Ćwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC

Transkrypt

1 Ćwiczenie Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów wskazowych na podstawie pomierzonych wartości skutecznych prądów i napięć. 3.. Podstawy teoretyczne Dwójnik bezźródłowy w obwodzie prądu sinusoidalnego W stanie ustalonym przebiegi prądu i napięcia na zaciskach dwójnika (rys. 3.1) przedstawiają sobą fale sinusoidalne. i = m sin ( ωt+ ψi ) (3.1) u = sin ωt+ ψ (3.) m ( ) u i u Rys. 3.1 Moduł impedancji dwójnika Z jest równy ilorazowi wartości skutecznych (lub amplitud) napięcia i prądu na jego zaciskach. m Z= = (3.3) m Kąt fazowy dwójnika ϕ jest równy różnicy faz początkowych napięcia i prądu ϕ= ψ u ψ i (3.4) π Dla dwójników zawierających elementy RC: ϕ. Jeśli dwójnik ma charakter pojemnościowy, to ϕ < 0, a jeśli charakter indukcyjny, to ϕ > 0. mpedancja zespolona dwójnika Z jest równa ilorazowi wartości skutecznych w postaci zespolonej (lub amplitud zespolonych) napięcia i prądu jψ u e jϕ Z = = = Ze jψ (3.5) i e Dla dwójnika znajdującego się w obwodzie prądu sinusoidalnego można również wyznaczyć moc pozorną S = (3.6) moc czynną

2 oraz moc bierną Moc zespolona dwójnika P= cosϕ (3.7) Q= sinϕ (3.8) jϕ S = = Se = P+ jq (3.9) W obwodach zachowana jest równowaga mocy czynnej i biernej, a więc także mocy zespolonej mpedancje elementów idealnych Rezystor idealny opisuje w dziedzinie czasu równanie u R = Ri R (3.10) czyli jego impedancja Z = R. Cewka idealna stąd jej impedancja gdzie: X reaktancja indukcyjna. di u d t = (3.11) π j Z = ωe = jω = jx (3.1) Kondensator idealny spełnia równanie duc ic = C (3.13) d t dlatego jego impedancja π 1 -j 1 Z = C e j jxc ωc = ωc = (3.14) gdzie: X C reaktancja pojemnościowa Elementy rzeczywiste a. Cewka rzeczywista W idealnym elemencie indukcyjnym energia nie jest rozpraszana (moc czynna jest równa zeru). W rzeczywistych cewkach występują straty energii. Moc tych strat przy niewielkich pulsacjach jest proporcjonalna do kwadratu wartości skutecznej prądu (niezależnie od ω). Dlatego też odpowiednim modelem cewki ze stratami jest szeregowe połączenie cewki idealnej i rezystora R. (rys. 3.). R Rys. 3. W modelu takim P= R

3 bez względu na częstotliwość prądu o wartości skutecznej. Moduł impedancji cewki rzeczywistej Z oraz jej argument φ są zależne od pulsacji. Natomiast w zakresie poprawności modelu parametry i R są od częstotliwości niezależne. Przy znanych Z, φ oraz ω można wyznaczyć i R z zależności R = Zcosϕ X Zsinϕ (3.15) = = ω ω b. Kondensator rzeczywisty W zakresie małych częstotliwości moc strat kondensatora jest proporcjonalna do kwadratu wartości skutecznej napięcia. zasadniony jest więc wybór modelu w postaci równoległego połączenia idealnego kondensatora C i rezystora R C (rys. 3.3). Rys. 3.3 R C C Tutaj P = (3.16) R C bez względu na częstotliwość napięcia na kondensatorze. Moce czynne P kondensatorów są zwykle o kilka rzędów wielkości mniejsze niż moce pozorne S. Dlatego też w wielu praktycznych przypadkach straty mocy czynnej można pominąć i stosować kondensator idealny jako model kondensatora rzeczywistego Połączenie szeregowe dwóch dwójników (rys. 3.4) Z 1 1 Z Rys. 3.4 Pomiary wartości skutecznych napięć, 1, i prądu w obwodzie pozwalają na wyznaczenie modułów impedancji dwójników 1 Z= 1 Z= (3.17) oraz modułu impedancji zastępczej połączenia Z = (3.18) Nie można natomiast bezpośrednio określić kątów fazowych dwójników φ 1, φ oraz ich połączenia φ. Zadanie takie można rozwiązać pod warunkiem, że znany jest kąt fazowy jednego z dwójników, np. φ. Zakładając, że faza początkowa prądu ψ 1 = 0 można na podstawie prawa Kirchhoffa zapisać j j 1 j e ϕ ϕ ϕ = 1e + e (3.19) Po przyrównaniu części rzeczywistych i urojonych obu stron powyższego równania oraz odpowiednich przekształceniach uzyskuje się zależności

4 1 cos( ϕ1 ϕ) = (3.0) 1 oraz + 1 cos( ϕ ϕ) = (3.1) stąd przy znanym φ można wyznaczyć kąty fazowe φ 1 oraz φ. W szczególnym przypadku, gdy dwójnik oznaczony indeksem jest kondensatorem, to φ = - π/, a odpowiednie zależności przybierają postać 1 + sinϕ1 = (3.) 1 oraz 1 sinϕ = (3.3) Geometryczny obraz tych zależności przedstawia wykres wskazowy na rys Rys Połączenia równoległe dwójników (rys. 3.6) 1 Z 1 Z Rys. 3.6 Na podstawie wartości skutecznych prądów 1, oraz napięcia można wyznaczyć moduły impedancji dwójników Z 1= Z = (3.4) 1 oraz ich połączenia równoległego Z = (3.5) Na podstawie równania wynikającego z prawa Kirchhoffa przy ψ u = 0 -j -j 1 -j e ϕ ϕ ϕ = 1e + e (3.6) można uzyskać zależności pozwalające na wyznaczenie kątów fazowych φ 1 oraz φ przy znanym kącie fazowym φ. 1 cos( ϕ1 ϕ) = (3.7) 1

5 + 1 cos( ϕ ϕ) = (3.8) Wykresy wskazowe Wykresy wskazowe stanowią ilustrację geometryczną rozwiązania analitycznego (np. rys. 3.5) lub służą jako środek analizy obwodu metodą geometryczną. Tym sposobem można na przykład rozwiązać zadanie przedstawione w punkcie 3..4: w układzie dwójników połączonych szeregowo (rys. 3.3) znane są napięcia, 1, oraz kąt fazowy φ ; należy wyznaczyć φ 1 oraz φ. Po wyborze skali dla wskazów napięcia i prądu należy narysować wskaz prądu, a pod kątem φ względem niego wskaz napięcia. Następnie należy zbudować trójkąt, bokami którego są wskazy napięć, 1 i (rys. 3.7a). na płaszczyźnie zespolonej istnieją dwa takie trójkąty, różniące się nachyleniem wskazów i 1 względem. Po określeniu kątów φ oraz φ 1 pozostawia się rozwiązanie spełniające warunki φ π/ oraz φ 1 π/ (rys. 3.7b). Rozwiązanie nie odpowiadające tym wymaganiom odrzuca się (rys. 3.7c) Rys. 3.7 Analogicznie można wykonać wykres wskazowy obwodu przedstawionego w punkcie Przy posługiwaniu się wykresami wskazowymi należy we właściwy sposób określać kąty fazowe dwójników. Kąt ϕ= ψ u ψ i oznacza się na wykresie wskazowym za pomocą strzałki, którą rysuje się od wskazu prądu do wskazu napięcia, przy czym bierze się pod uwagę kąt mniejszy od π. Jeśli strzałka ta określa kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, wówczas kąt fazowy jest ujemny, a przy niezgodności kierunków kat fazowy jest dodatni Pytania kontrolne 1. Jaki jest sens fizyczny mocy czynnej, biernej i pozornej? Jakiego znaku mogą być wartości liczbowe tych mocy?. Jakie jest znaczenie sposobu strzałkowania dwójników przy wyznaczaniu ich kątów fazowych? 3. Jak wyznaczyć analitycznie kąty φ oraz φ 1 na podstawie wykresów wskazowych? 4. Jak nazywa się składowe (rzeczywistą i urojoną) impedancji oraz admitancji? Podać wzajemne zależności.

6 iteratura: Bober J., Kalata H., 1979, Teoria obwodów, cz., Wyd. Politechniki Warszawskiej. Cholewicki T, 1973, Elektrotechnika teoretyczna, t. 1 i, WNT Warszawa. Klonowicz Z., Zurzycki Z., 1983, Teoria obwodów, t. 1 i, PWN, Warszawa. Krakowski M., 1995, Elektrotechnika teoretyczna, t.1 - Obwody liniowe i nieliniowe. PWN Warszawa. Meller W., 003, Metody analizy obwodów liniowych, Wyd. czelniane ATR