Politechnika Poznańska

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Politechnika Poznańska"

Transkrypt

1 Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor: dr Tomasz Strę Pozań 004 3

2 Aradusz Atcza Sps treśc Sps treśc... 3 Streszczee... 5 Summary... 6 Wstęp... 7 RóŜczowe rówaa ruchu Rówaa Lagrage a II rodzaju.... Kaocze rówaa Hamltoa... 3 Ułady o jedym stopu swobody Stope swobody Prosty oscylator harmoczy Pozostałe przyłady uładów o jedym stopu swobody Metody umerycze rozwązywaa rówań róŝczowych Metoda Eulera Metoda Ruge-Kutta Błędy metod Metody weryfowaa rozwązań Wpływ waruów początowych Precyzja, doładość, sala Arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych Metoda oloacj Weryfacja metody Metoda Taylora Wy umerycze z wosam Prosty oscylator harmoczy Drgaa tłumoe Wahadło elowe Załącz... 5 Załącz... 5 Załącz Bblografa

3 Aradusz Atcza Streszczee Praca ma a celu zweryfowae umeryczych rozwązań róŝczowych rówań ruchu uładów o jedym stopu swobody. Przedstawa zae powszeche wyorzystywae metody rozwązywaa rówań róŝczowych oraz metody ch weryfacj. W pracy zamplemetowao efetywe, lecz rzado stosowae, metody oloacj Taylora. Oblczea zostały wyoae z wyorzystaem arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych. Programy wyorzystae a potrzeby ejszej pracy zostały apsae w całośc w programe Mathematca. W pracy zawarte zostały podstawy teoretycze dotyczące ruchu. Wyprowadzoo rówaa ruchu z defcj rówań Lagrage a II rodzaju oraz rówaa aocze Hamltoa. Następe zdefowao pojęce stop swobody przedstawoo przyłady uładów mechaczych spełających temat pracy. Koleja cześć pracy to prezetacja popularych ajczęścej wyorzystywaych metod umeryczych rozwązywaa rówań róŝczowych (metoda Eulera, Ruge- Kutty) oraz weryfacja ch doładośc. Dalsze rozdzały to prezetacja sposobów weryfowaa rozwązań umeryczych (arytmetya terwałowa, arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych, wpływ waruów początowych) oraz ops alteratywych metod rozwązywaa rówań róŝczowych (metoda oloacj metoda Taylora). Na ońcu pracy zaprezetowao wy oblczeń umeryczych (tabele, wyresy), ch porówaa, ja róweŝ wos z ch wypływające. Do pracy załączoo poadto ody źródłowe metod wyorzystaych do oblczeń (metoda oloacj metoda Taylora). 5

4 Aradusz Atcza Summary I ths paper we wll valdate umercal soluto of umercal euato of moto systems wth oe degree of freedom. Methods used ths paper are well ow ad most popular umerc calculatos for ODEs (ordary dfferetal euatos). Ths paper cota mplemetato of effectve but rarely used collocatos methods ad Taylor model. Calculatos were made wth use of bg float arthmetc model. All preseted programs were wrtte wth the ad of Mathematca. Ths paper cota theoretcal bass of moto defto. Euato of moto was derved from defto ad Lagrage euatos. Also we dervate Hamltoa s euatos. Next we defe degrees of freedom, ad show examples of mechacal systems wth oe degree of freedom. I followg we preset the most popular ad most freuetly used umercal methods for solvg ODEs. (Euler s method, Ruge-Kutta method) ad them valdato. Further chapters cota ways of valdatos of results of solvg ODEs (Iterval arthmetc, sgfcace arthmetc, fluece of tal codtos) ad descrpto of alteratve methods for solvg ODE (Collocatos methods for ODEs, Taylor model). At the ed all umercal results were put together ad compared. From ths was made coclusos. To ths paper has bee attached a source code for used methods (Collocatos methods for ODEs, Taylor model). 6

5 Aradusz Atcza Wstęp Celem ejszej pracy jest zweryfowae umeryczych rozwązań róŝczowych rówań ruchu uładów o jedym stopu swobody [,8]. W pracy zaprezetowao dotychczas zae populare wyorzystywae metody rozwązywaa rówań róŝczowych oraz metody ch weryfacj. Wszyste oblczea wyoywae a potrzeby tej pracy zostały uzysae przy pomocy programu Mathematca [6], będącego sle rozbudowaym arzędzem pozwalającym a eograczoe dzałaa programstycze oraz posadającym ogroma lość fucj wbudowaych. Lcze przyłady potwerdzają oeczość weryfowaa rezultatów oblczeń, a przyład poprzez powtórzee oblczeń z uŝycem ej metody, poprzez zwęszee precyzj oblczeń lub wyoae oblczeń a ej maszye (omputerze) []. Drug rozdzał staow wprowadzee do pracy, a maowce jest pośwęcoy a wyprowadzee róŝczowych rówań ruchu. Począwszy od prostych rówań wyprowadzaych z defcj ruchu, poprzez rówaa ruchu wyprowadzae z rówań Lagrage a II-go rodzaju, a sończywszy a uładach o stałej eerg rówaach aoczych Hamltoa[,7]. Następe w pracy poruszoy zostaje problem stop swobody. W rozdzale drugm, poza defcją stop swobody, zostały przedstawoe główe przyłady uładów wymeoych w temace pracy (prosty oscylator harmoczy, wahadło matematycze torsyje tp.), dla tórych wyprowadzoa rówaa ruchu. Kolejy rozdzał to prezetacja ajpopularejszych metod umeryczych rozwązywaa rówań róŝczowych zwyczajych. NaleŜą do ch metoda Euler a metoda Ruge-Kutty [3]. Rozdzał przedstawa teoretycze podstawy aŝdej z metod oraz uwypula ch edosoałośc podczas rozwązywaa rówań róŝczowych. Zazaczają sę oe w rozbeŝoścach pomędzy rozwązaam umeryczym a doładym omawaych przyładów. 7

6 Aradusz Atcza Pąty rozdzał to zapropoowae metod weryfacj rozwązań umeryczych. Wyorzystae do oblczeń programu Mathematca umoŝlwło wyorzystae tach elemetów ja zwęszae doładośc oblczeń z typu doubleprecso do wartośc, ograczoych jedye mocą oblczeową omputera, rzędu 800 mejsc po przecu, lub arytmetya terwałowa [0] a stałe zamplemetowaa w Mathematc ę pod postacą arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych ( Sgfcace Arthmetc ) [5,9]. Rozdzał szósty to prezetacja metody oloacj rozwązywaa rówań róŝczowych. Zajdują sę tu jej podstawy teoretycze, poazao jej wady zalety oraz przyłady oblczeń wyoaych przy jej uŝycu. Kolejy, sódmy, rozdzał to róte wprowadzee do powszeche zaej metody Taylora rozwązywaa rówań róŝczowych []. Rozdzał ostat prezetuje oblczea umerycze wyoae a przyładach opsaych w poprzedch rozdzałach. Do oblczeń posłuŝyła główe metoda oloacj, tórą wyorzystao jao ryterum weryfacyje umeryczych rozwązań rówań róŝczowych uzysaych we wcześejszych rozdzałach. Jedye dla elowych rówań róŝczowych dodatowo wyorzystao metodę Taylora dla duŝych czasów, dla tórych zostały wyoywae oblczea. W rozdzale zawarte są zawarte wos asuwające sę po dooau wszystch oblczeń. Do pracy zostały dołączoe róweŝ, w postac załączów, ody źródłowe wyorzystaych metod umeryczych (metoda oloacj metoda Taylora). 8

7 Aradusz Atcza RóŜczowe rówaa ruchu Ruch to zjawso polegające a zmae w czase połoŝea tego cała, względem ego cała, tóre umowe przyjmuje sę jao eruchome (pozostające w spoczyu) []. Rys. W płasej przestrze Euldesowej, w prawosrętym uładze współrzędych Oxyz (Rys.), tóry tratujemy jao eruchomy, poło- Ŝee poruszającego sę putu moŝa oreślć przez zmaę współrzędych x,y,z w czase t, czyl są oe pewym fucjam czasu t: xf(t) yf(t) (.) zf3(t) Rówaa (.) azywa sę rówaam ruchu putu. JeŜel eruchomy począte uładu współrzędych O połączymy z ruchomym putem A za pomocą wetora r OA, azywaego wetorem połoŝea, to wetor te zaleŝy od czasu jest pewą fucją wetorową: r r(t) (.) Sładowe taego wetora są rówe: rxx(t), ryy(t), rzz(t). PowyŜszy wetor moŝa teŝ przedstawć za pomocą sumy geometryczej: r x(t) + j y(t) + z(t) Zając fucje x(t), y(t) z(t), mamy wszyste formacje o ruchu putu (tor, prędość, przyspeszee). 9

8 Aradusz Atcza Prędość Mając dwa puty A B aleŝące do tego samego toru, putow A przypsay jest wetor r(ta), putow B wetor r(tb) to prędość jest gracą lorazu róŝcowego[8]: df r( tb ) r( t A ) dr v lm tb ta t t dt RóŜczując rówae ruchu otrzymujemy wetor prędośc: v v + v j + v x y z dx( t) dy( t) dz( t) gdze v x x& ( t), v y y& ( t), v z z& ( t). dt dt dt B A Przyspeszee Prędość z jaą porusza sę oec wetora v po hodografe azy- df dv d r wa sę przyspeszeem: a. dt dt Czyl: a a + a j + a, x y z dv d x dv x y d y dv z d z gdze a x, a y, a z. dt dt dt dt dt dt PoewaŜ wetory a v a ogół e są rówoległe to przyspeszee posada dwe sładowe: a a t dv τ styczą do toru, dt v gdze τ - wetor styczy, - wetor ormaly, ρ - promeń rzywzy. ormalą, ρ dr ds 0

9 Aradusz Atcza. Rówaa Lagrage a II rodzaju W tej częśc wyprowadzmy rówaa ruchu uładu materalego eswobodego we współrzędych uogóloych ezaleŝych[]. Weźmy pod uwagę uład o stopach swobody, srępoway węzam holoomczym, dwustroym dosoałym, tórego ofgurację w aŝdej chwl t opsują współrzęde uogóloe,,. Cetrale rówae Lagrage a we współrzędych uogóloych przyjmuje postać. + Q E p t d d δ δ δ (..) Na mocy zwązu N j j j j N j j j j E p & & & v m v v v m mamy N j j j j N j j j j E p & & & v m v v v m (..) oraz ( ) t E E & K & K,,,,,,, a węc + E E E & & δ δ. W zwązu z powyŝszym wzór (..) moŝa zapsać + + Q E E E t d d δ δ δ δ & &. Po zróŝczowau lewej stroy rówośc przestaweu symbol waracj δ róŝcz ) d (d d δ δ [] otrzymujemy: 0 d d Q E E t δ & (..3) Z załoŝea, Ŝe węzy są holoomcze współrzęde,, są ezaleŝe, wya fat, Ŝe δ δ,, K teŝ są ezaleŝe. W zwązu z powyŝszym Q E E t,,, d d K & (..4) Zwąz (..4) azywae są rówaam Lagrage a II rodzaju dla uładów holoomczych we współrzędych uogóloych. Lczba tych zwązów rówa jest lczbe swobody.

10 Aradusz Atcza Gdy sły są potecjale, wyorzystujemy cetrale rówae Lagrage a w postac d dt p δ δl oraz borąc pod uwagę: p L,, K (..5) &, poewaŝ E E ( t,, K, ) ja wyŝej dostajemy: d L dt & e zaleŝy od p p & ( σ K,, ), rozumując L 0,, K, (..6) Zwąz (..6) staową rówaa Lagrage a II rodzaju dla uładów holoomczych, dla sł potecjalych.. Kaocze rówaa Hamltoa Pędy uogóloe polczoe przy pomocy wzorów (..), wyorzystując ogóly wzór a eergę etyczą [] E E K j, & & j (..) j ( t,,, ) + B ( t,, K, ) & + A ( t,, K ) przyjmuje postać: E p j A & j j + B j, j, K, & j j (..) Dla eosoblwej macerzy współczyów { A j } steje przeształcee odwrote: j & j aj p j + b j, j, K, (..3) Zmee ( t,,, p, K, p ) ( t,, ), p K to zmee aocze (zmee Hamltoa). Przestrzeń zmeych ( t,, p) to przestrzeń staów, a przestrzeń (, p) - przestrzeń fazowa. RozwaŜmy welość wyraŝoą wzorem: K p & E ( t,, K,, &, K, & ), (..4)

11 Aradusz Atcza Zastępując prędośc uogóloe ze wzoru (..4) zwązam (..3) dostajemy fucję zmeych ( t,, p) : K( t,, p) p ~ & p ~ & E ~ E ( t,, K,, ~ &, K, ~ & ) ( t,, K,, p, K, p ) (..5) ozaczea ~ & (, σ K ) E ~ wsazują Ŝ prędośc uogóloe zastąpoo lub aleŝy zastąpć pędam uogóloym (..3) Dla sł dzałających a uład posadających eergę potecjalą postac E E ( t,, K, ) p wprowadzamy dodatową welość H oreśloą wzorem: p H K + E p p & E + E p & L, (..6) p L E + E p to fucja Lagrage a. Fucja H to fucja Hamltoa (hamltoa). Zastępując prędośc uogóloe we wzorze (..6) pędam uogóloym za pomocą (..3) otrzymujemy fucję Hamltoa jao fucję zmeych ( t,, p) : H ( t,, p) p & L, (..7) JeŜel hamltoa wyraŝoy jest w zmeych aoczych wtedy ~ H( t,, p) E + E E cost, (..8) p opsuje zasadę zachowaa całowtej eerg mechaczej uładu w zmeych aoczych. Rówaa ruchu uładów holoomczych w zmeych aoczych opsae są zwązam (szczegółowe wyprowadzee moŝa zaleźć w [] str. 44): d dt K dp K ~, + Q,, K (..9) p dt, Dla sł uogóloych posadających eergę potecjalą w postac p p ( t,, K ) E E, mamy 3

12 Aradusz Atcza 4 p E E Q Q p p,, 0,, ~ K (..0) Rówaa (..9) wyglądają astępująco: ( ) ( ) E K t p p E K t p p,,, d d, d d K + + (..) Na mocy wzoru (..6) rówaa te przyjmują ostateczą postać: H t p p H t,,, d d, d d K (..) Rówaa (..) oszą azwę aoczych rówań Hamltoa dla uładów holoomczych.

13 Aradusz Atcza 3 Ułady o jedym stopu swobody 3. Stope swobody RozwaŜmy cało sztywe (odległość pomędzy poszczególym putam e ulega zmae) zajmujące w pewej chwl względem przyjętego eruchomego uładu odesea Oxyz połoŝee przedstawoe a rysuu Rys. 3. []. PołoŜee to moŝa oreślć podając połoŝee trzech dowolych putów tego cała e aleŝących do jedej prostej. Rys. 3. PołoŜee putów A, B C moŝa oreślć za pomocą współrzędych tych putów w prostoątym uładze współrzędych Oxyz. Współrzęde te ozaczoe jao x A, y A, z A, x B, y B, z B oraz x C, y C, z C muszą spełć zaleŝośc, tóre wyają ze sztywośc cała, tz. odległośc rozwaŝaych putów są stałe, ezaleŝe od połoŝea cała w przestrze: ( x A xb ) + ( ya yb ) + ( z A zb ) r ( x A xc ) + ( ya yc ) + ( z A zc ) r ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) r B C gdze r AB, AC B C B C r, r ozaczają długośc odców AB, AC, BC. BC AB AC BC (3..) W zwązu z tym, Ŝe dzewęć współrzędych oreślających poło- Ŝee putów A, B C mus spełać trzy rówaa (3..), dlatego tyl- 5

14 Aradusz Atcza o sześć współrzędych przyjąć moŝa dowole, a trzy pozostałe trzeba wyzaczyć z wyŝej wymeoych rówań. Wya stąd węc, Ŝe dla oreślea w przestrzee dowolego swobodego cała sztywego potrzeba sześć ezaleŝych parametrów. Lczbę tych ezaleŝych parametrów ezbędych dla oreślea chwlowego połoŝea cała w przestrze azywa sę lczbą stop swobody cała. PowyŜsze rozwaŝaa prowadza do wosu, Ŝe aby opsać uład o jedym stopu swobody wystarczy jeda współrzęda ezaleŝa. 3. Prosty oscylator harmoczy Oscylatorem harmoczym azywamy uład dla tórego eergę etyczą moŝa wyrazć za pomocą wzorów p E, V a ( ) c, gdze a c są stałym. Dla taego uładu fucję Hamltoa zapszemy w postac: (3..) p H + c a, (3..) Podstawając fucję Hamltoa (3..) do rówaa (..) otrzymujemy: p &, p& c, (3..3) a Gdy otrzymae rówae podzelmy stroam uzysamy rówae róŝczowe trajetor fazowej. Rozdzelając zmee całując dp ac d p otrzymujemy p ac + C. Dla oscylatora harmoczego trajetore fazowe przyjmują postać elps. Stablym połoŝeem rówowag oscylatora jest począte uładu współrzędych, poewaŝ fucja Hamltoa w tym puce przyjmuje ajmejsza wartość (Rys. 3.) [8]. 6

15 Aradusz Atcza Rys. 3. Z uładu rówań (3..3) wya, Ŝe a & + c 0, (3..4) lub && + 0, c a (3..5) Ruch oscylatora harmoczego opsay jest rówaem róŝczowym lowym drugego rzędu o stałych współczyach. Rówae ruchu (3..5) da sę otrzymać tworząc potecjał etyczy Lagrage a: L & ( a c ) podstawając L do rówaa Lagrage a (..6) (3..6) WyaŜmy, Ŝe uład ja a Rys. 3.3 sładający sę z masy m spręŝyy o stałej c [N/m] jest przyładem oscylatora harmoczego. Rys. 3.3 JeŜel będze wychyleem uładu z połoŝea rówowag to eerga spręŝysta sumulowaa w spręŝye przy tym wychyleu wyese V c, (3..7) 7

16 Aradusz Atcza a eerga etycza E m & (3..8) Pęd uogóloy p m& (3..9) Z wzoru c wyzaczamy podstawamy do wzoru b otrzymujemy: p E (3..0) m Ja wdać uład jest oscylatorem harmoczym, poewaŝ c m są stałe. Wyprowadźmy teraz rówae róŝczowe ruchu dla wahadła matematyczego, tóre jest ajpopularejszym przyładem uładu o jedym stopu swobody (Rys. 3.4). Rys. 3.4 Eerga etycza wyos E & ml (3..) gdze ąt oreślający połoŝee wahadła. Eergę potecjalą uładu przedstawć moŝa jao ( cos ) V mgl (3..) 8

17 Aradusz Atcza Podstawając potecjał etyczy Lagrage a z powyŝszych rówań do..6 otrzymamy & & + mgl s 0 (3..3) PowyŜsze rówae jest rówaem elowym jest słusze dla pełego zaresu wychyleń wahadła. Aby otrzymać jego lowe przyblŝee (rówae obowązujące dla małych drgań), rozwemy fucję V() w szereg: V mgl + + K mgl (3..4) Przeprowadzając poowe przeształcea ( ) zameając wzór (3..) wyraŝeem (3..4) otrzymamy lowe rówae wahadła & & + mgl 0 (3..5) Wyzaczmy teraz rówae róŝczowe ruchu uładu sładającego sę z pręta spręŝystego, sztywo utwerdzoego a jedym ońcu, z masą m o momece bezwładośc J zamocowaą a drugm ońcu (Rys. 3.5) [8]. Masa moŝe wyoywać ruch doooła os pręta (wahadło torsyje). Rys

18 Aradusz Atcza Eerga potecjala zaumulowaa w sręcaym pręce wyese V c, gdze jest ątem obrotu bryły, c stałą zaleŝą od wymarów geometryczych oraz od wymarów pręta wyos GI 0 c, G moduł l spręŝystośc postacowej, I 0 geometryczy beguowy momet bezwładośc poprzeczego ołowego przeroju pręta, l - długość pręta. Bryła zajdująca sę w ruchu posada eergę etycza o wartośc E p J J&. Rówaem róŝczowym ruchu bryły jest węc rówae (3..5) w tórym c J. W poazaych wyŝej przyładach pojawło sę rówae róŝczowe oscylatora harmoczego & & + mgl s 0. Rozwązaem tego rówaa jest ( t ) ( 0) cos( t ) ( 0) & + s( t) (3..7) gdze ( 0) ( 0) w chwl t 0. & to olejo wychylee z połoŝea rówowag prędość Dołade wyprowadzee rówaa (3..7) zaleźć moŝa w [8] str Pozostałe przyłady uładów o jedym stopu swobody Wyzaczmy rówae ruchu drgań swobodych tłumoych oporem ośroda uładu ja a Rys. 3.6 [7], (opór ośroda schematycze ozaczoo tłumem). ZałóŜmy, Ŝe opór jest wprost proporcjoaly do prędośc R &. RozwaŜay uład róŝ sę od omawaych powyŝej, występowaem sły ezachowawczej. Sutem tego jest pojawee sę 0

19 Aradusz Atcza Rys. 3.6 po prawej stroe rówaa Lagrage a II rodzaju sły Q &. Dyamcze róŝczowe rówae ruchu będze postac m & + & + c 0 (3.3.) gdze jest stałą tłumea, c stałą spręŝyy, a m masa

20 Aradusz Atcza 4 Metody umerycze rozwązywaa rówań róŝczowych 4. Metoda Eulera RozwaŜmy przedzał a, b w tórym chcemy zaleźć rozwązae zagadea początowego y f ( t, y) y( a) y0 [3]. Ne zajdujemy fucj róŝczowalej spełającej zagadee początowe. W zama tworzymy zbór putów {( )} t, wyorzystujemy je do przyblŝea (tj. y y( t ) y ). Na początu wyberamy odcęte puów. Aby ułatwć sobe zadae dzelmy przedzał a, b a rówych podprzedzałów b a t a + h, h,, K, gdze h azywamy roem. Teraz otrzymujemy wartośc przyblŝoe ( t, y) w przedzale t0, t, z y( t0 ) y0 (4..) y f (4..) Załadamy, Ŝe y ( t ), y ( t ) y ( t) Taylor a do rozwęca fucj ( t ) są cągłe wyorzystujemy twerdzee y woół putu t t0. Dla aŝdej wartośc t steje wartość c, tóra leŝy pomędzy t 0 t ta Ŝe: y ( t ) y( t ) + y ( t )( t t ) ( c )( t t ) y (4..3) Kedy y ( t ) f ( t y( )) 0 0, t0 h t t0 otrzymujemy wyraŝee dla y ( t ): y ( t ) y( t ) + hf ( t, y( t )) podstawamy do rówaa (4..3), ( c ) y h (4..4) JeŜel h jest dostatecze małe, moŝemy pomąć sład drugego stopa otrzymujemy y ( c ) y h y0 + hf ( t0, y0 ) +, (4..5) co staow przyblŝee Eulera. Proces jest powtarzay tworząc cąg putów, tóre przyblŝają rzywą rozwązaa y y( t ). Ogóly ro dla metody Eulera

21 Aradusz Atcza ( t, y ),,, t + t + h, y + y + hf K (4..6) 4. Metoda Ruge-Kutta Metoda Ruge-Kutta jest jedą z ajczęścej wyorzystywaych umeryczych metod rozwązywaa rówań róŝczowych [3]. Występuje oa w welu odmaach zaleŝych od stopa metody. Najpopularejszą z ch jest metoda Ruge-Kutta 4-go stopa. Staow oa dobry wybór poewaŝ jest dosyć dołada, stabla łatwa do zamplemetowaa. Metoda oparta jest a oblczau y + według schematu: ( f + f + f + f ) h 3 4 y + y + (4..) 6 gdze f, f, f 3 f 4 przyjmują postać f f f f 3 4 f ( t, y ), h h hf t +, y + f, h h hf t +, y + f, hf ( t + h, y + hf ), 3 (4..) gdze h jest roem całowaa. Metoda startuje z waruu początowego ( t,y 0 0 ) Iym przyładem metody RK jest ejawa (uwłaa) metoda IRK (Implct Ruge-Kutta). Metoda IRK -go stopa jest zdefowaa astępująco y y y + y + h s j + h α f s j j β f ( t + γ H, y ), j ( t + γ H, y ) j j j j,0,, Ks, gdze h ro całowaa obejmuje wartośc średe t,,,s, oraz (4..3) α L j t j 0 L ( t ) dt, β L ( t ) j 0 ( t )- weloma Lagrage' a w putach γ 0, K, γ s dt, (4..4) 3

22 Aradusz Atcza 4.3 Błędy metod Aby wyazać edosoałość wyŝej opsaych metod, rozwaŝmy rówae róŝczowe perwszego rzędu [4]: y y t 0y e ( 0) t 0,3 (4.3.) Dołade rozwązae powyŝszego zagadea wyos y e t *. Numerycze rozwązae zostało przeprowadzoe przy uŝycu programu Mathematca [6] wyorzystując omputer lasy PC. Do rozwązaa przedstawoego a Rys.4. wyorzystao trzy metody: automatyczą (program automatycze wybera metodę pomędzy Adams lub BDF ), Eulera Ruge-Kutta, z podwóją precyzją..5.5 auto 0.5 Euler -0.5 RK y Rys 4. Wy przedstawoo róweŝ w tabel poŝej. Ja moŝa zauwaŝyć Ŝada z metod e daje dobrego rozwązaa dla t > 4

23 Aradusz Atcza t Auto Euler RK y*(rozwązae dołade) 0 0,5 0, , , , ,5 0, , , , ,75 0,4746 0,4590 0, , ,3690 0, , ,367879,5 0, ,688 0,8663 0,86505,5 0,3970-3,7847 0,445 0,33,75,3959-9,704 0, , , ,4 0,3349 0,35335,5 306, ,9, ,05399,5 3735, ,94 0,08085, ,6-6,3767x ,7 0, ,756 x ,66 0, Podobe przedstawa sę sytuacja podczas rozwązywaa rówaa wahadła matematyczego (3..3) w postac y y ( t) + 0s( y( t )) ( 0), y( 0) 0 0 (4.3.) Rozwązae zostało przedstawoe w postac wyresów y(t) wyresów przestrze fazowej: Metoda automatycza t 0, t Rys 4. Rys 4.3 5

24 Aradusz Atcza Metoda Eulera t 0, t Rys 4.4 Rys 4.5 Metoda RK t 0, t Rys 4.6 Rys 4.7 Ja wdać a powyŝszych wyresach, Ŝada z metod umeryczych e daje rozwązaa doładego. Dla duŝych t rozwązae rozjeŝdŝa sę od wyu rzeczywstego, tórym ja dla uładów hamltoowsch powa być elpsa. Przy czym ajgorsze rezultaty uzysao przy uŝycu metody Eulera (Rys 4.4 Rys 4.5). RozwaŜmy teraz rówae róŝczowe drugego rzędu [] y y 4s y( 0) y (0) ( t) + 5cos( t ) (4.3.3) Doładym rozwązaem tego rówaa jest fucja ( t ) cos( t ) y* s. 6

25 Aradusz Atcza 6 4 auto Euler ERK - y t Rys 4.8 Na rysuu 4.8 poazao wyresy rozwązaa doładego rezultatów oblczeń umeryczych. MoŜa zaobserwować, Ŝe dla ońcowego przedzału czasu uzysae wy zacze róŝą sę pomędzy sobą e porywają sę z rozwązaem doładym. PowyŜsze przyłady potwerdzają oeczość weryfowaa rezultatów oblczeń, a przyład poprzez powtórzee oblczeń z uŝycem ej metody, poprzez zwęszee precyzj oblczeń lub wyoae oblczeń a ej maszye (omputerze). 7

26 Aradusz Atcza 5 Metody weryfowaa rozwązań 5. Wpływ waruów początowych Numerycze rozwązae rówaa róŝczowego w Ŝade sposób e jest eomyle. Rówae róŝczowe często jest bardzo wraŝlwe a waru początowe, błędy zaorągleń czy teŝ błędy metod. Dlatego trzeba zachować duŝą ostroŝość rozwązując tae rówae. Rozwązae moŝe być oczewae dla małych t, ale często awet dla średch t, uŝywając stadardowych maszyowych precyzj (przewaŝe 6 cyfr, lczba rzeczywsta typu double) są oe ewystarczające do uzysaa marodajego rozwązaa. Dobrym przyładem jest rówae Duffga [5]: y y 3 ( t ) + 0,5y ( t) y( t ) + y( t ) 0,3 cos( t) ( 0), y( 0), t 0, 00, (5..) Isteje wele tucyjych metod sprawdzea czy oblczea są poprawe (przelczee ze zwęszoą precyzją lub a ym omputerze), aczolwe właścwe podejśce do problemu wymaga podstawowego zrozumea ja dzała metoda. Procedury umerycze zazwyczaj przebegają ro za roem, ale w sposób adaptacyjy, starając sę w aŝdym rou spełć pewą tolerację błędu. NDSolve (wbudowaa fucja programu Mathematca ), a przyład, sprawdza tą toleracje dla 6-cyfrowej precyzj w aŝdym rou. Te typ błędu os azwę błędu obcęca. Teraz edy wy z perwszego rou ma doładość do 6 cyfr, edoładość moŝe rosąć edopuszczale przez awet tysące olejych roów. Łatwym sposobem sprawdzea powyŝszego jest zaburzee waruu początowego p.: o (5..) dla t 00: ( 0) y( t ) y -0, ( 0) + 0 y -, Rozwązae rówaa 8

27 Aradusz Atcza PowaŜa ezgodość wsazuje, Ŝe róŝca rzędu 6 0 moŝe prowadzć do radyale róŝych wyów. Wyres przedstawoy a Rys. 5. wsazuje, Ŝe rozwązae jest dobre dla wszystch t do t Rys. 5. Ne załócoe rozwązae jest poazae grubą szarą lą [5] Zaburzee rzędu 6 0 prowadz do rozwązaa y ( 00) 0, Jest ta poewaŝ zaburzee jest pomjale w stosuu do loalego błędu obcęca, węc jest sutecze zguboe. Aby test mał ses, zaburzee mus być tego samego lub węszego stopa co loaly błąd z obcaa. W programe Mathematca moŝemy zmeć loaly błąd algorytmu poprzez zmaę doładośc (AccuracyGoal). Zwęszee doładośc do 0 cyfr, powoduje wydajejsze dzałae algorytmu, co uwdacza sę w zgodośc rozwązań do t 80, ja przedstawa Rys Rys. 5. Zwęszoa doładość prowadz do zgodośc rozwązań do t 80 [5] Podobe zachowuje sę przyład z rozdzału czwartego (4.3.3). Poowe rozwązae tego przyładu dla waruów początowych za- 9

28 Aradusz Atcza łócoych wartoścą rzędu zaobserwować moŝa a wyrese 6 0, prowadz do pogorszea wyów, co 6 4 auto Euler ERK - y t Rys. 5.3 Załócee zmejsza przedzał doładego rozwązaa [5] 5. Precyzja, doładość, sala Mathematca jest w stae zaorąglć lczę rzeczywstą do dowolej lczby zaów [6]. Ogóle, precyzja lczby rzeczywstej to lczba cyfr dzesętych, tóre są tratowae jao zaczące w oblczeach. Doładość to lczba cyfr, tóra pojawa sę a prawo od zau (rop, przeca) dzesętego. Sala, to lczba cyfr zajmująca mejsce z lewej stroy zau dzesętego. Budowę lczby obrazowo prezetuje Rys. 5.3 õúúúúúúúúúúúúúúúú úúúúúúúúúùúúúúúúúúúúúúúúúú úúúúúúúû x x x s Æ.x s+ x s+ x s+a Æ Sala Precyzja Rys. 5.3 Doładość PrzyblŜoa lczba rzeczywsta zawsze ese ze sobą epewość co do jej wartośc, zwązaą z lczbam poza tym zaym. Precyzja ustala 30

29 Aradusz Atcza marę względego rozmaru tej epewośc. Doładość daje marę bezwzględego jej rozmaru. Program Mathematca został ta stworzoy, Ŝe jeŝel pewa lczba x posada epewość ρ, wtedy jej prawdzwa wartość moŝe leŝeć w terwale o rozmarze ρ od x ρ do x + ρ. Gdy lczbę przyblŝamy z doładoścą a to jej epewość jest rzędu a 0, podczas gdy ezerowe przyblŝee lczby z precyzją p, posada epewość zdefowaą jao x p 0. Wya stąd, Ŝe wszele oblczee wyoywae w Mathematc e, dla zadaych precyzj lub doładośc lczb wyoywae są w arytmetyce terwałowej. Zbór terwałów a os lczb rzeczywstych jest zdefoway jao {[ a] [ a a] a, a R a a} IR,, [0]. JeŜel a a wtedy [ ] wtedy [ a ] jest eujemy ([ ] 0 a jest terwałem putowym; jeŝel a 0 a ); jeŝel a a a jest symetryczy. Dwa terwały [ a ] [ b ] są rówe jeŝel Nech [ a ] [ b] IR, o { +,,*,/ } zdefowae [0] jao: [ ] o [ b] { x o y x [ a], y [ b] }, 0 [ b] gdy o / wtedy [ ] a b a b.. Operacje arytmety terwałowej są a (5..) co moŝe być zapsae za pomocą rówowaŝych wzorów (pomjamy o w zapse) [ a ] [ b] [ a + b, a + b], + (5..) [ a] [ b] [ a b, a b], (5..3) a b [ m ab, ab, ab, ab,max ab, ab, ab, ab ], (5..4) [ ][ ] { } { } [ a] [ b] [ a, a][ / b, / b], 0 [ b] /. (5..5) Defcja (5..) wzory ( ) mogą być rozszerzoe a wetory macerze. JeŜel sładowe wetora lub macerzy są terwałam to mamy wetor lub macerz terwałową. Za pomocą symbol ozaczamy zwyczaje zawerae zborów (luzje). Mamy luzje terwałów 3

30 Aradusz Atcza [ a] [ b] a b a b odpowedo [ a ] [ b] a > b a < b (5..6) (5..7) Zdefujmy jeszcze oleje welośc dla terwałów [0] - szeroość w( [ a] ) a a, - put środowy [ a] - moduł [ ] max{, }, (5..8) ( ) ( a a) /, m + (5..9) a a a (5..0) Dzałaa w arytmetyce terwałowej są włącze mootocze. To jest, dla terwałów rzeczywstych [ a ], [ a ], [ b ] [ b ] ta Ŝe, [ a] [ ] [ b] [ b ], [ a] o [ b] [ ] o [ ], { +,,*,/ } a b o (5..) Mmo Ŝe, dodawae moŝee terwałów jest łącze, prawo rozdzelośc a ogół e utrzymuje sę. To jest, łatwo moŝemy aleźć trzy terwały [ a ], [ b ] [ c ] dla tórych [ a ]([ b] [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c ] +. Jaolwe, dla aŝdych trzech terwałów [ a ], [ b ] [ c ], prawo subdystrybucj [ a ]([ b] [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c ] + utrzymuje sę. Poadto, steją szczególe przypad, w tórych prawo rozdzelośc [ a ]([ b] + [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c] utrzymuje sę w mocy. Na przyład, dla [ b ][ c ] 0, gdy [ ] a a jest terwałem putowym, lub gdy [ b ] [ c ] są symetrycze. W szczególośc, dla α R, tóre moŝe być terpretowae jao terwał putowy [ α, α ] terwałów [ b ] [ c ], mamy α ([ b] [ c] ) α[ b] + α[ c] Arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych Model arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych w Mathematce ( Sgfcace Arthmetc ) jest odmaą arytmety terwałowej, gdze pojedycza lczba zmeoprzecowa jest wyorzystaa do oreślea błędu [9]. Kedy lczba cyfr zaczących e jest za 3

31 Aradusz Atcza mała, te model dołade odpowada arytmetyce terwałowej, podczas gdy jego wydajość jest węsza. Model te moŝe być uŝyty do sprawdzea uwaruowaa algorytmów dlatego daje dobre wsazaa, le cyfr rozwązaa jest godych zaufaa. Te mechazm posada waŝe zaczee, szczególe w doładym oreśleu rozchodzea sę błędu zaorąglea w oblczeach umeryczych. Model uŝyty dla arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych jest astępujący Precyzja[x] Sala[x] + Doładość[x] Ja juŝ wspomao w poprzedm podrozdzale, aŝda duŝa lczba zmeoprzecowa w rzeczywstośc jest pseudo-terwałem z błędem a 0, gdze a to Doładość. W te sposób doładość jest ujemą wartoścą rozmaru błędu. Doładość Precyzja reprezetują bezwzględą względą salę błędu. Błąd bezwzględy to log err, a błąd względy err log x. Od edy doładość precyzja są właścwe całem w struturze duŝych lczb, sala moŝe być od razu stwerdzoa jao róŝca obydwu welośc. Wartość precyzj jaej moŝemy sę spodzewać w wyu, róŝ sę dla aŝdej fucj. Netóre fucje mogą podeść wartość precyzj. Sposób w ja błąd sę propaguje, moŝe być zlustroway za pomocą lorazu róŝczowego, tóry moŝemy zapsać jao [9] ( z ) f ( z ) z f (5.3.) gdze reprezetuje operator róŝcowy. Iloraz róŝczowy jest lową aprosymacją szacującą warację fucj. Jao przyład, fucja błędu Erf potraf dać wy, tóry jest bardzej precyzyjy Ŝ wartość wejścowa z N[0,0] Erf[z]

32 Aradusz Atcza Sala błędu wyos 9. Główym celem Sgfcace Arthmetc jest prawdłowe oszacowae lczby poprawych cyfr w wyu. Te model arytmety dzała poprawe dbając jedocześe, aby długość przedzału reprezetującego błąd była stosuowo mejsza do rozmaru reprezetowaej lczby. W tym paragrafe przedstawoo ogóly zarys arytmety w Mathematce, ze względu a jej duŝą złoŝoość. Węcej formacj a temat SgfcaceArthmetc moŝa zaleźć w [6] oraz w [9]. 34

33 Aradusz Atcza 6 Metoda oloacj Metoda oloacj jest zaa od bardzo dawa, a jej schemat wygląda astępująco [4]. RozwaŜmy zagadee początowe (6.) '( t ) f ( t, y( t) ) ( ), y y t 0 y 0, m m [ t b] R R f : 0, (6.) Dla ułatwea opsu metody załadamy, Ŝe m. Wartość jest dobraa ta, aby wartośc t0, t,,t- zalazły sę w dzedze całowaa. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe perwszy put zajduje sę a początu przedzału czasowego, ale t- e oecze zajduje sę a jego ońcu. W zwązu z powyŝszym przyblŝoe rozwązae y(t) jest oblczae jao weloma P ( t ) spełający (6.) w aŝdym puce t0, t,,t-. To jest ( t ) f ( t, P ( t )) ( ), P P t 0 y 0, 0,, K, JeŜel weloma P ( t ) jest zdefoway jao: (6.) P t) a t + a t + K + a t + a, (6.3) ( 0 Wtedy jego współczy są oblczae jao uład + rówań (6.). Uład te jest lowy lub elowy w zaleŝośc od tego czy fucja ( t y( t )) f, jest lowa lub elowa. UŜywając poŝszych ozaczeń: U t t t 0 M ( ) ( ) ( a a, a ) T 0,, M t t 0 ( ) t K t K K t t M 0 A K, uład (6.) moŝa zapsać jao: U A P 0 ( t ) f y, 0 f ( t, P ( t )) o ( t, P ( t )) M o M (6.4) (6.5) Rozwązae uładu (6.5) daje współczy a przyblŝaego welomau. Drug elemet uładu wymaga wylczeń fucj f ( t, y) 35

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14)

INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14) INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY Załad Teletrasmsj Tech Optyczych (Z-4) Aalza badaa efetów zachodzących w śwatłowodowym medum trasmsyjym degradujących jaość trasmsj w systemach DWDM o dużej

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem.

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem. . Hofma Wyłady z ermodyam techczej chemczej Wydzał Chemczy PW erue: echologa chemcza sem.3 215/216 WYKŁAD 3-4. D. Blase reatorów chemczych E. II zasada termodyam F. Kosewecje zasad termodyam D. BILANE

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia obliczania zwarć w systemie elektroenergetycznym

Wybrane zagadnienia obliczania zwarć w systemie elektroenergetycznym Systemy eletroeergetycze Wyład_12 Wybrae zagadea oblczaa zwarć w systeme eletroeergetyczym Opracował: : Jausz Broże Katedra Eletrotech Eletroeergety AGH Lteratura 1. Bajore J.: Podstawy eletroeergety termoety.

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

Spis treści ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5

Spis treści ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5 Ss treśc SPIS TREŚCI WYKŁAD 5 ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5 WYKŁAD 9 TESTY PIERWSZOŚCI I LICZBY PSEUDOPIERWSZE 9 LICZBY PSEUDOPIERWSZE EULERA WYKŁAD

Bardziej szczegółowo

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP KATARZYNA BŁASZCZYK BOGDAN RUSZCZAK Poltecha Opolsa WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP Wstęp Esploraca daych (ag. data g) zaue sę efetywy zadowae ezaych dotychczas

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 6. Zasada zachowania pędu. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 6. Zasada zachowania pędu. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Wykład FIZYKA I 6. Zasada zachowaa pęd Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Istytt Fzyk Poltechk Wrocławskej http://www.f.pwr.wroc.pl/~wozak/fzyka.htl Dr hab. ż. Władysław Artr

Bardziej szczegółowo

Wybór projektu inwestycyjnego ze zbioru wielu propozycji wymaga analizy następujących czynników:

Wybór projektu inwestycyjnego ze zbioru wielu propozycji wymaga analizy następujących czynników: Wybór projeu wesycyjego ze zboru welu propozycj wymaga aalzy asępujących czyów:. Korzyśc z przyjęca do realzacj daego projeu. 2. Ryzya z m zwązaego. 3. Czasu, óry powoduje zmaę warośc peądza. Czy czasu

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie danych meteorologicznych

Przetwarzanie danych meteorologicznych Sps teśc I Rozważaa ogóle 5 Pzetwazae daych meteoologczych Notat z wyładu pokhamaa Wyoała: Alesada Kadaś I Iomacja odowae 5 I Poces pzetwazaa daych 5 I Aalza 6 I Syteza 7 I3 Edycja wzualzacja 7 I3 Dae

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów Fzyka, techologa oaz modelowae wzostu kyształów Stasław Kukowsk Mchał Leszczyńsk Istytut Wysokch Cśeń PA 0-4 Waszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: 88 80 44 e-mal: stach@upess.waw.pl, mke@upess.waw.pl Zbgew

Bardziej szczegółowo

Kazimierz Myślecki. Metoda elementów brzegowych w statyce dźwigarów powierzchniowych

Kazimierz Myślecki. Metoda elementów brzegowych w statyce dźwigarów powierzchniowych Kazmerz Myśleck Metoda elemetów brzegowych w statyce dźwgarów powerzchowych Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej Wrocław 4 Recezec Potr KONDERLA Ryszard SYGULSKI Opracowae redakcyje Aleksadra WAWRZYNKOWSKA

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI ĆWICZENIE 0 OPTYMALIZACJA STUKTUY CZUJKI TEMPEATUY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI Cel ćwczea: zapozae z metodam optymalzac wewętrze struktury mozakowe czuk temperatury stosowae w systemach sygalzac pożaru; wyzaczee

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch t, y zde mogło yć rozwąze przez omputer. Rozwązywe ułdów rówń lowych.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęca wyrówawcze AJD w Częstochowe; 2009/200 Irea Fdyte PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z KOMBINATORYKI Nech X { x x x } =, 2, będze daym zborem -elemetowym Z elemetów tego zboru a róże

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia optymalizacji kosztów w projektowaniu gazowych sieci rozdzielczych

Zagadnienia optymalizacji kosztów w projektowaniu gazowych sieci rozdzielczych Zagadea optymalzacj kosztów w projektowau gazowych sec rozdzelczych Autorzy: dr Ŝ. ech Dobrowolsk, m Ŝ. Wtold Maryka ( Ryek Eerg 6/200) Słowa kluczowe: rozdzelcza seć gazowa, stacje gazowe redukcyje, gazocąg

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH Zdzsław IDZIASZEK 1 Mechatrocs ad Avato Faculty Mltary Uversty of Techology, 00-908 Warsaw 49, Kalskego street r zdzaszek@wat.edu.pl Norbert GRZESIK Avato Faculty Polsh Ar Force Academy, 08-51 Dębl, Dywzjou

Bardziej szczegółowo

Eugeniusz Rosołowski. Komputerowe metody analizy elektromagnetycznych stanów przejściowych

Eugeniusz Rosołowski. Komputerowe metody analizy elektromagnetycznych stanów przejściowych Eugenusz Rosołows Komputerowe metody analzy eletromagnetycznych stanów przejścowych Ocyna Wydawncza Poltechn Wrocławsej Wrocław 9 Opnodawcy Jan IŻYKOWSKI Paweł SOWA Opracowane redacyjne Mara IZBIKA Koreta

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI NADWOZI POJAZDÓW SZYNOWYCH PRZY UśYCIU ALGORYTMÓW MES.

OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI NADWOZI POJAZDÓW SZYNOWYCH PRZY UśYCIU ALGORYTMÓW MES. prof. dr hab. Ŝ. Tadeusz Uhl AGH Katedra Robotyk Dyamk Maszy prof. dr hab. Ŝ. Adrzej Chudzkewcz PW Wydzał Trasportu mgr Ŝ. Ireeusz Łuczak EC Egeerg mgr Ŝ. Grzegorz Lasko AGH Katedra Robotyk Dyamk Maszy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII RODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW OLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA RACOWNIA DETEKCJI ROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Ć W I C Z E N I E N R J-6 BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI OMIARÓW

Bardziej szczegółowo

PROBLEMY MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO PRĄDNIC SYNCHRONICZNYCH WZBUDZANYCH MAGNESAMI TRWAŁYMI

PROBLEMY MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO PRĄDNIC SYNCHRONICZNYCH WZBUDZANYCH MAGNESAMI TRWAŁYMI Taeusz J. SOBCZYK PROBEMY MODEOWANIA MATEMATYCZNEGO PRĄDNIC SYNCHRONICZNYCH WZBUDZANYCH MAGNESAMI TRWAŁYMI STERSZCZENIE W racy rzestawoo etoyę tworzea tzw. obwoowych oel ateatyczych aszy sychroczych wzbuzaych

Bardziej szczegółowo

4. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH (MES) W AKUSTYCE

4. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH (MES) W AKUSTYCE 4. ZAOOWAIE E W AUYCE Astya w bdowtwe. 4. ZAOOWAIE EODY ELEEÓW OŃCZOYCH (E) W AUYCE ożej zostae rzedstawoe sorłowae ateatyze słżąe do aalzy staów staloyh ja estaloyh, rzebeg al astyzej, zastosowayh w rograe

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo