Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Transkrypt

1 Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = () ()() (2) Transformaty podstawowych sygnałów wyjściowych układu zamkniętego - układu regulacji automatycznej, t.j.: () = () () + () () + () + () () + + () () (3) () = + () () ()() + () () () + () () (4) Stosownie do tych zależności, idealne sterowanie z pełnym sprzężeniem zwrotnym, czyli spełniającym następujące zależności: ()=, ()= (), ()=, ( przy czym () jest w tym przypadku uchybem regulacji) można osiągnąć, jeżeli układ pozostaje stabilny, gdy wzmocnienie układu otwartego będzie nieskończenie wielkie () = a co za tym idzie. gdy wzmocnienie urządzenia korekcyjnego (regulatora) będzie nieskończenie wielkie () = (5) Jakość pracy dowolnego układu regulacji jest określana charakterem zmian sygnału korygującego

2 Równanie charakterystyczne układu zamkniętego + () = (6) odgrywa istotną rolę przy analizie i syntezie (projektowaniu) układów ze sprzężeniem zwrotnym. Rozważmy układ liniowy o parametrach skupionych, opisany za pomocą transmitancji układu otwartego w postaci ogólnej (() = jednostkowe sprzężenie zwrotne) () = () () = () () () () () = () = = przy czym k jest wskaźnikiem wzmocnienia układu i. Zapisując wielomiany w postaci czynnikowej, otrzymuje się drugą postać kanoniczną () = ( ) Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianów są rzeczywiste, bieguny i zera, które nie są rzeczywiste, a więc są zespolone, muszą pojawiać się jako pary zespolone sprzężone = ±, = ± stąd ()= = =(+ ) ( ) = =(+ ) 2 + 2, =h + 2, =+ 2 2

3 Przy założeniu () =, biegunami układu zamkniętego są pierwiastki równania (6), czyli + () = + () () = () + () () = Równanie charakterystyczne układu zamkniętego przybiera postać () = () + () = = () = = ( ) + = ( ) Transmitancje układu zamkniętego (na podstawie (3) i (4)) definiuje się następująco: transmitancja relacji wielkość regulowana sygnał zadany odniesienia (wyjście wejście) () () = () = () + () = () () = ( ) + transmitancja relacji uchyb regulacji sygnał zadany odniesienia (uchyb wejście) = = ( ) () () = () = + () = () () = ( ) ( ) + = ( ) ( ) 3

4 Stabilność układu regulacji y o e G(s) y Zachowanie uchybu regulacji w dziedzinie czasu opisuje równanie różniczkowe () () + () () + + () () + () = = () () + () () + + () () + () Liniowy układ regulacji automatycznej nazywać będziemy stabilnym, jeżeli składowa przejściowa uchybu regulacji w układzie tym maleje do zera dla t dążącego do nieskończoności. Składowa przejściowa wynika z rozwiązania równania jednorodnego () () + () () + + () () + () = W przypadku istnienia pierwiastków λ ( =, 2,, ) (biegunów transmitancji układu regulacji) o krotnościach,,,, rozwiązanie to będzie miało postać () =, 4

5 Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności liniowego układu regulacji automatycznej jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego -bieguny układu zamkniętego λ i () = = ( ) + = ( ) leżały w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s. Jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego -bieguny układu zamkniętego λ i, mają części rzeczywiste ujemne < () = Jeżeli natomiast dowolny z pierwiastków (biegunów) ma część rzeczywistą dodatnią > () = Przykład: Zbadajmy zachowanie się układu opisanego poniższą transmitancją () = Rozkład transformaty odpowiedzi skokowej ( ) ( + ) + = () = + + ( + ) ( + ) + gdzie jest residuum bieguna rzeczywistego = i jest residuum pary biegunów = ±. 5

6 Oryginał odpowiedzi skokowej jednostkowej dla > () = + + ( + ) Jeżeli wszystkie bieguny leżą w lewej półpłaszczyźnie, wówczas składnik wykładniczy jest tłumiony i dąży do zera z upływem czasu (wzrostem jego wartości). Odpowiedź w stanie ustalonym osiąga wartość () = Układ jest stabilny, jeżeli pod wpływem wymuszeń () lub () o skończonej wartości osiąga ponownie stan równowagi trwałej po ustaniu tych wymuszeń, co można zapisać w postaci () =, przy czym jest punktem równowagi statycznej. Właściwość ta nazywa się stabilnością asymptotyczną. Układ charakteryzujący się zaś stabilnością, ale nieasymptotyczną, jest układem, którego nowy stan równowagi trwałej po ustaniu wymuszeń jest różny od poprzedniego. Układy, które nie mają stanów trwałej równowagi nazywa się układami niestabilnymi. Analiza układu mającym jeden biegun rzeczywisty i parę biegunów zespolonych sprzężonych () = + + ( + ) 6

7 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów:. i λ, =.25 ± 2 Odpowiedź skokowa 2 Nyquist.5 () ().5 - Im Położenia biegunów Re ( ) -5 - () () Bode

8 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: =. i λ, =.25 ± 2 Odpowiedź skokowa Nyquist 5 5 () () ().5 Położenia biegunów ( ) -5 Bode Im - () Re

9 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: =., i λ, =.25 ± Odpowiedź skokowa Nyquist () () Im Położenia biegunów Re - ( ) () () Bode

10 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: =.,,. i λ, =.25 ± 2 Odpowiedź skokowa Nyquist 5 5 () () () Im Położenia biegunów Re ( ) () Bode -2 2

11 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: λ = 3 i, = ± =,,.,,..8.6 Odpowiedź skokowa.4 () Położenia biegunów Im Re

12 KRYTERIA STABILNOŚCI Fakt położenia pierwiastków wielomianu charakterystycznego (biegunów) układu zamkniętego w lewej półpłaszczyźnie może być także stwierdzony na podstawie niżej wymienionych metod:. metoda analityczna jaką jest kryterium stabilności Hurwitza; 2. metoda graficzno-analityczna, której podstawą jest kryterium Nyquista; 3. metoda graficzna reprezentowana przez metodę Evansa metoda linii pierwiastkowych 2

13 . Kryterium stabilności Hurwitza Kryterium to pozwala stwierdzić stabilność układu na podstawie postaci wielomianowej równania charakterystycznego () = = = a ściślej, na podstawie zależności jakie powinny istnieć między jego współczynnikami. Układ ma bieguny w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej wtedy, gdy:. wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są większe od zera, 2. wyznacznik główny i wszystkie jego podwyznaczniki - minory główne wyznacznika Hurwitza (8) do stopnia mają wartości większe od zera =. Z postaci wyznacznika Hurwitza wynika, że = i jest on dodatni, gdy spełniony jest pierwszy warunek kryterium Hurwitza, tj. > i >. Podobnie, wyznacznik = jest większy od zera, gdy spełniony jest pierwszy warunek kryterium Hurwitza, tj. >. 3

14 Przykłady Zadanie. Dany jest układ opisany transmitancją operatorową () = Zbadaj stabilność układu, stosując kryterium Hurwitza. a) Rozwiązanie Współczynniki równania charakterystycznego = b) mają wartości: =, = 3, = 5, =, = 8, = 4, a więc dodatnie. Pierwszy warunek kryterium Hurwitza jest spełniony. Wyznacznik główny ma postać = = c) Badamy drugi warunek kryterium, tzn. czy wszystkie podwyznaczniki, i są większe od zera? Przy wyznaczaniu wyznaczników stopnia wyższego niż 2 warto posłużyć się tzw. rozwinięciem Laplace a, które 4

15 to twierdzenie mówi, że dla dowolnej macierzy kwadratowej M stopnia n oraz dla dowolnego całkowitego dodatniego i mniejszego lub równego n zachodzi: = ( ),, gdzie:, element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie wyznacznika macierzy,, - jest macierzą stopnia powstałą z macierzy przez skreślenie i tego wiersza i j-tej kolumny. = = 8 4 = 8 6 = 2 > 5 = = ( ) + ( ) = 3 6 = 4 >, = = ( ) + ( ) = + ( ) = = 3 > 5

16 Zadanie.2 Zbadać stabilność układu zamkniętego regulacji, jeżeli transmitancja układu otwartego ma postać Rozwiązanie () = (, + )(,2 + ) Wyznaczymy równanie charakterystyczne układu zamkniętego, który jest opisany poniższą transmitancją Równanie charakterystyczne () = () + () = (, + )(,2 + ) + (, + )(,2 + ) + =,2 +,3 + + = ma współczynniki: =, =, =,3, =,2. Są one dodatnie. Pierwsze kryterium jest spełnione. Wyznacznik główny = = będzie dodatni, gdy podwyznacznik o stopień niższy = będzie większy od zera. Czyli =,3,2 = =,3,2 =,28 > 6

17 Zadanie.3 Dany jest układ regulacji jak na rys., który składa się z połączenia kaskadowego obiektu opisanego transmitancją () = () z zadania.2 oraz korektora proporcjonalnego () =. Wyznaczyć dopuszczalne wartości wzmocnienia K zapewniającego stabilność asymptotyczną układu regulacji. Rozwiązanie Transmitancja układu otwartego ma postać Układ zamknięty opisuje transmitancja Równanie charakterystyczne () = () () = () = (, + )(,2 + ) () + () = (, + )(,2 + ) + (, + )(,2 + ) + =,2 +,3 + + = ma współczynniki =, =, =,3, =,2 Aby pierwszy warunek Hurwitza był spełniony, musi być >. Podobnie jak w zadaniu.2 wystarczy zbadać podwyznacznik 7

18 =,3,2 = =,3,2 Aby układ był asymptotycznie stabilny, musi być >. Stąd wartość wzmocnienia musi być < 5 Zatem warunek asymptotycznej stabilności układu zamkniętego będzie zapewniony dla wzmocnienia zmieniającego się w granicach < < 5 8

19 2. Kryterium stabilności Nyquista Kryterium to dotyczy badania charakterystyki amplitudowo-fazowej otwartego układu automatyki, która pozwala sądzić o stabilności układu zamkniętego. Tutaj zajmiemy się najważniejszym, z praktycznego punktu widzenia, przypadkiem analizy stabilności układu zamkniętego, obejmującego układy otwarte, które nie posiadają biegunów o dodatnich częściach rzeczywistych żaden z biegunów transmitancji () () nie leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. () Kryterium to można wówczas sformułować w następujący sposób: układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa wykres Nyquista układu otwartego () nie obejmuje punktu (, ) (rys.2.). Kryterium Nyquista można również stosować do badania stabilności układów zawierających opóźnienia transportowe. () 3 2 Rys. 2. Ilustracja kryterium stabilności Nyquista. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego, który po zamknięciu będzie:. stabilny; 2. na granicy stabilności ; 3. niestabilny 9

20 Przykłady Zadanie 2. Zbadać, czy układ zamknięty jest stabilny, jeśli układ otwarty opisany jest transmitancją o postaci () = ( )(4 + ) Rozwiązanie Podstawiając = uzyskuje się postać transmitancji widmowej układu otwartego () = () (4 + ) = 9 + 2(2 3) (6 + ) Z powyższego zapisu można wydzielić części: rzeczywistą i urojoną charakterystyki częstotliwościowej (wykresu Nyquista) układu () = () = () = () = (6 + ) 2(2 3) (6 + ) 2

21 Wartości tych współrzędnych dla wybranych, nieujemnych wartości pulsacji ( ) przedstawiamy w tablicy, pokazanej niżej, na podstawie której sporządzamy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej (rys. 5). rad/s,33,23 () -,79 () -,54 () (, ) =,23 = = () =,33 Rys. 5 Charakterystyka amplitudowo-fazowa do zadania

22 Zadanie 2.2 Określić wartość graniczną współczynnika wzmocnienia K, przy której układ zamknięty, przedstawiony na rysunku 6, znajdzie się na granicy stabilności, jeśli obiekt regulacji opisany jest transmitancją o postaci () = ( + )( + ) () Rys. 6 Schemat blokowy układu regulacji (a) Rozwiązanie Transmitancja widmowa układu otwartego ma postać () = () = ( + )( + ) (b) Części: rzeczywista i urojona, określające charakterystykę amplitudowo-fazową układu otwartego, opisują wyrażenia (c) i (d) ( + ) () = () = + + (c) () = () = ( ) + + (d) 22

23 Aby układ ten po zamknięciu znalazł się na granicy utraty stabilności, charakterystyka amplitudowofazowa układu otwartego winna przeciąć punktu (, ). To oznacza, że opóźnienie fazowe oraz wzmocnienie wnoszone przez układ otwarty mają następujące wartości graniczne = 8 i = = (e) Zatem, przyrównując równanie (d) do zera, mamy = skąd możemy wyznaczyć pulsację graniczną = = = (f) Następnie wstawiając (f) do równania (e) otrzymujemy równanie = + =, (g) z którego wynika zależność = = +, (h) określająca dopuszczalne wzmocnienia graniczne w otwartym układzie regulacji utrzymujące układ zamknięty na granicy stabilności. 23

24 Odpowiedzi układu z zadania.3 dla: =, 5, Odpowiedź skokowa Nyquist.5 () () () Położenia biegunów ( ) 5 Bode Im () Re

25 Zadanie 2.3 Dla układu z zadania 2.2, wyznaczyć graniczną wartość wzmocnienia oraz taką wartość wzmocnienia, która zapewni zapas modułu = 6 db, przy czym wartości stałych czasowych obiektu wynoszą: = s, = 2 s. Rozwiązanie Na podstawie zależności (h) w zadaniu 2.2 wyznaczamy wartość wzmocnienia granicznego = + = 3 2 = 5 (a) Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym nie zmienia charakterystyki fazowej tego układu. To oznacza, że wartość pulsacji przecięcia fazy, wynosząca w tym przypadku = = 2 =,77, jest stała bez względu na wymagany zapas wzmocnienia. Zapasowi modułu = 6 db odpowiada zapas wzmocnienia = 2. Zatem dopuszczalna wartość wzmocnienia K, przy danym zapasie wzmocnienia w układzie, może być określona na podstawie równości (por. zadanie 2.2 (g)) = = +, (b) 25

26 Wartość tego wzmocnienia wyniesie = + = =,75. Łatwo spostrzec, że dopuszczalna wartość wzmocnienia, przy wymaganym zapasie wzmocnienia układu regulacji, może być wyznaczona na podstawie znajomości wartości wzmocnienia granicznego, bowiem = = =,75. (d) 26

27 3. Metoda Evansa linii pierwiastkowych Linie pierwiastkowe jest to miejsce geometryczne położeń pierwiastków (m.g.p.) równania charakterystycznego (a) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej układu zamkniętego, otrzymane przy uzmiennianiu współczynnika wzmocnienia układu otwartego. Dla schematu blokowego układu regulacji przedstawianego na rysunku obok równanie charakterystyczne układu zamkniętego jest równoważne równaniu () Rys. Schemat blokowy układu regulacji stosowany przy korzystaniu z metody linii + () = () + () = czyli () () = () = (a) Na tej podstawie możliwe położenie pierwiastków układu zamkniętego jest określone przez warunek argumentu arg () =, gdzie nieparzyste dla > (b) oraz warunek modułu () = (c) W przypadku analizy układu regulacji dla określenia kształtu linii pierwiastkowej korzysta się warunku argumentu (b), z warunku modułu (c), korzysta się zaś dla określenia położenia pierwiastków na linii pierwiastkowej przy konkretnych wartościach wzmocnienia K. 27

28 W przypadku natomiast syntezy (projektowania) układu regulacji, mając z góry narzucone, oczekiwane położenia pierwiastków układu, wyznacza się niezbędną wartość wzmocnienia K w układzie otwartym, tak aby była spełniona tożsamość (a). Mając na uwadze łatwy dostęp do komputerów oraz szerokiej gamy procedur matematycznych w tym pakietów dedykowanych dla celów automatyki, linie pierwiastkowe można określić bezpośrednio z definicji (a). W prostym przypadku układu otwartego o zerach i biegunach rzeczywistych transmitancja układu dana jest zwykle jako ułamek w postaci () = () = s + ( s + ), < + = (d) stosowanej przy analizie i syntezie układów metodami częstotliwościowymi. Otóż w zastosowaniach metody linii pierwiastkowych dogodnie jest stosować nieco odmienną postać transmitancji, a mianowicie () = s ( ) w której k jest wskaźnikiem wzmocnienia dany wzorem, (e) =, =, = są zerami i biegunami transmitancji układu otwartego, 28

29 ) punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych odpowiadają wartościom granicznym wzmocnienia =, które mogą być wyznaczone przy użyciu kryterium stabilności Hurwitza lub Nyquista 2) wartość bezwzględna K dla dowolnego punktu należącego do linii pierwiastkowej wynika z warunku modułu (c), czyli = ( ) = ( + ) +, (g) Miejsca geometryczne położeń pierwiastków bieguny układu regulacji - mają ścisły związek z własnościami dynamicznymi zamkniętego układu regulacji. Im bliżej osi liczb urojonych przebiegają linie pierwiastkowe, tym mniejsze jest tłumienie układu. Stan przejściowy, nieustalony, trwa dłużej. Z położenia biegunów układu zamkniętego można określić takie wielkości charakteryzujące zachowanie się układu, jak: - względny współczynnik tłumienia, - częstotliwość drgań własnych, - częstotliwość drgań nietłumionych, graniczną wartość współczynnika wzmocnienia. Należy zwrócić uwagę, że wykres linii pierwiastkowej uzupełnia kryterium Nyquista. Sposób określenia tych wielkości ilustruje poniższy rysunek. 29

30 Im{s} = + = cos = Re{s} Rys. Sposób wyznaczania parametrów charakteryzujących dynamikę układu zamkniętego, takich jak: względny współczynnik tłumienia, pulsację drgań nietłumionych i własnych na wykresie miejsc geometrycznych pierwiastków. 3

31 Przykłady Zadanie 3. Wyznaczyć wartości wzmocnień graniczną i zapas wzmocnienia w punkcie rozgałęzienia linii pierwiastkowej układu regulacji jeśli transmitancja układu otwartego ma postać () = ( + )( + ), gdzie: = 2, = 7, = 3 Z wykresu linii pierwiastkowych odczytujemy wartości biegunów w punkcie rozwidlenia =,92 gdzie wzmocnienie wynosi Im 8 6 = ( ) = 6,94 =,44, oraz w punkcie przecięcia linii z osią urojoną = 3,74, gdzie wzmocnienie graniczne wynosi = = 9 6 = 3. Zatem zapas wzmocnienia układu ma wartość = = 3,44 = 2,83. = Re -2 =,44 =

32 Zadanie 3.2 Dana jest transmitancja układu otwartego: =,5 Im ( + ) () = () = ( + )( + ) gdzie: = s, = 2 s, = 5 s. Dla jakich wartości K : a) układ będzie stabilny? b) układ zamknięty będzie posiadał współczynnik tłumienia =,5? Ad. a) Z przebiegu zmian położeń biegunów wynika, że układ zamknięty jest stabilny dla dowolnej wartości wzmocnienia K. Linie pierwiastkowe bowiem nie przecinają osi urojonej płaszczyzny zmiennej zespolonej s. Ad. b) Wartość wzmocnienia dla współczynnika tłumienia wynika ze współrzędnych miejsca geometrycznego, w którym prosta, wychodząca z początku układu współrzędnych pod kątem = arc cos, przecina linię pierwiastkową. Dla wartości =,5, kąt nachylenia prostej wynosi = 6 Punkty przecięcia mają współrzędne odpowiadające parze biegunów zespolonych sprzężonych, =,65 ± 2,9. = = 6 -,65 4 2,9 2 Re -2-4 Rys. Wykres linii pierwiastkowych z zadania 3.2. Współczynnik wzmocnienia w tych punktach linii pierwiastkowej wynika z (b) i wynosi = ( ) =,66 = 6 32