LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1"

Izabela Adamska
7 lat temu
Przeglądów:

1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać liczb zespolonych nazywa się postacia algebraiczna (albo kanoniczna liczby zespolonej z. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy jako C. Warto zauważyć, że zbiór liczb rzeczywistych R jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych C. DEFINICJA. Częścia rzeczywista liczby zespolonej z = a + bi jest liczba a. Oznaczamy to w następujący sposób: R z = a lub Re(z = a Natomiast częścia urojona liczby zespolonej z = a + bi jest liczba b. Oznaczamy to następująco: I z = b lub Im(z = b Liczby rzeczywiste są liczbami zespolonymi o części urojonej równej 0. Natomiast liczby zespolone o części rzeczywistej równej 0 nazywamy liczbami urojonymi. DEFINICJA. Liczba sprzężona do liczby zespolonej z = a + bi jest liczba z = a bi. Można zauważyć, że Re(z = Re(z oraz Im(z = Im(z, a także z + z = Re(z. Warto też zauważyć, że (z = z.. Płaszczyzna zespolona Każdą liczbę zespoloną można przedstawić geometrycznie na tzw. płaszczyźnie zespolonej (inaczej nazwaną płaszczyzna Gaussa, pokazanej na rysunku 1. DEFINICJA. Modułem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę: z = a + b ( Należy zauważyć, że zawsze z 0 oraz z = z, a także z = zz. Moduł liczby zespolonej jest równy długości wektora położenia liczby zespolonej z na płaszczyźnie zespolonej. DEFINICJA 5. Argumentem liczby zespolonej z (oznaczanym arg z lub ϕ jest wartość kąta pomiędzy wektorem położenia liczby zespolonej z a osią Re (zobacz rysunek 1. 1

algebraiczna (albo kanoniczna liczby zespolonej z. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy jako C. Warto zauważyć, że zbiór liczb rzeczywistych R jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych C. DEFINICJA.

2 Im b = Im(z z = a + bi z ϕ a = Re(z Re Rysunek 1: Płaszczyzna zespolona. Korzystając z tożsamości: sin ϕ = b z cos ϕ = a oraz znając znak liczb a i b można wnioskować o wartości argumentu liczby zespolonej. z ( Przykład 1: z = 1 + i z = = sin ϕ = 1 ϕ = π cos ϕ = 1. Postać trygonometryczna DEFINICJA 6. Liczbę zespoloną z = a + bi można przedstawić w postaci trygonometrycznej (inaczej biegunowej lub geometrycznej, to jest w postaci: z = z (cos ϕ + i sin ϕ Aby przejść z postaci trygonometrycznej do postaci algebraicznej korzysta się z tożsamości: a = z cos ϕ b = z sin ϕ (5. Postać wykładnicza DEFINICJA 7. Liczbę zespoloną z = a + bi można przedstawić w postaci wykładniczej, to jest w postaci: z = z e iϕ (6

z ( Przykład 1: z = 1 + i z = 1 + 1 = sin ϕ = 1 ϕ = π cos ϕ = 1. Postać trygonometryczna DEFINICJA 6.

3 Z porównania postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych otrzymać można tzw. wzory Eulera: sin ϕ = 1 i (eiϕ e iϕ 7 cos ϕ = 1 (eiϕ + e iϕ 8 oraz ważne (m.in. w mechanice kwantowej tożsamości: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (9 e iϕ = cos ϕ i sin ϕ (10 5. Działania na liczbach zespolonych Równość Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe części rzeczywiste oraz równe części urojone, czyli liczby postaci a + bi oraz c + di są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c oraz b = d. Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe. Działania arytmetyczne Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na liczbach rzeczywistych, przy czym należy pamiętać, że i = 1: (a + bi ± (c + di = (a ± c + (b ± di (a + bi(c + di = ac + (bc + adi + bdi = (ac bd + (bc + adi Aby podzielić liczbę zespoloną z 1 = a + bi przez liczbę zespoloną z = c + di wystarczy pomnożyć dzielną (tj. z 1 i dzielnik (tj. z przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych i skorzystać z faktu, że i = 1: a + bi (a + bi(c diac + bd + (bc adi = = c + di (c + di(c di c + d Przykład : 1 + i (1 + i( i + i i i = = + i ( + i( i i = + i 5 Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej. Jeśli: z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 z = z (cos ϕ + i sin ϕ to wtedy z 1 z = z 1 z 1 [cos(ϕ 1 + ϕ + i sin(ϕ 1 + ϕ ] Natomiast dla mnożenia liczb zespolonych w postaci wykładniczej mamy: z 1 = z 1 e iϕ 1, z = z e iϕ z 1 z = z 1 z e i(ϕ 1+ϕ

sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c oraz b = d. Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe.

4 Potęgowanie i pierwiastkowanie Potęgowanie liczb zespolonych można wykonać dla ich postaci algebraicznych, jednak dla wyższych potęg łatwiej jest zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej i skorzystać ze wzoru de Moivre a. Pierwiastkowania liczb zespolonych w postaci algebraicznej nie można wykonać ze względu na brak definicji wyrażenia n i. Wykonując potęgowanie liczb urojonych można skorzystać z następujących tożsamości: i n = 1 i = 1, i = i i = i, i = i i i n+1 = i = 1 (n N i n+ = 1 i n+ = i TWIERDZENIE 1 (WZÓR DE MOIVRE A. Dla liczby zespolonej z = a + bi = z (cos ϕ + i sin ϕ zachodzi tożsamość: z n = (a + bi n = z n [cos(nϕ + i sin(nϕ] (11 oraz tożsamość: n n z = a + bi = n [ ( ] ϕ + kπ ϕ + kπ z cos + i sin n n (k = 1,,..., n1 Liczba zespolona posiada n pierwiastków n-tego stopnia. Przykład : Niech będzie dana liczba zespolona z = 1 + i, wtedy: z = 1 + = sin ϕ = cos ϕ = 1 ϕ = π Zapisujemy liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej: ( z = cos π + i sin π Korzystając ze wzoru de Moivre a można wykonać potęgowanie, np. z 10 : [ z 10 = 10 cos 10π ] 10π + i sin Ponieważ cos(α + kπ = cos α oraz sin(α + kπ = sin α (gdzie k Z, więc [ z 10 = 10 cos π + i sin π ] ( = 10 [ 1 ] + i = i Przykład : Wykonajmy działanie 1. z = = 1 sin ϕ = 0 1 = 0 ϕ = 0 cos ϕ = 1 1 = 1

Wykonując potęgowanie liczb urojonych można skorzystać z następujących tożsamości: i n = 1 i = 1, i = i i = i, i = i i i n+1 = i = 1 (n N i n+ = 1 i n+ = i TWIERDZENIE 1 (WZÓR DE MOIVRE A.

5 [ ( ] kπ kπ 1 = 1 cos + i sin = cos ( kπ + i sin ( kπ Funkcje sinus i cosinus są funkcjami okresowymi o okresie π, więc istnieją cztery niezależne wartości cos ( kπ oraz sin kπ, to jest dla k = 1,,, (już dla k = 5 mamy sin 5π = sin π + π = sin ( π oraz podobnie dla funkcji cosinus. Rozpatrzmy te cztery przypadki: k = 1 π + i sin π = i k = π + i sin π = cos (π + i sin (π = 1 k = k = π + i sin π = i π + i sin π = cos (π + i sin (π = 1 W dziedzinie liczb zespolonych mamy więc cztery pierwiastki czwartego stopnia z liczby 1, gdyż prawdą jest że 1 = ( 1 = i = ( i = 1. TWIERDZENIE. Dla liczby zespolonej z = a + bi = z e iϕ zachodzi tożsamość: z n = z n e inϕ (1 oraz tożsamość: n z = n z e i ϕ+kπ n (k = 1,,..., n1 6. Liczby zespolone jako pierwiastki funkcji kwadratowych oraz wielomianów Dla funkcji kwadratowej f(x = ax +bx+c w przypadku gdy wyróżnik jest mniejszy od zera ( < 0 nie można znaleźć pierwiastków rzeczywistych. Można znaleźć jednak pierwiastki zespolone. Przykład 5: Niech będzie dana funkcja kwadratowa f(x = x + x + 1. Wtedy wyróżnik jest równy = < 0, zaś = = i. Pierwiastki wynoszą wówczas: x 1 = 1 i oraz x = 1+ i. Podobnie możemy postępować w przypadku wyznaczania miejsc zerowych wielomianów. Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że wielomian zespolony (a więc także wielomian rzeczywisty stopnia n posiada n pierwiastków zespolonych (wliczając w to pierwiastki k-krotne. Przykład 6: Rozkładając wielomian czwartego stopnia W (x = x + x x x do postaci iloczynowej otrzymujemy: x + x x x = (x + x + 1(x 1(x + Z powyższego wynika, że posiada on cztery pierwiastki: x 1 = 1 i, x = 1+ i, x = 1 oraz x =. 5

Rozpatrzmy te cztery przypadki: k = 1 π + i sin π = i k = π + i sin π = cos (π + i sin (π = 1 k = k = π + i sin π = i π + i sin π = cos (π + i sin (π = 1 W dziedzinie liczb zespolonych mamy więc

6 7. Zadania Zadanie 1 Wykonać działania: (a 1+5i i (b i ( + i (c i 1 (d 1 i 1+i Zadanie de Moivre a: Wykonać działania potęgowania i pierwiastkowania liczb zespolonych korzystając ze wzoru (a i + 5 (b1 i 8 (d + i (e i (ci (f Zadanie Rozwiązać równania: (a x + x + = 0 (b x + x + 10 = 0 (c x + x + x + 1 = 0 (d x + x + x + x + 1 = 0 8. Odpowiedzi Zadanie 1 (a i (b 17 6i (c 1 (d i Zadanie (a ( 16 16i (d 7 + i (b 16 (c 6 6i (e (f + i oraz i, i,, i Zadanie (a x = 1/( 1 i 11 oraz x = 1/( 1 + i 11 (b x = 1 i oraz x = 1 + i (c x = 1 oraz x = i oraz x = i (d x = ( 1 1/5 oraz x = ( 1 /5 oraz x = ( 1 /5 oraz x = ( 1 /5 6

(d x + x + x + x + 1 = 0 8. Odpowiedzi Zadanie 1 (a 0.6 +.

Podobne dokumenty

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać