WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
|
|
- Roman Czarnecki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jrołw Dąrowkiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEO Przemiot: PODSTAWY AUTOMATYKI (tui tjore I topi) ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr STABILNOŚĆ UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Wrzw
2 ĆWICZENIEE RACHUNKOWE NR N 7 Temt: Stilość ukłów ymizyh Poz ćwizei poruze ęą tępująe zgiei: ztoowie wyryh kryteriów o lizy tilośi ukłów utomtyki; ie tilośi w opriu o hrkterytyki logrytmize ukłu otwrtego - określeie zpu tilośi... Wprowzeiee Stilość ukłu terowi jet jwżiejzą jegoo ehą hrkteryzująą zolość ukłu o wykoi zń, l któryh zotł o zuowy. Stilość jet pojęiem określjąym w potozym zzeiu zolość zhowi pewegoo tu. Rozptrują zgieie tilośi, rozwżi moż m rozpoząć o przykłu zhowi ię kulki wooej przetwioej ry.. ) ukł ietilyy ) ukł tily ymptotyzie i glolie ) ukł tily ieymptotyzie i glolie ) ukł tily ieymptotyzie i loklie - ieglolie Ry.. Ilutrj rozjów tu rówowgi Jeśli kulkę pomy przeuięiu, moż uzć, u że pozyj rówowgi, w jkiej zjuje ię kulk opowieio w ztereh th: ) ietilym, ) tilym ymptotyzie i glolie, ) tilym ieymptotyzie i glolie, ) tilym ieymptotyzie i loklie, le ie glolie. Z przetwioej lizy wyik, żee tilośćć jet ehąą ukłu, polegjąą powriu oo tu rówowgi tłej po zmkięiu zkłóei, które wytrąiło ukł z tego tu. W zgieih otyząyh tilośi ukłów terowi przyjmiemy ogóliejze poejśie. Bęziemy ć tilość
3 rozwiązń rówńń różizkowyh opiująyh ukł i ślezić jego zhowie potwie przeiegu trjektorii w przetrzei tu (tz. tkiej, w której położeie puktu określoe jet przez wzytkie wpółrzęe tej przetrzeii i jeozzie hrkteryzu uje t ymizy ukłu), w zzególośi w przetrzei fzowej. Wyróżimy w rozje tilośi: tilość ukłu w tie wooym, którą k rozwżmy w przypku, gy ukł ie ziłją ygły zewętrze (zrówo terująe,, jk i zkłójąe); tilość ukłu poego ziłiom zewętrzyz ym. Jeżeli ukł wooy zjuje ię zjuje ię w tie rówowgi, to opowijąyy temu pukt rówowgi w przetrzei fzowej umiezzmy w pozątku jej ukłu wpółrzęyh. Jet to ogoe przy iu proeuu przejśiowego przy t > t potwie trjektorii, jką pukt opiująy wyhoząy z położei pozątkowego y (t ),, y (t ) kreśli w wymirowej przetrzei fzowej, miowiie: jeżeli t trjektori ąży o pozątku ukłu wpółrzęyh (pukt rówowgi), to ukł jet tily ymptotyzie pukt B ry.; jeżeli t t trjektori ol ię o pozątkuu ukłu wpółrzęyh (pukt rówowgi), to ukł jet ietily pukt C ry.; jeżeli t trjektori ie wyhozi poz pewie ogrizoy ozr otzjąy pozątek ukłu wpółrzęyh, to ukł jet tily w eie Lpuow pukt A ry.; Ry.. Shemt zmkiętego ukłu regulji Pukt rówowgi x = zywć ęziemy tilym w eie efiijii Lpuow, jeżeli l kżej lizy otiej moż orć tką lizę (zleżą ogół o ), że trjektori rozpozyją ię w
4 pukie A, leżąym wewątrzz kuli o promieiu, pozotie wewątrz kuli o promieiu l owolej hwili t >. Ntomit w przypku i tilośi ukłu poego ziłiom zewętrzym, rozptrzoy zotie ukł terowi przetwioy ry.. SYNAŁ ZAKŁÓCENIA z(t) UCHYB REULACJI e(t) OBIEKT STEROWANIA SYNAŁ WYJŚCIOWYY y(t) SYNAŁ WEJŚCIOWYY u(t) REULATOR e(t) UCHYBB REULACJI Ry.. Shemt zmkiętego ukłu regulji Zmkięty ukł liowy, przetwioy ry., ęziemy wię uwżć z tily, jeżeli przy kżej końzoej wrtośi w zkłóei z(t) i wrtośi zej y (t) orz owolyh wruków pozątkowyh ygł wyjśiowy y(t) ążyć ęzie o końzoejj wrtośi utloej l zu t, ążąego o iekońzoośi. Niekiey preyzuje ię otkowo, że gy po zikięiu zkłóei ukł powr o tego mego tu rówowgi o zjmowy poprzeio, to ukł tki jet tily ymptotyzie. Przykły przeiegów y(t) wytępująyh w ukłh tilyh i ietilyh pokzo ry.. ) ) Ry.. Chrkterytyki zowe: ) ukłów tilyh, ) ukłów u ietilyh Jeżeli ukł zmkięty opiy jet z pomoą liiowego l rówi różizkowego: y t y... y t m x m t lu opowijąejj mu trmitji opertorowej: m m m tt m x... x ()
5 Y Z m m m m () to zowy przeieg ygłu wyjśiowego y(t) po owolym zkłóeiu o wrtośi końzoej opiy jet wzorem o tępująej poti: y kt t A Ak e z k () gzie: k pierwitki rówi hrkterytyzego ukłu zmkiętego; z wrtość zkłóei. Zkłóeie z(t) może yć wprowzoe w owolym mieju ukłu, w przypku zzególym zkłóeiem może yć rówież zmi wrtośi ygłu zego y (t). Koiezym i ottezym wrukiem tilośi ymptotyzej ukłu jet, y pierwitki rówi hrkterytyzego ukłu zmkiętego miły ujeme zęśi rzezywite, tz. y pierwitki rówi hrkterytyzego leżły w lewej półpłzzyźie płzzyzy zmieej zepoloej, tz.: Wówz: Re () k lim y t t A z () gzie: A wpółzyik o wrtośi końzoej. Tk wię, ukł jet tily w poy eie, kłowe wielkośi wejśiowej zikją o zer przy t, pozotje jeyie kłow utlo, określo ttyzymi włośimi ukłu. W przypku pierwitków zepoloyh: k j (6) Opowieie wyrzy umy () mją potć: A e k j t t A e ot j it k (7)
6 Wyrzy te ążą o zer przy zie t, jeżeli pełioy jet wruek (). Jeżeli hoiż jee z pierwitków rówi hrkterytyzego m zęść rzezywitą otią: to: Re (8) k t lim y (9) t i ukł jet tily. Jeżeli rówie hrkterytyze ukłu m pierwitki wielokrote, to w umie () pojwiją ię wyrzy typu: Aki t m i! k e mk i kt () W tym przypku wruek tilośi () pozotje rówież wży, i gyż fukj t m k rośie woliej iż fukj wykłiz ztem l Re( k ) <, mmy: Aki lim t t mk i! m i k kt e () Jeżeli rówie hrkterytyze ukłu m pierwitki w półpłzzyźie orz jeokrote oi liz urojoyh, p. jee pierwitek zerowy lu prę pierwitków urojoyh przężoyh, to w ukłzie ęą wytępowć rgi o tłej mplituzie, określoej wrukmi pozątkowymi. Ukł jet wówz griy tilośi, śiśle mówią ie jet tily ymptotyzie. Jeżeli pierwitki zerowe ą wielokrote, to przeieg y(t) ol ię o pozątkowego tu rówowgi, ukł jet ozywiśie ietily. Wruek tilośi () ęziemy wię uwżć z ogóly wruek tilośi liiowyh ukłów utomtyki. Potrze śiślejzego rozróżii rozjów tilośi wytąpi w ukłh ieliiowyh, tomit tutj tilość ęziemy rozumieć jko tilość ymptotyzą. Przy iu tilośi ukłów, któryh włośi ymize opie ą z pomoą rówń różizkowyh wyżzyh rzęów (lu opowieih trmitji), trfi ię uże truośi przy oliziu pierwitków rówi hrkterytyzego, gyż jet to rówie lgerize tego mego topi, o rzą rówi 6
7 różizkowego. Stouje ię wtey jeo z kryteriów tilośi, tz. twierzeń pozwljąyh oeić tilość ukłu potwie wrtośi wpółzyików rówi hrkterytyzego lu przeiegu hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego, ez olizi pierwitków rówi (). Nleży jek pmiętć, że wzytkie kryteri wywozą ię wruku potwowego (). O tilośi ukłu eyuje rówie hrkterytyze, tj. miowik trmitji ego ukłu. Wyik tą, że w ukłzie mją zikć rgi wooe opie rówiem jeoroym (prw tro rówi różizkowego jet rów zeru), które to rówie opowi miowikowi trmitji ego ukłu. Dltego też przy iu tilośi ukłów zjmujemy ię tylko rówiem hrkterytyzym tego ukłu. Z wielu oprowyh kryteriów tilośi pozmy trzy potwowe, które toowe ą jzęśiej w prktye iżyierkiej, miowiie: kryterium Hurwitz; kryterium Routh; kryterium Nyquit; i ie.. Kryteri tilośi.. Wprowzeie Kryteri tilośi ą wprowze w elu uprozzei projekttowi opowiezi pytie o tilość tworzoego moelu mtemtyzego ukłu. Dzięki ztoowiu opowieih kryteriów tilośi moż potwie truktury i prmetrów moelu twierzić, zy ukł jet tily, ez koiezośi rozwiązywi rówń moelu lu wykoywi ń ymulyjyh... Kryterium Hurwitz Algerize kryterium tilośi, oprte iu wpółzyików rówi hrkterytyzego, uowoioe zotło przez Hurwitz w 89r. Pozwl oo prwzeie, zy rówie lgerize owolego topi m wyłązie pierwitki ujeme lu o ujemyh zęśih rzezywityh. Kryterium Hurwitz moż toowć tylko wtey, kiey zy jet opi mtemtyzy ego ukłu, miowiie jego rówie hrkterytyze. Jet oo rzo prote i wygoe w ztoowiu o ukłów opiyh rówimi iżzyh topi. Z pomoą tego kryterium moż prwzić tilość ukłu o wzytkih 7
8 wpółzyikh rówi hrkterytyzego, jk i wyzzyć zkrey (ozry) zmieośi iektóryh wpółzyików zpewijąe tilość. Wą jet rk możliwośi wyzzi zpu tilośi orz utruio oe wpływu pozzególyh prmetrów ukłu tilość. Wrukiem koiezym i wytrzjąym, żey ukł liiowy tjory iągły ył tily ymptotyzie, jet y: wzytkie wpółzyiki rówi hrkterytyzego... () Itiły i yły więkze o zer: i, i,,,..., () Wruek te jet wrukiem koiezym, le iewytrzjąym. wzytkie powyzziki główe (miory) wyzzik (wyzzik Hurwitz) yły więkze o zer.,,...,, () Jk wyik z zleżośi (), wyzzik Hurwitz tworzymy umiezzją główej przekątej koleje wpółzyiki wielomiu - o. Ntępie w pozzególyh kolumh wpiujemy powyżej wyrzu przekątej główej wyzzik wpółzyiki o iekh kolejo zmiejzjąyh ię o jee, poiżej wyrzu przekątej główej wpółzyiki o iekh kolejo zwiękzjąyh ię o jee. 8
9 Jeżeli któryś ze wpółzyików rówi hrkterytyzego jet ujemy lu rówy zeru, lo któryś z powyzzików jet ujemy lu rówy zeru, to ukł jet ietily. W przypku, gy rówie () m, mi. pierwitki zyto urojoe i w przeiegu zowym y(t) wytępują rgi o tłej mplituzie. Mówimy wówz, że ukł zjuje ię griy tilośi(gri tilośi leży o ozru ietilego). Kryterium Hurwitz umożliwi twierzeie tilośi ymptotyzej, jk i ieymptotyzej. Możliwość wytąpiei tilośi ieymptotyzej zhozi wtey, kiey w rówiu hrkterytyzym wpółzyik =. Po pozieleiu tro rówi przez, otrzymujemy rówie topi -, w oieieiu o którego toujemy kryterium Hurwitz... Kryterium Routh Drugim kryterium lityzym, ook kryterium Hurwitz, jet kryterium Routh, które opróz opowiezi pytie o tilość ymptotyzą ego moelu otrz iformji o lizie pierwitków rówi hrkterytyzego, zjująyh ię w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. Kryterium to określ lizę pierwitków wielomiu hrkterytyzego w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. Wzytkie pierwitki rówi hrkterytyzego ego ukłu ęą zjowć ię w lewej półpłzzyźie zmieej zepoloej, jeżeli zotą pełioe tępująe wruki: wzytkie wpółzyiki rówi hrkterytyzego i, i=,,, ą otie. Jet to wruek koiezy; wzytkie wpółzyiki lewej krjej kolumy Routh ą otie. Jeżeli ukł jet ietily ymptotyzie, to wpółzyiki tej kolumy zmieiją zk. Wówz liz zmi zku jet rów lizie pierwitków rówi hrkterytyzego zjująyh ię w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. Tlię Routh uuje ię weług tępująego hemtu: e 6 7 () 9
10 gzie:,...,...,,...,,,...,, e (6) Z kżym wierzem tliy Routh moż kojrzyć wielomi pomoizy, który ęzie wykorzytywy w przypku zzególym, zyli wtey, kiey wierz wpółzyików okże ię kłć z myh zer: 7 6 e (7) Wtey wierz kłjąy ię z zer ztępuje ię wpółzyikmi pohoej wielomiu pomoizego z poprzeiego wierz. Wielomi te uuje ię, umują opowieie ilozyy wpółzyików z tliy Routh ze zmieą w potęze wyikjąej z kotrukji towrzyzoej z ią teli wielomiowej. Drugą ytują wyjątkową jet ytuj, kiey elemet w lewej krjej kolumie tliy Routh rów ię zeru. Wtey e rówie hrkterytyze leży pomożyć przez zyik (+) i rozpoząć ie tilośi tk otrzymego rówi z pomoą kryterium Routh o pozątku. Liz > jet lizą rzezywitą i ie jet pierwitkiem rówi hrkterytyzego.. Kryterium Nyquit Kryterium Nyquit m uże zzeie prktyze, poiewż pozwl ć tilość ukłu zmkiętego potwie przeiegu
11 hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego, którą moż wyzzyć zrówo lityzie, jk i oświzlie. Rozptrzmy ukł liiowy o hemie lokowym przetwioym ry.. Trmitj ukłu otwrtego o () jet rów: (8) Przetwiją tę trmitję w poti ilorzu wielomiów otrzymmy: M o (9) N przy zym N o () = jet rówiem hrkterytyzym ukłu otwrtego. Trmitj ukłu zmkiętego z () jet rów: o z M N z z () przy zym N() = + o () = jet rówiem hrkterytyzym ukłu zmkiętego. Przetwiją rówie hrkterytyze ukłu zmkiętego w poti wimowej N(j) = N() l = j otrzymmy: N j j () gzie: o (j) jet hrkterytyką zętotliwośiową ukłu otwrtego Stilość ukłu zmkiętego zleży o jego rówi hrkterytyzego N() =. Z rówi () wyik, że moż ją oeić potwie hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego o (j). j o Ry.. Shemt lokowy ukłu
12 Kryterium Nyquit moż formułowć tępująo: ukł zmkięty jet tily, jeżeli przyrot rgumetu wyrżei (wektor) + o (j) przy zmiie pulji o o jet rówy k, gzie k jet ilośią pierwitków rówi hrkterytyzego ukłu otwrtego, o zęśi rzezywitej otiej, zyli: o j k () Przyrot rgumetu wektor leży rozumieć jko orotu tego wektor, przy zmiie puljii w określoym zkreie. Zwróćmy uwgę, jeżeli k, to ukł otwrty jet ietily, poiewż poi pierwitkii rówi hrkterytyzego o zęśi rzezywitej otiej. Stą wyik, że itieją ukły zmkięte tile, pomimo że ukł otwrty jet ietily. Spoó olizi przyrotu rgumetu wektor + o (j) pokzo ry.6. Ry.6. Spoó olizi przyrotu rgumetu wektor + o (j) o j j o o j o j Wzór () wyik ze twierzei, że przyrot rgumetu wektor + o (j) rozumiyy jet jko kąt orotu tego wektor przy zmiie o o, którą too zmię możemy rozić koleje etpy ( = o = ; = o = =, it.) Rozptrzmy oeie przypek jzęśiej wytępująy k =, tz. że ukł otwrty jet tily. Z poego powyżejj kryterium wyik, o j ()
13 że ukł otwrty jet tily. Z poego powyżejj kryterium że ukł zmkięte też jet tily, jeżeli: o j wyik, () Przykł przeiegu hrkterytyk mplituowo fzowyhh o (j) ukłu otwrtyh tilyh, które po zmkięiu ęą: ) tile, ) ietile (ry.7). Ry.7. Przykł przeiegu hrkterytyk mplituowo o fzowyh o (j) ukłu otwrtyh tilyh, które po zmkięiu ęą: ) tile, ) ietile y w ukłzie otwrtymm wytępuje jee lu więej elemetów łkująyh, hrkterytyk o (j) zzy ię w iekońzo ośi (l = ). Nleży wtey hrkterytykę te uzupełić zęśią okręgu o
14 promieiu rówym iekońzoośi R = przez tyle ćwirtek, ile wytępuje elemetów łkująyh. N ry.7 trzei przypek opowi ukłowi otwrtemu, w którym wytępuje jee elemet łkująy, ltego zotł uzupełioy zęśią okręgu ryową liią przerywą. Rozptrzmy ukł otwrty tily, w którym wytępują w elemety łkująe, wtey przeieg hrkterytyki o (j) jett zgoy z ry.8. Chrkterytykę tę leży uzupełić półokręgiem o promieiu R =. Ry.8. Chrkterytyk o (j) ukłu otwrtego z wom elemetmi łkująymi Z ryuku tego wyik, żee tki ukł po zmkięiu ęziee zwze ietily (ukł ietily trukturlie), poiewż pukt (-,j) leży po prwej troie hrkterytyki o (j). Kryterium to jet prote w prktyzym ztoowiu, gyy zmy hrkterytykę mplituowo fzową o (j) orzz wiemy, że ukł otwrty jet tily, otrzymmy lizują tilość elemetów (pozepołów) whoząyhh w kł ukłu otwrtego. Jeżeli twierzimy, że wzytkie elemety kłowe ą tile, to ukł otwrty też jet tily. W elu uowoiei powyżzego twierzei przyjmiemy, żee ukł otwrty kł ię z wóh elemetów o trmitji () i () ry.. o M N M N M N o o () gzie: M N M ; N Stą N o ()=N ()N () ozz wielomi hrkterytyzyy ukłu otwrtego rówy ilozyowi wielomiów hrkteryt tyzyh elemetów kłowyh. Ztem pierwitkmi rówi
15 hrkterytyzego ukłu otwrtego ą pierwitki rówń hrkterytyzyh elemetów kłowyh. Powyżze rozumowie moż rozzerzyć owolą ilość elemetów kłowyh.. Przykły Przykł. Zć tilość ukłu otwrtego i zmkiętego o hemie lokowym (ry.9), gzie () ozz trmitję regultor PD. W tym elu leży korzytć z kryterium Hurwitz ; (6) Ry.9. Chrkterytyk o (j) ukłu otwrtego z wom elemetmi łkująymi I. Trmitj ukłu otwrtego o () jet rów: o (7) tą rówie hrkterytyze ukłu otwrtego o () m potć: N o (8) ) wruek koiezy jet pełioy, poiewż >, >, >, >, >. Wyzzik Hurwitz ukłu otwrtego m potć: (9) ) wruek wytrzjąy wymg prwzei zku powyzzik i :
16 6 6 () 8 () Ukł otwrty jet ietily, poiewż <. II. Trmitj ukłu zmkiętego z () jet rów: X Y () tą rówie hrkterytyze ukłu zmkiętego N() m potć: N () ) Wruek koiezy pełioy. Wyzzik Hurwitz m potć: () ) Wruek wytrzjąy wymg prwzei zku powyzzik i : ()
17 (6) 6 9 Ukł zmkięty jet tily. Mmy tu o zyiei z przypkiem, kiey ietily ukł otwrty po zmkięiu tje ię ukłem tilym. Przykł Określić tilość ukłu zmkiętego o hemie lokowym przetwioym ry., gzie w torze główym wytępuje elemet łkująy rzezywity o trmitji: kv (7) T Stilość leży określić z wykorzytiem kryterium Nyquit. T k v Ry.. Shemt lokowy ukłu W lizowym przykłzie trmitj ukłu otwrtego jet rów trmitji (). Chrkterytyk mplituowo fzow ukłu otwrtego o (j) przetwio jet ry.. Ukł otwrty jet tily l T >, gyż elemet łkująy rzezywity jet tily (ieymptotyzie). Poi owiem pierwitki rówi hrkterytyzego =, = -/T. Poiewż w ukłzie otwrtym wytępuje elemet łkująy, hrkterytykę uzupełimy zęśią okręgu R = (lii przeryw ry.). Z ryuku tego wyik rówież, że ukł zmkięty ęzie zwze tily, iezleżie o wrtośi k v i l T >, poiewż pukt (-,j) leży zwze po lewej troie hrkterytyki zętotliwośiowej ukłu otwrtego o (j). 7
18 k T R Ry.. Chrkterytyk mplituowo fzow ukłu otwrtego o trmitji kv T Przykł Zć tilość ytemu opiego przez wielomi hrkterytyzy M() = W tym elu leży wykorzytć kryterium Routh. W tym elu uujemy tlie Routh zgoie z zleżośią (). Wówz otrzymmy: (8) Poiewż w pierwzej kolumie wytępuje powój zmi zku, wielomi M() m w pierwitki w prwej półpłzzyźie zepoloej. Przykł Zć tilość ytemu opiego przez wielomi hrkterytyzy M() = W tym elu leży wykorzytć kryterium Routh. W tym elu uujemy tlie Routh zgoie z zleżośią (). Wówz otrzymmy: 8
19 (9) Poiewż trzei elemet pierwzej kolumy jet zerem, tli ie może yć uzupełio. Po pomożeiu wielomiu M() przez (+) otrzymuje ię wielomi M ()=(+)M()= , l którego tli Routh m potć: () Poiewż w pierwzej kolumie wytępuje powój zmi zku, wielomi M () (zyli rówież wielomi M()) m w pierwitki w prwej półpłzzyźie zmieej zepoloej. 6. Litertur. Zigiew WAŁACH Cyeretyk tehiz. Część I Ekplotj oprzętu, Wyził Wywizy WAT, Wrzw 98. Juz KOWAL Potwy utomtyki. T, Uzelie Wywitw Nukowo-Dyktyze AH, Krków, Sygtur: 678. Teuz Kzorek Teori terowi. Tom I Ukły liiowe iągłe i ykrete. Pńtwowe Wywitwo Nukowe, Wrzw Driuz Horl Potwy utomtyki. Ćwizei rhukowe. Część I, Wywitwo Politehiki Pozńkiej, Pozń.. Włyłw Pełzewki Teori terowi. Ciągłe tjore ukły liiowe Wywitw Nukowo Tehize, Wrzw 98, Sygtur: II 6. 9
WYKŁAD nr 14,15. Stabilność i korekcja układów liniowych
WYŁAD r Stilość i orej ułdów liiowyh Stilość ułdu O ułdzie powiemy że jet tily jeżeli w wyiu dziłi złóei i po jego utiu wr o do pierwotego tu utloego lu oiąg owy t utloy w przypdu pozoti złóei tłym poziomie.
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna WIELOMIANY SZACHOWE
MAEMAYKA DYKENA (0/0) r h. iż. Młgorzt ter mlgorzt.ster@s.put.poz.pl www.s.put.poz.pl/mster/ WIELOMIANY ZACHOWE Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter B WIELOMIANY ZACHOWE Wielomiy szhowe opisują lizę możliwyh rozmieszzeń
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Bardziej szczegółowoGENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Bardziej szczegółowoAutomatyka i sterowanie w gazownictwie. Wymagania stawiane układom regulacji
Automtyk i terowie w gzowictwie Wymgi twie ukłdom regulcji Wykłdowc : dr iż. Iwo Oprzędkiewicz Nzw wydziłu: WIMiR Nzw ktedry: Ktedr Automtyzcji Proceów AGH Wymgi twie ukłdom regulcji Sterowlość ytemu Oberwowlość
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowoCo można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!
TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Polithi Gń Wyził Eltrothii i Autotyi Ktr Iżyirii Sytów Strowi Potwy Autotyi Stilość ytów trowi rozwiązi rówi hrtrytyzgo, rytri lgriz: Hurwitz i Routh Mtriły pooiz o ćwizń tri T Oprowi: Kziirz Duziiwiz,
Bardziej szczegółowoWykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.
Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:
Bardziej szczegółowoa) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
Bardziej szczegółowoOd wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności
Hery Pwłowsi IV LO Toruń O wzorów sróoego moŝei o lsyzyh ierówośi Uzą w szole wzorów sróoego moŝei zzymy o owozei wóh toŝsmośi: () ( ) () ( ) Nstępie uŝywmy ih o przesztłi wyrŝeń Tym rzem zrómy z ih iy
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja parametrów modelu maszyny synchronicznej jawnobiegunowej
Akemi Górniczo-Hutnicz im. Stniłw Stzic w Krkowie Wyził Elektrotechniki, Automtyki, Inormtyki i Elektroniki KATEA MASZYN ELEKTYCZNYCH Stuenckie Koło Nukowe Mzyn Elektrycznych Ientyikcj prmetrów moelu mzyny
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionlne Koło Mtemtyzne Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wyził Mtemtyki i Informtyki http://www.mt.umk.pl/rkm/ List rozwiązń zń nr 8, grup zwnsown (3.03.200) O izometrih (..) Wektorem uporząkownej
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdaska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Polithi G Wyził Eltrothii i Automtyi Ktr Iyirii Sytmów Strowi Potwy Automtyi Stilo ytmu trowi rytri lgriz Hurwitz i Routh Mtriły pomoiz o wiz trmi T Oprowi: Kzimirz Duziiwiz, r h. i. Mihł Grohowi, r i.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania SYSTEMY DYNAMICZNE
Poliehi Gń Wyził Eleroehii i Auoyi er Iżyierii Syeów Serowi SYSTEY DYNAICZNE Zieość poi opiu yeów iągłyh eriły pooize o ćwizeń Teri T3 Oprowie: ziierz Duziiewiz, r h. iż. ihł Grohowi, r iż. Roer Piorowi,
Bardziej szczegółowoi interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
Bardziej szczegółowo1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania
Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo
Bardziej szczegółowo3.6. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.
WYKŁAD 3.6. Cłk ozzo Riem i jej włsośi. Zsosowi geomeryze łki ozzoej. 3A+B35 (Deiij: łk ozzo Riem). Rozwżmy ukję :[, ]. Puky... worzą podził odik [, ] zęśi. Nieh k k k - długość k-ego odik, m - średi k
Bardziej szczegółowoSemantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy
Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium Dziłni n ułmkh, krotki i rekory Cz. I. Dziłni n ułmkh Prolem. Oprowć zestw funkji o ziłń rytmetyznyh n ułmkh zwykłyh posti q, gzie, są lizmi łkowitymi i 0. Rozwiąznie
Bardziej szczegółowoJe eli m, n! C i a, b! R[ m a. = -x. a a. m = d n pot ga ilorazu. m m m. l = a pot ga pot gi. a $ b = a $ b pierwiastek stopnia trzeciego
0 Podzi kàtów ze wzgl du mir Przyk dy kàtów 0 B B W soêi Kàt wkl s y m mir wi kszà od 80 i miejszà od 60. Kàty wyuk e to kàty, któryh mir jest wi ksz àdê rów 0 i miejsz àdê rów 80, lu rów 60. Ni ej rzedstwimy
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoTABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI 7. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoRozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI 8. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
Bardziej szczegółowoZagadnienie brachistochrony jako przyk lad zastosowania rachunku wariacyjnego
Zgnienie brchistochrony jko przyk l zstosowni rchunku wricyjnego 1. Przestwienie problemu. Równni Euler-Lgrenge 3. Tożsmość Beltrmiego 4. Równnie cykloiy 5. Zs Fermt 1 Przestwienie problemu Brchistochron
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Teoria sterowania. Semestr V. Wykłady
Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Mteriły dydtycze eori terowi Semetr V Wyłdy Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoDLSX - dualna metoda simpleks
Mrek Miyńki KO UŁ 6 - dul metod implek (DLSX)_(poprwioy)_Dorot Miyńk DLSX - dul metod implek WPROWADZENIE Rowżmy tępuąe die PL: m m m(mi) m DEFINICJE. ę ywmy prymlie dopulą eżeli pełioy et wruek. ę ywmy
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania
Politechik Gńk Wził Elektrotechiki i Automtki Kter IŜierii Stemów Sterowi eori terowi Dmik ukłów ierwzego i rugiego rzęu włw rozmiezczei ieguów Mterił omocicze o ćwiczeń lortorjch 5 Orcowie: Kzimierz Duzikiewicz,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowoSumowanie i mnożenie sygnałów oraz generacja złożonych sygnałów
Suowie i ożeie ygłów orz geercj złożoych ygłów Dodwie i ożeie ygłów Dodwie ygłów jet opercją liiową Możeie jet opercją ieliiową Dodwie i ożeie ygłów Progrowe ożeie i dodwie ygłów wejściowych jet rdzo prote,
Bardziej szczegółowoMinimalizacja automatu
Minimlizj utomtu Minimlizj utomtu to minimlizj lizy stnów. Jest to trnsformj utomtu o nej tliy przejśćwyjść n równowżny mu (po wzglęem przetwrzni sygnłów yfrowyh) utomt o mniejszej lizie stnów wewnętrznyh.
Bardziej szczegółowoa a a ; ; ; (1.2) przez [ a ij ], czyli zbiór elementów w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie. Wymiary ( n m) stanowią stopień macierzy.
. PODSWY LGEBY CIEZY.. Ukły równń liniowyh Ukł n równń o m niewiomyh x K x m m L L L L L x K x n nm m n możn zpisć w posti tli liz (mierzy): (.) x x x x x x x x x x zpisć w posti mierzowej. Wprowzją nstępująe
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII
POLTECHNA ŚLĄSA WYDZAŁ GÓNCTWA GEOLOG oman aula WYBANE METODY DOBOU NASTAW PAAMETÓW EGULATOA PD PLAN WYŁADU Wprowazenie ryterium Zieglera-Nichola Metoa linii pierwiatkowych ryterium minimalizacji kwaratowego
Bardziej szczegółowoBADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
Oprcowł: dr iż Michł Chłędowki Ćw S-III BADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Cel ćwiczei Celem ćwiczei jet zpozie ię z problemem tbilości liiowych UAR poprzez: pozie mtemtyczeo wruku tbilości
Bardziej szczegółowo5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
Bardziej szczegółowoFILTRY ANALOGOWE Spis treści
FILTRY AALOGOWE Spis treśi. Modele iltrów aalogowyh. Idealy iltr doloprzepustowy 3. Rzezywiste iltry doloprzepustowe 4. Stabilość iltrów 5. Filtr Butterwortha 6. Filtr Czebyszewa 7. Filtry eliptyze 8.
Bardziej szczegółowoW praktycznym doświadczalnictwie, a w szczególności w doświadczalnictwie polowym, potwierdzono występowanie zależności pomiędzy wzrastającą liczbą
W prktyczym doświdczlictwi, w zczgólości w doświdczlictwi polowym, potwirdzoo wytępowi zlżości pomiędzy wzrtjącą liczą oiktów doświdczlych w lokch, wzrotm orwowgo łędu ytmtyczgo. Podcz plowi doświdczń
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Bardziej szczegółowoAutomatyka i Robotyka Analiza Wykład 23 dr Adam Ćmiel
Automty i ooty Aliz Wyłd dr Adm Ćmil mil@gh.du.pl SZEEGI POTĘGOWE iąg liz zspoloyh z z - szrg potęgowy, gdzi - iąg współzyiów szrgu, z C - środ, trum ustlo, z C - zmi. Dl dowolgo ustlogo z C szrg potęgowy
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania.
Politehik Gdńsk Wydził Elektrotehiki i Automtyki Ktedr Iżyierii Systemów Sterowi Podstwy Automtyki Lizy zesoloe Mteriły omoize do ćwizeń termi T5 Orowie: Kzimierz Duzikiewiz, dr h. iż. Mihł Grohowski,
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoo d ro z m ia r u /p o w y ż e j 1 0 c m d ł c m śr e d n ic y 5 a ) o ś r e d n ic y 2,5 5 c m 5 b ) o śr e d n ic y 5 c m 1 0 c m 8
T A B E L A O C E N Y P R O C E N T O W E J T R W A Ł E G O U S Z C Z E R B K U N A Z D R O W IU R o d z a j u s z k o d z e ń c ia ła P r o c e n t t r w a łe g o u s z c z e r b k u n a z d r o w iu
Bardziej szczegółowo2. Funktory TTL cz.2
2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. best in training PRE TEST
Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmh Europejskiego Funuszu Społeznego est in trining E-Pr@ownik ojrzłe kry społezeństw informyjnego n Mzowszu Numer Projektu: POKL.08.01.01-14-217/09 PRE TEST
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
Bardziej szczegółowoANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ
ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZEOŁU SZKÓŁ Bni nkietowe zostły przeprowzono w rmh relizji projektu eukyjnego Nie wyrzuj jk lei. Celem tyh ń yło uzysknie informji n temt świomośi ekologiznej uzniów
Bardziej szczegółowo4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
Bardziej szczegółowoInstrukcje dla zawodników
Płok, 12 mr 2016 r. Instrukje l zwoników Arkusze otwiermy n wyrźne poleenie komisji. Wszystkie poniższe instrukje zostną ozytne i wyjśnione. 1. Arkusz skł się z 3 zń. 2. Kże znie skł się z wprowzeni orz
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD nr 2. to przekształcenie (1.4) zwane jest przekształceniem całkowym Laplace a
WYKŁAD r. Elemey rachuku operaorowego Podawą rachuku operaorowego je zw. przekzałceie Laplace a, mające poać przekzałceia całkowego, przyporządkowujące fukcjom pewe owe fukcje, iego argumeu. Mówi ię, że
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Nr zdi Nr czyoci Przykdowy zestw zd r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etpy rozwizi zdi I metod rozwizi ( PITAGORAS
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020
Wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie III A i III B Liceum Plstyczego 019/00 Zkres rozszerzoy Kryteri Zjomość pojęć, defiicji, włsości orz wzorów objętych progrmem uczi. Umiejętość zstosowi wiedzy teoretyczej
Bardziej szczegółowoI n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p
A d r e s s t r o n y i n t e r n e t o w e j, n a k t ó r e j z a m i e s z c z o n a b d z i e s p e c y f i k a c j a i s t o t n y c h w a r u n k ó w z a m ó w i e n i a ( j e e ld io t y c z y )
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowoMamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.
Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu,
Bardziej szczegółowoMacierzy rzadkie symetryczne
Mcierzy rzkie symetryczne Istnieje wielu problemów technicznych i nukowych, w których zstosownie formlizcji mtemtycznej oprowzi o ziłń n mcierzmi rzkimi symetrycznymi. To są zni mechniki, hyromechniki,
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 02 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A U s ł u g a d r u k o w a n i a d l a p o t r z e b G d y s k i e g o
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU
MATEMATYA W EONOMII I ZARZĄDZANIU Wykłd - Alger iiow) eszek S Zre Wektore zywy iąg liz ) p 567) 5) itp W ekooii koszyk dór zpisuje się jko wektory Np 567) jko koszyk dór wyspie Hul Gul oŝe ozzć 5 jłek
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Fizyka i astronomia Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do arkuza Próbej Matury z OPEROEM Fizyka i atroomia Poziom rozzerzoy Litopad W klu zu ą pre ze to wa e przy kła do we pra wi dło we od po wie dzi. a le ży rów ież uzać od po wie dzi uzia,
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAGA CHEMICZNA. Reakcje chemiczne: nieodwracalne ( praktycznie nieodwracalne???) reakcje wybuchowe, np. wybuch nitrogliceryny: 2 C H 2
RÓWNOWG CHEMICZN N O 4 NO Rekje hemizne: nieowrlne ( rktyznie nieowrlne???) rekje wyuhowe, n. wyuh nitroglieryny: C 3 H 5 N 3 O 9 6 CO + 3 N + 5 H O + / O rekje rozu romieniotwórzego, n. roz urnu gy jeen
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowo2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Bardziej szczegółowoP o l s k a j a k o k r a j a t a k ż e m y P o l a c y s t o i m y p r d s n s ą j a k i e j n i g d y n i e m i e l i ś m y i p e w n i e n i g d y m i e ć n i e b ę d e m y J a k o n o w i c o n k o
Bardziej szczegółowoW(s)= s 3 +7s 2 +10s+K
PRZYKŁAD (LINIE PIERWIASTKOWE) Tramitacja operatorowa otwartego układu regulacji z jedotkowym ujemym przęŝeiem zwrotym daa jet wzorem: G O K ( + )( + 5) a) Podaj obraz liii pierwiatkowych układu zamkiętego.
Bardziej szczegółowo5. Zadania tekstowe.
5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Bardziej szczegółowoGdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 25.01.2003 r.
Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoSzeregi trygonometryczne Fouriera. sin(
Szrg rygoomryz Fourr / Szrg rygoomryz Fourr D js ukj: s os Pożj pod są włsoś ukj kór wykorzysmy w późjszym zs Ozzmy przz zę zspooą pos: Wówzs s os orz os s Fukję zpsujmy w pos: s s os os os u os W szzgóoś
Bardziej szczegółowoń ń ń
Ą ź ć ń ń Ą ń ń ń Ą Ó ń Ą ć Ą Ń Ą ć ć ć ń ń Ą ć Ą ć ć ń ń ń ń ź ć ź Ą ć ć ć Ę ń Ó ń ń Ę Ą ć ń ń Ń ń ń Ń ć ć ń ź Ę ń ź ń ź ć ć ź ć ń ń ć ć ć ń ć ć ć ć ć Ę ć ć ź ć ź ń ć ć ń Ą ń ć ź ć Ą ź ć ń ć ź Ó Ś ć ń
Bardziej szczegółowo