Materiały dydaktyczne. Teoria sterowania. Semestr V. Wykłady

Transkrypt

1 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Mteriły dydtycze eori terowi Semetr V Wyłdy Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci

2 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego emt (4 godziy): Modele mtemtycze ytemów. Rodzje i trutury ułdów terowi. Zgdiei: A. Modelowie litycze ytemów ( bzie prw fizyi). Przyłdy. (h) B. Rówi tu. Rodzje i trutury ułdów terowi. (h). Zgdieie:.A Modelowie litycze ytemów ( bzie prw fizyi). Przyłdy Przez model mtemtyczy ytemu (obietu, proceu) rozumiemy tzw. model lityczy tj. ułd rówń różiczowych, różicowych i lgebriczych odwzorowujący z wymgą dołdością itote ilościowe wpółzleżości zmieych proceowych i zmieych tu. Modele toowe do bdi obietów utomtyi ie muzą być portretem rzeczywitości. Powiy tomit wyrżć jego jwżiejze cechy i być możliwie jprotze. Sztu modelowi poleg, więc tym, by uwzględić tylo te zjwi, tóre mją itote zczeie dl utloego celu bdń. Przyłd. (ułd mechiczy my, prężyy i tłumi) Rozwżmy ułd, w tórym między ciłem o mie m i ieruchomym obietem (ści) dziłją iły prężytości i trci (Ry..). N ciło zewętrze dził ił F(. Złdjąc, że prędość v( ( poruzjącego ię cił m zwrot zgody z zewętrz iłą, moż (toując zdę d Alembert orzejącą, że um lgebricz ił przyłożoych do ułdu jet rów zero) pić tępujący bil ił: F m - recj my m, F - ił trci tłumi, B F - prężytość prężyy, F( F F F m ( B ( ( (.) m B Ry... Ułd my, prężyy i tłumi. Dooując tępujących przeztłceń pizemy rówie (.) w tzw. potci ormlej (model w przetrzei tów). W tym celu ozczmy: ;. Mmy wtedy: Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci

3 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego ( ( B F( ( ( ( m m m (.) Ze względu liiowość modelu możemy terz, ozczjąc iłę ymbolem terowi F( u(, zpić go w potci mcierzowej: B u m m m A Bu (.3) co w zwrtej potci zpiujemy tdrtowo t j po prwej troie. W przypdu obietów (proceów) o złożoej dymice budow modelu bzie prw fizyi prowdzi do ompliowych zleżości mtemtyczych, tóre częto czyią model trudy do wyorzyti prtyczego. Dltego oleją fzą modelowi jet proce jego uprzczi, dbjąc jed o zchowie itotych z putu widzei dlzych jego ztoowń relcji, tóre model odwzorowuje. Sytucj tego rodzju wytępuje podcz modelow dymii ruchu ttu. Podmy poiżej dw uprozczoe modele (liiowy i ieliiowy) ruchu ttu, tóre woją względą prototę zwdzięczją włśie złożoemu proceowi uprzczi (modelu otrzymego wcześiej w oprciu o modelowie litycze). Przyłd. (modele dymicze ruchu ttu Nomoto i Norrbi ) Rówie opiujące ruch ttu wg. Nomoto [Foe] m potć: ( ( K ( (.4) gdzie : ( - odchyleie od uru zdego ( - wychyleie płetwy terowej ( < m - mymle wychyleie teru (ogriczeie terowie) - tł czow [] K - wpółczyi wzmociei ( wpółczyi efetywości teru ) [/] Norrbi (963) zpropoowł, by ztąpić w modelu Nomoto liiowy łdi przez ieliiowe chrterytyi mewrowe H ( N ) otrzymując model potci: H N ( ) K (.5) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 3

4 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Fucj H ( N ) opiuje ieliiową chrterytyę mewrową uzyą w oprciu o tzw. mewr odwrócoej pirli [Foe]. Przyjmuje ię ją tdrtowo jo wielomi 3-go topi (.6) 3 H N ( ) 3 Dl ttu ietteczego urie mmy, zś dl tteczego. Npęd z jedą śrubą lub ymetri dłub prowdzi do iezerowej wrtości. Słdi może łużyć tże do modelowi tłego wychylei teru (ruder off-e potrzebego do ompecji złóceń w potci tłego witru lub prądu. Zcz liczb ttów może być opi z pomocą chrterytyi w potci protego wielomiu: 3 H ( N ) 3 (.7) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4 Przyłd.3 (model de Wit-Oppe go) Model Norrbi uzupełioy rówimi iemtyi, rówimi wiążącymi dymię ruchu potępowego (wzdłużego) ttu, jo recję iłę poru śruby S, orz zleżość między prędościmi boczą v orz ątową r m potć tzw. modelu de Wit-Oppe go (W-O) ttu: = u coψ v i ψ y = u i ψ v coψ ψ = r 3 r = r br cδ u = f u Wr S v = r r r r 3 3 gdzie (, y) wpółrzęde rtezjńie ur r prędość ątow u prędość wzdłuż v prędość bocz wychyleie płetwy terowej (zmie terując) S ił poru śruby Jo wpółczyii modelu bierzemy prmetry m.. Comp Ild : =.84/mi, b=.6mi, c=3.553 rd/mi, r =-.375 m/rd, r =, f=.86/mi, W=.67m/rd, S =.5 m/mi. Ie de ttu to: - mymle wychyleie orz prędość wychyli teru wyozą odpowiedio 35 deg i 3.8 deg/. - toż rejetrowy brutto (GR - gro regiter toge) 94 t, - ośość (DW - dedweigh 3498 t, - zurzeie 9.4 m, - jed śrub, - prędość myml ot. (.8)

5 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Zuwżmy, że wybre przyjęte prmetry czyią tte tteczym urowo. Itieją róże pooby lizy modeli ytemów j p.: - bdie tbilości (p. w oprciu o ryterium Hurwitz), - porządzie chrteryty ttyczych tz. utleie relcji miedzy zmieymi wejściowymi, wyjściowymi w tie utloym (tz. po ziięciu proceów przejściowych), - bdie przebiegu trjetorii w przetrzei fzowej woół putów rówowgi (porządzie portretu fzowego), - lieryzcj ytemu woół putu rówowgi z wyorzytiem wzoru ylor, - umerycz liz zchowi ię ytemu w oprciu o bdi ymulcyje. Zgdieie:.B Rówi tu. Rodzje i trutury ułdów terowi Jedą z ogólych form modeli dymiczych ytemów ą tzw. rówi tu, tóre w potci wetorowej mją potć: f ( t,, u) ; wrui początowe ( (.8) y g( t,, u ) (.9) Rówie (.8) jet to ułd rówń różiczowych zwyczjych w potci ormlej, czyli tzw. rówie tu tomit drugie (.9) z rówń (lgebricze) zywmy rówiem wyjści. Wytępujące tu zmiee wetorowe zywmy odpowiedio: u ( - wejście terujące (terowie) ( - t ułdu y ( - wyjście ułdu ( zmiee dotępe pomirowo) Złócei dziłjące ułd będą chwilowo pomiięte. Model (.8),(.9) otrzymuje ię przez toowie odpowiedich prw fizyi do rozwżego obietu bądź też moż go uzyć drodze eperymetlej. Stem ułdu (proceu) zywmy jmiejzy zbiór wielości (, (, 3(,, ( tórego zjomość w chwili t orz zjomość wejść w przedzile ( t, t ] pozwl wyzczyć t i odpowiedzi (wyjści) ułdu w chwili t, t t. rjetori tów (ruchu ytemu, przebiegu proceu) ( t ) { ( t ) : ( t, t u ]; u u ( t ), ( t )}, opiuje ewolucję (przebieg zmi) tu ytemu (proceu) w czie. Rówi tu (.8) w potci rozwiiętej mją potć: Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

6 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego f ( t,..., u...u ) ; ( t ) m f ( t,..., u...u ) ; ( t ) m f ( t,..., u...u ) ; ( t ) m gdzie i = d i ; i =,, 3,..., dt tomit rówi wyjści (.9) : y g ( t,..., u...u ) y g ( t,..., u...u ) y g ( t,..., u...u ) r r m m m Rówi te oreślją relcję wejście-wyjście tz. dl oreśloego wetor wejść u (, przedziłu czu ( t, t ] orz wruu początowego rówi oreślją jedozczie przebieg wetor tów ( (trjetorię tów) orz przebieg wetor wyjść y (. Wżą podlą ułdów typu (.8), (.9) towią tzw. ułdy liiowe opie rówimi potci: A Bu y C (.) gdzie A, B, C ą to mcierze odpowiedich wymirów. eori tich ułdów jet brdzo rozbudow w związu z czym modele tego typu ą częto wyorzytywe do ytezy ułdów terowi. Brdzo częto ytezy terowi dl ytemów ieliiowych doouje ię poprzez ich lieryzcję woół utloego putu prcy, więc proymcję ytemu ieliiowego - liiowym (w pewym obzrze woół putu prcy). Nleży pmiętć, że t ( ułdu w przeciwieńtwie do wetor wyjść y( jet ogół iedotępy pomirowo. Zjomość tu jet jed brdzo wż ze względu ytezę ułdu terowi, dltego do jego etymcji (odtworzei) toujemy częto tzw. oberwtory tu. Idetyficj modelu - proce zjmujący ię problemmi wyzczi trutury lub/i prmetrów modeli mtemtyczych orz oceą ich dewtości w touu do modelowego proceu. Podtwowe typy terowń to: ) terowie w obwodzie otwrtym ( ope-loop cotrol) u = u(, Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

7 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego y d ygl zdy urzdzeie terujce (lgorytm terowi) u terowie Obiet f ( t,, u) y g( t,, u) - wetor tu y wyjcie Ry... Sterowie w obwodzie otwrtym. ) terowie w obwodzie zmiętym, przężeiu zwrotym ( cloed-loop cotrol, feedbc cotrol): u = u(t, ) - terowie zleży od tu ( tte feedbc) u = u(t, y) - terowie zleży wyjści (output feedbc) Główe cechy ytemu terowi ze przężeiem zwrotym moż zobrzowć: y d ygl zdy urzdzeie terujce (lgorytm terowi) u terowie Obiet f ( t,, u) y g( t,, u) - wetor tu y wyjcie przezeie zwrote urzdzeie pomirowe Ry..3. Sterowie w ułdzie ze przężeiem zwrotym (od wyjści). emt (4 godzi): Stbilość ytemów dymiczych. Kryterium Routh-Hurwitz. Zgdiei: A. Defiicj tbilości ytemów dymiczych w eie Lpuow; (h) B. Wrue oieczy i dotteczy tbilości ytemów liiowych tcjorych; (h) C. Kryterium tbilości Routh-Hurwitz. Przyłd; (h) Zgdieie:.A Defiicj tbilości ytemów dymiczych w eie Lpuow Itieje, co jmiej il defiicji tbilości ytemu dymiczego. Jedą z wżiejzych, zwłzcz z teoretyczego putu widzei, jet pojecie tbilości w eie Lpuow. Metody ytezy ułdów terowi wywodzące ię z tej ocepcji wciąż zyują zczeiu. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

8 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Def. Putem rówowgi ytemu ieliiowego opiego rówiem f () zywmy put, dl tórego f ( ). r r Sytem ieliiowy m z reguły więcej iż jede put rówowgi. Jeżeli det A, to ytem liiowy opiy rówiem A m jede put rówowgi r. W tym przypdu bowiem rówie A m tylo jedo rozwiązie. Niech t będzie putem rówowgi ułdu ieliiowego opiego rówiem f (). Jeżeli put rówowgi ie poryw ię z początiem ytemu wpółrzędych, to przez odpowiedią zmię wpółrzędych (przeztłceie zmieych tu) moż prowdzić go do tego putu. Złóżmy, że ytem zotł wytrącoy ze tu rówowgi i w chwili początowej t zjduje ię w tie (). Def. Put rówowgi zywmy tbilym (w eie Lpuow) jeżeli dl żdej liczby dodtiej moż dobrć tą liczbę ( zleżą ogół od ), że trjetori rozpoczyjąc ię w pucie leżącym wewątrz uli o promieiu, pozotie wewątrz uli o promieiu dl dowolej chwili t. ( ( ) (.) ( ) t Symbol tzw. ormy wetor defiiujemy jo jego długość tz. Def. Put rówowgi zywmy tbilym ymptotyczie, gdy: o put te jet tbily o lim (. t Def. Sytem liiowy tcjory A zywmy tbilym (tbilym ymptotyczie), jeżeli put rówowgi tego ułdu jet tbily (tbily ymptotyczie). Ry... Przyłdowy przebieg trjetorii płzczyźie tów. - ytem tbily ymptotyczie, - ytem tbily, 3- ytem ietbily Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

9 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Sytem tbily ymptotyczie dl czu t dążącego do ieończoości powrc do tu rówowgi, z tórego zotł wytrącoy. W ytemie tbilym zmiee tu ą ogriczoe dl dowolej chwili t >, le ie muzą mleć do zer dl czu t dążącego do ieończoości. Ntomit w ytemie ietbilym zmiee tu ie ą ogriczoe dl dowolej chwili t > i mogą roąć do ieończoości. Stbilość ytemu w młym otoczeiu putu rówowgi zywmy tbilością lolą, tbilość przy dowolie dużych wruch początowych zywmy tbilością globlą. Zgdieie:.B tcjorych Wrue oieczy i dotteczy tbilości ytemów liiowych Rówie chrterytycze mcierzy A m potć: det( A λi ) P ( ) (.) Pierwiti tego rówi (rzeczywite bądź zepoloe),. zywmy wrtościmi włymi mcierzy A tomit m zbiór,. zywmy widmem mcierzy A. Sytem liiowy tcjory Rei ; i,,. A jet globlie tbily ymptotyczie Obliczjąc wyzczi (.) otrzymujemy rówie chrterytycze (lew tro tego rówi zyw ię wielomiem chrterytyczym) w potci: P ( )...,. Ztem dl tbilości ymptotyczej bdmy położeie pierwitów wielomiu P ( ) względem oi urojoej Im: ) jeżeli części rzeczywite wzytich pierwitów ą ujeme to ytem jet tbily ymptotyczie; ) jeżeli wzytie pierwiti rówi chrterytyczego mją iedodtie części rzeczywite, przy czym pierwiti (bieguy) z zerową częścią rzeczywitą ą pierwitmi jedorotymi to: Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

10 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego - ytem jet tbily eutrlie ( mówimy też, że zjduje ię periodyczej gricy P m jede pierwite zerowy p. tbilości), gdy wielomi ( ) i Im Re Sytem zejduje ie periodyczej gricy tbiloci (jet eutrlie tbily) - ytem zywmy tbilym ocylcyjie (ytem ocylcyjej gricy tbilości) w przypdu pierwitów zepoloych przężoych ( jb ) p. i Im Re Sytem zejduje ie ocylcyjej gricy tbiloci 3) jeżeli pośród pierwitów rówi chrterytyczego chociż jede jet dodti to ytem ietbily. Kryteri tbilości ytemów liiowych ciągłych Bdie tbilości ułdów liiowych ciągłych prowdz ię do bdi położei pierwitów rówi (wielomiu) chrterytyczego: P )... (.3) ( o płzczyźie zmieej zepoloej. Kryteri tbilości umożliwiją bdie tbilości ułdu podtwie wpółczyiów rówi chrterytyczego (bez obliczi jego pierwitów) lub podtwie chrterytyi mplitudowo fzowej ułdu otwrtego. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci

11 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Zgdieie: C Kryterium Hurwitz. Przyłd Niech ytem liiowy tcjory A m rówie chrterytycze potci (.3). Problem położei jego pierwitów w lewej półpłzczyźie płzczyzy zepoloej wyjśi tępujące twierdzeie. wierdzeie Wielomi P ( ) (o wpółczyiu ) m wzytie pierwiti położoe w lewej części płzczyzy zepoloej, gdy wzytie główe miory digole wyzczi Hurwitz ą więze od zer tz.: , Wruiem oieczym (le ie dotteczym) położei wzytich pierwitów wielomiu P ( ) w lewej półpłzczyźie jet i dl i,,. Wyzczi Hurwitz ytemu wyzcz ię w tępujący poób: ) główej przeątej wyzczi (z lew prwo w dół) wypiujemy wpółczyii rówi chrterytyczego -,...,, o, ) wierze uzupełimy wpółczyimi tego rówi (z lew prwo wg roących ideów i ; z prw lewo wg mlejących), 3) wzytie wpółczyii, tórych idey wypdją jo więze od lub miejze od ztępujemy zermi, 4) podwyzczii mją topień olejo mlejący do jedości, przy czym żdy podwyzczi otrzymuje ię poprzez wyreśleie ottiego wierz i ottiej olumy odpowiediego podwyzczi. Przyłd. (wyorzyti ryterium Hurwitz). Zbdć tbilość ułdu o rówich tu: (.4) y y y bz z z (.5) gdzie, b tłe, lre prmetry. Przeztłcmy ytem rówń (.5) potć mcierzową: Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci

12 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci z y b z y A. Wyzczmy rówie chrterytycze mcierzy A czyli: ( ) det( ) P λ A I, gdzie: ( ) P - wielomi chrterytyczy, I mcierz jedotow. Mmy ztem ) det( b, ) ) ( ) ( ) ( det( b, ) ( ) ( ) ( b. Rozwijmy wyzczi względem -zego wierz: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b b, ( )[( ) ] b b, 3 ( ) b. Po przeztłceiu otrzymujemy wielomi chrterytyczy potci: 3 3 ( ) 3 3 P b.

13 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Stoujemy ryterium Hurwitz: dl 3 wyzczi m potć: 3 3 o 3 b 3 3 o b. Sprwdzmy z, olejych podwyzcziów (z ryterium Hurwitz mui być ; ; 3 ) 3 3 czyli 3 b 3 8 b 9 ( b) 3 3 ( b) b 3 czyli 3 ( b) i gdy b. N tej podtwie możemy porządzić wyrey fucji b f ( ). Obzr zwrty pomiędzy dwom w/w hiperbolmi towi zbiór wzytich pr wpółczyiów i b dl tórych ytemjet tbily ymptotyczie. obzr tbiloci ymptotyczej b 8 b Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 3

14 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego emt 3 (6 godziy): Struturle włości ytemów dymiczych - terowlość, oberwowlość. Oberwtory tu. Zgdiei: A. Defiicje terowlości i oberwowlości. Kryteri Klm. Przyłdy; (h) B. Defiicj i budow oberwtor tu liiowego ytemu tcjorego. Przyłd obliczeiowy; (4h) Zgdieie: 3.A Defiicje terowlości i oberwowlości. Kryteri Klm. Przyłdy m, gdzie ( R, u( itieje chwil t orz terowie u (, t [, t ], czyli ( t ). Def. Sytem f ( t,, u) dowolego tu początowego przeprowdz ytem ze tu do tu ońcowego R zywmy terowlym, jeśli dl, tóre Ze ryteri terowlości dotyczą główie liiowych ytemów tcjorych. Njczęściej toowym tetem terowlości jet ryterium terowlości Klm: liiowy ytem dymiczy jet terowly wtedy i tylo wtedy, gdy rząd mcierzy terowlości - W = B, AB, A B,, A B jet peły, czyli rw t. t m Przyłd 3. Zbdć terowlość ytemu dymiczego orz zbudowć jego chemt truturly u 3 Rozwiązie: A ; B 3 ; AB 3 Mcierz terowlości jet rów Wt [ B, AB ]. Rząd mcierzy terowlości r Wt ie jet rówy rzędowi ytemu, więc wyorzytując ryterium Klm moż twierdzić, że dy ytem dymiczy ie jet terowly. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

15 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Def. Sytem f ( t,, u) (3.) y g( t,, u ) (3.) zywmy oberwowlym, jeśli podtwie pomirów jego ygłów terujących u ( orz wyjściowych y ( dooych w pewym ończoym przedzile czu t [ t, t ], moż wyzczyć jego t początowy ( t ). Ze ryteri oberwowlości dotyczą główie liiowych ytemów tcjorych. Njczęściej toowym tetem oberwowlości jet ryterium oberwowlości Klm: liiowy ytem dymiczy jet oberwowly wtedy i tylo wtedy, gdy rząd mcierzy oberwowlości Wob C, A C,( A ) C,...,( A ) C jet peły, czyli rw ob. p Przyłd 3. Zbdć oberwowlość orz zbudowć chemt truturly ytemu dymiczego dego ułdem rówń:. u y Rozwiązie: A B C więc A C 3 Mcierz oberwowlości jet rów Wob C, A C 3. Rząd mcierzy oberwowlości rw ob jet rówy rzędowi ytemu, więc wyorzytując ryterium Klm moż twierdzić, że dy ytem dymiczy jet oberwowly. Zgdieie: 3.B Defiicj i budow oberwtor tu liiowego ytemu tcjorego. Przyłd obliczeiowy Ułd pozwljący odtworzyć podtwie zjomości terowi i odpowiedzi iedotępe zmiee tu zywmy oberwtorem. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

16 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Rozwżmy ytem liiowy tcjory S ( A( Bu( (3.3) y( C( Będziemy zuć oberwtor tu ytemu (3.3) w potci liiowego ytemu tcjorego S potci z ( Fz( Ly( Bu( (3.4) S S u Obiet y Oberwtor A Bu z Fz Ly Bu y C z Ry.3. Obiet (jo ytem liiowy i tcjory) S połączoy z ułdem S jo oberwtorem. W tym celu odejmijmy rówi (3.4) i (3.3) tromi: z ( ( Fz( ( A LC) ( Przyjmując mcierz L t, by F A LC mmy z ( ( F( z( ( ) Defiiując terz błąd odtwrzi oberwtor jo e( z( ( otrzymujemy rówie błędu e ( Fe( (3.5) zpewijące zbieżość e ( czyli z( ( (gdy t ) mocy włściwego wyboru wrtości włych mcierzy F. Dołdość ymptotyczego odtwrzi wetor tu zleży, więc od wrtości włych mcierzy F orz wruów początowych () i z (). Wetor z( będzie odtwrzł t ( tym dołdiej im więze będą moduły ujemych części rzeczywitych wrtości włych mcierzy F. Projetując oberwtor leży ztem przyjąć mcierz L z uwzględieiem tych ftów. Ozczjąc z( ˆ( rówie oberwtor (3.4) z reguły zpiujemy w potci ˆ ( Aˆ ( Bu L( y( Cˆ ( ). (3.6) W tej formie poryw ię oo z rówiem filtru Klm, jed w przypdu filtru zlezieie mcierzy wzmociei L, jo wyi proceu optymlizcji tochtyczej, jet zczie brdziej ompliowe. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

17 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego u Obiet A Bu y C y L + - B + + ˆ C ˆ Oberwtor A Ry.3. Schemt obietu terowego wrz ze truturą oberwtor tu. Przyłd 3.3 Dy jet ytem liiowy tcjory ( A( Bu( (3.7) y( C( gdzie A ; B ; C Nleży zleźć oberwtor tu dl tego ytemu. Rozwiązie: Sytem (3.7) m potć: u( y. Sprwdzmy jpierw oberwowlość ytemu. W tym celu liczymy rząd mcierzy oberwowlości: Wob C, A C rw ob. Ztem ytem jet oberwowly. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

18 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Szumy terz mcierzy wzmocień oberwtor L tiej, by zchodziło rówie F A LC, gdzie F m być mcierzą tbilą. Widć, że mcierz L mui być potci: l L l. Mmy ztem l l l F A LC l l l Rówie chrterytycze mcierzy F m potć: l det( F I ) (3 l ) l l l Złóżmy, że projetowy oberwtor m mieć mcierz F o podwójej wrtości włej rówej -3 czyli det( F I) ( 3) 6 9 tąd porówując wpółczyii przy tych mych potęgch otrzymujemy l 3; l 4 Wobec tego mmy 5 F, 4 oberwtor opiy jet rówiem z 5 z 4 z z 3 y( u( 4 lub w potci Klm ˆ ˆ ˆ 3 ( ) ( ˆ u t 4 y ˆ ˆ ). Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

19 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego emt 4 (8 godzi): Problem ytezy terowi. Sprzężeie zwrote od tu. Przeuwie bieguów - terowie modle. Zgdiei: A. Sformułowie problemu ytezy terowi. wierdzeie podtwowe; (h) B. Rozwiązie problemu ytezy metodą przeuwi bieguów (terowie modle). Przyłdy projetowi. (5h) C. Regultor z oberwtorem jo ułd dymiczego przężei zwrotego; (h) Zgdieie: 4.A Sformułowie problemu ytezy terowi. wierdzeie podtwowe Stbilizcj ytemu liiowego proporcjolym przężeiem zwrotym: Dl ułdu liiowego tcjorego potci (4.) A Bu y C leży dobrć proporcjole przężeie zwrote u K (4.) (mcierz K) t, by zpewić tbilość (ymptotyczą) ułdu ze przężeiem zwrotym (ptrz Ry. 4.) u Obiet B + + A C y przezeie zw rote K Ry. 4. Schemt truturly ułdu ze przężeiem zwrotym. Po podtwieiu (4.) do (4.) (iczej po zmięciu pętli przężei zwrotego) mmy: ( A BK). (4.3) Widć, że by zpewić tbilość ymptotyczą ułdu (4.3) leży dobrć mcierz K t, by wrtości włe mcierzy A BK leżły po lewej troie płzczyzy zepoloej. Przy czym wżym prtyczie zdiem jet ti dobór mcierzy K, by uzyć podto (dl dego ułdu regulcji) wymgy chrter (jość) proceu przejściowego (odpowiedzi ułdu). Dooujemy tego poprzez odpowiedi poób rozmiezczei wrtości włych mcierzy ytemu Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

20 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego zmiętego (tzw. locji bieguów). Uytuowie wrtości włych (bieguów) decyduje o tich włościch ytemu j cz regulcji, przeregulowie itp. Def. Mówimy, że ytem (4.) jet tbilizowly (cłowicie tbilizowly), gdy itieje tie proporcjole przężeie zwrote (mcierz K), że ytem (4.3) jet tbily (tbily ymptotyczie). Moż udowodić [Zbczy] tępujące twierdzei: wierdzeie: Sytem (4.) jet cłowicie tbilizowly wtedy, gdy jet o terowly. Podto itieje wtedy mcierz K dl tórej ytem zmięty (4.3) poid z góry zde rówie chrterytycze. Zgdieie: 4.B Rozwiązie problemu ytezy metodą przeuwi (locji) bieguów (terowie modle) Dl ułdu liiowego tcjorego (4.4) A Bu gdzie rówie chrterytyczym mcierzy A jet... leży zleźć mcierz przężei zwrotego K t, by ytem zmięty ( A BK) poidł z góry zde rówie chrterytycze:.... Pożemy, że w przypdu ytemu, gdzie mcierze A i B ytemu mją potć (tzw. oiczą potć terowlości, KPS), A ; b. (4.5) to formułowe zdie terowi modlego m zczególie prote rozwiązie potci: [,,..., ],,...,( ). (4.6) W tym celu ztoujmy do ułdu A b u terowie potci u, gdzie [,,..., ]. Otrzymmy wtedy ytem ( A b ), gdzie Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci

21 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego ( A b ). (4.7) ( ) ( ) ( 3) ( ) Aby, ytem te mił zde rówie chrterytycze... mui zchodzić,,, i i i i. Wytrczy, więc przyjąć i i i co dje ftyczie wzór (4.6). W celu pozi prwdziwości wzoru (4.6) dl ogólej formy ytemu A bu o jedym wejściu wytrczy podć poób prowdzi tego ytemu do oiczej potci terowlości ( A, b ). Niech ytem ( A, b ) będzie terowly tz. rząd mcierzy terowlości - W = b, Ab, A b,, A b jet rówy rzędowi ytemu ( rw ). Chcemy zleźć liiowe przeztłceie zmieych tu prowdzjące go do oiczej potci terowlości (4.5). Weźmy przeztłceie oreśloe zleżością z lub z, (4.8) przy czym z jet owym -wymirowym wetorem tu, - mcierzą ieoobliwą ( det ) przeztłcei. Podtwijąc (4.8) do A bu otrzymmy gdzie z A z b (4.9) u A A ; b b. (4.) W celu zleziei mcierzy pizmy mcierz terowlości oiczej: W dl ytemu w potci W b, A b, A b,, A b. (4.) Korzytjąc z ftów, że A A ; A b A b,,, (łtwo prwdzić, że orz mmy A ( A )( A ) A etc. ( ) A b A b A b ) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci

22 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego,,,,,,,, W = b Ab A b A b b Ab A b A b W. Otteczie = WW lub = WW. (4.) Moż przy tym wyzć, że mcierz rówi chrterytyczego ytemu W dje ię proto przedtwić z pomocą wpółczyiów A bu : W (4.3) Podumowując, dl zlezioego ytemu ( A, b ) zjdujemy mcierz przężei zwrotego wzoru (4.6). Ntępie wyzczmy logiczą mcierz dl ytemu orygilego ( A, b ) ze wzoru. (4.4) ze Wzór (4.4) łtwo uzyć toując do rówi ułdu zmiętego ( A b) przeztłceie tępie orzytjąc z (4.). Uzyliśmy w te poób metodę rozwiązi potwioego wcześiej problemu (terowi modlego) dl ytemów liiowych o jedym (lrym) wejściu. Przyłdy projetowi Przyłd 4. Dl ytemu liiowego gdzie A bu A 3 ; b, zleźć mcierz przężei zwrotego t, by ytem zmięty poidł z góry zde wrtości włe (bieguy), 3 3 tz. jego rówie chrterytycze było potci: ( )( )( 3) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci

23 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Rówie chrterytycze mcierzy A jet: 3 det( λ ) A I. Wpółczyii rówi chrterytyczego, ą więc 3,, 3. Mcierz terowlości 7 W = b, Ab, A b 3 9. Z rówi (4.3) mmy 3 W 3. Łtwo prwdzić, że W jet ieoobliw, ztem ytem może być przeztłcoy do KPS z pomocą przeztłcei, przy czym: 3 3 = WW Mmy więc: A A ; 3 3 Stoujc wzór (4.6) otrzymujemy b b [,,..., ],,...,( ) [ 9 9]. Stąd, dl ytemu orygilego (A, b) mmy: [ 3 7 6]. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 3

24 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego W zdiu poiżej przeprowdzimy podobe obliczei toując jed podejście bezpośredie (tz. bez toowi wyżej podych twierdzeń). Przyłd 4. Dy jet ytem liiowy d( / dt A( Bu. Zleźć mcierz K proporcjolego przężei zwrotego u K, by ułd zmięty poidł z góry zde wrtości włe (bieguy) p., 3. Przyjmujemy A ; B. Rozwiązie Po zmięciu obwodu przężei zwrotego mmy ułd potci ( A BK ) lub iczej A gdzie A A BK. Obliczmy A A BK Rówie chrterytycze dl A jet potci P ( ) det( A λi) ( )( ) ( ) Nleży dobrć prmetry, t, by otrzyme rówie chrterytycze miło zdą wcześiej potć: ( )( 3) 5 6. Stąd, porówując odpowiedie wpółczyii mmy: =5 orz 6 Otteczie K 6 7. Zgdieie: 4.D zwrotego Regultor z oberwtorem jo ułd dymiczego przężei Niech K będzie mcierzą przężei zwrotego od tu dl regultor liiowego u K. (4.5) W przypdu ztoowi oberwtor tu (ptrz temt 4) regultor te zmit tu wchodzi etymt ˆ z oberwtor, czyli terowie przyjmie potć Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

25 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego u K ˆ. (4.6) Wtwijąc terz terowie (4.6) do (3.6) mmy ˆ ( ( A BK LC) ˆ ( Ly( u Kˆ(. (4.7) Wyorzytując tzw. zdę eprcji ułd te moż iterpretowć jo dymiczy regultor, tórego wejściem jet y ( (czyli wyjście ytemu (3.3)) tomit wyjściem terowie u. u Obiet A Bu y C y L + - u B + + ˆ C A K Regultor wrz z oberwtorem Ry.4. Schemt bloowy obietu terowego wrz z regultorem zilym etymowym t em z oberwtor. emt 5 (8 godzi): Algorytmy optymlizcji. Sterowie optymle. Zd mimum. Regultor liiowo-wdrtowy LQR. Zgdiei: A. Algorytmy optymlizcji. Sterowie optymle; (h) B. Zd mimum; (h) C. Regultor liiowo-wdrtowy LQR; (h) D. Projetowie optymlego utopilot jo problem LQR (h) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

26 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Zgdieie: 5.A Algorytmy optymlizcji. Sterowie optymle. Optymlizcj jet to dził ui (mtemtyi) zjmujący ię metodmi i lgorytmmi zjdowi optymlego (tz. jlepzego w eie utloego wcześiej ryterium) rozwiązi dego problemu z pośród oreśloego zbioru rozwiązń dopuzczlych. Wśród populrych zdń (lgorytmów) optymlizcji moż wymieić zdie progrmowi liiowego lub ieliiowego (zczie trudiejzego) lub też róże ich writy pośredie lub pecjlizowe j p. progrmowie wypułe, cłowitoliczbowe etc. Zdie optymlizcji formułuje ię zzwyczj w języu mtemtyi jo problem zjdowi etremum (mimum lub miimum) fucji wielu zmieych (tzw. zmieych decyzyjych) przy ogriczeich te zmiee w potci ułdu rówości lub/i ierówości p.: zmiimlizowć fucję f ( ) gdzie [,,, ], przy ogriczeich gi ( ), i,, I ; h ( ),,, K. Sformułowie to, w zpiie ymboliczym, moż przedtwić tępująco: zleźć wetor R ti, że: gdzie rg mi f ( ) D D { : g ( ), i,, I; h ( ),,, K}. i Itieje zero gm metod i lgorytmów umeryczych rozwiązywi ww. formułowego problemu cechujących ię różymi włościmi (p. zybością zbieżości lgorytmu, ilością potrzebych itercji, łdem obliczeiowym, młą wrżliwością put trtowy procedury (iitil gue) etc.). Szczególie efetywe ą oprcowe lgorytmy rozwiązywi zdń progrmowi liiowego, gdzie wetor zmieych może mieć wet wiele dzieiątów wpółrzędych. Zczie brdziej zwowym typem zdń optymlizcji ą problemy w tórych wetor zmieych decyzyjych jet elemetem przetrzei ieończeie wymirowej (przetrzei fucyjej). Począti teorii optymlizcji w przetrzeich ieończeie wymirowych dotyczą rchuu wricyjego (XVIII w., L. Euler, J. Beroulli), bzie tórego, w ltch 5tych XX wieu, tworzoo podtwy teorii terowi optymlego (R. Bellm, L. Potrigi). eori t dł podtwy do ciągle iteywie rozwijych metod optymlej ytezy ułdów utomtyczego terowi ytemów dymiczych. Szczególym rezulttem ą tu techii ytezy dl ytemów liiowych z wdrtowym wźiiem jości (lier qudrtic regultor) LQR. W dlzym ciągu formułujemy problem terowi optymlego j rówież podmy podtwowe twierdzeie dotyczące wyzczi terowń optymlych tzw. zdę mimum Potrigi. Problem terowi optymlego pojęci podtwowe Niech dy będzie mtemtyczy model terowego obietu lub proceu w potci rówi tu: f ( (, u( ) (5.) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

27 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego przy wruch początowych gdzie ( t ) D R ( t ), jet -wymirowym wetorem tu orz u U R m reprezetuje m -wymirowy wetor terowń. Zbiór D jet obzrem, tomit U domiętym obzrem. trjetori L zbiór docelowy L Ry. 5.. rjetori obietu terowego wrz ze zbiorem docelowym. Dy jet podto domięty zbiór L R D tzw. zbiór docelowy (trget e: L : l( ( ) (5.) gdzie l - fucj wetorow, r-wymirow ly C. Przez L ozczmy brzeg zbioru L i złdmy, że l w otoczeiu brzegu L. grdiet -tej wpółrzędej fucji wetorowej l ; =, r. l ozcz tutj tów Jo cz zończei proceu rozumiemy pierwzy momet oiągięci przez trjetorię ( ( t, t,, u ( ) zbioru L : t = mi t + R : ( L. (5.3) Mir jości terowi d jet z pomocą tzw. ryterium (wźi, fucjołu) jości (oztu, wypłty): t ( o t J u) f ( (, u( ) dt G( ( t )) (5.4) o gdzie f i G ą lrymi, ieujemymi fucjmi ly Sformułowie problemu terowi optymlego: Spośród terowń dopuzczlych u ( u U ), przeprowdzjących obiet ze tu początowego do zbioru docelowego L zleźć tie, tóre miimlizuje wźi jości J(u). Sterowie tie zywmy terowiem optymlym i ozczmy u *. Ztem * J ( u ) mi J ( u ) (5.5) uu C. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

28 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego N łdowe u i (i =,,...,m) wetor terowi u, łd ię zwyle dodtowe wrui (ogriczei) p., że ą fucjmi przedziłmi ciągłymi o wrtościch ze zbioru U. Sterowi tie zywmy terowimi dopuzczlymi. Przedtwioe zdie terowi jet brdzo ogóle. Specyfiując wytępujące tu elemety możemy otrzymć typowe, częto potye potci zdi p.: t - biorąc fucje f o =, G= mmy J ( u ) dt t t, więc tzw. problem czooptymly t o (zleźć terowie przeprowdzjące t obietu z putu do zbioru L w jrótzym czie), - opuzczjąc zbiór docelowy L mmy problem, gdzie ie wytępują ogriczei ońcowy put trjetorii, przy czym cz ońcowy t (cz trwi proceu) może być tu zrówo utloy j i wobody, - biorąc ułd liiowy A Bu z fucjołem jości potci J ( u) ( t ) H( t ) t t ( Q u Ru) dt mi (gdzie t jet z góry utloy), m tępie pomijjąc zbiór docelowy L orz ogriczei terowie (tz. biorąc U R ) dotjemy tzw. problem regultor liiowo-wdrtowego LQR (lier-qudrtic regultor). Dl problemu LQR możliwe jet touowo łtwe uzyie tzw. ytezy terowi optymlego czyli terowi w przężeiu zwrotym. Decyduje to o dużej wdze tego problemu zrówo w teorii j i ztoowich. Zgdieie: 5.B Zd mimum Potrigi Jedym z mociejzych rzędzi rozwiązywi zdń terowi optymlego jet twierdzeie ze pod zwą zdy mimum Potrigi, tórego dość ogóle formułowie podo poiżej. Przedtem jed wprowdźmy pewe potrzebe pojęci: wetor tu przężoego: hmiltoi: p( [ p (, p (, p ( ], H( p(, (, u ( ) p( f ( (, u( ) f ( (, u( ), (5.6) gdzie p f = p f p f p f ; tz. - ozcz możeie lre. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

29 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego wierdzeie (zd mimum) Jeśli w formułowym problemie terowi optymlego u u ( i ( ozczją odpowiedio terowie optymle i odpowidjącą mu trjetorię wychodzącą z zdego tu początowego, to itieje wtedy iezerow fucj wetorow p( (trjetori przężo) pełijąc wrz z i u tępujące wrui : - rówie tu f ( (, u ( ) ; ( t ) - wrui początowe (5.7) - rówi tu przężoego p p p ( H ( p(, (,u( ) p z wrumi trwerlości H H H H H H, (5.8) i p G l i p G i l p( t ) G ( ( t )) i ( ( t )) l i i i p i G l, (5.9) gdzie i R, - przy czym terowie u( u ( mymlizuje Hmiltoi : H ( p(, (, u ( ) m H( p(, ( t ), u ) ; [ ]. (5.) u t t,t Przyłd 5. Rozwżmy problem terowi ttiem poprzez rzeę, tórej wytępuje ily prąd. Nleży dotrzeć do utloego putu po drugiej troie rzei w miimlym czie. Złdmy, że prędość ttu względem wody jet tł i wyoi V. Sił prądu wzdłuż rzei zleży jedyie od odległości od brzegu (Ry 5.). Jo model terowego proceu przyjmiemy iemtyczy model ruchu ttu: Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

30 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego V co u ( ) V i u (5.) gdzie: (, ( wpółrzęde (pozycj) ttu w czie t, V prędość ttu (tł), u ur ttu (tu ąt miedzy wetorem prędości ttu oią poziom; zmie terując), ( ) fucj oreśljąc rozłdu prądu, [, ] [, ] put początowy trjetorii ttu, [, ] [, S] put docelowy (S zeroość rzei) Kryterium jości miimly cz proceu terowi: Hmiltomi ytemu: t J ( u) dt t mi (5.) H = [ p ( t ), p ( ] [ V co u ( ),V i u ], lub H = { p ( V co u + ( )) + p V i u } =. (5.3) Rówi tu przężoego: H p,. H p p '( ) Z wruu miimlizcji hmiltoiu mmy: tąd H = p V i u + p V cou =, (5.4) u tgu p ( p (. (5.5) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 3

31 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Wtwijąc (5.5) do hmiltoiu mmy zue terowie optymle: cou V C ( ) czyli u V rcco C ( ) (5.6) gdzie tłą C leży dobrć t, by trjetori ttu trfił do zdego putu ońcowego Moż to uzyć p. protą metodą trzłów [Bulirch].. Obliczei przeprowdzimy dl tępujących dych umeryczych: V =, [, ] [,], czyli S=, ( ) 8 ( ). Dl tłej C,5 uzyo trjetorię j Ry.5.. S Brzeg rzei V V Prd. u Ry. 5. Czomiiml trjetori ruchu ttu w poprze rzei. Zgdieie: 5.C Problem liiowo-wdrtowego regultor LQR (Lier Qudrtic Regultor). Niech będzie dy obiet opiy rówiem : ( A( Bu( (5.7) z wruiem początowym () przy bru ogriczeń t ońcowy i utloym czie trwi proceu tz.: ( t ) - wobody; t - utloy. Złdjąc podto br ogriczeń terowie u zumy terowi optymlego u u ( tz. tiego, tóre miimlizuje wźi jości: Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 3

32 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego t K t J(u) ( t ) H (t ) ( Q u Ru) dt mi (5.8) H i Q mcierze ymetrycze i dodtio półoreśloe R mcierz ymetrycz dodtio oreślo Def.: Mcierz A jet oreślo (półoreślo) dodtio wtedy i tylo wtedy, gdy ojrzo z ią form wdrtow f() = A jet oreślo (półoreślo) dodtio tj.: A >, ( A, R ) Stoując zdę mimum Potrigi mmy Hmiltoi : H ( ) f p f Q u Ru p ( A Bu ) (5.9) mymlizując H po u liczymy H u i przyrówujemy do zer : H u Ru B p u R B p. (5.) Zdy różiczowi fucji wetorowych: f ( ) A F A f ( ) A f A ( A mcierz ymetrycz) f ( ) g ( ) h( ) f G h H g g i h i gdzie G orz H j j d ( AB) AB AB dt Rówie przężoe: H (5.) p Q A p Ztoujmy podtwieie Riccti ego : p P p (P P) (5.) poiewż : (5.3) u R B p A BR B P Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 3

33 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego tąd : (5.4) p ( P PA PBR B P) Uwzględijąc rówie przężoe mmy : Q A P P PA PBR B P (5.5) ( ) ( ) Stąd otrzymujemy tzw. różiczowe rówie Riccti ego (RR) (5.6) P PA A P Q PBR B P Poiewż z zdy mimum G p( t ) H( t ) orz ztem : tt p( t ) P( t ) ( t ) (5.7) P( t ) H - wrue początowy RR. (5.8) W przypdu, gdy cz ońcowy t rozwiązie RR dąży do tu utloego ztem P. Rówie różiczowe Riccti ego prowdz ię wtedy do rówi lgebriczego, tórego rozwiązie P SS oreśl terowie optymle ( tzw. optymlą ytezę) u R B PSS lub SS u K (5.3) gdzie K SS R B P SS (5.3) Zgdieie: 5.D Projetowie optymlego utopilot - jo problem LQR Rówie opiujące ruch ttu wg. Nomoto m potć : ( ( K ( (5.3) gdzie tł czow orz wpółczyi wzmociei K mogą częto (zleżie od wruów pływi) przyjmowć zczie różiące ię wrtości. Podcz projetowi utopilot wygodie jet zormlizowć rówi dymii ttu t, by prmetry modelu moż było trtowć jo tłe względem zmieej prędości ttu V. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 33

34 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Wpółczyii K i modelu () moż uczyić iwritymi ze względu V i L (długość ttu) toując tępujące podtwiei [Foe]: Ozczjąc terz t rt K o =(L/V)K ; o =(V/L) otrzymujemy model Nomoto w tępującej potci: gdzie : ( r( V r ( r( L KV L ( (5.33) - ur ttu (odchył urow) r - prędość ątow - wychyleie płetwy terowej (terowie) V - prędość ttu L - długość ttu o i o - tłe prmetry dymii Zpiując model w potci mcierzowej : r V KV r L L ( (5.34) gdzie : V A ; KV B (5.34) L L orz przyjmując tępujące ryterium jości J ( ) dt (5.35) gdzie Q ; R, (5.36) Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 34

35 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego zdefiiowo tępujący problem terowi: zleźć prwo terowi = () ( [, r] - wetor tu) t, by zmiimlizowć wźi jości J (wpółczyi oreśljący ompromi między odchyłą uru, wychyleiem teru tz. wielością myzowi, obciążeiem mzyy terowej przyjmujemy rbitrlie ). Ze względu liiowość rówi tu orz wdrtową potć wźi J mmy tutj do czyiei z problemem ytezy regultor liiowo-wdrtowego LQR dl tórego itieje prote rozwiązie litycze (ptrz poprzedi wyłd) Rozwiązie: Algebricze rówie Riccti'ego dl zego przypdu m potć : PA A P Q PBR B P, p p p p p p p p p p p p b p p b p p gdzie przyjęto dl uprozczei zpiu: V K V ; b L L. Wymżjąc mcierze otrzymujemy : p p b p p p p p p p p p p p p p p Sumując mcierze i porówując odpowiedie wyrzy mmy : b ) p p ) p p b p p 3) p p b p p b 4) p p p p Odejmując rówi ) i 3) otrzymujemy : Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 35

36 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego tąd b ( p p ) p ( p p ) b ( p p) p, b ( p p) lub p. Korzytjąc terz z rówi ) mmy: p p, p p b ztem: p L p b V. Z rówi 4) : 3 b L K p 3. b KV Wzór terowie u R B P przyjmie potć: p p () b, p p r czyli : ( ) b p p r, przeztłcjąc to rówie otrzymmy : b L K ( ) p pr r. KV Dl uprozczei przyjmujemy : K ; KV L. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 36

37 Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Otteczie otrzymujemy ytezę terowi w potci : ( ) ( V ) r. czyli proporcjole przężeie od tu ( proportiol tte feedbc). Widć, że wzmocieie w torze prędości ątowej ( ) zleży od prędości ttu V, ztem może być przetrje toowie do prędości (dptowe). i regultor zywmy częto dptcyjym. Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor w Szczeciie, ul. Wły Chrobrego -, 7-5 Szczeci 37