą lub adzeją matematyczą) to są momety cetrale µ. Wstęp do probablsty statysty. wyład Charaterysty rozładu prawdopodobeństwa Wartość oczewaa ozaczaa jao: m, EX), µ, x, xˆ E X ) x p dla zmeych dysretych E X ) x f x) dx dla zmeych cągłych EX) jest współrzędą putu, tóry byłby środem masy rozładu prawdopodobeństwa lub pola pod fucją gęstośc prawdopodobeństwa fx)) gdyby p tratować ja masy lub odpowedo fx) ja fzyczą gęstość). Wstęp do probablsty statysty. wyład 7

8 --8 Własośc EX) EX) jest operatorem lowym co ozacza, że:. E C X ) ) CE X co prowadz w osewecj do: EC) C ECX) CEX) EX +X )EX )+EX ). Dla ezależych zmeych X, X, X E X ) ) E X Waruem oeczym wystarczającym by zmee były ezależe jest f X, X,..., X ) f X ) f X )... f X ) Wstęp do probablsty statysty. wyład Własośc EX). Dla fucj zmeej X; Y YX) wartość oczewaa EY) może być zalezoa przy pomocy rozładu zmeej X bez oeczośc szuaa rozładu fy) E Y ) ) y x p dla zmeych dysretych E Y ) y x) f x) dx dla zmeych cągłych Moża zauważyć, że dowoly momet m x ) może być potratoway jao wartość oczewaa fucj YX)X-x ) m x) x x) f x) dx E x x ) ) Wstęp do probablsty statysty. wyład Charaterysty rozładu prawdopodobeństwa Waracja dyspersja) ozaczaa jao: σ X), varx), VX), DX). Perwaste z waracj azywamy odchyleem stadardowym σx) σ X ) p x E X )) σ X ) f x) x E X ) dx dla zmeych dysretych dla zmeych cągłych Waracja lub odchylee stadardowe) jest marą rozrzutu zmeej losowej woół wartośc oczewaej. W aalze daych dośwadczalych utożsamamy wartość oczewaą pomarów wyoaych w obecośc błędów przypadowych z wartoścą rzeczywstą merzoej welośc. Marą błędu przypadowego jest odchylee stadardowe bo oo oreśla rozrzut wyów woół wartośc rzeczywstej. Wstęp do probablsty statysty. wyład 8

9 --8 Własośc σ X) Warację moża oblczyć stosując wartośc oczewae:. σ X ) E X ) E X ) co prowadz w osewecj do: σ C) σ CX) C σ X) σ C X+C ) C σ X). Dla ezależych zmeych X, X, X σ C X ) C σ X ) Wstęp do probablsty statysty. wyład Nerówość Czebyszewa Iterpretacja waracj wya z erówośc Czebyszewa: P a X E X ) a. σ X )) Twerdzee: Prawdopodobeństwo odchylea wartośc zmeej losowej od oczewaej EX) o a-rotą wartość odchylea stadardowego jest mejsze bądź rówe /a Twerdzee to jest słusze dla wszystch rozładów, tóre mają warację a zatem wartość oczewaą. Lczba a jest dowolą, dodatą lczbą rzeczywstą. Wstęp do probablsty statysty. wyład Waracja jao mara rozproszea DUŻE ROZPROSZENIE MNIEJSZE ROZPROSZENIE Wstęp do probablsty statysty. wyład 7 9

10 --8 Rozstęp jao mara rozproszea ROZSTĘP x max -x m Wstęp do probablsty statysty. wyład 8 Pratycze sposoby oblczaa waracj Waracja z próby -elemetowej): s x średa x x) Waracja z populacj N-elemetowej): σ N μ średa z populacj N x μ) oczewaa ) Wstęp do probablsty statysty. wyład 9 Pratycze sposoby oblczaa odchylea stadardowego Odchylee stadardowe próby lub: błąd stadardowy): s x x) Odchylee stadardowe populacj): σ N N x μ) Wstęp do probablsty statysty. wyład

11 --8 Rozład dwuputowy zero-jedyowy), p. rzut moetą wylosowae resz brau orła, poraż) x, wylosowae orła dobrego wyrobu, sucesu) x, p - prawdopodobeństwo sucesu, jego rozład: x p -p p Dwumaowy ag.bomal, Beroullego) gdze <p<; X{,,, } - lczba sucesów w losowau -rotym ze zwracaem dla jest to rozład dwuputowy Wstęp do probablsty statysty. wyład Przyładowe rozłady dla dysretej zmeej losowej p p p,,,, ) K Rozład dwumaowy Beroullego) - założea Esperymet losowy słada sę z prób Beroullego, tach że:. Każda próba jest ezależa od ych.. Każda próba może meć tylo dwa wy: suces porażę bare!).. Prawdopodobeństwo sucesu wyos p jest wartoścą stałą. Wstęp do probablsty statysty. wyład Pytamy o prawdopodobeństwo p zdarzea, że zmea losowa X będze rówa lośc otrzymaych -sucesów przy próbach. p p p,,,, ) K Trójąt Pascala Wstęp do probablsty statysty. wyład! )!! W rozładze występuje symbol b a b a + ) dwuma Newtoa

12 --8 Trójąt Pascala Wstęp do probablsty statysty. wyład + Rozład Beroullego Przyład. Prawdopodobeństwo, że w daym załadze producyjym dzee zużyce wody e przeroczy pewego ustaloego pozomu wyos p/. Motorujemy zużyce wody w załadze przez d. Wyzaczyć prawdopodobeństwo, że w cągu d obserwacj, zużyce e przeroczy ustaloego pozomu odpowedo w,,,, dach. Tutaj sucesem jest odpowede zużyce wody w jedym du. Dae: Wstęp do probablsty statysty. wyład,,, K N q p Wstęp do probablsty statysty. wyład ) ) ) ) ) ) ) P P P P P P P Do rozwązaa zadaa wyorzystujemy właścwośc dwumau Newtoa trójąt Pascala. Rozład Beroullego

13 --8 Rozład Beroullego P). P) 8 P). 9 P) P). 9 P) P). 99 P) P) P) 8 P). 999 P) 79 P).78 Wstęp do probablsty statysty. wyład 7 Rozład Beroullego,,,,,97, P),,,,,78,,,, 7 Najwęsze prawdopodobeństwo uzysujemy dla co ozacza, że prawdopodobeństwo zdarzea, że pozom wody w załadze w cągu d e przeroczy ustaloego pozomu dzeego jest ajwęsze. Wstęp do probablsty statysty. wyład 8 Rozład Beroullego Wstęp do probablsty statysty. wyład 9

14 --8 Rozład Beroullego Wartość oczewaa w rozładze Beroullego E X ) μ p Waracja w rozładze Beroullego V X ) σ p p) Wstęp do probablsty statysty. wyład Przyład.7 Błędy w trasmsj btów Przy przesyłau formacj przez aał cyfrowej trasmsj zdarzają sę błędy pojedyczych btów. Załóżmy, że prawdopodobeństwo, że pojedyczy bt dotrze do osumeta z błędem wyos p, chocaż obetywe e jest to suces, to tutaj p azwemy prawdopodobeństwem sucesu) Załóżmy, że oleje aty trasmsj są ezależe. Nech X ozacza zmeą losową, tórejwartośc są rówe lośc btów przesłaych z błędem, w sewecj olejych btów. Ozaczmy E błąd btu,o bra błędu. Wy trasmsj OEOE ozacza, że drug czwarty bt są błęde, X; olejość e jest stota czyl EEOO też odpowada X Wstęp do probablsty statysty. wyład Przyład.7 cd Błędy w trasmsj btów Zdarzee opsae zmeą losową X to zbór astępujących wyów: {EEOO, EOEO, EOOE, OEEO, OEOE, OOEE} Jae jest prawdopodobeństwo PX) zdarzea, że dwa bty w sewecj czterech zostaą przesłae z błędem? Zdarzea są ezależe węc PEEOO)PE)PE)PO)PO),),9),8 Zdarzea są wzajeme wyluczające mają to samo prawdopodobeństwo wystąpea węc PX) PEEOO),),9),8).8 Wstęp do probablsty statysty. wyład

15 --8 Przyład.7 cd Błędy w trasmsj btów! )!! AzatemPX),),9) dae jest rozładem Beroullego P X x) p x PX ), PX ),9 PX ),8 PX ), PX ), x p) x, x,,,,, p, Wstęp do probablsty statysty. wyład Rozład Possoa Posłużmy sę przyładem.7 trasmsj btów przez aał cyfrowy. Nech zmea losowa X będze przyjmowała wartośc rówe lośc btów przesłaych z błędem. Jeżel prawdopodobeństwo p zdarzea przesłaa błędego btu jest stałe olejeatytrasmsjsą ezależe, to X ma rozład dwumaowy Beroullego). Wprowadźmy parametr λp EX) dla tego rozładu rówa sę λ) x P X x) p p) x x x λ λ x x Załóżmy, że wzrasta a p maleje ta, że λp pozostaje stałe. Rozład przechodz w rozład Possoa. Wstęp do probablsty statysty. wyład lm P X x) lm Rozład Possoa Załóżmy, że wzrasta a p maleje ta, że λp pozostaje stałe. Rozład przechodz w rozład Possoa. x λ λ x x λ x e λ x! Ze względu a to, że lczba przesyłaych btów zmerza do esończoośc, lczba błędów może być rówa dowolej eujemej lczbe całowtej. Zares możlwych wartośc X sęga od do Rozład Possoa stosujemy pod pewym waruam dla zmeej losowej X, tóra jest rówa lczbe zdarzeń zlczeń) w daym przedzale przy podzale a podprzedzały) w esperymece losowym zwaym procesem Possoa. Wstęp do probablsty statysty. wyład

16 --8 Proces Possoa Załóżmy, że day przedzał lczb rzeczywstych może być podzeloy a podprzedzały o małej długośc taej że:. Prawdopodobeństwo węcej ż jedego zlczea w tym podprzedzale jest rówe zero.. Prawdopodobeństwo jedego zlczea w podprzedzale jest tae samo dla wszystch podprzedzałów proporcjoale do jego długośc. Zlczae w ażdym podprzedzale jest ezależe od ych podprzedzałów Esperymet losowy tóre speła te waru azywamy procesem Possoa. Zmeą losową X tóra jest rówa lczbe zlczeń w przedzale azywamy zmeą losową Possoa. Fucja gęstośc prawdopodobeństwa fx) jest zależa od parametru λ λ x e λ f x), gdze x,,,k x! Wstęp do probablsty statysty. wyład Rozład Possoa Przyład.8 Podczas specj ceego medzaego przewoda stwerdzoo występowae uszodzeń. Ozaczmy przez X zmeą losową rówą lczbe uszodzeń zlczeń) adługośc L przewoda załóżmy, że średa lczba uszodzeń a całej długośc wyos λ. Należyzaleźć fucję gęstośc prawdopodobeństwa zmeej X. Dzelmy długość L la mlmetrów) a podprzedzałów o bardzo małej długośc p. mrometr. prawdopodobeństwo, że a tym podprzedzale wystąp węcej ż jedo uszodzee, jest zaedbywale małe Założee, że uszodzea są losowe pozwala przyjąć, że a ażdym podprzedzale prawdopodobeństwo uszodzea jest tae samo wyos p Załadamy, ezależość zdarzeń a podprzedzałach Wstęp do probablsty statysty. wyład 7 Rozład Possoa Przyład.8 Moża w tym przyładze zatem modelować rozład zmeej losowej X rozładem dwumaowym: E X ) λ p czyl λ p Prawdopodobeństwo, że podprzedzał zawera wadę wyos λ/ gdy jest bardzo duże, p jest bardzo małe. Rozład uszodzeń to rozład Possoa. Prawdopodobeństwo, że podprzedzał zawera wadę wyos λ/ gdy jest bardzo duże, p jest bardzo małe. Rozład uszodzeń to rozład Possoa. Wstęp do probablsty statysty. wyład 8

17 --8 Rozład Possoa Rozład Possoa to jede z elczych rozładów, w tórym wartość oczewaa jest rówa waracj: E X ) p λ Z waracj w rozładze Beroullego przy dużym małym p, otrzymujemy V X ) σ p p) V X ) σ lm p p ) p λ, p czyl warację w rozładze Possoa. Wstęp do probablsty statysty. wyład 9 Rozład Possoa Rozład Possoa ma wele zastosowań zwłaszcza w esperymetach fzy jądrowej atomowej, p. rozpadach jąder atomowych, atach emsj cząste, tp. Przedzał, o tórym mówlśmy może być przedzałem czasu często), wycem powerzch, elemetem objętośc. Rozład może być stosoway do systemów z dużą lczbą możlwych zdarzeń, z tórych ażde jest bardzo rzade prawo rzadch zdarzeń). Przyłady zdarzeń, tóre mogą być modelowae rozładem Possoa: Hstorycze lczba zabtych przez opęce oa ażdego rou w orpuse awaler w Prusach W.Bortewcz 88-9) Lczba połączeń telefoczych przychodzących do cetral a mutę Lcza mutacj w daym odcu DNA po espozycj a pewą dawę promeowaa Odsete omóre, tóre zostaą zaażoe dla daej lczebośc zaażeń W eletroce szum Possoa śrutowy); zarstość przy powęszau fotograf, zastosowaa moleulare Wstęp do probablsty statysty. wyład Rozład Possoa,,,,,,,, Wstęp do probablsty statysty. wyład lambda lambda lambda x Fucja rozładu Beroullego ; p, Possoa: λ,,8,7,8,8,8,,,,,,,, Rozład dysrety o esończoej lczbe wartośc x- dowola lczba całowta x. Dla dużych rozład Beroullego upodaba sę do rozładu Possoa 7

18 --8 Rozład ormaly Gaussa) ROZKŁAD GRANICZNY rozład ormaly) Najczęścej spotyaym rozładem zmeej losowej jest rozład ormaly zway rozładem Gaussa). Cetrale twerdzee gracze sformułowae po raz perwszy w 7 r. przez de Movre a. Jeżel powtarzamy welorote esperymet losowy, rozład zmeej losowej, będącej średą lub sumą) wszystch wyów zmerza do rozładu ormalego przy bardzo dużej lczbe powtórzeń esperymetu. Wstęp do probablsty statysty. wyład Rozład ormaly Gaussa) Zmea losowa X charateryzująca sę fucją gęstośc prawdopodobeństwa fx) daą wzorem: x μ f x) exp, gdze - < x < + σ π σ azywaa jest zmeą o rozładze ormalym tylo dwóch parametrach < μ < +, σ > Moża poazać, że wartość oczewaa EX)μ a waracja VX)σ Używa sę zapsu Nμ,σ) Wstęp do probablsty statysty. wyład Rozład ormaly Gaussa) Wartość oczewaa, położee masmum gęstośc prawdopodobeństwa moda) medaa porywają sę xμ). Rozład jest symetryczy rzywa Gaussa rzywa dzwoowa). Waracja jest marą szeroośc rozładu. Puty o współrzędych x+σ x- σ są putam przegęca. Wstęp do probablsty statysty. wyład 8

19 --8 Rozład ormaly Gaussa) Rozład ormaly jest rozładem błędów przypadowych wyów welu esperymetów fzyczych. Marą błędu pomaru jest odchylee stadardowe σ. Pomar o węszym σ charateryzuje sę węszym rozrzutem wyów woół wartośc średej a zatem mejszą precyzją. Wstęp do probablsty statysty. wyład Stadardowy rozład ormaly Zmea losowa Z charateryzująca sę fucją gęstośc prawdopodobeństwa Nz) daą wzorem: z N z) exp, gdze - < z < + π azywaa jest zmeą stadaryzowaą tj. o stadardowym rozładze ormalym N,) E Z), V Z) Defcja zmeej stadardowej μ Z X σ Wstęp do probablsty statysty. wyład Stadardowy rozład ormaly KORZYŚCI STANDARYZACJI: Stwarza możlwość tablcowaa fucj gęstośc prawdopodobeństwa dystrybuaty dla N,). Moża stworzyć zmeą o rozładze Nµ,σ) przez prostą trasformację X σ*z+µ Przez stadaryzację sprowadzamy wszyste wartośc orygalej zmeej losowej do obszaru w poblżu zera a jedostą jest odchylee stadardowe. Dzę temu moża porówywać rozłady welośc różące sę zacze położeem cetrum salą wartośc Wstęp do probablsty statysty. wyład 7 9

20 --8 Oblczae prawdopodobeństwa w rozładze Gaussa Φx) 8.% pow. x -σ, + σ) -σ, + σ) -σ, + σ) Pμ-σ <X< μ+σ),87 ooło / wyów), Pμ-σ <X< μ+σ),9 Pμ-σ <X< μ+σ),997 prawe wszyste) Wstęp do probablsty statysty. wyład 8 Przyład.9 Sera wyów próba) x,x,.x obarczoych epewoścą przypadową jest duża gdy <. W próbe taej wy sę powtarzają: jest lczbą pomarów, w tórych wystąpł wy x, / jest częstoścą występowaa wyu x /,,,,,,,,, 7,7,7,,8,9,9,7,,8,,8,,,,,,,, Suma 9 Wstęp do probablsty statysty. wyład 9 Opracowae ser pomarów bezpośredch dużej próby Średa arytmetycza estymator wartośc oczewaej Estymator odchylea stadardowego x x x) σ σ, x x,9 8 Hstogram,,,,8,,, x W tablcach szuamy wartośc N,) dla zmeej Z; porówujemy z hstogramem Tworzymy zmeą x,9 z stadardową Z o x x) wartoścach z, ux) ) Wstęp do probablsty statysty. wyład

21 --8 Cetrale twerdzee gracze tucyje sformułowae dla welu zmeych losowych Zmea Z będąca stadaryzowaą sumą ezależych zmeych losowych będze mała stadardowy rozład ormaly gdy lczba sładów w sume dąży do esończoośc oraz w sume e występują zmee o waracjach domujących w stosuu do reszty sładów. To twerdzee powoduje, że rozład ormaly jest wyróżoym rozładem Wstęp do probablsty statysty. wyład