ZAGADNIENIE REGRESJI W NAUKACH EKONOMICZNYCH

Transkrypt

1 METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/ str ZAGADNIENIE REGRESJI W NAUKACH EKONOMICZNYCH Beata Fałda Józef Zając Istytut Matematy Iformaty Państwowa Wyższa Szoła Zawodowa w Cełme Katedra Zastosowań Matematy Katolc Uwersytet Lubels Jaa Pawła II e-mal: bfalda@ul.lubl.pl jzajac@ul.lubl.pl Streszczee: Teora reresj obejmuje zespół metod arzędz ścsłeo opsu zależośc występującyc mędzy różeo rodzaju zjawsam. Od welu lat jest wyorzystywaa do formułowaa model eoomczyc eoometryczyc jaolwe reresja jest tu rozumaa w różora sposób. Przedmotem ejszej pracy są rozważaa a temat zastosowaa metod loścowyc w modelowau procesów eoomczyc ze szczeólym uwzlędeem zależośc zacodzącyc mędzy m wyrażoym zwązam reresyjym. Słowa luczowe: teora reresj reresja uoóloa WSTĘP Jeda z welu defcj eoom mów że jest oa auą obejmującą odrywae formułowae społeczyc praw dotyczącyc dzałalośc ospodarczej stosuów eoomczyc. Ozacza to że przedmotem zateresowaa eoom są procesy m..: producj wymay podzału spożyca. Aby móc je auowo opsywać badać aalzować potrzebe są defcje arzędza odpowede metody. Podstawowym arzędzam Grudzews W. M. Rosłaowsa-Plccńsa K. (984 Merzee welośc wymarowe modelowae zjaws oraz procesów eoomczyc Załad Narodowy m. Ossolńsc Wydawctwo Polsej Aadem Nau Wrocław - Warszawa Łódź str. 9. Fałda B. ( Modelowae dyamcze procesów eoomczyc Wydawctwo KUL Lubl str. 5-.

2 Zaadee reresj w auac eoomczyc 83 wyorzystywaym w tym celu są różeo typu modele. Wśród c zasadczą rupę staową modele matematycze statystycze w tym modele reresj. Term reresja pojawł sę po raz perwszy w XIX weu. Został o użyty przez F. Galtoa (8-9 do opsu zwązów zacodzącyc w procese dzedzczea. 3 Z czasem metody tec reresj zalazły zastosowae w różyc dzedzac au w tym w eoom do opsu ształtowaa sę pozomu peweo zjawsa w czase lub do opsu zależośc zacodzącyc mędzy badaym weloścam. Aalza reresj supła sę a estymacj parametrów rówaa teoretyczeo reresj tóre w sposób dołady potraf odwzorować stejący zwąze mędzy rozważaym procesam lub zjawsam. Na ruce eoom rozwój metod reresyjyc dooał sę w obrębe eoometr dze zasadczy erue badań dotyczy stocastyczeo carateru modelowayc procesów eoomczyc. Przedmotem ejszej pracy są rozważaa a temat zastosowaa metod loścowyc w modelowau zjaws procesów eoomczyc ze szczeólym uwzlędeem zależośc zacodzącyc mędzy m wyrażoym zwązam reresyjym. Oprócz caraterysty lasyczeo podejśca do problemu reresj zaprezetowao możlwość wyorzystaa a ruce eoomczym modelu reresj uoóloej wprowadzoeo w pracy [Zając ]. METODY ILOŚCIOWE W NAUKACH EKONOMICZNYCH Za preursora stosowaa metod loścowyc w eoom a przede wszystm statysty uzaje sę W. Pettyeo (3-87. Wedłu eo statystya była metodą rozumowaa a podstawe lczb umożlwającą wyryce oreśloyc prawdłowośc wśród caotyczyc zjaws masowyc. Na uwaę zasłuują róweż badaa prowadzoe przez G. Ka (48-7 tóry jao perwszy podjął próbę loścoweo opsu zależośc pomędzy zmaą ce uurydzy a weloścą jej zborów przy pomocy fucj lowej. Z ole G. U. Yule (87-95 w swoc pracac pocodzącyc z rou propoował zastosowae aalzy orelacj w eoom do badaa zwązu pomędzy ubóstwem a przecwdzałaem temu zjawsu. R. H. Hooer ( w 9 rou wyorzystał tę samą tecę badaa zwązu mędzy zmeym aalzując orelację pomędzy współczyem małżeństw staem outury w Welej Bryta. Prowadząc swoje badaa był jeda śwadomy oraczeń jae ese za sobą wyorzystae aalzy orelacj szczeóle w przypadu jej stosowaa do badaa dayc w postac szereów czasowyc. W 97 rou R. Be (8-95 jao perwszy wyorzystał w eoom metodę reresj weloraej zaś w 94 rou H. L. Moore ( zasłyął wprowadzeem a rut eoom statystyczej estymacj parametrów 3 Se A. K. Srvastava M. S. (99 Reresso aalyss: teory metods ad applcatos Sprer-Verla New Yor str..

3 84 Beata Fałda Józef Zając eoomczyc. W 9 rou L. Baceler (87-94 wyorzystując szere czasowe ce acj a parysej ełdze zauważył losowy carater tyc ce co stało sę w późejszym orese podstawą do rozważań a temat efetywośc ryu. 4 Wyorzystae arzędz metod matematyczyc oraz statystyczyc w eoom zaowocowało rozwtem dwóc wzajeme uzupełającyc sę urtów zastosowań metod loścowyc: eoom matematyczej eoometr. O le eooma matematycza została aerowaa a formułowae aaltyczyc jaoścowyc model teor eoom o tyle eoometra bazująca a osąęcac racuu prawdopodobeństwa statysty ma carater empryczy loścowy. 5 Obserwując proces matematyzacj eoom trudo jedozacze stwerdzć tóry z urtów był perwszy. Cocaż eoometra ze swom wybte pratyczym zabarweem teresowała ludz od dawa jeda jej fatyczy rozwój jest datoway a lata trzydzeste XX weu. Aalza prowadzoyc badań eoometryczyc poazuje jeda że pommo lczyc sporów a tle zastosowaa różyc metodolo podstawą eoometr jest teora reresj modyfowaa uzupełaa przez wybtyc eoometryów m. T. Haavelmo ( Jeo prace badawcze dotyczące probablstyczeo podejśca w eoometr zostały doceoe Narodą Nobla w 989 rou. Zwracając uwaę ż modele eoometrycze są ostruowae w oparcu o statystyę dae statystycze tóre bazują a teor prawdopodobeństwa uważał ż ależy poodzć sę z fatem że otrzymae wy będą mały carater probablstyczy a e determstyczy. Tym samym przeósł cężar aalz eoomczo - matematyczyc z szacowaa parametrów oraz problemu jaośc dayc statystyczyc a testowae teor. 7 ANALIZA REGRESJI Klasyczy model matematyczo - eoomczy rozpatryway jest a ruce eoom matematyczej dze aalza zjaws eoomczyc e opera sę a badau wyów obserwacj empryczyc za pomocą statystyczyc metod estymacj testowaa potez lecz odos sę do teoretyczyc rozważań eoomczyc. Węszość wspomayc model po odpowedm zmodyfowau może być podstawą aalz eoometryczyc w tóryc 4 Gewee J. F. Horowtz J. L. Pesara M. H. ( Ecoometrcs: A Brds Eye Vew IZA Dscusso Paper Seres No. 458 str Fałda B. ( Modelowae dyamcze procesów eoomczyc Wydawctwo KUL Lubl str.. Staewcz W. ( Hstora myśl eoomczej Państwowe Wydawctwo Eoomcze Warszawa str Gruszec T. ( Narody Nobla w eoom Verba Lubl str

4 Zaadee reresj w auac eoomczyc 85 putem wyjśca jest teora reresj. W lteraturze eoometryczej moża spotać dwa wzajeme uzupełające sę podejśca carateryzujące model eoometryczy: determstycze stocastycze. 8 Pommo wydawałoby sę laroweo rozróżea ocepcj reresj występującyc a ruce eoom aalza lteratury przedmotu zaprezetowaa w pracy [Czerwńs ] wsazuje a ejedozaczość teo pojęca oraz błędy terpretacyje. Pożej przedstawoo uwa zawarte w cytowaej pracy w odeseu do wspomaeo problemu wraz z prezetacją różyc podejść do reresj. 9 Reresja jao dopasowae fucj oreśloej lasy do wyów obserwacj Załóżmy że poszuujemy fucj reresj w postac y = f ( x dze f jest pewą fucją zmeej rzeczywstej x ależącą do ustaloej lasy fucj Φ taą że dla ażdej fucj f Φ wartość peweo fucjoału H ( f ; yˆ xˆ speła erówość: H ( f y xˆ H ( f ; yˆ xˆ ; ˆ ( Fucjoał H jest marą oreśloą a przestrze Φ. Przy jeo pomocy dooujemy pomaru odcylea cąu wartośc merzoyc od wartośc przyjmowayc przez fucję f w putac pomarowyc x ˆ = { x}. W stosuu do mary H załadamy że: H ( f ; ˆ ˆ y x ( co ozacza ryterum stosowaa fucj H. Jeżel steje fucja spełająca waru (-( to możemy powedzeć że problem zalezea fucj reresj f Φ jest poprawe sformułoway. Procedura wyzaczea taej fucj przy założeu lowośc zupełośc przestrze fucyjej Φ wymaa jeda umejętośc zastosowaa teor putów stałyc umejętośc ostrucj cąu przyblżająceo. Pomjając założee zupełośc przestrze Φ ależy przyjąć dodatowy warue pozwalający a to aby - e szuając fucj f spełającej ( - * zadowolć sę fucją f zblżoą do f. Reresja - warat Przyjmujemy ż wy obserwacj ( y ˆ ˆ powstały w astępujący sposób: x 8 Czerwńs Z. (98 Matematycze modelowae procesów eoomczyc Państwowe Wydawctwo Nauowe PWN Warszawa str. 8 9 Czerwńs Z. ( Moje zmaaa z eoomą Wydawctwo Aadem Eoomczej w Pozau Pozań str

5 8 Beata Fałda Józef Zając. wartośc xˆ =... zostały z óry ustaloe. wartośc ŷ =... są realzacjam zmeej losowej η x tóra przy daym x jest pewą fucją zmeej losowej ε o sończoej coć ezaej waracj zaej wartośc oczewaej co zapsujemy w postac ηx = ( xε. (3 Szczeólym ajczęścej występującym przypadem waruu jest założee że steją stałe rzeczywste aa tae ż dla dowoleo x η x = a + ax + ε (4 przy czym E ( ε =. Ze wzoru (3 wya że dystrybuata zmeej losowej η x jest przy daym x jedozacze wyzaczoa przez dystrybuatę zmeej losowej ε. W przypadu waruu (4 dystrybuata zmeej losowej η x jest zwązaa przy dowole ustaloym x z dystrybuatą zmeej losowej ε wzorem F η ( y = F ε ( y a ax. (5 Ze wzoru (3 wya że zaobserwowae w putac xˆ realzacje ŷ są oreśloe rówaem: y ˆ ( ˆ = x e ( dze e =... jest realzacją zmeej losowej ε. W przypadu lowym mamy zatem y ˆ ˆ = a + ax + e. (7 Rówae ( wos jeda mej formacj ż rówae (3 zaś rówae (7 - mej formacj ż rówae (4 dyż waru ( (7 mówą tylo o oreśloyc realzacjac. Rówaem reresj w przedstawoej ostrucj azywamy rówae (3 tóre w szczeólym przypadu występuje w postac (4. Reresja - warat Przyjmujemy ż wy obserwacj ( yˆ xˆ powstały w astępujący sposób:. wartośc xˆ =... zostały z óry ustaloe. cą wartośc ŷ =... jest realzacją zmeej losowej -wymarowej ( η... η tóra przy daym wetorze x = ( x... x jest pewą fucją teo wetora oraz -wymarowej zmeej losowej ε = ( ε... ε. Zmee losowe ε =... mają rozłady brzeowe o sończoej waracj zerowej wartośc oczewaej.

6 Zaadee reresj w auac eoomczyc 87 Szczeólym przypadem założea jest stee lczb rzeczywstyc a a tac że dla wetora x zacodz zależość η = a + a d x + ε (8 przy czym E ( ε =. Symbol d ozacza tutaj -ty -wymarowy wetor jedostowy zaś d x jest loczyem salarym wetorów d oraz x. Załóżmy teraz dodatowo że zależy tylo od x. Wya stąd że realzacje poszczeólyc sładowyc tyc zmeyc spełają rówae y ˆ ˆ = a + ax + e. (9 dze e =... jest ezaą realzacją -tej sładowej -wymarowej ε = ε.... Rówaem reresj w tej ostrucj jest ε zmeej losowej ( rówae (8 tóre wymaa umejętośc wyzaczaa parametrów a a. Reresja I rodzaju ˆ są realzacjam dwuwymarowej η o rozładze ormalym. Fucja reresj I rodzaju jest oreśloa rówaem y = E( η ς = x. W przypadu dwuwymaroweo rozładu ormaleo przyjmuje oo postać y = a + ax dze parametry a a są wyzaczoe jedozacze. Rozważaa ocepcja reresj jest rzado stosowaa w auac eoomczyc poeważ aalzowae zjawsa lub procesy e podleają ajczęścej opsow w tórym rozważae zmee mają łączy rozład ormaly. Przyjmjmy że wy obserwacj ( y xˆ zmeej losowej ( ς Reresja II rodzaju ˆ są realzacjam η o rozładze ormalym. Pod pojęcem reresj rozumemy tutaj fucję lową postac y = a + a tórej parametry Przyjmujemy teraz że wy obserwacj ( y xˆ dwuwymarowej zmeej losowej ( ς a a spełają erówość ( q pς E( η a a ς x E η ( dla dowolyc rzeczywstyc p q. Pommo powszecośc sądów ta ocepcja reresj rzado zajduje uzasadee do stosowaa w eoom. Poeważ w modelac eoometryczyc sładow losowemu przypsuje sę dość stotą rolę rozważmy o jao zmeą losową postac η

7 88 Beata Fałda Józef Zając ( p q = η p qς ε postawmy problem zalezea taej pary lczb p q przy tórej zmea ta osąa mmalą warację. Jeżel lczbam tym będą a a zaś { yˆ xˆ } są realzacjam dwuwymarowej zmeej losowej ( η ς o rozładze ormalym to zadae oszacowaa parametrów przy tóryc zmea losowa ε ( p q ma mmalą warację jest dobrze postawoe metoda ajmejszyc wadratów daje ocey parametrów a a o pożądayc własoścac. Nestety ta zdefowaa zmea losowa ε ( a a e może być uważaa za sład losowy wywerający wpływ a ształtowae sę zmeej objaśaej. Jeżel ε = ε ( a a zaś e jest ezaą realzacją zmeej losowej ε to rówae y ˆ = a + a xˆ + e ( jest tożsamoścą. Mmo formaleo podobeństwa rówań (7 oraz (9 e ozacza to aby wartośc ŷ powstawały jao lowa fucja wartośc xˆ powęszoyc o ezae wartośc e. Jeżel wy obserwacj obydwu zmeyc są realzacjam dwuwymarowej zmeej losowej o rozładze ormalym to często spotyay ometarz że zmea objaśaa ształtuje sę pod wpływem zmeej objaśającej oraz słada losoweo trac ses dyż sład losowy jest tu wartoścą resztową. Reresja z losowym zmeym objaśającym ˆ x spełają astępujące waru:. wartośc xˆ =... są realzacjam pewej zmeej losowej ς. wartośc ŷ =... spełają warue y ˆ = a + a xˆ + e dze e jest realzacją pewej zmeej losowej ε ezależej od ς a poadto E ( ε =. Wya stąd że ŷ są realzacjam pewej zmeej losowej η postac η = a + aς + ε tóra jest fucją lową dwóc zmeyc losowyc ς ε. Stąd y ˆ ˆ = a + ax + e. ( Rówae ( róż sę od rówaa (7 tym że założea dotyczące xˆ mówą ż wartośc ŷ zostały wylosowae a e z óry ustaloe. Natomast rówae ( róż sę od ( tym że bra jest tutaj założea o jedoczesym losowau lczb ŷ oraz xˆ. Lczby ŷ są realzacjam zmeej losowej tóre a Przyjmujemy że wy obserwacj ( y ˆ

8 Zaadee reresj w auac eoomczyc 89 mocy założea powstają jao wartośc loweo przeształcea realzacj dwóc yc zmeyc losowyc. KONCEPCJA REGRESJI UOGÓLNIONEJ I JEJ ZASTOSOWANIE W EKONOMII Model reresj uoóloej ależy do model reresj o caraterze determstyczym. W modelu tym fucje reresj powstają jao rozwązae peweo problemu estremaleo oreśloeo w środowsu sończee lub esończee wymarowej przestrze Hlberta. Kostrucja teo modelu pozwala a wyzaczee cąu reresj aprosymująceo dae dośwadczale lub otowaa cąłe w ścśle oreśloym sese. Rozważmy astępującą struturę R : = ( A B δ ; x y dze: A B są daym epustym zboram dae otrzymae w drodze esperymetu x : Ω A oraz y : Ω B zacodzą dla pewyc epustyc zborów Ω Ω δ : ( Ω ( Ω B B jest ryterum odcylea fucj teoretyczej od fucj empryczej tórą azywać będzemy struturą reresj. Celem teor reresj uoóloej jest wyzaczee tac fucj f F tóre spełają warue ajlepszeo dopasowaa do dayc empryczyc. Fucje te mmalzują fucjoał dopasowaa F(f : = δ ( f x y czyl F(f F dla ażdeo f F. Zbór tyc fucj spełają erówość ( f ozaczamy symbolem M ( F R zaś ażdą fucję ze zboru rozwązań azywamy fucją reresj rodzy F z uwa a struturę R. Uoólee lasyczeo odcylea wadratoweo lczoeo wzlędem dowolej mary μ jest oreśloe formułą δ ( u v = u( t v( t dμ( t t. Ω Ω Przecodząc do pomarów dysretyc przyjmując wdzmy że mara : B [ ;+ ] dze δ t oraz t l μ l = ρ μ reduuje sę do wyrażea ({( } l ρ l jest dowolą eujemą fucją rzeczywstą. Wtedy m ( u v = ρ u( v(. = l= l Przyjmując dalej że m = zaś Zając J. ( Reresja uoóloa Mscellaea mroeoometr Uwersytet Szczecńs Szczec str. 7-7.

9 9 Beata Fałda Józef Zając dla = l ρ l : = (3 dla l otrzymujemy lasycza marę Gaussa odcylea wadratoweo δ ( u v = = u( v(. Stosując podstawea u : = f x oraz v : = y wdzmy że ( f x y = f x( y( = f ( F(f : = δ x y (4 = = dze x oraz y są daym empryczym. Prezetowae uoólee lasycze rozumaej reresj polea a tym że zamast fucj specjalyc f występującyc w różyc zayc typac reresj rozważamy dowolą rodzę L ( R fucj f : A B tac że f x( t jest fucją B - merzalą taą f x t dμ t t < + L R sładający sę ze że ( ( ja róweż zbór ( Ω Ω wszystc fucj : B t dμ t t < +. Ω tac że ( t poadto ( ( Ω Ω Zatem fucjoał L R u jest fucją B - merzalą a * ( ( u : = u x( t y( t dμ( t t Ω Ω (5 jest lowy oraczoy w dowolej przestrze Hlberta zaś jeo orma supremum speła erówość * { ( f : f L ( R f } y( t dμ( t t. sup ( Ω Ω Stosując erówość Scwarza wdzmy że * ( f y( t d ( t t μ Ω Ω f (7 dze f jest ormą f w przestrze L ( R. Zatem problem reresj uoóloej rozumay jao oreśloy powyżej problem estremaly polea a zalezeu wszystc fucj f F tóre mmalzują fucjoał

10 Zaadee reresj w auac eoomczyc 9 ( f = δ ( f x y = f x( t y( t dμ( t t Ω Ω F (8 dze F L R. Podstawowym wyem dotyczącym fucj reresj jest formacja mówąca że jest to zbór lowy tóry słada sę z fucj będącyc ombacją lową dowole wybrayc uormowayc fucj bazowyc. Jeżel p { } jest wymarem poszuwaeo cąu reresj ec L ( R dze =... p będze cąem fucj lowo ezależyc zaś F przestrzeą lową rozpętą a wetorac. Wyorzystując metodę ortooalzacj Gramma-Scmdta z cąem tym łączymy cą { } tóreo elemety oreśloe są wzorem : = oraz : = dla = 3... p. (9 = Wtedy f zaś ( p * ( ( R = Re F ( = * dy p jest sończoą lczbą aturalą oraz ( ( Re F R = = dy p =. Dwuwymarowy przyład fucj reresj otrzymujemy w astępujący sposób. Załóżmy że daa jest dowola fucja L ( R zaś F = l ({ } jest przestrzeą lową rozpętą a lowo ezależyc fucjac * ( R. Wtedy ( ( R = L : = = Re F dze =. : = oraz Partya D. Zając J. ( Geeralzed problem of reresso Bullet De La Socete Des Sceces Et Des Lettres De Łódź vol. LX o. str

11 9 Beata Fałda Józef Zając dze Przyjmując * ( ( a : = oraz = wdzmy że * ( ( * a : a ( ( R = a + a * a = oraz Re F ( ( * a a =. (3 Jeżel dodatowo przyjmemy że ( t = t zaś ( t = a poadto ( t = t dla t to wyrażea oreślające a a przyjmują zaą postać a = ( + x y x = = = ( + x = = x y oraz a = = y a + = współczyów reresj lowej drueo rodzaju postac f ( t = a t +. x a Pożej przedstawoa zostae lustracja fucjoowaa teor reresj uoóloej w opse przebeu zma przecęteo mesęczeo wyarodzea omaleo w Polsce w setorze przedsęborstw. W aalze wyorzystao dae za ores dostępe a r dla = wyzaczoy zostae w ośmowymarowej przestrze lowej z wetoram bazowym postac: xπ xπ ( x = ( x = x ( x = cos 3( x = s 3 4 4( x = x 5( x = x ( x = 7( x = x. x + Wybór wetorów bazowyc został podytoway establym caraterem rozważayc dayc. Stosowe do przyjętej bazy otrzymujemy: Cą fucj reresj { } ( x ( x = r = 574 r + x xπ r ( x = x + 448cos xπ xπ r3 ( x = x + 449cos 93s (4

12 Zaadee reresj w auac eoomczyc 93 xπ xπ r4 ( x = x + 45x + 443cos 95s 3 xπ xπ r5 ( x = x x + 83x + 49cos 3s xπ r ( x = x x + 55x + 444cos + + x xπ + 39s r7 ( x = 93 7x + x x 935 x + + x xπ xπ + 589cos + 43s. W celu sprawdzea jaośc powyższyc model reresj zostały oblczoe δ x : mary dopasowaa ( δ ( x = δ ( x = 9 74 δ ( x = ( x = 88 4 δ ( x 4 δ ( x δ ( x 4 δ ( x. δ 4 = 87 5 = = = 7438 Z przedstawoyc dayc wya że ajlepsze dopasowae do dayc empryczyc realzuje fucja r ( x. Wyres wsazaej fucj przedstawoo a rysuu pożej. Rysue. Fucja reresj r ( x Źródło: Opracowae włase a podstawe dayc przy wyorzystau proramu Wolfram Matematca.

13 94 Beata Fałda Józef Zając PODSUMOWANIE Teora reresj staow podstawę welu aalz prowadzoyc a ruce eoom. Ja zaprezetowao w ejszej pracy pojęce to e ma carateru jedozaczeo jeda co warto podreślć zawsze ma a celu przedstawee zwązów mędzy badaym weloścam. Uzupełeem lasyczej teor reresj jest teora reresj uoóloej. Już teraz wele aalz wsazuje ż może być oa wyorzystywaa w modelowau procesów zjaws eoomczyc. Jej ewątplwym atutem jest możlwość elastyczeo doboru bazy w rozważaej przestrze wetorowej pozwala a uwypulee tyc cec przedmotu aalz tóre są wedłu badacza ajbardzej stote. BIBLIOGRAFIA Czerwńs Z. (98 Matematycze modelowae procesów eoomczyc Państwowe Wydawctwo Nauowe PWN Warszawa str. 8. Czerwńs Z. ( Moje zmaaa z eoomą Wydawctwo Aadem Eoomczej w Pozau Pozań str Fałda B. ( Modelowae dyamcze procesów eoomczyc Wydawctwo KUL Lubl str. 5-. Gewee J. F. Horowtz J. L. Pesara M. H. ( Ecoometrcs: A Brds Eye Vew IZA Dscusso Paper Seres No. 458 str Grudzews W. M. Rosłaowsa-Plccńsa K. (984 Merzee welośc wymarowe modelowae zjaws oraz procesów eoomczyc Załad Narodowy m. Ossolńsc Wydawctwo Polsej Aadem Nau Wrocław - Warszawa Łódź str. 9. Gruszec T. ( Narody Nobla w eoom Verba Lubl str Partya D. Zając J. ( Geeralzed problem of reresso Bullet De La Socete Des Sceces Et Des Lettres De Łódź vol. LX o. str Se A. K. Srvastava M. S. (99 Reresso aalyss: teory metods ad applcatos Sprer-Verla New Yor str.. Staewcz W. ( Hstora myśl eoomczej Państwowe Wydawctwo Eoomcze Warszawa str. 4. Zając J. ( Reresja uoóloa Mscellaea mroeoometr Uwersytet Szczecńs Szczec str [dostęp: luty ]

14 Zaadee reresj w auac eoomczyc 95 THE REGRESSION PROBLEM IN ECONOMIC SCIENCES Abstract: Te reresso teory volves metods ad tools of exact descrpto of relatos betwee varous types of peomea. Sce may years t s used for te ecoomc ad ecoometrc models formulato owever as te aalyze of lterature dcates reresso s uderstood dfferet ways. Ts artcle s a reflecto o te applcato of quattatve metods ecoomcs processes model wt partcular empass o te relatos betwee tem expressed by reresso. Key words: reresso teory eeralzed reresso