Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności"

Transkrypt

1 Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = () ()() (2) Transformaty podstawowych sygnałów wyjściowych układu zamkniętego - układu regulacji automatycznej, t.j.: () = () () + () () + () + () () + + () () (3) () = + () () ()() + () () () + () () (4) Stosownie do tych zależności, idealne sterowanie z pełnym sprzężeniem zwrotnym, czyli spełniającym następujące zależności: ()=, ()= (), ()=, ( przy czym () jest w tym przypadku uchybem regulacji) można osiągnąć, jeżeli układ pozostaje stabilny, gdy wzmocnienie układu otwartego będzie nieskończenie wielkie () = a co za tym idzie. gdy wzmocnienie urządzenia korekcyjnego (regulatora) będzie nieskończenie wielkie () = (5) Jakość pracy dowolnego układu regulacji jest określana charakterem zmian sygnału korygującego

2 Równanie charakterystyczne układu zamkniętego + () = (6) odgrywa istotną rolę przy analizie i syntezie (projektowaniu) układów ze sprzężeniem zwrotnym. Rozważmy układ liniowy o parametrach skupionych, opisany za pomocą transmitancji układu otwartego w postaci ogólnej (() = jednostkowe sprzężenie zwrotne) () = () () = () () () () () = () = = przy czym k jest wskaźnikiem wzmocnienia układu i. Zapisując wielomiany w postaci czynnikowej, otrzymuje się drugą postać kanoniczną () = ( ) Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianów są rzeczywiste, bieguny i zera, które nie są rzeczywiste, a więc są zespolone, muszą pojawiać się jako pary zespolone sprzężone = ±, = ± stąd ()= = =(+ ) ( ) = =(+ ) 2 + 2, =h + 2, =+ 2 2

3 Przy założeniu () =, biegunami układu zamkniętego są pierwiastki równania (6), czyli + () = + () () = () + () () = Równanie charakterystyczne układu zamkniętego przybiera postać () = () + () = = () = = ( ) + = ( ) Transmitancje układu zamkniętego (na podstawie (3) i (4)) definiuje się następująco: transmitancja relacji wielkość regulowana sygnał zadany odniesienia (wyjście wejście) () () = () = () + () = () () = ( ) + transmitancja relacji uchyb regulacji sygnał zadany odniesienia (uchyb wejście) = = ( ) () () = () = + () = () () = ( ) ( ) + = ( ) ( ) 3

4 Stabilność układu regulacji y o e G(s) y Zachowanie uchybu regulacji w dziedzinie czasu opisuje równanie różniczkowe () () + () () + + () () + () = = () () + () () + + () () + () Liniowy układ regulacji automatycznej nazywać będziemy stabilnym, jeżeli składowa przejściowa uchybu regulacji w układzie tym maleje do zera dla t dążącego do nieskończoności. Składowa przejściowa wynika z rozwiązania równania jednorodnego () () + () () + + () () + () = W przypadku istnienia pierwiastków λ ( =, 2,, ) (biegunów transmitancji układu regulacji) o krotnościach,,,, rozwiązanie to będzie miało postać () =, 4

5 Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności liniowego układu regulacji automatycznej jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego -bieguny układu zamkniętego λ i () = = ( ) + = ( ) leżały w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s. Jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego -bieguny układu zamkniętego λ i, mają części rzeczywiste ujemne < () = Jeżeli natomiast dowolny z pierwiastków (biegunów) ma część rzeczywistą dodatnią > () = Przykład: Zbadajmy zachowanie się układu opisanego poniższą transmitancją () = Rozkład transformaty odpowiedzi skokowej ( ) ( + ) + = () = + + ( + ) ( + ) + gdzie jest residuum bieguna rzeczywistego = i jest residuum pary biegunów = ±. 5

6 Oryginał odpowiedzi skokowej jednostkowej dla > () = + + ( + ) Jeżeli wszystkie bieguny leżą w lewej półpłaszczyźnie, wówczas składnik wykładniczy jest tłumiony i dąży do zera z upływem czasu (wzrostem jego wartości). Odpowiedź w stanie ustalonym osiąga wartość () = Układ jest stabilny, jeżeli pod wpływem wymuszeń () lub () o skończonej wartości osiąga ponownie stan równowagi trwałej po ustaniu tych wymuszeń, co można zapisać w postaci () =, przy czym jest punktem równowagi statycznej. Właściwość ta nazywa się stabilnością asymptotyczną. Układ charakteryzujący się zaś stabilnością, ale nieasymptotyczną, jest układem, którego nowy stan równowagi trwałej po ustaniu wymuszeń jest różny od poprzedniego. Układy, które nie mają stanów trwałej równowagi nazywa się układami niestabilnymi. Analiza układu mającym jeden biegun rzeczywisty i parę biegunów zespolonych sprzężonych () = + + ( + ) 6

7 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów:. i λ, =.25 ± 2 Odpowiedź skokowa 2 Nyquist.5 () ().5 - Im Położenia biegunów Re ( ) -5 - () () Bode

8 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: =. i λ, =.25 ± 2 Odpowiedź skokowa Nyquist 5 5 () () ().5 Położenia biegunów ( ) -5 Bode Im - () Re

9 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: =., i λ, =.25 ± Odpowiedź skokowa Nyquist () () Im Położenia biegunów Re - ( ) () () Bode

10 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: =.,,. i λ, =.25 ± 2 Odpowiedź skokowa Nyquist 5 5 () () () Im Położenia biegunów Re ( ) () Bode -2 2

11 Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: λ = 3 i, = ± =,,.,,..8.6 Odpowiedź skokowa.4 () Położenia biegunów Im Re

12 KRYTERIA STABILNOŚCI Fakt położenia pierwiastków wielomianu charakterystycznego (biegunów) układu zamkniętego w lewej półpłaszczyźnie może być także stwierdzony na podstawie niżej wymienionych metod:. metoda analityczna jaką jest kryterium stabilności Hurwitza; 2. metoda graficzno-analityczna, której podstawą jest kryterium Nyquista; 3. metoda graficzna reprezentowana przez metodę Evansa metoda linii pierwiastkowych 2

13 . Kryterium stabilności Hurwitza Kryterium to pozwala stwierdzić stabilność układu na podstawie postaci wielomianowej równania charakterystycznego () = = = a ściślej, na podstawie zależności jakie powinny istnieć między jego współczynnikami. Układ ma bieguny w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej wtedy, gdy:. wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są większe od zera, 2. wyznacznik główny i wszystkie jego podwyznaczniki - minory główne wyznacznika Hurwitza (8) do stopnia mają wartości większe od zera =. Z postaci wyznacznika Hurwitza wynika, że = i jest on dodatni, gdy spełniony jest pierwszy warunek kryterium Hurwitza, tj. > i >. Podobnie, wyznacznik = jest większy od zera, gdy spełniony jest pierwszy warunek kryterium Hurwitza, tj. >. 3

14 Przykłady Zadanie. Dany jest układ opisany transmitancją operatorową () = Zbadaj stabilność układu, stosując kryterium Hurwitza. a) Rozwiązanie Współczynniki równania charakterystycznego = b) mają wartości: =, = 3, = 5, =, = 8, = 4, a więc dodatnie. Pierwszy warunek kryterium Hurwitza jest spełniony. Wyznacznik główny ma postać = = c) Badamy drugi warunek kryterium, tzn. czy wszystkie podwyznaczniki, i są większe od zera? Przy wyznaczaniu wyznaczników stopnia wyższego niż 2 warto posłużyć się tzw. rozwinięciem Laplace a, które 4

15 to twierdzenie mówi, że dla dowolnej macierzy kwadratowej M stopnia n oraz dla dowolnego całkowitego dodatniego i mniejszego lub równego n zachodzi: = ( ),, gdzie:, element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie wyznacznika macierzy,, - jest macierzą stopnia powstałą z macierzy przez skreślenie i tego wiersza i j-tej kolumny. = = 8 4 = 8 6 = 2 > 5 = = ( ) + ( ) = 3 6 = 4 >, = = ( ) + ( ) = + ( ) = = 3 > 5

16 Zadanie.2 Zbadać stabilność układu zamkniętego regulacji, jeżeli transmitancja układu otwartego ma postać Rozwiązanie () = (, + )(,2 + ) Wyznaczymy równanie charakterystyczne układu zamkniętego, który jest opisany poniższą transmitancją Równanie charakterystyczne () = () + () = (, + )(,2 + ) + (, + )(,2 + ) + =,2 +,3 + + = ma współczynniki: =, =, =,3, =,2. Są one dodatnie. Pierwsze kryterium jest spełnione. Wyznacznik główny = = będzie dodatni, gdy podwyznacznik o stopień niższy = będzie większy od zera. Czyli =,3,2 = =,3,2 =,28 > 6

17 Zadanie.3 Dany jest układ regulacji jak na rys., który składa się z połączenia kaskadowego obiektu opisanego transmitancją () = () z zadania.2 oraz korektora proporcjonalnego () =. Wyznaczyć dopuszczalne wartości wzmocnienia K zapewniającego stabilność asymptotyczną układu regulacji. Rozwiązanie Transmitancja układu otwartego ma postać Układ zamknięty opisuje transmitancja Równanie charakterystyczne () = () () = () = (, + )(,2 + ) () + () = (, + )(,2 + ) + (, + )(,2 + ) + =,2 +,3 + + = ma współczynniki =, =, =,3, =,2 Aby pierwszy warunek Hurwitza był spełniony, musi być >. Podobnie jak w zadaniu.2 wystarczy zbadać podwyznacznik 7

18 =,3,2 = =,3,2 Aby układ był asymptotycznie stabilny, musi być >. Stąd wartość wzmocnienia musi być < 5 Zatem warunek asymptotycznej stabilności układu zamkniętego będzie zapewniony dla wzmocnienia zmieniającego się w granicach < < 5 8

19 2. Kryterium stabilności Nyquista Kryterium to dotyczy badania charakterystyki amplitudowo-fazowej otwartego układu automatyki, która pozwala sądzić o stabilności układu zamkniętego. Tutaj zajmiemy się najważniejszym, z praktycznego punktu widzenia, przypadkiem analizy stabilności układu zamkniętego, obejmującego układy otwarte, które nie posiadają biegunów o dodatnich częściach rzeczywistych żaden z biegunów transmitancji () () nie leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. () Kryterium to można wówczas sformułować w następujący sposób: układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa wykres Nyquista układu otwartego () nie obejmuje punktu (, ) (rys.2.). Kryterium Nyquista można również stosować do badania stabilności układów zawierających opóźnienia transportowe. () 3 2 Rys. 2. Ilustracja kryterium stabilności Nyquista. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego, który po zamknięciu będzie:. stabilny; 2. na granicy stabilności ; 3. niestabilny 9

20 Przykłady Zadanie 2. Zbadać, czy układ zamknięty jest stabilny, jeśli układ otwarty opisany jest transmitancją o postaci () = ( )(4 + ) Rozwiązanie Podstawiając = uzyskuje się postać transmitancji widmowej układu otwartego () = () (4 + ) = 9 + 2(2 3) (6 + ) Z powyższego zapisu można wydzielić części: rzeczywistą i urojoną charakterystyki częstotliwościowej (wykresu Nyquista) układu () = () = () = () = (6 + ) 2(2 3) (6 + ) 2

21 Wartości tych współrzędnych dla wybranych, nieujemnych wartości pulsacji ( ) przedstawiamy w tablicy, pokazanej niżej, na podstawie której sporządzamy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej (rys. 5). rad/s,33,23 () -,79 () -,54 () (, ) =,23 = = () =,33 Rys. 5 Charakterystyka amplitudowo-fazowa do zadania

22 Zadanie 2.2 Określić wartość graniczną współczynnika wzmocnienia K, przy której układ zamknięty, przedstawiony na rysunku 6, znajdzie się na granicy stabilności, jeśli obiekt regulacji opisany jest transmitancją o postaci () = ( + )( + ) () Rys. 6 Schemat blokowy układu regulacji (a) Rozwiązanie Transmitancja widmowa układu otwartego ma postać () = () = ( + )( + ) (b) Części: rzeczywista i urojona, określające charakterystykę amplitudowo-fazową układu otwartego, opisują wyrażenia (c) i (d) ( + ) () = () = + + (c) () = () = ( ) + + (d) 22

23 Aby układ ten po zamknięciu znalazł się na granicy utraty stabilności, charakterystyka amplitudowofazowa układu otwartego winna przeciąć punktu (, ). To oznacza, że opóźnienie fazowe oraz wzmocnienie wnoszone przez układ otwarty mają następujące wartości graniczne = 8 i = = (e) Zatem, przyrównując równanie (d) do zera, mamy = skąd możemy wyznaczyć pulsację graniczną = = = (f) Następnie wstawiając (f) do równania (e) otrzymujemy równanie = + =, (g) z którego wynika zależność = = +, (h) określająca dopuszczalne wzmocnienia graniczne w otwartym układzie regulacji utrzymujące układ zamknięty na granicy stabilności. 23

24 Odpowiedzi układu z zadania.3 dla: =, 5, Odpowiedź skokowa Nyquist.5 () () () Położenia biegunów ( ) 5 Bode Im () Re

25 Zadanie 2.3 Dla układu z zadania 2.2, wyznaczyć graniczną wartość wzmocnienia oraz taką wartość wzmocnienia, która zapewni zapas modułu = 6 db, przy czym wartości stałych czasowych obiektu wynoszą: = s, = 2 s. Rozwiązanie Na podstawie zależności (h) w zadaniu 2.2 wyznaczamy wartość wzmocnienia granicznego = + = 3 2 = 5 (a) Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym nie zmienia charakterystyki fazowej tego układu. To oznacza, że wartość pulsacji przecięcia fazy, wynosząca w tym przypadku = = 2 =,77, jest stała bez względu na wymagany zapas wzmocnienia. Zapasowi modułu = 6 db odpowiada zapas wzmocnienia = 2. Zatem dopuszczalna wartość wzmocnienia K, przy danym zapasie wzmocnienia w układzie, może być określona na podstawie równości (por. zadanie 2.2 (g)) = = +, (b) 25

26 Wartość tego wzmocnienia wyniesie = + = =,75. Łatwo spostrzec, że dopuszczalna wartość wzmocnienia, przy wymaganym zapasie wzmocnienia układu regulacji, może być wyznaczona na podstawie znajomości wartości wzmocnienia granicznego, bowiem = = =,75. (d) 26

27 3. Metoda Evansa linii pierwiastkowych Linie pierwiastkowe jest to miejsce geometryczne położeń pierwiastków (m.g.p.) równania charakterystycznego (a) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej układu zamkniętego, otrzymane przy uzmiennianiu współczynnika wzmocnienia układu otwartego. Dla schematu blokowego układu regulacji przedstawianego na rysunku obok równanie charakterystyczne układu zamkniętego jest równoważne równaniu () Rys. Schemat blokowy układu regulacji stosowany przy korzystaniu z metody linii + () = () + () = czyli () () = () = (a) Na tej podstawie możliwe położenie pierwiastków układu zamkniętego jest określone przez warunek argumentu arg () =, gdzie nieparzyste dla > (b) oraz warunek modułu () = (c) W przypadku analizy układu regulacji dla określenia kształtu linii pierwiastkowej korzysta się warunku argumentu (b), z warunku modułu (c), korzysta się zaś dla określenia położenia pierwiastków na linii pierwiastkowej przy konkretnych wartościach wzmocnienia K. 27

28 W przypadku natomiast syntezy (projektowania) układu regulacji, mając z góry narzucone, oczekiwane położenia pierwiastków układu, wyznacza się niezbędną wartość wzmocnienia K w układzie otwartym, tak aby była spełniona tożsamość (a). Mając na uwadze łatwy dostęp do komputerów oraz szerokiej gamy procedur matematycznych w tym pakietów dedykowanych dla celów automatyki, linie pierwiastkowe można określić bezpośrednio z definicji (a). W prostym przypadku układu otwartego o zerach i biegunach rzeczywistych transmitancja układu dana jest zwykle jako ułamek w postaci () = () = s + ( s + ), < + = (d) stosowanej przy analizie i syntezie układów metodami częstotliwościowymi. Otóż w zastosowaniach metody linii pierwiastkowych dogodnie jest stosować nieco odmienną postać transmitancji, a mianowicie () = s ( ) w której k jest wskaźnikiem wzmocnienia dany wzorem, (e) =, =, = są zerami i biegunami transmitancji układu otwartego, 28

29 ) punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych odpowiadają wartościom granicznym wzmocnienia =, które mogą być wyznaczone przy użyciu kryterium stabilności Hurwitza lub Nyquista 2) wartość bezwzględna K dla dowolnego punktu należącego do linii pierwiastkowej wynika z warunku modułu (c), czyli = ( ) = ( + ) +, (g) Miejsca geometryczne położeń pierwiastków bieguny układu regulacji - mają ścisły związek z własnościami dynamicznymi zamkniętego układu regulacji. Im bliżej osi liczb urojonych przebiegają linie pierwiastkowe, tym mniejsze jest tłumienie układu. Stan przejściowy, nieustalony, trwa dłużej. Z położenia biegunów układu zamkniętego można określić takie wielkości charakteryzujące zachowanie się układu, jak: - względny współczynnik tłumienia, - częstotliwość drgań własnych, - częstotliwość drgań nietłumionych, graniczną wartość współczynnika wzmocnienia. Należy zwrócić uwagę, że wykres linii pierwiastkowej uzupełnia kryterium Nyquista. Sposób określenia tych wielkości ilustruje poniższy rysunek. 29

30 Im{s} = + = cos = Re{s} Rys. Sposób wyznaczania parametrów charakteryzujących dynamikę układu zamkniętego, takich jak: względny współczynnik tłumienia, pulsację drgań nietłumionych i własnych na wykresie miejsc geometrycznych pierwiastków. 3

31 Przykłady Zadanie 3. Wyznaczyć wartości wzmocnień graniczną i zapas wzmocnienia w punkcie rozgałęzienia linii pierwiastkowej układu regulacji jeśli transmitancja układu otwartego ma postać () = ( + )( + ), gdzie: = 2, = 7, = 3 Z wykresu linii pierwiastkowych odczytujemy wartości biegunów w punkcie rozwidlenia =,92 gdzie wzmocnienie wynosi Im 8 6 = ( ) = 6,94 =,44, oraz w punkcie przecięcia linii z osią urojoną = 3,74, gdzie wzmocnienie graniczne wynosi = = 9 6 = 3. Zatem zapas wzmocnienia układu ma wartość = = 3,44 = 2,83. = Re -2 =,44 =

32 Zadanie 3.2 Dana jest transmitancja układu otwartego: =,5 Im ( + ) () = () = ( + )( + ) gdzie: = s, = 2 s, = 5 s. Dla jakich wartości K : a) układ będzie stabilny? b) układ zamknięty będzie posiadał współczynnik tłumienia =,5? Ad. a) Z przebiegu zmian położeń biegunów wynika, że układ zamknięty jest stabilny dla dowolnej wartości wzmocnienia K. Linie pierwiastkowe bowiem nie przecinają osi urojonej płaszczyzny zmiennej zespolonej s. Ad. b) Wartość wzmocnienia dla współczynnika tłumienia wynika ze współrzędnych miejsca geometrycznego, w którym prosta, wychodząca z początku układu współrzędnych pod kątem = arc cos, przecina linię pierwiastkową. Dla wartości =,5, kąt nachylenia prostej wynosi = 6 Punkty przecięcia mają współrzędne odpowiadające parze biegunów zespolonych sprzężonych, =,65 ± 2,9. = = 6 -,65 4 2,9 2 Re -2-4 Rys. Wykres linii pierwiastkowych z zadania 3.2. Współczynnik wzmocnienia w tych punktach linii pierwiastkowej wynika z (b) i wynosi = ( ) =,66 = 6 32

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ Y o (s) - E(s) B(s) /T I s K p U(s) Z(s) G o (s) Y(s) T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Badanie stabilności liniowych układów sterowania

Badanie stabilności liniowych układów sterowania Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z podstaw automatyki

Laboratorium z podstaw automatyki Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z podstaw automatyki Analiza stabilności obiektów automatyzacji, Wpływ sprzężenia zwrotnego na stabilność obiektów Kierunek studiów: Transport,

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Stabilność systemów sterowania kryterium Nyquist a Materiały pomocnicze do ćwiczeń termin

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 7. Metoda projektowania

Bardziej szczegółowo

układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:

układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco: Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na podstawie przebiegu wykresu funkcji G o ( jω) układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Bardziej szczegółowo

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego 4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Opis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c.

Opis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c. Opis matematyczny Równanie modulatora Charakterystyka statyczna d t = v c t V M dla 0 v c t V M D 1 V M V c Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy v c (t )=V c + v c (t ) d (t

Bardziej szczegółowo

Korekcja układów regulacji

Korekcja układów regulacji Korekcja układów regulacji Powszechnym sposobem wpływania na jakość procesów regulacji jest wprowadzenie urządzeń (członów) korekcyjnych. W przeważającej większości przypadków niezbędne jest umieszczenie

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Ćw. S-III.3 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR Badanie stabilności liniowego UAR

Ćw. S-III.3 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR Badanie stabilności liniowego UAR Dr inż Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI LABORATORIUM Ćw S-III3 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR Badanie stabilności liniowego UAR Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH

KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH KRYTERIA ALEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH Zadie 1 Problem: Zbadać stabilność układu zamkniętego przedstawionego na schemacie według kryterium Hurwitza. 1 (s) (s) Rys 1. Schemat układu regulacji

Bardziej szczegółowo

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji

Bardziej szczegółowo

K p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych

K p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych METODY DOBORU NASTAW 7.3.. Metody analityczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych 7.3.2 Metody doświadczalne 7.3.2.. Metoda Zieglera- Nicholsa 7.3.2.2. Wzmocnienie krytyczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 5 BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW ZE SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest ugruntowanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Część 1. Transmitancje i stabilność

Część 1. Transmitancje i stabilność Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 6. Badanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki.

PODSTAWY AUTOMATYKI. Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki. Materiały pomocnicze do

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów

Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Sterowania Procesami Ciągłych Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów. Obliczanie

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z automatyki

Laboratorium z automatyki Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z automatyki Algebra schematów blokowych, wyznaczanie odpowiedzi obiektu na sygnał zadany, charakterystyki częstotliwościowe Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących

Bardziej szczegółowo

Techniki regulacji automatycznej

Techniki regulacji automatycznej Techniki regulacji automatycznej Metoda linii pierwiastkowych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 25 Plan wykładu Podstawy metody linii pierwiastkowych

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

analogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów:

analogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów: Cel projektu. Projekt składa się z dwóch podstawowych zadań, mających na celu zaprojektowanie dla danej transmitancji: G( s) = m 2 s 2 e + m s + sτ gdzie wartości m 2 = 27, m = 2, a τ = 4. G( s) = 27s

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1. Transformata Laplace a przypomnienie

1. Transformata Laplace a przypomnienie Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013 SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Automatyka i sterowanie w gazownictwie. Regulatory w układach regulacji

Automatyka i sterowanie w gazownictwie. Regulatory w układach regulacji Automatyka i sterowanie w gazownictwie Regulatory w układach regulacji Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH Ogólne zasady projektowania

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

SYNTEZA obwodów. Zbigniew Leonowicz

SYNTEZA obwodów. Zbigniew Leonowicz SYNTEZA obwodów Zbigniew Leonowicz Literatura: [1]. S. Bolkowski Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. WNT Warszawa 1982 (s.420-439) [2]. A. Cichocki, K.Mikołajuk, S. Osowski, Z. Trzaska: Zbiór zadań z elektrotechniki

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR n Punkty ECTS: 7. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR n Punkty ECTS: 7. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Podstawy automatyki Rok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR-1-303-n Punkty ECTS: 7 Wydział: Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: - Poziom studiów: Studia

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC.

Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC. Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC. Spis treści 1 Cel ćwiczenia 2 2 Podstawy teoretyczne 2 2.1 Charakterystyki częstotliwościowe..........................

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA

WYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA W pracy tej zostaną przedstawione: - warunki konieczne i wystarczające cykliczności macierzy A normalności macierzy transmitancji T(s); - warunki istnienia i metody doboru sprzężeń zwrotnych od stanu tak,

Bardziej szczegółowo

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Teoria. a, jeśli a < 0.

Teoria. a, jeśli a < 0. Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

Dobór typu regulatora i jego nastaw w procesie syntezy układu regulacji automatycznej Ćwiczenia Laboratoryjne Podstawy Automatyki i Robotyki

Dobór typu regulatora i jego nastaw w procesie syntezy układu regulacji automatycznej Ćwiczenia Laboratoryjne Podstawy Automatyki i Robotyki WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego Dobór typu regulatora i jego nastaw w procesie syntezy układu regulacji automatycznej Ćwiczenia Laboratoryjne Podstawy Automatyki i Robotyki mgr

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania odpowiedzi skokowych oraz impulsowych podstawowych obiektów regulacji.

Bardziej szczegółowo

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 28 lutego 2011 Stany nieustalone, stabilność

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo