Ćw. S-III.3 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR Badanie stabilności liniowego UAR

Transkrypt

1 Dr inż Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI LABORATORIUM Ćw S-III3 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR Badanie stabilności liniowego UAR Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem stabilności liniowych UAR, kryteriami stabilności UAR, praktycznym sposobem jej określania a także sprawdzenie wyników metodą modelowania UAR za pomocą SciLab_a Program ćwiczenia 1 Zapoznanie się ze strukturą układu i przydzielonymi danymi liczbowymi poszczególnych parametrów Struktura podana jest na rys 1 Dane liczbowe każdy Zespół otrzymuje indywidualnie Rys 1 Struktura badanego w ćwiczeniu UAR 2 Obliczenie kkr przy pomocy kryterium Hurwitza 3 Symulowanie pracy UAR Otrzymanie wykresów charakterystyki skokowej dla przypadków: k < kkr, k = kkr, k > kkr Sprawdzenie poprawności wyników 4 Zamodelowanie UAR w SciNotesie Sprawdzenie warunków stabilności przy pomocy kryterium Hurwitza (jak w pkt 3) oraz kryterium Nyquista w oparciu o charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową 1

2 Podstawy teoretyczne Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu Stabilność można ocenić, badając ruch swobodny układu, tzn jego zachowanie pod wpływem warunków początkowych Układ liniowy nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli składowa przejściowa odpowiedzi y(t) zanika do zera przy t i niezerowych warunkach początkowych Bywa, że składowa przejściowa dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu t dążącego do nieskończoności lub oscyluje z amplitudą dążącą do skończonej wartości Taki układ nazywamy neutralnie stabilnym Może się zdarzyć, że składowa przejściowa wielkości wyjściowej narasta w sposób nieograniczony lub zaczyna oscylować z narastającą do nieskończoności amplitudą Taki układ nazywamy niestabilnym Rys 2: Reakcja układu stabilnego 1,2 - stabilnego asymptotycznie Rys 3: Reakcja układu niestabilnego 3 - granica stabilności Niekiedy bywa, że składowa przejściowa wielkości wyjściowej zaczyna oscylować ze stałą amplitudą (przebieg 3 na rys 3) Jest to granica stabilności 2

3 Analiza matematyczna stabilności liniowych UAR opisanych ogólnym równaniem różniczkowym n an n 1 m m 1 d y (t) d y(t ) dy (t) d x (t ) d x(t ) ( t) +an 1 a1 +a y(t)=bm +bm 1 b1 dx +b x(t )+ n n 1 m m 1 (1) l l 1 d z (t ) d z (t) (t ) +c l +cl 1 c 1 dz +c z (t) l l 1 lub odpowiadającymi mu transmitancjami operatorowymi m m 1 y ( s ) bm s +b m 1 s ++b1 s+b G x ( s )= = x ( s ) a n s n + a n 1 s n a 1 s +a l l 1 y ( s ) c l s +c l 1 s ++l 1 s+ l G z ( s )= = z ( s ) an s n +a n 1 s n 1 ++a 1 s +a (2) (3) sprowadza się do badania rozwiązania równania jednorodnego (4), otrzymanego z równania (1) po wyzerowaniu jego prawej strony n an n 1 d y (t) d y(t) dy (t) +an 1 a1 +a y(t)= n n 1 (4) Zwróćmy uwagę, że równaniu (4) w postaci operatorowej odpowiada mianownik transmitancji (2) lub (3) również przyrównany do zera a n s n+ a n 1 s n 1 ++a 1 s +a = (5) Równanie (5) nosi nazwę równania charakterystycznego Analiza ogólnej postaci rozwiązania jednorodnego równania (5) prowadzi do następującego wniosku: Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste Re ( s k )< (6) Warunek ten odnosi się zarówno do przypadków, kiedy pierwiastki są rzeczywiste, jak również do pierwiastków zespolonych i wielokrotnych Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania (5) ma część rzeczywistą dodatnią to układ jest niestabilny Jeżeli równanie (5) ma pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie (czyli ujemne) oraz jednokrotne na osi liczb urojonych (np jeden pierwiastek zerowy lub parę pierwiastków urojonych sprzężonych), to w układzie będą występować drgania o stałej amplitudzie, określonej warunkami początkowymi Układ jest wówczas na granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest stabilny asymptotycznie Korzystając z warunku (7) opracowano kryteria stabilności: analityczne i częstotliwościowe Kryteria te pozwalają określić stabilność (lub niestabilność) układu bez potrzeby liczenia wprost pierwiastków równania charakterystycznego Typowym przedstawicielem kryteriów analitycznych jest kryterium Routha-Hurwitza, zaś kryteriów częstotliwościowych kryterium Nyquista Obydwa opiszemy dokładniej 3

4 Kryterium Hurwitza Kryterium stabilności Routha-Hurwitza zalicza się do analitycznych kryteriów stabilności Nakłada ono pewne ograniczenia na współczynniki równania charakterystycznego badanego układu Profesor matematyki Uniwersytetu Harvarda w Cambridge, Routh w 1875 roku sformułował warunki stabilności UAR w postaci tablicy Szwajcarski matematyk Hurwitz opublikował w 1895 roku kryterium stabilności w postaci układu wyznaczników Obydwa wymienione kryteria przywodzą do jednakowych nierówności algebraicznych i różnią się tylko sposobem ich uzyskania Dlatego często kryteria te są łączone i występują pod wspólną nazwą: kryterium Routha-Hurwitza Omówimy analityczne kryterium stabilności UAR w postaci podanej przez Hurwitza Jeśli równanie charakterystyczne układu regulacji ma postać równania (5), przy czym a >, n to dla stabilności liniowego UAR koniecznym i wystarczającym jest, aby n wyznaczników Hurwitza - Δ1, Δ 2, Δ3,, Δ n było dodatnimi Wyznaczniki Hurwitza są diagonalnymi wyznacznikami kwadratowej macierzy n go rzędu a n 1 a n a n 3 a n 2 a n 1 a n a n 5 a n 4 a n 3 a n 2 a n 1 Γ = a n 7 an 6 a n 5 a n 4 a n 3 a1 a (7) ułożonej ze współczynników równania charakterystycznego (5), tak że Δ1=a n 1 ; Δ 2= a n 1 a n ; an 3 a n 2 a n 1 a n Δ3= a n 3 a n 2 a n 1 ; ; Δn = Γ a n 5 a n 4 a n 3 Nietrudno przekonać się, że Δn =a Δ n 1 Dlatego ostatni wyznacznik Hurwitza Δn nie musimy obliczać Warunek Δn > jest spełniony, jeśli a i Δn 1 > Warunki, przy których układ znajduje się na granicy stabilności, można otrzymać, przyrównując do zera ostatni podwyznacznik Hurwitza przy zapewnieniu dodatniego znaku wszystkich wcześniejszych podwyznaczników Przy czym powinno być: Δn =a Δ n 1= lub a = i Δn 1= Warunek a = odpowiada aperiodycznej granicy stabilności (bez oscylacji), zaś warunek Δn 1= - periodycznej granicy stabilności Dla równań charakterystycznych wyższego rzędu stopień wyznaczników wzrasta, co powoduje komplikacje w obliczeniach Kryterium Hurwitza w praktyce wykorzystywane jest do układów czwartego-piątego stopnia Często kryterium stabilności Hurwitza formułowane jest w postaci dwóch warunków: 1 wszystkie współczynniki równania (5) muszą istnieć i mieć ten sam znak (warunek konieczny ale nie wystarczający): (8) a n>, a n 1 >,a n 2>,, a 1>, a > 2 podwyznaczniki Δi >, gdzie i= 2,3,, n 1 4

5 Przykłady wykorzystania kryterium Hurwitza można znaleźć w [1, rozdział 7] Kryterium Nyquista W 1932 roku amerykański naukowiec Nyquist prowadząc prace związane z badaniem stabilności wzmacniaczy elektronicznych ze sprzężeniem zwrotnym przedstawił nowy rodzaj kryterium stabilności zaliczanych do grupy kryteriów częstotliwościowych W 1938 roku rosyjski uczony, Michajłow uogólnił wyniki otrzymane przez Nyquista i zastosował do badania stabilności układów automatycznej regulacji Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne Wykorzystuje bowiem charakterystykę częstotliwościową układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie Dlatego niekoniecznie musimy znać parametry liczbowe badanego układu wystarcza doświadczalnie zarejestrowana charakterystyka częstotliwościowa Specyfika kryterium Nyquista: stabilność układu zamkniętego określa się na podstawie charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego Rys 4: Schemat blokowy UAR: a) zamknięty, b) otwarty Określanie układu otwartego Układ otwarty (rys4b) otrzymujemy przecinając główną pętlę sprzężenia zwrotnego (rys 4a) i traktując za wielkość wyjściową sygnał ym podawany do sumatora w układzie zamkniętym Wyróżnia się dwie postacie i trzy przypadki stosowania kryterium Nyquista Postacie to: 1 W oparciu o charakterystyki amplitudowo-fazowe (na płaszczyźnie fazowej) 2 W oparciu o logarytmiczne charakterystyki: amplitudową i fazową Przypadki to: kiedy układ otwarty jest stabilny, kiedy układ otwarty jest na granicy stabilności, kiedy układ otwarty jest niestabilny Z rozważań teoretycznych na temat stabilności UAR wykorzystujących analizę częstotliwościo wą (patrz chociażby [1, rozdział 7]) wynika, że bardzo ważnym punktem na płaszczyźnie fazowej jest punkt o współrzędnych (-1, j) Przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej względem tego właśnie punktu decyduje o stabilności lub jej braku Układ otwarty jest stabilny W praktyce najczęściej wykorzystywany jest przypadek pierwszy Kryterium Nyquista dla płaszczyzny fazowej (pierwsza postać) można wówczas sformułować najkrócej następująco: 5

6 Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowofazowa G(jω) dla pulsacji ω narastającej od do + nie obejmuje punktu (-1, j), to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny Interpretacja graficzna kryterium Nyquista przedstawiona jest na rys 5 Rys 5: Ilustracja kryterium Nyquista na płaszczyźnie fazowej Układ otwarty jest na granicy stabilności Równanie charakterystyczne takiego układu otwartego posiada zerowe lub urojone pierwiastki, a pozostałe pierwiastki mają ujemną część rzeczywi stą Moduł transmitancji widmowej takich układów otwartych dąży do nieskończoności przy ω Można wykazać [1], że hodograf wektora G(jω) należy wówczas uzupełnić łukiem o dostatecznie dużym promieniu R, zaczynając od dodatniej półosi rzeczywistych Takie uzupełnienie ułatwia stosowanie kryterium W przypadku pojedynczego i podwójnego pierwiastka zerowego (astatyzm pierwszego i drugiego stopnia) wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych i sposób stosowania kryterium Nyquista ilustruje rys 6 Rys 6: Ilustracja kryterium Nyquista dla układów astatycznych: a) astatyzm pierwszego rzędu, b) astatyzm drugiego rzędu Dla przedstawionych przypadków kryterium Nyquista formułowane jest podobnie jak poprzednio: 6

7 Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu zamkniętego jest, aby charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie ω od do +, uzupełniona w punkcie nieciągłości łukiem o nieskończenie dużym promieniu, nie obejmowała charakterystycznego punktu (-1, j) Bardziej złożone przypadki opisane są na przykład w [1] Logarytmiczne kryterium Nyquista Dla prostych układów automatyki (rys 4) o charakterystykach częstotliwościowych jak na rys 4 lub 5 kryterium stabilności można sformułować następująco: Zamknięty układ automatycznej regulacji jest stabilny wówczas, gdy logarytmiczna charakterystyka amplitudowa układu otwartego ma wartość ujemną przy pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu 18o Graficzna ilustracja logarytmicznego kryterium Nyquista dla układów statycznych przedstawiona jest na rys 7 Rys 7: Najprostsza interpretacja logarytmicznego kryterium Nyquista z zaznaczeniem zapasu modułu i fazy: a) układ stabilny, b) układ niestabilny Na rys 7 dodatkowo zaznaczono zapas modułu ΔL i zapas fazy Δφ Są to pojęcia z dziedziny zapasu stabilności A mianowicie: Przy projektowaniu UAR, dąży się do zapewnienia pewnej odległości punktu pracy układu od granicy stabilności Wymaganie to podyktowane jest następującymi przesłankami: 7

8 a) równania poszczególnych członów UAR są na ogół idealizowane i nie odzwierciedlają dokładnie ich właściwości, b) podczas linearyzacji nieliniowych równań wprowadza się dodatkowe błędy, c) parametry używanych elementów podawane są z pewną dokładnością, d) parametry tych samych elementów charakteryzują się rozrzutami, e) w trakcie eksploatacji parametry członów UAR ulegają zmianom (starzenie, zużycie, ) Wpływ w/w czynników może spowodować, że poprawnie zaprojektowany UAR, w praktyce może okazać się niestabilnym od początku eksploatacji lub po stosunkowo krótkim jej okresie Ponao odpowiedni zapas stabilności wymagany jest ze względu na jakość pracy układu (patrz [1] rozdz 9) Ilościowe określenie zapasu stabilności zależy od stosowanego do syntezy kryterium W praktyce inżynierskiej najczęściej korzysta się z kryterium Nyquista, określając odległość charakterystyki amplitudowo-fazowej od punktu o współrzędnych (-1, j) Odległość tę ocenia się przy pomocy dwóch pojęć: zapasu fazy ϕ i zapasu modułu L Zapas fazy ϕ określa wartość zmiany argumentu transmitancji widmowej układu otwartego przy niezmiennym wzmocnieniu, która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy stabilności Zapas modułu L określa krotność o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie przy niezmiennym argumencie układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na granicy stabilności Zapas fazy ϕ podaje się zazwyczaj w stopniach Zapas modułu L, w przypadku operowania charakterystykami logarytmicznymi, podaje się w decybelach [db] Doświadczenie eksploatacyjne UAR podpowiada, że dobrze zaprojektowany układ powinien posiadać zapas fazy w przedziale Δφ = 3 6 [ ] oraz zapas modułu ΔL = 6 12 [db] Praktyczna realizacja ćwiczenia W ramach ćwiczenia rozpatrywany będzie UAR o strukturze przedstawionej na rys 1 Dla naświetlenia toku postępowania przedstawione zostaną kolejne kroki postępowania dla przykładowych parametrów układu: k1=,4; k2=5; k3=7; T1=5; T2=2; T3=2; T4=7 Rys 8 Przykładowy UAR Tok postępowania: 1 Określić krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia regulatora kkr Do tego celu wykorzystamy kryterium Hurwitza Dla jego zastosowania konieczna jest znajomość równania charakterystycznego albowiem jego współczynniki decydują o stabilności lub niestabilności układu Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik ładnej transmitancji zastępczej 8

9 przyrównany do zera Tak więc wykonamy w kolejności następujące czynności: wyliczymy transmitancję zastępczą, przekształcimy transmitancję zastępczą do postaci stosunku dwóch wielomianów (zlikwidujemy ułamki piętrowe), mianownik transmitancji zastępczej przyrównamy do zera i otrzymamy równanie charakterystyczne, sprawdzimy, czy współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są tego samego znaku (pierwszy warunek Hurwitza), napiszemy wyznacznik główny Hurwitza, sprawdzimy, czy podwyznaczniki wyznacznika głównego niezawierające kr są większe od zera (warunek konieczny), przyrównamy do zera podwyznacznik zawierający kr i z otrzymanej równości wyliczymy k = kkr Krok 1 transmitancja zastępcza Korzystając ze wzorów na transmitancję zastępczą połączenia szeregowego członów oraz połączenia ze sprzężeniem zwrotnym (szczegóły patrz [1], Wykład Nr5, w szczególności rozdział 53) napiszemy wzór na transmitancję zastępczą układu przedstawionego na schemacie (rys 8): 2 k p,4 5 k p 2 5s+1 2s +2s+ 1 y (s ) (5s+1)(2s 2 +2s +1) (9) G z (s)= = = w(s ), k p 1+ k p 1+ 5s +1 2s2 + 2s+1 7s+1 (5s +1)(2s 2+ 2s+1)(7s+ 1) W celu zlikwidowania ułamków piętrowych w (9) pomnożymy jego licznik i mianownik przez (5s+ 1)(2s 2 + 2s+1)(7s+1) Otrzymamy transmitancję zastępczą badanego układu: G z (s)= 2k p (7s +1) y (s ) = 2 w(s ) (5s+1)(2s + 2s+1)(7s +1)+14k p (1) Krok 2 równanie charakterystyczne Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik transmitancji zastępczej przyrównany do zera Ważnym jest, aby transmitancja zastępcza była ładna to znaczy, aby była wyrażona w postaci sto sunku dwóch wielomianów Nie mogą w transmitancji zastępczej występować ułamki piętrowe Tak więc w omawianym przykładzie równanie charakterystyczne przyjmie postać: (5s+1)(2s 2 +2s+1)(7s+1)=7s4 +94s3 +295s2 +32s+14k p +1= (11) Warto równocześnie napisać ogólną postać równania charakterystycznego, czyli zastosować następujący, wygodny w późniejszych obliczeniach zapis: 7s4 +94s3 +295s2 +32s +14k p +1 = a 4 s4 +a 3 s3 +a 2 s2 +a 1 s +a = Krok 3 główny wyznacznik Hurwitza dla układu 4-go stopnia Napiszemy teraz wyznacznik Hurwitza (7) dla naszego układu czyli równania charakterystycznego 4-go stopnia 9

10 a3 a a1 a2 a3 a Γ= = 14k p a a1 a2 14k p +1 a Krok 4 sprawdzenie pierwszego warunku Hurwitza Pierwszy warunek Hurwitza brzmi: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego muszą istnieć i być tego samego znaku Sprawdzamy: współczynniki a4, a3, a2, a1 istnieją i są dodatnie Po to aby a również istniało i były dodatnie, kp musi być: 1 14k p +1> k p > 14 Widzimy więc, że jeśli kp będzie dodatnie to pierwszy warunek będzie spełniony Krok 5 sprawdzenie drugiego warunku Hurwitza Drugi warunek Hurwitza powiada: wszystkie podwyznaczniki Δi >, gdzie i = 2,3,,n-1 W przypadku, kiedy n = 4 należy sprawdzić dwa podwyznaczniki: Δ2 oraz Δ3 Δ 2= a3 a4 = 94 7 = =2549> a1 a2 Sprawdzamy Δ3 : a3 a Δ 3= a1 a 2 a3 = =a 1 a2 a 3 a a 3 a 1 a 4 14k p+1 32 a a1 Δ 3= (14k p +1) = k p > Po to, aby warunek (12) był spełniony: k p< <, (12) (13) Krok 6 określenie krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora Z przeprowadzonych rozważań i wyliczeń wynika, że graniczna wartość współczynnika wzmocnienia regulatora kp przy której układ będzie na granicy stabilności to kp =,588 Wynika ona z przyrównania do zera wyznacznika Δ3 Tę wartość wzmocnienia nazywamy krytyczną Tak więc w rozważanym przykładzie kkr =,588 2 Sprawdzenie poprawności obliczeń To, czy obliczenia współczynnika krytycznego zostały wykonane poprawnie sprawdzimy rysując charakterystyki zarówno skokowe jak i częstotliwościowe dla trzech wartości współczynnika wzmocnienia regulatora: dla mniejszego od wartości krytycznej, równego współczynnikowi krytycznemu i większego od wartości krytycznej Analiza przebiegu charakterystyk da nam odpowiedź na interesujące nas pytanie Krok 7 sprawdzenie poprawności obliczeń przy pomocy Xcos Xcos jest interfejsem graficznym pozwalającym modelować UAR w SciLab_ie zadając ich strukturę i parametry metodą rysowania schematu blokowego Przy pomocy Xcos możemy rejestrować charakterystyki czasowe Sprawdzenie poprawności obliczeń związanych ze stabilnością badanego UAR przeprowadzimy modelując i rejestrując charakterystyki skokowe UAR dla trzech wartości kp : 1

11 1 kp < kkr, np kp =,3 - układ powinien być stabilnym, gasnąca amplituda oscylacji, 2 kp = kkr =,588 - granica stabilności, oscylacje ze stałą amplitudą, 3 kp > kp, np kp =,7 - układ powinien być niestabilny (narastająca amplituda oscylacji) W tym celu w Xcos stworzymy strukturę UAR jak na rys 9 Rys 9: Schemat blokowy w Xcos badanego UAR (kp=7) W parametrach symulacji ustawimy czas symulacji 16 sekund Otrzymamy wykres charakterystyki skokowej jak na rys 1 Rys 1: Wykres charakterystyki skokowej badanego UAR otrzymany z Xcos Kompleksowa realizacja zadania związanego ze sprawdzeniem poprawności obliczeń stabilności badanego UAR może być wykonana następująco Narysujemy w jednym układzie współrzędnych charakterystyki skokowe badanego UAR dla wymienionych wyżej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora i sprawdzimy na podstawie przebiegu tych charakterystyk stabilność, brak stabilności i granicę stabilności układu W tym celu zrealizujemy w Xcos schemat jak na rys 11 Oprócz osi zerowej oraz wymuszenia skokowego (jednostkowego) narysujemy charakterystyki skokowe badanego układu dla kp = 7, 588 i 3 (rys 12) Z przebiegu wykresów wyraźnie wynika, że obliczenia zostały wykonane prawidłowo Dla kp = kkr (588) 11

12 oscylacje w układzie mają stałą amplitudę (żółty kolor) Zwiększenie kp (przykładowo do 7) powoduje, że układ staje się niestabilny (czerwony kolor), natomiast zmniejszenie kp poniżej wartości krytycznej (np do 3) stabilizuje układ (kolor granatowy) Rys 11: Prosty sposób badania poprawności obliczeń stabilności UAR Rys 12: Charakterystyka skokowa badanego UAR dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia regulatora 12

13 Krok 8 sprawdzenie poprawności obliczeń przy pomocy SciNotes SciNotes jest specjalizowanym edytorem tekstu stanowiącym integralną część programu SciLab Wykorzystamy go do napisania skryptów pozwalających narysować charakterystyki zarówno skokowe jak i częstotliwościowe badanego układu Charakterystyki narysujemy dla tych samych wartości współczynnika wzmocnienia co w kroku poprzednim Tak więc uruchomiamy program SciLab a następnie edytor SciNotes Na początek zdefiniujemy parametry badanego układu oraz transmitancję układu zamkniętego i otwartego (pamiętamy, że badanie stabilności metodami częstotliwościowymi opiera się o wykres charakterystyki układu otwartego!) Ten fragment skryptu, który nazwiemy sobie przykładowo jako Skrypt bazowy, może przyjąć postać: Rys 13: Zdefiniowanie badanego UAR przy pomocy skryptu zapisanego w SciNotes Jeśli skrypt bazowy zmodyfikujemy w sposób przedstawiony na rys 14 to uzyskamy wykresy charakterystyk skokowych badanego układu dla trzech interesujących nas wartości współczynnika wzmocnienia: kp = 7, 588 i 3 Wynik zaprezentowany jest na rys 15 Wykorzystanie kryterium Nyquista do badania stabilności wymaga znajomości przebiegu charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego (rys 4) Po to w skrypcie bazowym, definiując parametry i transmitancje badanego układu zapisaliśmy również transmitancję operatorową układu otwartego Pokażemy sposób rysowania logarytmicznych charakterystyk W tym celu skrypt bazowy uzupełnimy o standardową instrukcję służącą do rysowania tych charakterystyk Standardową czyli bez jakichkolwiek własnych modyfikacji Bez zmian pozostaje zarówno opis wykresu jak i zakres zmiany pulsacji Modyfikację skryptu przedstawia rys 16 a uzyskany w wyniku jego realizacji wykres rys 17 13

14 Rys 14: Modyfikacja skryptu bazowego do rysowania trzech charakterystyk skokowych Rys 15: Wykresy charakterystyk skokowych dla trzech wartości współczynnika wzmocnienia kp 14

15 Rys 16: Rysowanie logarytmicznych charakterystyk otwartego UAR Rys 17: Wykresy charakterystyk logarytmicznych: amplitudowej i fazowej układu otwartego Powyższe wykresy otrzymano dla układu w którym kp = 42 (patrz linia 7, rys 16), a więc dla przypadku, kiedy układ jest stabilny Pamiętamy, że kkr = 588 Jednakże z rys 17 trudno jest w łatwy sposób stwierdzić, czy kryterium Nyquista jest na pewno spełnione Nie bardzo potrafimy precyzyjnie określić pulsację, przy której L(ω) = jak również pulsację, przy której φ(ω) = -18 stopni SciLab posiada narzędzia ułatwiające to zadanie Bardziej szczegółowo zapoznamy się z nimi w następnym ćwiczeniu Teraz zademonstrujemy jedną z możliwości Przeanalizujmy modyfikację skryptu bazowego przedstawioną na rys 18 oraz wykresy na rys 19 15

16 Rys 18: Modyfikacja skryptu bazowego pod kątem wizualnej prezentacji zapasu fazy i modułu Rys 19: Graficzne zaznaczenie zapasu modułu (na czerwono) i zapasu fazy (na niebiesko) 16