FILTRY ANALOGOWE Spis treści

Transkrypt

1 FILTRY AALOGOWE Spis treśi. Modele iltrów aalogowyh. Idealy iltr doloprzepustowy 3. Rzezywiste iltry doloprzepustowe 4. Stabilość iltrów 5. Filtr Butterwortha 6. Filtr Czebyszewa 7. Filtry eliptyze 8. Porówaie własośi iltrów rzezywistyh 9. Przekształeie iltrów doloprzepustowyh a iltry góroprzepustowe, pasmowe i pasmowozaporowe.

2 Modele matematyze iltrów s t ht s wy t s we s H s s wy s we s H wy s ht odpowiedź impulsowa iltru H s trasmitaja Laplae'a H trasmitaja Fouriera,

3 Modelowaie iltraji Splot s wy t h t s we d Jądro t t e sˆ sˆ wy h t s we d e wy we jt sˆ s h t e wy we j H s e d wy we s H s jt trasormaji Fouriera jest multiplikatywe, tz. dt dt d t t 3

4 Charakterystyki iltrów H A e j C gdzie A R harakterystyka amplitudowa iltru, harakterystyka azowa iltru s A e we we we j s A e wy wy wy j wy we A A A wy we t 4

5 Idealy iltr doloprzepustowy H e j t dla dla m m t harakterystyka amplitudowa.5 harakterystyka azowa m m ar tg t m m zęstotliwość zęstotliwość 5

6 Filtry: doloprzepustowe, góroprzepustowe, pasmowe i pasmowozaporowe.5 iltr doloprzepustowy.5 iltr góroprzepustowy.5 iltr pasmowy.5 iltr pasmowozaporowy 6

7 Maski do projektowaia iltrów 7

8 Filtraja impulsu Diraa Impuls Diraa s we t t we i jego widmo s wy s H s wy t h t Moża to uzasadić w iy sposób t h t h t s wy t h t d Bo dla obie stroy się zerują. s wy h t s we d 8

9 Idealy iltr doloprzepustowy s we t t wy s t h t si m[ t t ] t t m t t t t 5 9

10 Rzezywisty iltr doloprzepustowy A dla A dla r zęstotliwość Hz

11 Trasmitaja iltru rzezywistego j j j b j a H gdzie a b m, R b b b b b b a a a a a a H j

12 Charakterystyka amplitudowa iltru rzezywistego * H H H gdzie * j H H d d i i i i i i i i i i b b d a a it / it it / it gdzie,,, dla it x jest zęśią ałkowitą z lizby x j j j b j a H

13 Zależośi między współzyikami a d b a a a d b b b a a a a a d b b bb b a a a a a a a d b b bb b b b 3

14 Deiija stabilośi iltrów Jeżeli istieją stałe sygału wejśiowego i s we wyika ograizoość sygału wyjśiowego s wy takie, że z ograizoośi to iltr azywamy stabilym. Jeżeli dodatkowo dla sygału wejśiowego zerująego się od pewej hwili zasu, tz. spełiająego waruek s we t dla t T,sygał wyjśiowy z iltru zaika, tz. s wy t dla t, to taki iltr azywamy asymptotyzie stabilym. 4

15 Twierdzeie o stabilośi iltrów Jeżeli wszystkie pierwiastki wielomiau bs mają ujeme zęśi rzezywiste to wtedy i tylko wtedy iltr o trasmitaji H a b j j jest asymptotyzie stabily 5

16 Filtr Butterwortha Butterworth 93 rok H d bo H d d Aby harakterystyki były maksymalie płaskie dla potrzeba i wystarza, aby d dla =,,...- Maksymalie płaskie dla będą wtedy i tylko wtedy, gdy dla =,,

17 Charakterystyka amplitudowa iltru Butterwortha H d d aby H dla d zęstotliwość odięia H 7

18 Charakterystyka zęstotliwośiowa iltru Butterwortha H a b j j a dla,..., d przyajmiej iektóre b zyli H b j 8

19 Przykład iltru Butterwortha, rząd trzei Jaka jest trasmitaja iltru Butterwortha rzędu =3 z zęstotliwośią odięia? Otrzymujemy : d aby iltr miał wzmoieie dla zęstotliwośi aby harakterystyka iltru była maksymalie płaska dla aby iltr był maksymalie płaski dla bardzo dużyh zęstotliwośi z tematu zadaia. d, d 3 d 3 d dla 3 bo iltr ma być rzędu 3. H d d 9

20 Kotyuaja przykładu a b a a a b b b a a a b bb a 3 3 b3 3 H a b j j a3, a, a, a, b, b3 b b b b b b b aby spełić waruek koiezy stabilośi.

21 Trasmitaja Laplae a iltru Butterwortha Podstawiają s j otrzymujemy Hs b s H s H s H * s ma bieguów, połowa pohodzi od Hs a druga połowa od H * s Hs s

22 Rozmieszzeie bieguów trasmitaji Laplae a s zyli s e e j dla =,,..., j a stąd s os 5, / jsi 5, / parzyste s j e dla =,,..., ieparzyste os / si / dla =,,..., s j Jeżeli rząd iltru jest ieparzysty s oraz s /

23 Trasmitaja Laplae a iltru Butterwortha Trasmitaja iltru Butterwortha rzędu -tego Hs s s 3

24 Bieguy doloprzepustowego iltru Butterwortha siódmego rzędu zęść urojoa zęść rzezywista 4

25 Przykład iltru Butterwortha, rząd drugi Dla iltru Butterwortha drugiego rzędu z zęstotliwośią odięia 5, / otrzymujemy ztery bieguy harakterystyki amplitudowej s os 4 jsi 4 j s os 3 4 jsi 3 4 j s3 os 5 4 jsi 5 4 j s os 7 4 jsi 7 4 j 4 5

26 6 Trasmitaje iltru Butterwortha drugiego rzędu s s j s j s s H j j j j j H gdzie / 4 4 j H 4 H

27 Wielomiay harakterystyze iltrów Butterwortha 3 4 s s s s s s s s s 3 3 4,848s s,765s s,63s 3,44s,63s s

28 Charakterystyki amplitudowe iltrów Butterwortha rzędu 3, 6 i

29 Założeia projektowe dla iltrów r - dopuszzala odhyłka harakterystyki w paśmie przewodzeia, - dopuszzala odhyłka w paśmie tłumieia, -końowa zęstotliwość pasma przewodzeia, - pozątkowa zęstotliwość pasma tłumieia. 9

30 Własośi iltrów Butterwortha H H, 77 H 9, r zatem r H log [ ] log r H dla 3

31 Wykresy harakterystyk amplitudowyh iltrów Butterwortha.8.6 H,77 Filtr idealy = 3 = 6 =

32 Odpowiedzi impulsowe iltru Butterwortha Rząd drugi i trzei h t dla t t e si t dla t h t 3 dla t t 5t 3 3 3, e e si t os t dla t 3 3

33 33 Filtry Czebyszewa H T gdzie T są wielomiaami Czebyszewa rzędu s T!!!!!! gdzie /

34 Wielomiay Czebyszewa Pautij Czebyszew ur. 8 Okatów k/moskwy zm. 894 Sakt Petersburg T T T 3 T T T T T T T T 4 T T T 34

35 Wykresy wielomiaów Czebyszewa H T.8.6 = = = = 3 = 4 =

36 Rozmieszzeie zer i ekstremów wielomiaów Czebyszewa pierwiastków w przedziale os gdzie =,, 3,..., przy zym Wszystkie ekstrema, któryh lizba wyosi - zajdują się w eks przedziale i spełiają waruki eks os gdzie,,,..., 3 4 =

37 Ekstrema wielomiaów Czebyszewa max Dla maksimów T atomiast dla miimów T mi H T dla 6,,,... T dla ieparzystyh dla =,4,8,... T limt s 3 4 =

38 Założeia projektowe iltrów Czebyszewa w paśmie przewodzeia Projektowaie iltru Czebyszewa pierwszego rodzaju : - dopuszzala odhyłka w paśmie przewodzeia, - i r graize wartośi pasma przejśiowego iltru. zatem ale gdy to H Odhyłki pomiędzy ekstremalymi wartośiami harakterystyki w paśmie przewodzeia wyoszą / 3 4 = H T

39 Założeia projektowe iltrów Czebyszewa w paśmie zaporowym Projektowaie iltru Czebyszewa pierwszego rodzaju : - dopuszzala odhyłka w paśmie tłumieia, - i r graize wartośi pasma przejśiowego iltru. Dla T osh arosh - osh arosh r aros h r ar osh.8 3 = = H T 39

40 Moduł trasmitaji Laplae a iltru Czebyszewa H s js T bo s j 4

41 Rozmieszzeie bieguów trasmitaji Laplae a iltrów Czebyszewa Dla s T s os aros s js os aros js zyli os aros dla =,,..., j gdzie s sih os jos h si arsih =,,..., 4

42 Wykres rozmieszzeia bieguów iltru trzeiego rzędu.8 zęść urojoa zęść rzezywista 4

43 Filtry Czebyszewa drugiego rodzaju H T r.8 Filtr idealy = 3 = 6 = 9 amplituda zęstotliwość 43

44 44 Filtry eliptyze Cauer w 93 roku H U parzystego dla ieparzystego dla U gdzie /

45 Bieguy i zera iltrów eliptyzyh Wartośi ukji U w przedziale odwrotośiami jej wartośi dla zyli są U U W szzególośi bieguy U są odwrotośiami zer. Wszystkie bieguy zajdują się w przedziale atomiast zera są ulokowae w zakresie H U 45

46 Projektowaie iltrów eliptyzyh Rząd iltru wyzaza się z zależośi Kk K K K k gdzie k atomiast Fukja K r jest współzyikiem pasma przejśiowego, jest ałką eliptyzą pierwszego rodzaju Kk k d si 46

47 Wyzazaie bieguów trasmitaji Hs re s k' k s, s q, k' q, k' r, k d r, k s qk, ' d r, k d q, k' s r, k im s s qk, ' d r, k rk jest siusem eliptyzym Jaobiego zmieej i dlatego jest rówy ukji odwrotej do r, k d r, k r y dt t k t gdzie y s r, k jest kosiusem eliptyzym Jaobiego, zatem spełia tożsamość r, k s r, k jest deltą amplitudy Jaobiego d, rk k s, rk q j K k K s j, r K k K k 47

48 Wykresy harakterystyk amplitudowyh iltrów eliptyzyh Filtr idealy = 3 = 6 = 9.8 amplituda zęstotliwość 48

49 Wykres rozmieszzeia zer i bieguów iltru eliptyzego zęść urojoa zęść rzezywista 49

50 Charakterystyki iltrów eliptyzego 6-tego rzędu KHz KHz KHz.MHz MHz MHz.GHz dbi_ull dbi_out_di Frequey według modelu matematyzego rzezywista 5

51 Porówaie własośi iltrów rzezywistyh Dobierają iltry mamy do dyspozyji astępująe parametry: a dla iltru Butterwortha tylko dwa parametry: -zęstotliwość odięia, -rząd iltru. b dla iltru Czebyszewa trzy parametry: -zęstotliwość odięia, -rząd iltru. lub - wielkość zaalowań. dla iltrów eliptyzyh ztery parametry:, r - pozątek i koie pasma przejśiowego, -rząd iltru. - wielkość zaalowań. i 5

52 Przekształaie iltrów doloprzepustowyh a iltry góroprzepustowe i pasmowe

53 Przekształeie iltrów doloprzepustowyh a iltry góroprzepustowe ieh iltr doloprzepustowy o zęstotliwośi odięia d d ma postać H s, przez podstawieie d g d s 4 g s g g otrzymamy iltr góroprzepustowy H s. Podstawiają s d d g j i s j d g otrzymujemy d Dla zęstotliwośi odięia iltru doloprzepustowego g g otrzymujemy, zyli zęstotliwość odięia iltru d góroprzepustowego. Pukt zostaje przekształoy g g d w pukt lub, atomiast pukt g ulega przekształeiu w s. d g g d d 53

54 Przekształeie iltrów doloprzepustowyh a iltry pasmowe Graie przewodzeia iltru pasmowego ozazmy przez i przy zym. Filtr doloprzepustowy moża przekształić w iltr pasmowy przy pomoy przekształeia 4 Podstawiają s d s d i d s p p s d p j s j d d p p p otrzymujemy Wstawiają do powyższej zależość p otrzymujemy d d a dla p d d otrzymujemy. Charakterystyka iltru doloprzepustowego dla d zostaie przekształoa w harakterystykę dla puktu p. W pukie p d otrzymamy zyli iltr pasmowy tłumi składowe stałe sygałów. 54

55 Przekształeie iltrów doloprzepustowyh a iltry pasmowozaporowe Aby otrzymać iltr pasmowozaporowy stosujemy przekształeie d d s s b b 4 s 4 Podstawiają do powyższego wzoru d d s j b oraz s j otrzymujemy b d d b Z zależośi tej wyikają astępująe wioski : b b b d d d d b d b d b d 55