a a a ; ; ; (1.2) przez [ a ij ], czyli zbiór elementów w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie. Wymiary ( n m) stanowią stopień macierzy.

Transkrypt

1 . PODSWY LGEBY CIEZY.. Ukły równń liniowyh Ukł n równń o m niewiomyh x K x m m L L L L L x K x n nm m n możn zpisć w posti tli liz (mierzy): (.) x x x x x x x x x x zpisć w posti mierzowej. Wprowzją nstępująe oznzeni mierzowe: L m X m X L X L ; ; ; (.) m, n, n n nm X m m n,m ierz nm, oznz tlię liz o wymirh: n-wierszy i m-kolumn. Kży element mierzy (liz) m śiśle określoną pozyję, ztem zęsto stosuje się oznzenie mierzy przez [ ij ], zyli ziór elementów w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie. Wymiry ( n m) stnowią stopień mierzy. Stosują oznzeni (.) ukł równń (.) przyjmuje nstępująą postć mierzową X X X ; ; L X X powyższy ukł równń możn zpisć w formie mierzowej X L Znie.. Ukł wrunków (równń wrunkowyh) zyli Przykły Znie.. Ukł równń X L (.) X L (.),,, nm m n h h h h h h h h h h zpisć w posti mierzowej. Wprowzją nstępująe oznzeni mierzowe:

2 h h B ; W ; H h h h powyższy ukł równń możn zpisć w formie mierzowej BH W ( B) C C B C (.) ntomist w ogólnym przypku nie jest przemienne, zyli B B. ierzą trnsponowną wzglęem mierzy nzyw się tką mierz mn,, w której wiersze opowiją kolumnom mierzy, zyli element ij mierzy opowi elementowi ji mierzy. rnspoz mierzy posi nstępująe włsnośi:.. Operje n mierzh ( ) Downie lu oejmownie możn wykonć tylko n mierzh o ientyznyh wymirh, zyli ( B C) B C (.) ef ± B C ± ij ij ij (.) Ilozyn wóh mierzy efiniuje się jko ilozyn wierszy pierwszej mierzy i opowijąyh elementów kolumn rugiej mierzy, zyli B C mk, nk, ef ij is sj s Ilozyn wielu mierzy możn zpisć weług formuły nożenie mierzy jest łązne, zyli (.) B C D F (.7) mk, kr, rs, ns, orz rozzielne wzglęem owni, zyli B C ( B C) (.) ( BCD) D C B Ze wzglęu n ksztłt i elementy mierzy wyróżni się nstępująe rozje mierzy: ierz zerową O stnowi mierz o wszystkih elementh zerowyh i o owolnyh wymirh. ierz jenostkową I stnowi tk mierz, której wszystkie elementy n przekątnej są równe jenośi, wszystkie elementy poz główną przekątną są równe zeru. ierz I zęsto jest oznzn przez E. ierz igonlną D stnowi mierz kwrtow, której wszystkie elementy poz główną przekątną są równe zeru, zyli D ij l i j. ierz sklrn jest to tk mierz igonln, której wszystkie elementy są soie równe, np., wtey możn zpisć E S. ierzą kwrtową nzywmy kżą mierz stopni ( k k), zyli o k-wierszh i k-kolumnh. ierzą symetryzną jest tk mierz kwrtow, w której elementy są symetryzne wzglęem przekątnej głównej, zyli, l i j. Ilozyn mierzy ij jest mierzą symetryzną, gyż ji

3 N (.) mn, nn, ierzy symetryznej opowi jej trnspoz, zyli N N (.) Niezmienność wzglęem trnspozyji ehuje kży ilozyn mierzy, który prowzi o mierzy symetryznej. Jeżeli mierz P jest symetryzn, to zwsze ilozyn P N stnowi mierz symetryzną, gyż P N P P N (.) mmmn,, nn, Dl mierzy kwrtowyh możn zefiniowć potęgownie, zyli (.) ierz iempotentn stnowi mierz kwrtow, któr spełni nstępująy wrunek (.) ierz hermitowsk stnowi mierz kwrtow, w której główn przekątn skł się tylko z zer i jeynek, pozostłe elementy są równe zeru. Przykły Dne są mierze Znie.. Wyznzyć mierz B. Znie.. Wyznzyć mierz N B. N Znie.. Wyznzyć mierz C D. Znie.. Wyznzyć mierz N C D. B C N D F Znie.7. Wyznzyć mierz C.

4 ierze i C mją różne wymiry, ztem nie możn wyznzyć sumy (różniy) tyh mierzy. N Znie.. Wyznzyć mierz FD C. Znie.. Wyznzyć wom sposomi mierz ( B). ( B) 7 7 B ( ) ( B) Korzystją z włsnośi owni i oejmowni mierzy, znie to możn rozwiązć nstępująo: F D C, wię również F ( D C) orz F ( C D) Sum mierzy ( C D) wyznzon zostł w zniu., stą 7 Znie.. Wyznzyć mierz K ; L ;. Znie.. Wyznzyć mierz. K Znie.. Wyznzyć mierz N C. ( ) ( ) ( ) ( ) L

5 7 Nleży zuwżyć, że K L orz że mierze L i są symetryzne. Znie.. Wyznzyć mierz C ( z kontrolą olizeń ). Znie.. Wyznzyć mierz C D. Nie możn wyznzyć ilozynu mierzy C i D (liz wierszy mierzy D nie jest równ lizie kolumn mierzy C). Znie.. Wyznzyć mierz C D. Znie.. Wyznzyć mierz C D. 7 Znie.7. Wyznzyć mierz C C orz N C C.

6 7 N 7 Znie.. Wyznzyć mierze: 7 K C E C; L C S C; N; i N są symetryzne. Znie.. Wyznzyć wom sposomi mierz ( B ) ( C D) 7 7 B C D C D B C D C D C; N C Q C. E S D Q K ( S s E) ( C E C ) ( C E C C C)

7 L C S C C S C C C s s 7 N Poniewż E, S, D, Q są symetryzne, ztem wyznzone mierze K, L,, N są również symetryzne... ozkł mierzy n zynniki ierz kwrtową stopni n możn rozłożyć n ilozyn wóh mierzy trójkątnyh, z któryh pierwsz skł się z elementów zerowyh n przekątną główną, rug po przekątną główną, zyli H G nn nn nn,,, (.) Elementy położone n przekątnej jenej z mierzy H lu G mogą yć owolnie ustlonymi lizmi z wyjątkiem zer. Njzęśiej przyjmuje się n przekątnej mierzy G jeynki, pozostłe elementy mierzy H i G wyznz się z efiniji mnożeni mierzy, zyli l mierzy stopni ęzie h h h h h h g g g (.7) lu H G (.)

8 ierz prostokątną poziomą, n< m możn rozłożyć n ilozyn mierzy trój- kątnej H nn, i mierzy trpezowej G przekątnej głównej mogą yć ustlone w formie, zyli lu h h o n wierszh i m kolumnh, przy zym elementy n nn, g h g g (.) H G (.) ierz symetryzną możn rozłożyć n ilozyn wóh mierzy, z któryh jen jest trnspozą rugiej, zyli mm, mm, mm, N (.) ki rozkł mierzy symetryznej może nosić nzwę pierwistk kwrtowego mierzy. Przykły Znie.. ozwżyć możliwość rozkłu mierzy n zynniki trójkątne. - (mierz jest nieosoliw),,, et. Wszystkie minory wioąe mierzy są różne o zer, ztem istnieje jenoznzny rozkł n zynniki trójkątne, przy ustlonyh wrtośih elementów oporowyh. Znie.. ozłożyć n zynniki trójkątne mierz, przyjmują w mierzy G elementy oporowe równe. Dne pozątkowe H G s s Etp. nożymy pierwszy wiersz mierzy H przez kolejne kolumny mierzy G, ską olizmy rkująe elementy w pierwszym wierszu mierzy H i G. H G s s Etp. nożymy rugi wiersz mierzy H przez kolejne kolumny mierzy G, ską olizmy rkująe elementy w rugim wierszu mierzy H i G. H G s s Etp. nożymy trzei wiersz mierzy H przez kolumny mierzy G, ską olizmy rkująe elementy mierzy H i G. H G s s

9 Znie.. ozłożyć n zynniki trójkątne mierz ( H G) przyjmują elementy oporowe równe. H G s / / / / Znie.. ozłożyć n zynniki trójkątne mierz, przyjmują elementy oporowe równe opowienio: g, g, g. Etp. Etp. s s H G s / Etp. Znie.. ozłożyć mierz n zynniki trójkątne, z któryh jen mierz jest trnspozą rugiej. et{ } i > Znie.. Dl mierzy B olizyć mierz trójkątną, któr spełni wrunek B. Dne pozątkowe B

10 Do olizeń wykorzystmy nstępująy shemt stopni -go,,. Ztem istnieje jenoznzny rozkł tej mierzy n zynniki trpezowe. B s H G stą Znie.. ozłożyć n zynniki trpezowe mierz (). Znie.7. ozłożyć n zynniki trpezowe mierz. H G 7 7 o, zyli wierszowo pełnego rzęu, orz wyrne minory,,... Wyznzniki i minory mierzy Wyznznikiem mierzy kwrtowej stopni n o elementh ij nzywmy funkję rzezywistą elementów ij określoną wzorem ( ). ierz jest kolumnowo pełnego rzęu, gyż minory wioąe z wyrnej pomierzy ± ( ) et i j... np (.) gzie sumownie przeieg wszystkie permutje wskźników ( i, j,..., p) iągu (,,..., n ), przy zym znk plus jest, gy ( i, j,..., p) tworzą permutję przystą, zś

11 znk minus jest gy wskźniki te tworzą permutję nieprzystą. Jeżeli w mierzy skreśli się i-ty wiersz i j-tą kolumnę, to wyznznik tkiej pomierzy nosi nzwę minor i oznzny jest przez ij. Wrtość minor pomnożon przez ( ) i j stnowi lgerizne opełnienie elementu ij mierzy, zyli ij i j (.) Korzystją z efiniji (.) wrtość wyznznik mierzy może yć zpisn wzorem et r ri ri ij r przy zym r oznz owolny wiersz lu owolną kolumnę. ir ir (.) zą mierzy ( ) efiniuje się jko lizę jej liniowo niezleżnyh wierszy lu jko lizę jej liniowo niezleżnyh kolumn. zą mierzy ( ) stnowi njwyższy stopień minorów mierzy różnyh o zer, przy zym ( n m) < min, (.) gzie min( n, m) oznz mniejszy wymir mierzy. Włsnośi: ( ) ( BC) ( B) ( C) (.) min (.7) ierz kwrtow jest pełnego rzęu (mierzą nieosoliwą), gy nn, n, zyli et (.) nn, Jeżeli et( ), to mierz jest niepełnego rzęu, zyli mierzą osoliwą. ierz prostokątn pionow kolumnowo), gy (n > m) jest kolumnowo pełnego rzęu (regulrną m (.) ierz prostokątn poziom (n < m) jest wierszowo pełnego rzęu (regulrną wierszowo), gy Defektem mierzy n (.) nm, nzywmy lizę łkowitą określoną wzorem min n, m (.) Wszystkie mierze pełnego rzęu posiją efekt zerowy, zyli. Jeżeli >, to mierze te są niepełnego rzęu, zyli osoliwe. Dl mierzy kwrtowej efiniuje się śl mierzy nn, Sp tr ii (.) nn, nn, który stnowi sumę wszystkih elementów mierzy n jej głównej przekątnej. Przykły Znie.. Olizyć wrtość wyznznik mierzy i. n i

12 et{ } ( ) et{ B... N} et{ } et{ B}... et{ N} et{ } et{ } et{ B} ( ) et{ } ( ) Znie.. Olizyć metoą Srrus wyznznik mierzy., et{ } et{ } Znie.. Olizyć wrtość wyznznik mierzy k ; k. et{ } 7 lu korzystją z włsnośi { } et Znie.. Olizyć wyznznik mierzy igonlnej D. k ; et{ } k et{ } n n, n et{ } et{ } 7 D et{ D} ( ) ( ) Znie.. Olizyć wrtość wyznznik mierzy B. et{ } Znie.. Olizyć wyznznik mierzy trójkątnej. 7 et{ } ( ) ( ) lu korzystją z włsnośi

13 Znie.. Określić lizę minorów głównyh mierzy orz olizyć ih wrtośi., inory główne pierwszego stopni: ( ) ( ) ( ) et{ } lu np. et{ } inory główne rugiego stopni: ( ) ; ;.,, (,,,, ) ; ;. Znie.. Olizyć śl mierzy nej w zniu.., tr{ } inor główny trzeiego stopni (wyznznik): Znie.7. Ustlić rzą mierzy.,, (,,) 7 Znie.. Korzystją z lgeriznyh opełnień olizyć wyznznik mierzy, nej w zniu 7. inor stopni rugiego np. et{ } - mierz osoliw, stą rzą mierzy.

14 Znie.. Ustlić rzą mierzy. B et{ B } - mierz nieosoliw, stą ( B ). Znie.. Ustlić rzą mierzy. C Njwyższy stopień minorów mierzy C. ( C), (, ) (mierz kolumnowo pełnego rzęu). Znie.. Oszowć efekt mierzy F G H.,, N postwie włsnośi ( G H) ( G) ( H) min,. ierze G i H mogą yć rzęu o njwyżej. Njwyższy stopień minoru mierzy F, jest równy, stą efekt mierzy... Wrtośi włsne mierzy ównnie l mierzy kwrtowej zpisne w posti wyznznikowej et ( λi) (.) nosi nzwę równni hrkterystyznego mierzy. Jeżeli mierz jest stopni n n, to relizują efiniję (.) wyznznik otrzymuje się równnie lgerizne stopni nie większego niż n wzglęem prmetru λ. Pierwistki λ i tego równni lgeriznego nzywją się wrtośimi włsnymi mierzy lu jej pierwistkmi hrkterystyznymi. Dl kżej wrtośi włsnej λ i istnieje niezerowy wektor P i, tki, że ( λ I) P P λ P P P I i i i i i orz (.) Wektor P i nzyw się wektorem włsnym mierzy lu jej wektorem hrkterystyznym. Wektory włsne P i, P j opowijąe wrtośiom włsnym λ i, λ j są wzglęem sieie ortogonlne. ierz utworzon z wektorów włsnyh opowijąyh wszystkim wrtośiom włsnym nosi nzwę mierzy molnej (ortogonlnej) mierzy. Włsnośi: Jeżeli mierz jest symetryzną, to zhozą nstępująe zleżnośi P P I P P D lu PD P (.) gzie: P oznz mierz molną, zś z wrtośi włsnyh mierzy. λ D λ oznz mierz igonlną utworzoną Wektory włsne P i stnowią osinusy kierunkowe poszzególnyh półosi hiperelipsoiy w przestrzeni n-wymirowej, przy zym n stnowi lizę wrtośi włsnyh. Wrtośimi włsnymi mierzy trójkątnej górnej lu olnej są elementy leżąe n jej przekątnej. λ

15 ierz igonln Włsnośi: D λ nosi nzwę mierzy spektrlnej mierzy. et( D ) orz Sp Sp et (.) λ D λ Znie.. Wyznzyć wrtośi włsne i wektory włsne mierzy. l λ P P P P P P n.p. P P N et{ N }, ( N),. ównnie hrkterystyzne mierzy N ęzie posti λ et λ ( λ) ierz moln l mierzy N ęzie w posti stą wrunek P P NP D λ ozwiąznie kwrtowego równni je nstępująe wrtośi włsne λ λ Wektory włsne mierzy N określmy z nstępująyh ukłów równń l λ P P P P P P n.p. P P.. ierz owrotn Jeżeli mierz kwrtow stopni m m jest nieosoliw, zyli rzęu m, to istnieje okłnie jen mierz owrotn tk, że ierz mierzy. I (.7) nzyw się mierzą owrotną o mierzy lu zwykłą owrotnośią Nieh elementy mierzy [ ij ], zś elementy mierzy [ ] ij, wtey ilozyny mierzy przez kolejne kolumny mierzy niowyh wzglęem niewiomyh ij posti prowzą o ukłów równń li- 7

16 L L L L L L L L L L m m m m m mm m (.) Ukł (.) jest rozpisny l pierwszej kolumny mierzy, m okłnie jeno rozwiąznie, jeżeli mierz jest pełnego rzęu. ozwiązują poone ukły równń l wszystkih kolumn mierzy owrotnej otrzymuje się pozostłe jej elementy. ierz owrotną możn wyznzyć ezpośrenio z efiniji (.7), n postwie mierzy opełnień lgeriznyh, n postwie rozkłu mierzy n zynniki trójkątne lu metomi numeryznymi. Wyznznie mierzy owrotnej z efiniji Nieh mierz ęzie mierzą owrotną o mierzy. Zgonie z efiniją mierzy owrotnej muszą yć spełnione wrunki: Po przeksztłeniu powyższej formuły otrzymuje się w równowżne ukły mierzowe: orz z któryh wynik, że orz Ukły te są równowżne, po ih rozwiązniu wyznzymy mierz owrotną o Kontrol: orz. Bezpośrenie korzystnie z efiniji owrotnośi mierzy jest uiążliwe w przypku mierzy większego stopni. Wyznznie mierzy owrotnej z zstosowniem mierzy opełnień lgeriznyh j } { } et{ rnsponown mierz opełnień lgeriznyh j } { nzywn jest mierzą ołązoną o mierzy (zęsto oznzn jko D ). Znie.. Wyznzyć mierz owrotną metoą opełnień lgeriznyh.

17 } et{ 7 7 } { j i j 7 } { D j 7 7 } { } et{ j Kontrol: 7 7 Wyznznie mierzy owrotnej z wykorzystniem rozkłu n zynniki trójkątne G i H Jeżeli okonmy rozkłu mierzy n zynniki trójkątne G i H w tki sposó, że G H przy zym mierze G i H są mierzmi trójkątnymi górnymi (elementy niezerowe tyh mierzy są n przekątną), wtey możn zpisć: H G Znie.. Wyznzyć mierz owrotną korzystją z rozkłu mierzy n zynniki trójkątne. G H Z efiniji E H H zyli H H Poonie E G G zyli G G N postwie mierzy i G H wyznzmy mierz :

18 H G Kontrol: Wyznznie mierzy owrotnej z wykorzystniem pierwistk mierzy Jeżeli mierz jest symetryzn, wtey zmist wóh różnyh zynników trójkątnyh możn wyznzyć pierwistek mierzy, zyli. ierz owrotną wyznz się weług zleżnośi: Znie.. Wyznzyć mierz owrotną n postwie pierwistk mierzy. Z efiniji E orz. N postwie mierzy wyznzmy mierz : Kontrol: ierz owrotn l ukłu równń (.) określ rozwiąznie tego ukłu, gy mierz ęzie nieosoliw i kwrtow, zyli X L X L m m m m m m m m,,,,,, (.)