Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Stabilność systemów sterowania kryterium Nyquist a Materiały pomocnicze do ćwiczeń termin T11 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inŝ. Robert Piotrowski, dr inŝ. 1

2 Wprowadzenie Stabilność układu jest jednym z głównych pojęć stosowanych przy analizie działania układu dynamicznego. Zapewnienie stabilnego działania jest podstawowym wymaganiem, jakie stawiamy układowi automatycznej regulacji. Jednym z kryteriów badania stabilności jest kryterium Nyquist a, które słuŝy do oceny stabilności liniowego zamkniętego układu regulacji na podstawie znajomości charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego. Badając otwarty układ regulacji moŝliwe są dwie sytuacje: otwarty układ regulacji jest stabilny, otwarty układ regulacji jest niestabilny. Jednocześnie do analizy stabilności układów regulacji w oparciu o kryterium Nyquis ta moŝna wykorzystać dla rodzaje charakterystyk częstotliwościowych: amplitudowo fazowe (charakterystyki Nyquist a), logarytmiczne (charakterystyki Bode a). Kryterium Nyquist a z wykorzystaniem charakterystyk Nyquist a W zaleŝności od połoŝenia punktów przecięcia charakterystyki amplitudowo fazowej (charakterystyki Nyquist a) z osią rzeczywistą, względem punktu krytycznego ( 1, j), charakterystyka ta dzieli się na dwa rodzaje: charakterystyka I rodzaju wszystkie punkty przecięcia leŝą na prawo od punktu krytycznego ( 1, j), charakterystyka II rodzaju punkty przecięcia leŝą po obu stronach punktu krytycznego ( 1, j). a). b). Rys. 1. Przykładowe charakterystyki amplitudowo fazowe (charakterystyki Nyquist a): a). I rodzaju, b). II rodzaju a). otwarty układ regulacji jest stabilny Warunek stabilności układu zamkniętego jest postaci: ( ) ( ) arg 1 + G ω = dla ω, (1) Zgodnie z kryterium Nyquist a zachodzi (dla charakterystyk I i II rodzaju): JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo fazowa (charakterystyka Nyquist a) dla pulsacji ω (, ) nie obejmuje punktu (-1, j), to układ ten po zamknięciu będzie stabilny. 2

3 ω = ω = ω = ω = Rys. 2. Przykładowe charakterystyki amplitudowo fazowe (charakterystyki Nyquist a) stabilnego układu regulacji Z powyŝszego kryterium wynika, Ŝe: Liniowy zamknięty układ regulacji jest stabilny, jeŝeli punkt znajduje się w obszarze leŝącym po lewej stronie charakterystyki amplitudowo fazowej (charakterystyki Nyquista) G ( ω ), przesuwając się w kierunku rosnących pulsacji ω. b). otwarty układ regulacji jest niestabilny Warunek stabilności układu zamkniętego jest postaci: m arg 1+ G ( ω ) = 2π dla ω (, ) (2) 2 gdzie: m liczba pierwiastków równania charakterystycznego leŝących w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s. Zgodnie z kryterium Nyquist a zachodzi: JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest niestabilny i posiada m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to układ ten po zamknięciu będzie stabilny, gdy charakterystyka amplitudowo fazowa (charakterystyka Nyquista), dla pulsacji ω (, ), okrąŝa m/2 razy punkt w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). ω = 1 ω = ω = Rys. 3. Przykładowa charakterystyka amplitudowo fazowa (charakterystyka Nyquist a) stabilnego układu regulacji 3

4 Kryterium Nyquist a z wykorzystaniem charakterystyk Bode a a). otwarty układ regulacji jest stabilny Zgodnie z kryterium Nyquist a zachodzi (dla charakterystyki I rodzaju): JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest stabilny i ma charakterystykę amplitudowo fazową (charakterystykę Nyquist a) I rodzaju, to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, Ŝeby liniowy zamknięty układ regulacji był stabilny, jest to, aby dla wszystkich pulsacji ω, dla których logarytmiczna charakterystyka modułu jest nieujemna, czyli: ( ω ) ( ω ) L = 2lo g G (3) wartości logarytmicznej charakterystyki fazy nie były mniejsze od ( ) arg G ( ) π, czyli: ϕ ω = ω > π (4) L (ω) < ω ϕ ω x ω x ω ϕ L (ω) > ϕ (ω) > ϕ (ω) < Układ niestabilny Rys. 4. Przykładowe charakterystyki logarytmiczne (charakterystyki Bode a) stabilnego i niestabilnego układu regulacji Zgodnie z kryterium Nyquist a zachodzi (dla charakterystyki II rodzaju): JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest stabilny i ma charakterystykę amplitudowo fazową (charakterystykę Nyquist a) II rodzaju, to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, Ŝeby liniowy zamknięty układ regulacji był stabilny, jest to, aby dla wszystkich pulsacji ω, dla których logarytmiczna charakterystyka modułu jest nieujemna, czyli: 4

5 ( ω ) ( ω ) L = 2lo g G (5) róŝnica między liczbą dodatnich i ujemnych przejść prostej ϕ ω była równa zeru. charakterystykę fazy ( ) π przez logarytmiczną ϕ (ω) < Układ niestabilny Rys. 5. Przykładowe charakterystyki logarytmiczne (charakterystyki Bode a) stabilnego i niestabilnego układu regulacji Uwaga: Przejście prostej ϕ ( ω ) = π przez charakterystykę jest ujemne, gdy krzywa ( ) od wartości ϕ ( ω ) > π do wartości ϕ ( ω ) < π. ϕ ω przechodzi b). otwarty układ regulacji jest niestabilny Zgodnie z kryterium Nyquist a zachodzi: JeŜeli liniowy otwarty układ regulacji jest niestabilny i posiada m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, Ŝeby liniowy zamknięty układ regulacji był stabilny, jest to, aby dla wszystkich pulsacji ω, dla których logarytmiczna charakterystyka modułu jest nieujemna, czyli: ( ω ) ( ω ) L = 2lo g G (6) liczba dodatnich przejść prostej π przez logarytmiczną charakterystykę fazy ϕ ( ω ) przewyŝszała m/2 razy liczbę ujemnych przejść. 5