Inżynieria Systemów Dynamicznych (4)

Transkrypt

1 Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010

2 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ

3 Model wejściowo-wyjściowy Model w przestrzeni stanu Model wejściowo-wyjściowy Y (s) = G(s) U(s) { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) y(t) = Cx(t) + Du(t)

4 w sensie Model wejściowo-wyjsciowy Odpowiedź impulsowa i funkcja przenoszenia (u y): g(t) = L 1 [G(s)] oraz G(s) = L [g(t)] Dla u : R + R p oraz y : R + R q : y(t) = g(t) u(t) = t 0 g(t τ)u(τ)dτ Y (s) = G(s)U(s)

5 Dla x R n definiuje się normę gdzie: Normy w przestrzeniach wektorowych : R n R + : x x i) x 0, x = 0 x = 0 n ii) αx = α x dla α R iii) x + y x + y trójkata) (nierówność

6 Norma x p, p [1, ) Dla p = Normy w przestrzeniach wektorowych ( n ) 1/p x p = x i p. i=1 x = max i x i Norma euklidesowa (p = 2) x 2 = n x i 2 i=1

7 Przestrzenie L p Niech (funkcje mierzalne) x : R + R n : t x(t) Norma x p, p [1, ) p = ( 1/p x p = x(t) dt) p. 0 x = sup t 0 x(t), (dla n = 1 x = sup x(t) ) t 0 x L p, gdy x p istnieje (jest skończona).

8 L p -stabilność, -stabilność Obiekt (operator) g(t) (G(s)) jest L p -stabilny, gdy: i) u L p y L p ii) c 0 u L p y p c u p p = L -stabilność: -stabilność (Bounded-Input-Bounded-Output) Warunek stabilności w sensie : wszystkie bieguny funkcji G(s) (wymierna i właściwa) musza leżeć w otwartej lewej półpłaszczyźnie zespolonej C.

9 Wewnętrzna stabilność układu dynamicznego Uogólnienie stabilności w sensie : elementy układu opisywane sa modelami wejściowo-wyjściowymi, ale pod uwagę bierze się także strukturę danego układu. Układ jest wewnętrznie stabilny (internally stable), gdy jest -stabilny dla każdej możliwej do wyróżnienia pary wejście-wyjście. Należy zatem wskazać taki zbiór par wejście-wyjście, który, będac zbiorem o minimalnej liczności, wystarczy do orzeczenia o wewnętrznej stabilności.

10 Schemat strukturalny układu sterowania G p (s) obiekt, G c (s) regulator, G s (s) czujnik Sygnały dochodzace do węzłów sumacyjnych: c(t) - wielkość sterowana r(t) - wielkość zadajaca u(t) - sterowanie obiektem m(t) - sygnał pomiarowy d(t) - zakłócenie obiektowe n(t) - zakłóenie pomiarowe

11 Model wejściowo-wyjściowy układu zamkniętego Dla sygnałów wychodzacych z węzłów sumacyjnych: Y 1 (s) = R(s) M(s) = R(s) G s (s)y 3 (s) Y 2 (s) = D(s) + U(s) = D(s) + G c (s)y 1 (s) Y 3 (s) = N(s) + C(s) = N(s) + G p (s)y 2 (s) Model w postaci macierzowej funkcji przenoszenia 1 0 G s (s) G c (s) G p (s) 1 Y 1 (s) Y 2 (s) Y 3 (s) = R(s) D(s) N(s)

12 Dobra określoność układu dynamicznego Układ jest dobrze określony, gdy istnieja wszystkie funkcje przenoszenia zdefiniowane dla trójki zewnętrznych {R(s), D(s), N(s)} oraz trójki wyróżnionych wewnętrznych sygnałów {Y 1 (s), Y 2 (s), Y 3 (s)} tego układu.

13 = Warunek dobrej określoności Macierzowa funkcja przenoszenia układu zamkniętego Y 1 (s) Y 2 (s) Y 3 (s) = G p(s)g c(s)g s(s) G ry1 (s) G dy1 (s) G ny1 (s) G ry2 (s) G dy2 (s) G ny2 (s) G ry3 (s) G dy3 (s) G ny3 (s) R(s) D(s) N(s) 1 G p(s)g s(s) G s(s) G c(s) 1 G c(s)g s(s) G p(s)g c(s) G p(s) 1 R(s) D(s) N(s) Konieczny i wystarczajacy warunek dobrej określoności 1 + G p (s)g c (s)g s (s) 0.

14 Rozszerzony warunek dobrej określoności Dla właściwych funkcji wymiernych {G p (s), G c (s), G s (s)} wszystkie dziewięć funkcji przenoszenia {G ry1 (s),..., G ny3 (s)} to właściwe funkcje wymierne wtedy i tylko wtedy, gdy G p (s)g c (s)g s (s) s 1.

15 Wewnętrzna stabilność układu dynamicznego Układ sterowania jest wewnętrznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy żadna z dziewięciu funkcji przenoszenia {G ry1 (s),..., G ny3 (s)} nie posiada biegunów w C +. Konieczny i wystarczajacy warunek wewnętrznej stabilności: i) wyznacznik (1 + G p (s)g c (s)g s (s)) nie posiada zer w C +, ii) w iloczynie G p (s)g c (s)g s (s) nie występuja skreślenia w parach zero-biegun z C +.

16 Asymptotyczna stabilność układu dynamicznego Model autonomicznego obiektu (układu) dynamicznego ẋ(t) = Ax(t), x(0) R n Obiekt jest asymptotycznie stabilny, gdy x(0) lim t x(t) = 0 W przypadku takiej ewolucji trajektorii stanu, że lim x(t) = 0 n, t x(0) punkt 0 n R n to asymptotycznie stabilny punkt równowagi.

17 x(t) u(t) 0 = ϕ(t)x(0), Kryteria asymptotycznej stabilności gdzie ϕ(t) = exp (ta) = L 1 [Φ(s)] = L 1 [(si n A) 1 ] Obiekt ẋ(t) = Ax(t) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy stanu A leża w lewej otwartej półpłaszczyźnie zespolonej spectr A C

18 Kryteria asymptotycznej stabilności Dla diagonalizowalnej macierzy A mamy (zob. PA-2b): exp (ta) = n i=1 x i y T i e λ i t, gdzie spectr A = {λ i } n i=1 Zachodzi: asymptotyczna stabilność wewnętrzna stabilność stabilność w sensie Rachunkowo dogodne kryterium Routha-Hurwitza (kryteria częstotliwościowe, kryterium Lapunowa,...)

19 Punkty równowagi układu dynamicznego Punkt x s R n (x s C n ) jest punktem równowagi (stacjonarnym) autonomicznego obiektu gdy ẋ(t) = Ax(t) Ax s = 0 n Dla obiektu asymptotycznie stabilnego jedynym punktem równowagi (asymptotycznej i globalnej) jest x s = 0 n.

20 Przykład obiektu dynamicznego Odwrócone wahadło Model wózek-wahadło (na wózek oddziałuje także siła sterujaca oraz tarcie lepkie)

21 Odwrócone wahadło Równania Lagrange a dla wektora stanu x p (t) := [ x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) ] T := [ α(t) α(t) x(t) ẋ(t) ] T ẋ p (t) = f (x p (t), f x (t)) (nieliniowe równanie stanu) Układ autonomiczny: f x (t) = 0, t 0 oraz x p (0) Punkt równowagi (stacjonarny) x p układu autonomicznego: f (x p) = 0

22 Odwrócone wahadło ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = g(m + m 0) sin x 1 (t) l(m + m 0 sin 2 x 1 (t)) m 0x2 2(t) sin x 1(t) cos x 1 (t) m + m 0 sin 2 x 1 (t) + b xx 4 (t) cos x 1 (t) l(m + m 0 sin 2 x 1 (t)) cos x 1 (t) l(m + m 0 sin 2 x 1 (t)) f x(t) ẋ 3 (t) = x 4 (t) ẋ 4 (t) = m 0lx2 2(t) sin x 1(t) m + m 0 sin 2 x 1 (t) m 0g sin x 1 (t) cos x 1 (t) m + m 0 sin 2 x 1 (t) b x x 4 (t) m + m 0 sin 2 x 1 (t) + f x (t) m + m 0 sin 2 x 1 (t)

23 Punkty równowagi: x p = [ 0 0 x 3 0 ] T Odwrócone wahadło oraz x p = [ π 0 x 3 0 ] T Zlinearyzowane równanie stanu dla przyrostów: A = α(t) 0 α(t) 0 sin α(t) α(t), cos α(t) 1, α 2 (t) sin α(t) 0 ẋ p(t) = Ax p(t) + bf x(t) g(m + m 0 )/(lm) 0 0 b x/(lm) m 0 g/m 0 0 b x/m, b = 0 1/(lm) 0 1/m

24 Funkcja przenoszenia Odwrócone wahadło G x0 x(s) := X 0(s) X(s) dla: x 0 (t) przyrost położenia masy m 0, x(t) przyrost położenia wózka. G x0 x(s) = gdzie d 2 := l/g 1 1 d 2 s 2 Model niestabilnego obiektu dynamicznego