BADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
|
|
- Dorota Mucha
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Oprcowł: dr iż Michł Chłędowki Ćw S-III BADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Cel ćwiczei Celem ćwiczei jet zpozie ię z problemem tbilości liiowych UAR poprzez: pozie mtemtyczeo wruku tbilości liiowych UAR pozie i prktycze ztoowie lityczeo kryterium tbilości Hurwitz pozie i prktycze wykorzytie czętotliwościoweo kryterium Nyquit Zdie do wykoi Przedmiotem bdń dl wzytkich zepołów relizujących ćwiczeie będzie jedowymirowy liiowy UAR o typowej trukturze przedtwioej ry (ptrz rówież rys-i) Ry Schemt ukłdu utomtyczej reulcji podlejąceo bdiu tbilości Główe etpy relizcji ćwiczei: Kżdy zepół relizujący ćwiczeie m z zdie przyjąć włe trmitcje przejści dl bdeo ukłdu: G EW () G OB () i G UP () Nleży dobrć je zodie ze ztuką iżyierką (p uwzlędijąc oólie obowiązujące zleceie przy projektowiu UAR mówiące o tym że bezwłdość (tł czow) ukłdu pomiroweo powi być co jmiej dzieięciokrotie miejz od jmiejzej tłej czowej obiektu reulcji) orz tk by rówie chrkterytycze ukłdu było czwrteo topi ukłd był ttyczy Reultor przyjąć jko czło proporcjoly o wpółczyiku proporcjolości k R
2 Przykłd G ( ) R k R G EW ( ) G OB ( ) ( )( ) G UP ( ) Dl tk zdefiioweo UAR leży określić zkre wrtości k R dl których ukłd będzie tbily W tym celu leży wykorzytć litycze kryterium tbilości Hurwitz (ptrz: Podtwy teoretycze) Wyik obliczeń: wrtości krytycze k R kr prowdzjące ukłd ricę tbilości W zczeólości może to być jede krytyczy wpółczyik wzmociei Wykorzytując prorm CODAS ryowć wykrey chrkterytyk kokowych ukłdu dl trzech wrtości k R k R < k R kr - ukłd tbily k R k R kr - ukłd ricy tbilości k R > k R kr - ukłd ietbily Wykorzytując prorm CODAS ryowć chrkterytyki czętotliwościowe pozwljące potwierdzić wyiki pkt przy pomocy obydwóch pozych form kryterium Nyquit Wyzczyć zp modułu i zp fzy ukłdu dl k R tooweo w pkt dl któreo ukłd był tbily PODSTAWY TEORETYCZNE Oceijąc włości projektoweo ukłdu utomtyczej reulcji zzwyczj rozpoczymy od prwdzei jeo tbilości lbowiem jet to wruek bolutie koieczy kżdeo UAR Stbilość jet cechą ukłdu polejącą powrciu do tu rówowi tłej po utiu dziłi zkłócei które wytrąciło ukłd z teo tu Stbilość moż oceić bdjąc ruch wobody ukłdu tz jeo zchowie pod wpływem wruków początkowych Złóżmy że ukłd w pewym przedzile czu oprócz wielkości zdej w zd wpływ rówież ył zkłócei z(t) W wyiku tych oddziływń t ukłdu w chwili ( ) tt chrkteryzują wrtości y y y wielkości wyjściowej i jej pochodych po czie Złóżmy dlej że w chwili t ył zkłócjący zik Dlze zchowie ukłdu jet ( ) ztem uwrukowe wielkością zdą w zd i wrukmi początkowymi y y y przy czym wedłu zdy uperpozycji wpływ tych dwóch wielkości w ukłdch liiowych jet iezleży W jlepzym przypdku kłdow wobod wielkości wyjściowej wywoł wrukmi początkowymi zik Tki ukłd zywmy ymptotyczie tbilym
3 Byw że wobod kłdow dążyć będzie do kończoej wrtości utloej dl czu t dążąceo do iekończoości lub ocyluje z mplitudą dążącą do kończoej wrtości Tki ukłd zywmy eutrlie tbilym Może ię zdrzyć że wobod kłdow wielkości wyjściowej rt w poób ieoriczoy lub zczy ocylowć z rtjącą do iekończoości mplitudą Tki ukłd zywmy ietbilym Ry Przebiei przejściowe: ) w ukłdch tbilych b) w ukłdch ietbilych Wruki i kryteri tbilości Jeżeli liiowy lub zlieryzowy ukłd zmkięty opiy jet z pomocą liioweo rówi różiczkoweo d y dt b m d y dt m m d w d b m m dt dt dy dt w m y b dw dt b w l d z cl c l l dt l d z l dt c dz dt c z dzie: yy(t) ww(t) zz(t) odpowiedio: wielkość wyjściow wrtość zd i zkłóceie lub odchyłki tych wielkości od ich wrtości utloych y o w o z o ; - o b m m- b b o c l c l- c c o tłe wpółczyiki m < i l < ()
4 lub odpowidjących mu trmitcji opertorowych G ( ) w G ( ) z y( ) b b m m m m w( ) y( ) z( ) c l l l l c b b c co o o o () () to tbilość ukłdu zleży od pierwitków rówi chrkterytyczeo teo ukłdu defiioweo jko miowik trmitcji ztępczej ukłdu przyrówy do zer () o Zuwżmy że wpółczyiki rówi () więc i pierwitki teo rówi zleżą tylko od prmetrów ukłdu czyli od włości i prmetrów elemetów kłdowych orz ich wzjemeo połączei Koieczym i dotteczym wrukiem tbilości ymptotyczej ukłdu jet by pierwitki rówi chrkterytyczeo ukłdu zmkięteo miły ujeme części rzeczywite ( ) Re < () Wruek te odoi ię zrówo do przypdków kiedy pierwitki ą rzeczywite jk rówież do pierwitków zepoloych i wielokrotych Jeżeli chociż jede z pierwitków rówi () m część rzeczywitą dodtią to ukłd jet ietbily Jeżeli rówie () m pierwitki w lewej półpłzczyźie (czyli ujeme) orz jedokrote oi liczb urojoych (p jede pierwitek zerowy lub prę pierwitków urojoych przężoych) to w ukłdzie będą wytępowć dri o tłej mplitudzie określoej wrukmi początkowymi Ukłd jet wówcz ricy tbilości ściśle mówiąc ie jet tbily ymptotyczie Jeżeli pierwitki zerowe ą wielokrote to przebie y(t) oddl ię od początkoweo tu rówowi ukłd jet oczywiście ietbily Tk więc wruek () będziemy uwżli z oóly mtemtyczy wruek tbilości liiowych ukłdów utomtyki Potrzeb ściślejzeo rozróżiei rodzjów tbilości wytępuje w ukłdch ieliiowych My zś rozwżjąc ukłdy liiowe będziemy utożmić tbilość ze tbilością ymptotyczą W oprciu o wruek () oprcowo kryteri tbilości: litycze i czętotliwościowe Typowym przedtwicielem kryteriów lityczych jet kryterium Hurwitz zś kryteriów czętotliwościowych kryterium Nyquit Obydw opizemy dokłdiej k
5 Kryterium Hurwitz Aby wzytkie pierwitki rówi chrkterytyczeo () miły części rzeczywite ujeme muzą być pełioe tępujące wruki: wzytkie wpółczyiki rówi () muzą itieć i być więkze od zer (wruek koieczy le ie dotteczy): > > > > (6) podwyzcziki i od i do i wyzczik łóweo Hurwitz muzą być więkze od zer Wyzczik łówy utworzoy ze wpółczyików rówi () m wierzy i kolum zpiych tępująco: ; 6 7 (7) Podwyzcziki tworzy ię wedłu tępujących reuł 6 7 Jeżeli któryś ze wpółczyików rówi chrkterytyczeo jet ujemy lub rówy zeru lbo któryś z podwyzczików jet ujemy lub rówy zeru to ukłd jet ietbily W przypdku zczeólym kiedy któryś z podwyzczików jet rówy zeru rówie () m między iymi pierwitki czyto urojoe i w przebieu czowym y(t) wytąpią dri o tłej mplitudzie (ukłd zjduje ię ricy tbilości ricę tbilości zliczmy do obzru ietbileo) W przypdku ietbilości kryterium Hurwitz ie pozwl określić ile pierwitków rówi chrkterytyczeo m dodtią część rzeczywitą czyli ile pierwitków puje tbilość jk rówież brk jet odpowiedzi pytie jk dleko ukłd zjduje ię od ricy tbilości
6 Przykłd Trmitcj ztępcz ukłdu m potć ) ( G z Zbdć tbilość ukłdu toując kryterium Hurwitz Rozwiązie Rówie chrkterytycze ukłdu m wpółczyiki: Wzytkie itieją i ą dodtie pierwzy wruek Hurwitz pełioy Wyzczik łówy m potć Sprwdzjąc drui wruek Hurwitz bdmy podwyzcziki i dzie i - Gdy leży prwdzić czy wyzcziki orz ą więkze od zer? 8 > 7 > 6 6 > Poiewż wzytkie wpółczyiki i wzytkie podwyzcziki ą więkze od zer to bdy ukłd jet tbily
7 Przykłd Trmitcj otwrteo ukłdu tbilizcji irokopowej m potć K Go ( ) ( T ξ T ) Wypdkowy wpółczyik wzmociei ukłdu otwrteo K [ek - ] tł czow irokopu T [ek] Dl zwiękzei obzrów tbilej prcy ukłdu wprowdzoy zotł dodtkowy zereowy czło korekcyjy o trmitcji G K ( ) τ dzie τ [ek] Nleży określić: przed korekcją: ) dl jkich wrtości wpółczyik tłumiei ukłd będzie tbily; b) jki jet wruek tbilości ukłdu; po korekcji: c) tbilość ukłdu dl τ (pozotłe prmetry bez zmi); d) wruek tbilości ukłdu Rozwiązie Trmitcj ukłdu zmkięteo przed korekcją m potć G ( ) z G( ) G ( ) K ( T ξ T ) K ( T ξ T ) K ξ T T A ztem rówie chrkterytycze przyjmie potć K T ξ T K Z pierwzeo wruku Hurwitz wyik że T ξ i K muzą być więkze od Z druieo wruku Hurwitz (dl rówi trzecieo topi te wruek to > ) możemy zpić: T K ξ T T K > ξ > Z dotychczowej lizy ukłdu wyik że przy T orz K dl zpewiei tbilości koiecze jet zpewieie wpółczyikowi ξ wrtości więkzej od Przedtwieie druieo wruku Hurwitz w zmodyfikowej formie pozwoli przedtwić oóly wruek tbilości rozptryweo ukłdu ξ K < T
8 Spełieie tej ierówości zpewi tbilość bdeo ukłdu przed modyfikcją Zwróćmy uwę fkt że przy tych dych liczbowych prmetrów T i K τ mui być więkze od Po wprowdzeiu korekcji trmitcj ztępcz ukłdu zmkięteo przyjmie potć: K( τ ) ( ) * G( ) G ( ) T ξ T K K( τ ) Gz ( ) G ( ) ( ) K( ) G τ K ( T ξ T ) K( τ ) ( T ξ T ) Rówie chrkterytycze zmodyfikoweo ukłdu zpizemy w potci: T ξ T ( Kτ ) K Oprócz poprzedich wruków: T ξ K mją być więkze od zer obecie z pierwzeo wruku Hurwitz dochodzi jezcze jede wruek: (Kτ ) > ; tąd τ > K Poprzedio te wruek ie wytępowł lbowiem przy był wpółczyik rówy Aby odpowiedzieć pytie zde w pukcie c) leży prwdzić drui wruek Hurwitz dl ξ Otrzymmy ξ T ( Kτ ) T K ( ) () Kryterium Nyquit Kryterium Nyquit m duże zczeie prktycze Wykorzytuje bowiem chrkterytykę czętotliwościową ukłdu otwrteo którą moż wyzczyć zrówo lityczie jk i doświdczlie Dlteo iekoieczie muimy zć prmetry liczbowe bdeo ukłdu wytrcz doświdczlie zrejetrow chrkterytyk czętotliwościow Specyfik kryterium Nyquit: tbilość ukłdu zmkięteo określ ię podtwie chrkterytyki czętotliwościowej ukłdu otwrteo Określie ukłdu otwrteo Ukłd otwrty (ry b) otrzymujemy przecijąc łówą pętlę przężei zwroteo (ry ) i trktując z wielkość wyjściową ył y * podwy do umtor w ukłdzie zmkiętym Ry Schemt blokowy ukłdu: ) zmkięteo b) otwrteo
9 Pełe formułowie kryterium Nyquit obejmuje dw przypdki dy: ukłd otwrty jet tbily ukłd otwrty jet ietbily Drui przypdek to zczy bdie tbilości ukłdu zmkięteo metodą Nyquit wtedy kiedy ukłd otwrty jet ietbily rzdko m zczeie prktycze Wyme jet bowiem w tym przypdku utleie ilości bieuów ukłdu otwrteo leżących w prwej półpłzczyźie (ilości dodtich pierwitków ukłdu otwrteo) Moż to utlić jedyie drodze lityczej więc trzeb zć trmitcję ukłdu otwrteo Ale w tkim przypdku lizę tbilości ukłdu zmkięteo wyodiej jet przeprowdzić wykorzytując kryteri litycze Tutj zjmiemy ię jwżiejzym z prktyczeo puktu widzei przypdkiem dy ukłd otwrty jet tbily tj dy wzytkie bieuy trmitcji G () ukłdu otwrteo leżą w lewej półpłzczyźie zmieej zepoloej Kryterium Nyquit moż wówcz jkrócej formułowć tępująco: Ukłd zmkięty jet tbily jeżeli chrkterytyk mplitudowo-fzow G (jω ) ukłdu otwrteo ie obejmuje puktu (- j) Iterpretcj rficz kryterium Nyquit przedtwio jet ry W przypdku złożoeo kztłtu krzywych G (jω ) wyodie jet ię połuiwć wyikjącą bezpośredio z podeo kryterium tzw reułą lewej troy któr mówi że ukłd zmkięty jet tbily wtedy kiedy pukt (- j) zjduje ię w obzrze leżącym po lewej troie chrkterytyki G (jω ) idąc w troę roących ω (ry b) Ry Iterpretcj rficz kryterium tbilości Nyquit przy tbilych ukłdch otwrtych: b) reuł lewej troy Kryterium Nyquit moż rówież toowć do bdi tbilości ukłdów ttyczych których ukłdy otwrte zwierją człoy cłkujące (bieuy zerowe) Moduł trmitcji widmowej tkich ukłdów otwrtych dąży do iekończoości przy ω Moż wykzć [] że hodorf wektor G (jω ) leży wówcz uzupełić łukiem o dotteczie dużym promieiu R zczyjąc od dodtiej półoi rzeczywitych
10 Tkie uzupełieie ułtwi toowie kryterium Przykłdy toowi kryterium Nyquit do ukłdów ttyczych ilutruje ry Ry Kryterium Nyquit dl ukłdów ttyczych: ) ttyzm pierwzeo rzędu (jede czło cłkujący) b) ttyzm druieo rzędu Kryterium Nyquit moż rówież toowć połuując ię wzytkimi iymi potcimi chrkterytyk czętotliwościowych ukłdu otwrteo Njczęściej wykorzytuje ię chrkterytyki lorytmicze Lorytmicze kryterium Nyuit Rozwżmy dw ukłdy otwrte których chrkterytyki mplitudowo-fzowe przedtwioo ry 6 Ukłd będzie po zmkięciu tbily tomit ukłd b ietbily Z kryterium Nyquit [] wyik bezpośredio tępujący wruek tbilości: dzie x jet pulcją dl której G ( jω ) (8) x < r G ( jω ) 8 (9) x Jeżeli chrkterytyk czętotliwościow ukłdu otwrteo pod jet w potci lorytmiczych chrkterytyk mplitudowej L i fzowej to wruek (8) moż ztąpić rówowżym wrukiem L( ω ) lo G ( jω ) < () x x Dl protych ukłdów utomtyki o chrkterytykch czętotliwościowych typu przedtwioeo ry kryterium tbilości moż formułowć tępująco: Zmkięty ukłd utomtyczej reulcji jet tbily wówcz dy lorytmicz chrkterytyk mplitudow ukłdu otwrteo m wrtość ujemą przy pulcji odpowidjącej przeuięciu fzowemu 8 o Grficz ilutrcj lorytmiczeo kryterium Nyquit dl ukłdów ttyczych przedtwio jet ry 6
11 Ry 6 Njprotz iterpretcj lorytmiczeo kryterium Nyquit z zzczeiem zpu modułu i fzy: ) ukłd tbily b) ukłd ietbily Brdziej oól defiicj lorytmiczeo kryterium Nyquit uwzlędijąc przypdki kiedy ukłd otwrty jet ietbily formułow jet tępująco: Po to by ukłd zmkięty był tbily koiecze i wytrczjące jet by dl pulcji dl których chrkterytyk mplitudow L ukłdu otwrteo jet dodti różic pomiędzy ilością dodtich i ujemych przejść chrkterytyki fzowej przez liię 8-8 wyoił l/ dzie l ilość dodtich pierwitków rówi chrkterytyczeo ukłdu otwrteo Przejście przez liię 8-8 z dołu do óry uwż ię z dodtie zś z óry w dół z ujeme Grficzą ilutrcję tej defiicji przedtwi ry 7 Zp tbilości Przy projektowiu UAR dąży ię do zpewiei pewej odlełości puktu prcy ukłdu od ricy tbilości Wymie to podyktowe jet tępującymi przełkmi: ) rówi pozczeólych człoów UAR ą oół idelizowe i ie odzwierciedlją dokłdie ich włściwości b) podcz lieryzcji ieliiowych rówń wprowdz ię dodtkowe błędy c) prmetry używych elemetów podwe ą z pewą dokłdością
12 d) prmetry tych mych elemetów chrkteryzują ię rozrzutmi e) w trkcie ekplotcji prmetry człoów UAR uleją zmiom (trzeie zużycie ) Ry 7 Ilutrcj oólej defiicji lorytmiczeo kryterium tbilości UAR Wpływ w/w czyików może powodowć że poprwie zprojektowy UAR w prktyce może okzć ię ietbilym od początku ekplotcji lub po toukowo krótkim jej okreie Podto odpowiedi zp tbilości wymy jet ze wzlędu jkość prcy ukłdu (ptrz ćw ) Ilościowe określeie zpu tbilości zleży od tooweo do ytezy kryterium W prktyce iżyierkiej jczęściej korzyt ię z kryterium Nyquit określjąc odlełość chrkterytyki mplitudowo-fzowej od puktu o wpółrzędych (- j) Odlełość tę ocei ię przy pomocy dwóch pojęć: zpu fzy i zpu modułu L Zp fzy określ wrtość zmiy rumetu trmitcji widmowej ukłdu otwrteo przy iezmieym wzmocieiu któr doprowdziłby ukłd zmkięty do ricy tbilości Zp modułu L określ krotość o jką muiłoby wzroąć wzmocieie przy iezmieym rumecie ukłdu otwrteo by ukłd zmkięty zlzł ię ricy tbilości Zp fzy podje ię zwze w topich Zp modułu L w przypdku operowi chrkterytykmi lorytmiczymi podje ię w decybelch [db] w przypdku operowi liiową chrkterytyką mplitudowo-fzową zp wzmociei k
13 podje ię w jedotkch bezwymirowych Omwie pojęci przedtwioe ą ry 8 Ry 8 Zp fzy i zp modułu: ) chrkterytyce -f b) chrkterytykch lorytmiczych mplitudowej i fzowej Pomiędzy zpem modułu L i zpem wzmociei k itieje zleżość L lk () [ db ] Wrtości L i ą częto rzuce projekttowi dyż zpewiją oe określoy chrkter przebieów dymiczych w ukłdzie podto moż trktowć je jko zp bezpieczeńtw wrtujący tbilość wet przy pewych zmich prmetrów ukłdu Wrtości L i leży rozptrywć idywidulie zleżie od rodzju ukłdu i jeo wruków prcy; jko przecięte moż przyjąć: o o L 6 db ϕ 6 Przykłd Zdjętą doświdczlie chrkterytykę mplitudowo-fzową tbileo ukłdu otwrteo przedtwioo ry 9 Wyzczyć zp fzy zp wzmociei k i zp modułu L ukłdu zmkięteo Rozwiązie Z chrkterytyki przedtwioej ry 9 określmy zp fzy w tępujący poób:
14 Ry 9 Chrkterytyk -f tbileo ukłdu otwrteo (wyzczo doświdczlie) ryujemy łuk okręu o środku w pukcie ( ) i promieiu rówym do przecięci z chrkterytyką -f ukłdu otwrteo przez pukt przecięci łuku z chrkterytyką -f i przez początek ukłdu wpółrzędych prowdzimy półprotą kąt ϕ jki tworzy t półprot z ujemą półoią rzeczywitych jet zpem fzy W zym przykłdzie zmierzoy zp fzy ϕ Zp wzmociei k wyzczmy mierząc odciek d (ry 9) wykreie chrkterytyki -f ukłdu otwrteo (d ) i obliczjąc k d 7 o Zp modułu obliczmy podtwie wzoru () L lok lo 6[ db] Przykłd Wyjśić tbilość ukłdu zmkięteo któreo trmitcj ukłdu otwrteo m potć: K G o ( ) T T T T ( )( )( )( )
15 dzie: K T T 6 T T [] Rozwiązie Z rówi chrkterytyczeo ukłdu otwrteo ( T )( T )( T )( T ) wyik że jet o tbily lbowiem wzytkie cztery pierwitki ą rzeczywite i ujeme: Dl prwdzei tbilości ukłdu zmkięteo wytrczy ztem ztoowć jprotzą defiicję lorytmiczeo kryterium tbilości Nryujemy lorytmicze chrkterytyki: mplitudową i fzową Wykorzytując do teo celu prorm Mtlb otrzymmy wykrey tych chrkterytyk zodie z ry Chrkterytyk mplitudow prokymow odcikmi protych Gi db - L - - ω ω ω ω Frequecy (rd/ec) Phe de -9-8 ϕ -7 - Frequecy (rd/ec) Ry Chrkterytyki lorytmicze ukłdu z przykłdu Lorytmicze chrkterytyki bdeo ukłdu moż ryowć rówież w poób przybliżoy W tym celu leży obliczyć poziom pierwzeo odcik: lo k lo 6 [db] orz czętotliwości przęjące: /T 8 /T 67 / T /T Obliczei te pozwlją ryowć przybliżoą chrkterytykę mplitudową (ry ) Jk wyik z ryuku rozbieżości pomiędzy dokłdą i przybliżoą chrkterytyką ą toukowo iewielkie i ie mją wpływu wyik bdi
16 tbilości Z przebieu chrkterytyk wyik jedozczie że ukłd zmkięty będzie tbily wyzczoe w poób przybliżoy zpy fzy i modułu wyozą odpowiedio: o ϕ [ ] L [ db]
Automatyka i sterowanie w gazownictwie. Wymagania stawiane układom regulacji
Automtyk i terowie w gzowictwie Wymgi twie ukłdom regulcji Wykłdowc : dr iż. Iwo Oprzędkiewicz Nzw wydziłu: WIMiR Nzw ktedry: Ktedr Automtyzcji Proceów AGH Wymgi twie ukłdom regulcji Sterowlość ytemu Oberwowlość
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI 7. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI 8. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
Bardziej szczegółowo1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania
Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo
Bardziej szczegółowoW(s)= s 3 +7s 2 +10s+K
PRZYKŁAD (LINIE PIERWIASTKOWE) Tramitacja operatorowa otwartego układu regulacji z jedotkowym ujemym przęŝeiem zwrotym daa jet wzorem: G O K ( + )( + 5) a) Podaj obraz liii pierwiatkowych układu zamkiętego.
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowo5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Teoria sterowania. Semestr V. Wykłady
Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Mteriły dydtycze eori terowi Semetr V Wyłdy Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowoSumowanie i mnożenie sygnałów oraz generacja złożonych sygnałów
Suowie i ożeie ygłów orz geercj złożoych ygłów Dodwie i ożeie ygłów Dodwie ygłów jet opercją liiową Możeie jet opercją ieliiową Dodwie i ożeie ygłów Progrowe ożeie i dodwie ygłów wejściowych jet rdzo prote,
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowo4) Podaj wartość stałych czasowych, wzmocnienia i punkt równowagi przy wymuszeniu impulsowym
LISA0: Podtwowe człony (obiety) dynmii Przygotownie ) Wymień i opiz włności podtwowych członów (obiety) dynmii potć trnmitncji nzwy i ogrniczeni prmetrów ) Wymień podtwowe człony dynmii dl tórych trnmitncj
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 7. Filtry LC
Adrzej Leśicki Lbortorium Syłów Aloowych, Ćwiczeie 7 /8. Wtęp Ćwiczeie 7 Filtry L Filtry elektrycze ą ukłdmi liiowymi łużącymi do przekztłci yłów elektryczych. W dziedziie czętotliwości ozcz to wytłumieie
Bardziej szczegółowoW praktycznym doświadczalnictwie, a w szczególności w doświadczalnictwie polowym, potwierdzono występowanie zależności pomiędzy wzrastającą liczbą
W prktyczym doświdczlictwi, w zczgólości w doświdczlictwi polowym, potwirdzoo wytępowi zlżości pomiędzy wzrtjącą liczą oiktów doświdczlych w lokch, wzrotm orwowgo łędu ytmtyczgo. Podcz plowi doświdczń
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
Bardziej szczegółowoINSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr
INSTYTUT ENERGOEEKTRYKI POITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Rpor serii SPRAWOZDANIA Nr N prwch rękopisu do użyku służboweo ABORATORIU TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA dl kieruku AiR Wydziłu echiczeo INSTRUKCJA ABORATORYJNA
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD nr 14,15. Stabilność i korekcja układów liniowych
WYŁAD r Stilość i orej ułdów liiowyh Stilość ułdu O ułdzie powiemy że jet tily jeżeli w wyiu dziłi złóei i po jego utiu wr o do pierwotego tu utloego lu oiąg owy t utloy w przypdu pozoti złóei tłym poziomie.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jrołw Dąrowkiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEO Przemiot: PODSTAWY AUTOMATYKI (tui tjore I topi) ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr STABILNOŚĆ UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Wrzw ĆWICZENIEE
Bardziej szczegółowo4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoi interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoAnaliza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Bardziej szczegółowo() () = 1. Definicja (warunek konieczny i wystarczający) Badamy położenie pierwiastków równania charakterystycznego () ()
. Stilość ukłdów egulcji. STABILNOŚĆ UKŁADÓW REULACJI Zmkięcie ukłdu pętlą pężei wotego popwi dokłdość egulcji i ykość, le powtje możliwość, że ukłd ędie ietily. Tmitcj ukłdu mkiętego: () () () () Defiicj
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Fizyka i astronomia Poziom rozszerzony
KRYTER OCENN ODPOWEDZ Próbn Mtur z OPERONEM Fizyk i tronoi Pozio rozzerzony Litopd 3 W niniejzy checie ocenini zdń otwrtych ą prezentowne przykłdowe poprwne odpowiedzi. W teo typu ch nleży również uznć
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 25.01.2003 r.
Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 4 ze Statystyki
Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoGENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoa) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
Bardziej szczegółowo3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA SYGNAŁÓW
REPREZENTACJA SYGNAŁÓW Spi reści:. Bzy ygłów.. Procedur oroormlizcyj. 3. Wielomiy, fukcje Hr i Wlh, fukcje gięe, rygoomerycze. 4. Sygły dwurgumeowe... -. -...5..5.3 Reprezecj ygłmi elemerymi.5 N = 8 =.9
Bardziej szczegółowo[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów
Bardziej szczegółowoWykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne
Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoZadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
Bardziej szczegółowoWykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Nr zdi Nr czyoci Przykdowy zestw zd r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etpy rozwizi zdi I metod rozwizi ( PITAGORAS
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Bardziej szczegółowoStruna nieograniczona
Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoDowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do laboratorium 1
Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja
Bardziej szczegółowoWYBRANE ZAGADNIENIA Z DYNAMIKI GAZÓW
JB emetr II / WYBNE ZGDNIENI Z DYNIKI GZÓW Porzedno omwlśmy zgdnen rzeływu łynów neścślwych, które dorowdzły n do równń Ner- Stoke oujące ruch łynu ścślwego neścślwego orz nne dl tłej gętośc: Euler, Bernoull
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki. Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI
Politechnika Warzawka Intytut Automatyki i Robotyki Prof. dr hab. inż. Jan acie Kościelny PODSAWY AUOAYKI 5. Charakterytyki czętotliwościowe ranmitanca widmowa Przekztałcenie Fouriera F f t e t dt F dla
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoPowtórka dotychczasowego materiału.
Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z fizyki i astronomii poziom rozszerzony
Próbny egzin turlny z fizyki i tronoii pozio rozzerzony Modele odpowiedzi i punktcji Zdnie. Areoetr (0 pkt). Areoetr pływ w cieczy częściowo znurzony gdy ił ciężkości jet równowżon przez iłę wyporu dziłjącą
Bardziej szczegółowoZastosowanie działań na hipersześcianach binarnych w diagnostyce sieci komputerowych
toowe dłń hpereścch brych w dgotyce ec komputerowych Formle, -wymrowym hpereścem brym ywmy grf wykły o węłch których kżdy opy jet ym wektorem brym (,..., ),( {, }, ) or o krwędch, łącących te węły, których
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN
LABORATORIUM DYNAMII MASZYN Ćwcz 5 IDENTYFIACJA OBIETU DYNAMICZNEO NA PODSTAWIE JEO LOARYTMICZNYCH CHARATERYSTY CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH. Cl ćwcz Orśl rów ruchu obtu dyczgo podtw go logrytczych chrtryty czętotlwoścowych,
Bardziej szczegółowoDLSX - dualna metoda simpleks
Mrek Miyńki KO UŁ 6 - dul metod implek (DLSX)_(poprwioy)_Dorot Miyńk DLSX - dul metod implek WPROWADZENIE Rowżmy tępuąe die PL: m m m(mi) m DEFINICJE. ę ywmy prymlie dopulą eżeli pełioy et wruek. ę ywmy
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne
Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki
Bardziej szczegółowoWykład 9. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Wkłd 9. Podejowie deczji w wrukch ieewości E L l E E F E F l S 0 0 ; R D D F F D i F() - wrtość zieej losowej - zbiór ciągł f - fukcj gęstości rozkłdu rwdoodobieństw zieej losowej Wówczs: d f E L l d
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowo1.1 Pochodna funkcji w punkcie
Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę
Bardziej szczegółowoinstrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego
5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell
Bardziej szczegółowoa a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Bardziej szczegółowo5.3.1. Zmiana układów odniesienia
531 Zmi ukłdów odieiei Z kżdą brłą twą możem wiąć ukłd wółrędch oiując ruch tej brł w retrei Dltego w dlm ciągu w kiemtce brł będiem ię jmowć główie wjemm ruchem ukłdów wółrędch Zjąc ruch ukłdu wółrędch
Bardziej szczegółowo9. Stabilność liniowych układów regulacji
7 9. Stblość lowych ukłdów regulcj Pojęce tblośc bde tblośc zwąze jet z oceą rodzju zchow ę ukłdu dymczego wytrącoego ze tu rówowg, o zku oddzływ wymuze, które te ukłd ze tu rówowg wytrącło. Możlwe ą trzy
Bardziej szczegółowo